山西省忻州市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

山西省忻州市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（）A . 某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3:2 :8 :2,从中抽取200人入样B . 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C . 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D . 从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样2. （2分）(2018·山东模拟) 要使程序框图输出的S=2cos 则判断框内（空白框内）可填入（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二下·友谊开学考) 用秦九韶算法计算多项式f（x）=2x6+3x5+5x3+6x2+7x+8在x=2时的值时，V2的值为（）A . 2B . 19C . 14D . 334. （2分）某学校有小学生126人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的近视情况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用何种方法较为恰当（）A . 简单随机抽样B . 系统抽样C . 分层抽样D . 先从小学生中剔除1人，然后再分层抽样5. （2分）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得蓝牌”是（）A . 对立事件B . 不可能事件C . 互斥但不对立事件D . 对立不互斥事件6. （2分）已知服从正态分布的随机变量，在区间,和内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布，则适合身高在163~183cm范围内员工穿的服装大约要定制（）A . 6830套B . 9540套C . 9520套D . 9970套7. （2分） (2019高一下·武宁期末) 奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）A . 对立事件B . 不可能事件C . 互斥但不对立事件D . 不是互斥事件8. （2分）废品率和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为，这表明（）A . y与x的相关系数为2B . y与x的关系是函数关系的充要条件是相关系数为1C . 废品率每增加1%，生铁成本增加258元D . 废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加2元9. （2分）下列对一组数据的分析，不正确的说法是（）A . 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B . 数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C . 数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D . 数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定10. （2分）在的展开式中，的系数为（）A .B .C .D .11. （2分）空间五点中，无三点共线．且无四点共面，则这五点可以确定平面的个数是（）A . 5B . 10C . 15D . 2012. （2分）设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+mx+n=0有实根的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·萍乡模拟) 一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为________．14. （1分）把二项式的展开式中所有的项重新排成一列，则其中有理项都互不相邻的概率为________．15. （1分） (2018高二下·晋江期末) 某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为________．（用数字作答）16. （1分） (2020高二上·青铜峡期末) 在区间上随机地取一个数 ,则的概率为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2020·银川模拟) 已知点、点及抛物线 .（1）若直线过点及抛物线上一点，当最大时求直线的方程；（2）轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点，且点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.18. （10分）(2020·达县模拟) 我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高．某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为P元）的情况，并根据统计数据制成如图频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估算P的平均值；（2）若该市城区有4户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了42元，50元，52元，60元，从这4户中随机抽取2户，求这2户P值的和超过100元的概率．19. （10分） (2018高二上·牡丹江期中) 已知直线的参数方程为 (为参数)，曲线C的参数方程为 (为参数)．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）若直线与曲线交于两点，求线段的长．20. （10分） (2018高二上·吉林期末) 设关于的一元二次方程．（1）若从0， 1， 2， 3四个数中任取的一个数，是从0， 1， 2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若是从区间上任取的一个数，是从区间上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21. （5分） (2018高二下·晋江期末) 袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X的概率分布与数学期望．22. （10分） (2018高二下·枣庄期末) 为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110附:＝p（K2≥k）0．5000．4000．1000．0100．001K0．4550．7082．7066．63510．828（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2014-2015学年度第二 学期期中考试试题高 二 数 学（理）一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合∪=R,M={x||x|<2},N={y|y=2x-1},则(C U M)∪(C U N)= ( )Ａ．(-1,2)B ．(-∞,2]C ．(-∞,-1)∪(2,+∞)D ．(-∞,-1]∪[2,+∞)2．设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[ 4, 2），则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A ．[-12,+∞） B ．[-1,0] C ．[0,1]D ．[12,1]3．设函数()x f '是函数()x f 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）4．右图是计算1+3+5+…+99的值的算法程序框图, 那么在空白 的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 ( ) A. i≤101 B. i≤99C. i≤97D. i≤505．若函数f(x)=3cos(2x+ )-sin(2x+ )的图象关于直线x=0对称,则Ａ． =k - 3(k Z) B ． =k - 6(k Z) C ． =k +6(k Z)6．已知||2||,||0a b b =≠ ，且关于的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在上有极值，则a 与b的夹角范围为（ ）Ａ．[0,)6πB ．(,]6ππ C ．2(,]33ππD ．(,]3ππ7．已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)离心率为32，则双曲线12222=-by a x 的离心率为( )Ａ．45 B ．25 C ．32D ．458．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小值为 ( )A ．1B ． 2C ．22D ． 39．掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则θ∈(0,2]的概率是 （ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．斜率为2的直线L 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线与A 、B 两点，若AB 的中点到抛物线准线的距离1，则P 的值为 （ ）Ａ．1 B ．45C ．35 D ．2511．已知P(m,n)(m>0,n>0)是f (x)= 13x 3﹣52x 2﹣x+1856在点x=5处的切线上一点,则14m n +的最小值是 ( )A. 910B. 1921C. 1011D. 111012．函数()f x 的定义域为，()02f =，对任意x R ∈，()()1f x f x '+>，则不等式()1x x e f x e >+的解集是 ( )Ａ．{}0x x > B ．{}0x x <C ．{}11x x x <->或 D ．{}11x x -<<二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分， 13. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积是 . 14. =-⎰42dx x ．15. 已知函数f(x)=x 3+ax 2﹣43a （a ∈R ），若存在x 0，使f(x)在x=x 0处取得极值，且f(x 0)=0，则a 的值为 ．16．已知函数()x f 在R 上满足()()2122x e x f x f x ++-=-，则曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程是 .三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17.(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 中，公差0,d >又231445,14a a a a ⋅=+= （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）记数列11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前项和记为n S ，求n S18.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （1）求角C 的大小； （2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．19.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ， ∠ABC=60°，E 、F 分别是BC 、PC 的中点． （1）证明：AE ⊥PD ；（Ⅱ）若PA=AB ，求二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值．20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln(1+x)+x 2-10x⑴若x=3是该函数的一个极值点，求函数f(x)的单调区间 ⑵若f(x)在[1,4]上是单调减函数，求a 的取值范围 21.(本小题满分12分)设椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点P(32，1)，且离心率e=12.(1)求椭圆C 的方程.(2)若F 1、F 2为椭圆的两个焦点，A 、B 为椭圆的两点，且AF 1→=12BF 2→，求直线AF 1的斜率.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋2ax，a∈R.(1) 若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2) 若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值．附加题：1.(5分)函数y=x 3-2x+2过点P(2,6)的切线的斜率为 .2.(5分)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线=－2对称，则()f x 的最大值是______.3.(5分)函数f(x)= xln(x-1)x-2，x ∈[1.5,3]的值域为 .2014-2015学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（理）答案DACBB DCBBCB AA 13. 32 14. 7 15. 3 16．x-y-3=0１7. (本小题满分10分)解：（1）,0,45,14324132 d a a a a a a 且==+=+ 9,532==∴a a1,41==∴a d 344)1(1-=-+=∴n n a n ………6分（2)141341(41)14)(34(111+--=+-==+n n n n a a b n n n)141341.......9151511(41+--++-+-=n n S n b n n 项和的前 14)1411(41+=+-=n nn ……………………10分 18(本题满分12分)解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+== 从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==19. (本小题满分12分)（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形． 因为为的中点，所以．又，因此． 因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面， 所以．…………5分20.(本小题满分12分) 解：⑴∵()1021'-++=x xax f …………………………………………1分 ∴()010643'=-+=af 因此16=a ……………………………2分∴()()x x x x f 101ln 162-++=，其定义域为()+∞-,1……………3分()()()()xx x x x x x x x f +-⋅-=++-=-++=13121342102116'2…………4分 当()0'＞x f ，即11＜＜x -，或3＞x 时，函数()f x 单调递增 当()0'＜x f ，即31＜＜x 时，函数()f x 单调递减∴()f x 的单调递增区间为()11，-，()∞+，3，单调递减区间为()31，…6分 ⑵∵()f x 在[]1,4上是单调减函数∴()0110821021'2≤+-+-=-++=xa x x x x a x f 在[]1,4上恒成立…7分∴010822≤-+-a x x 在[]1,4上恒成立 …………………………8分 ∴min 2)]1082([---≤x x a …………………………………………9分 ∵在[]1,4上，18)1082(102≤---≤x x …………………………11分∴10≤a …………………………………………………………12分 21.(本小题满分12分)(1)由题意知c a =12，1a 2+94b2=1，又a 2=b 2+c 2，∴a=2，b=3，c=1故所求的椭圆方程为y 24+x23=1…………………………………. …...………..…..(6分)(2)延长AF 1交椭圆B′ 由对称性可知 BF 2→=F 1B′→设A(x 1，y 1)，B′(x 2，y 2) AF 1→=12 F 1B′→∴x 2=－2x 1①当直线AB′斜率不存在时，不符合当直线AB′斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，又F 1(0，1) ∴直线AF 1y=kx+1 联立 y=kx+1y 24+x 23=1 消去y ，得(3k 2+4)x 2+6kx －9=0∴x 1+x 2= －6k 3k 2+4② x 1x 2= －93k 2+4③由①②③得k =±25 5 故直线AB 的斜率为±255……………………..…..(12分)22.(本小题满分12分)解 (1)∵f(x)＝ln x ＋2a x ，∴f′(x)＝1x －2ax 2.∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝1x －2ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤x2在[2，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2，则a≤[g(x)]min ，x∈[2，＋∞)，∵g(x)＝x2在[2，＋∞)上是增函数，∴[g(x)]min ＝g(2)＝1.∴a≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f′(x)＝x －2ax2，x∈ [1，e]．①若2a<1，则x －2a>0，即f′(x)>0在[1，e]上恒成立， 此时f(x)在[1，e]上是增函数．所以[f(x)]min ＝f(1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)．②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x ＝2a. 当1<x<2a 时，f′(x)<0，所以f(x)在(1,2a)上是减函数，当2a<x<e 时，f′(x)>0，所以f(x)在(2a ，e)上是增函数． 所以[f(x)]min ＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3， 解得a ＝e22(舍去)．③若2a>e ，则x －2a<0，即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减函数． 所以[f(x)]min ＝f(e)＝1＋2ae ＝3，得a ＝e.适合题意．综上a ＝e.附加题：1.(5分) 1或10 2.(5分) 16 3.(5分) (0,3ln2]。

山西省忻州市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若原命题为“若a2＞b2 ，则a＞b＞0”，则其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的为（）A . 真，真，真B . 假，假，真C . 真，真，假D . 假，假，假2. （2分）若=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a﹣b等于（）A .B . 1C . 0D . -13. （2分）已知F1 ， F2为双曲线C：的左右焦点，点P在C上，，则（）A . 2B . 4C . 6D . 84. （2分）已知直线与，给出命题P：的充要条件是或；命题q:的充要条件是．对以上两个命题，下列结论中正确的是：（）A . 命题“p且q'为真B . 命题“p或q”为假C . 命题“p或q'为假D . 命题“p且q'为真5. （2分）是直线与直线平行的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知A，B，C三点在球O的表面，△ABC是边长为5正三角形，球面上另外一点D到A，B，C三点的距离分别是3，4，5，则球O的表面积是（）A .B .C . 100πD . 400π7. （2分）以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（）A .B .C .D .8. （2分）圆M的圆心在直线y=-2x上，经过点A(2,-1)，且与直线 x+y=1相切，则圆M的方程为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 若命题“p且q”为假，且“¬p”为假，则（）A . “p或q”为假B . q假C . q真D . p假10. （2分）由直线， x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A . 2ln2B . ln2C .D .11. （2分）(2018·辽宁模拟) 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分）王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30个英语单词卡片，右边口袋装有20个英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里各任取一个英语单词卡片，则不同的取法种数为（）A . 20种B . 600种C . 10种D . 30000种二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知随机变量ξ服从正态分布，且方程x2+2x+ξ=0有实数解得概率为，若P（ξ≤2）=0.75，则P（0≤ξ≤2）=________．14. （1分）（ax+ ）3的展开式中x3项的系数为20，则实数a=________．15. （1分） (2015高二上·河北期末) 已知抛物线和所围成的封闭曲线，给定点A（0，a），若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是________．16. （1分）(2018·呼和浩特模拟) 某煤气站对外输送煤气时，用号个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（i）若开启号，则必须同时开启号并且关闭号；（ii）若开启号或号，则关闭号；（iii）禁止同时关闭号和号，现要开启号，则同时开启的另外个阀门是________．三、解答题 (共8题；共70分)17. （5分） (2016高三上·南通期中) 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A= ，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18. （5分） (2017·宿州模拟) 某综艺节目为增强娱乐性，要求现场嘉宾与其场外好友连线互动．凡是拒绝表演节目的好友均无连线好友的机会；凡是选择表演节目的好友均需连线未参加过此活动的3个好友参与此活动，以此下去．（Ⅰ）假设每个人选择表演与否是等可能的，且互不影响，则某人选择表演后，其连线的3个好友中不少于2个好友选择表演节目的概率是多少？（Ⅱ）为调查“选择表演者”与其性别是否有关，采取随机抽样得到如表：选择表演拒绝表演合计男501060女101020合计602080①根据表中数据，是否有99%的把握认为“表演节目”与好友的性别有关？②将此样本的频率视为总体的概率，随机调查3名男性好友，设X为3个人中选择表演的人数，求X的分布列和期望．附：K2= ；P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519. （10分）如题（19）图，三棱锥中，平面，，分别为线段上的点，且（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值。

山西省忻州市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·新乡期末) 已知复数z满足zi5=1+2i，则在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）(2017·番禺模拟) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，且F2为抛物线y2=24x的焦点，设点P为两曲线的一个公共点，若△PF1F2的面积为36 ，则双曲线的方程为（）A . ﹣ =1B . ﹣ =1C . ﹣ =1D . ﹣ =14. （2分）已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（）A . （1，+∞）B . （e，+∞）C . （0，1）D . （0，e）5. （2分）(2014·广东理) 设集合A={（x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A . 60B . 90C . 120D . 1306. （2分） (2017高二上·南昌月考) 如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是（）A . 在(－2，1)上f(x)是增函数B . 在(1，3)上f(x)是减函数C . 当x＝2时，f(x)取极大值D . 当x＝4时，f(x)取极大值7. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 世界杯组委会预测2018俄罗斯世界杯中,巴西队获得名次可用随机变量表示，的概率分布规律为，其中为常数，则的值为（）B .C .D .8. （2分）若的展开式中项的系数为280，则（）A .B . 2C .D .9. （2分） (2017高二下·池州期末) 函数f（x）=2x3﹣9x2+12x+1的单调减区间是（）A . （1，2）B . （2，+∞）C . （﹣∞，1）D . （﹣∞，1）和（2，+∞）10. （2分）(2017·鞍山模拟) 已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限）若，则△AOB的面积为（）A .B .C .11. （2分）已知不等式x2＜logax在x∈（0，）时恒成立，则实数a的取值范围为（）A . （0，1）B . [， 1）C . （0，）D . （1，+∞）12. （2分）(2017·广西模拟) 如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是（）①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是江苏、山东、浙江；④2016年同期浙江的GDP总量也是第三位．A . ①②B . ②③④C . ②④D . ①③④二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·宿迁期中) 已知函数f（x）=x3 ．设曲线y=f（x）在点P（x1 ， f（x1））处的切线与该曲线交于另一点Q（x2 ， f（x2）），记f'（x）为函数f（x）的导数，则的值为________．14. （1分） (2017高三下·赣州期中) 若（x+ ）n的展开式中前三项的系数分别为A、B、C，且满足4A=9（C﹣B），则展开式中x2的系数为________．15. （1分）从1，2，3，4，5中不放回依次取两个数．已知第一次取出的是奇数，则“第二次取到的也是奇数”的概率为________ ．16. （1分） (2017高二上·江苏月考) 已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2020高二上·青铜峡期末)（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，求该椭圆的标准方程；（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程．18. （10分）(2017·南通模拟) 某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a．求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望．19. （10分）(2020·海南模拟) 设函数， .（1）当时，求的值域；（2）当时，不等式恒成立（是的导函数），求实数的取值范围.20. （5分） (2017高二下·南昌期末) 2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：K是否愿意提供志愿者服务愿意不愿意性别男生205女生1015（Ⅰ）用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；（Ⅲ）你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．21. （10分） (2016高二上·宁波期中) 已知抛物线x2=2py（p＞0）与直线2x﹣y+1=0交于A，B两点，，点M在抛物线上，MA⊥MB．（1）求p的值；（2）求点M的横坐标．22. （10分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知函数（1）当时，求证：；（2）若时，恒成立，求整数的最大值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2014-2015学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（文）命题人:李德亭1．考生务必用0.5mm 黑色中性笔答题.2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟.一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合∪=R,M={x||x|<2},N={y|y=2x -1},则(C U M)∪(C U N)= ( )A ．(-1,2)B ．(-∞,2∪的概率是( )A ．512B ．12C ．712D ．56 10．斜率为2的直线L 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线与A 、B 两点，若AB 的中点到抛物线准线的距离1，则P 的值为 ( )Ａ．1 B ．45 C ．35 D ．2511．已知P(m,n)(m>0,n>0)是f(x)= 13x 3﹣52x 2﹣x+1856在点x=5处的切线上一点,则1m +4n的最小值是 ( )A. 910B. 1921C. 1011D. 111012．函数f (x )的定义域为R ，f(0)=2，对任意x ∈R ，f (x )+ f '(x )>1，则不等式e x f (x )> e x +1，的解集是 ( )Ａ．{x |x >0} B ．{x |x <0} C ．{x | x <-1或x >1} D ．{x | -1<x <1 }二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，13．在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为 .14．已知复数z=(1+i)2+3(1-i)2+i则z 的共轭复数z = .15＝2cos 4π＝2cos 8π，2cos 16π，…，请从中归纳出第n 个等式是 .16．已知函数f (x)=x 3+ax 2-43a （a ∈R ），若存在x 0，使f (x)在x=x 0处取得极值，且f (x 0)=0，则a 的值为 .三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分)17．(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 中，公差0,d >又231445,14a a a a ⋅=+=（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）记数列11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和记为n S ，求n S 18．(本小题满分12分)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足csinA=acosC.（1）求角C 的大小；（2）求3sinA -cos(B+π4)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 19．(本题满分12分)在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x=3-22ty=5+22t（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=25sin θ．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ．若点P 的坐标为（3，5），求|PA|+|PB|．20．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF ∥底面ABC ；(2)求证：AC ⊥平面EBC ；(3)求几何体ADEBC 的体积V.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln(1+x)+x 2-10x⑴若x=3是该函数的一个极值点，求函数f(x)的单调区间;⑵若f(x)在上是单调减函数，求a 的取值范围.22．(本小题满分12分)设椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点P(32，1)，且离心率e =12. (1)求椭圆C 的方程;(2)若F 1、F 2为椭圆的上下两个焦点，A 、B 为椭圆的两点，且A F 1→=12BF 2→，求直线A F 1的斜率.附加题：1.(5分)函数y=x 3-2x+2过点P(2,6)的切线的斜率为 .2.(5分)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =－2对称，则()f x 的最大值是 .3.(5分)已知|a →|＝3，|b →|＝2，a →与b →的夹角为60°，c →＝a →＋b →，d →＝m a →－6b →(m ∈R)．若c→∥d →，|c →+d →|= .2014-2015学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（文） 答案一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)DACDDB BCCBAA二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，13．(1,π2)14． 1+i15． 2＋2＋2＋…n 个根号=2cos π2n+1 16． a=±3三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分)17．解：（1）,0,45,14324132 d a a a a a a 且==+=+9,532==∴a a1,41==∴a d344)1(1-=-+=∴n n a n ……………………6分 （2)141341(41)14)(34(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ∴)141341.......9151511(41+--++-+-=n n S n b n n 项和的前 14)1411(41+=+-=n n n……………………12分 18．解：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则 （II ）由（I ）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ== 19．【命题意图】本小题主要考察直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考察运算求解能力．解：（1）由ρ=25sin θ得x 2+y 2-25y=0，x 2+(y -5)2=5． ……4分（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得：(3-22t )2+(22t )2=5 即t 2-32t+4=0，由于Δ=(32)2-4×4=2>0,故可以设t 1，t 2是上述方程得根，所以t 1+t 2=32，t 1t 2=4， ……8分又直线l 过点P(3，5)，故由上式及t 的几何意义得：|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t =32 ……12分20(1)证明：连接AE ，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点，又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，∴GF ∥平面ABC.(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC.又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC.又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE.(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC ∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16. 21．(本小题满分12分) 解：⑴∵()1021'-++=x x a x f …………………………………………1分 ∴()010643'=-+=a f 因此16=a ……………………………2分 ∴()()x x x x f 101ln 162-++=，其定义域为()+∞-,1 ……………3分()()()()x x x x x x x x x f +-⋅-=++-=-++=13121342102116'2 …………4分当()0'＞x f ，即11＜＜x -，或3＞x 时，函数()f x 单调递增当()0'＜x f ，即31＜＜x 时，函数()f x 单调递减∴()f x 的单调递增区间为()11，-，(3,+∞)，单调递减区间为(1,3) 6分 ⑵∵()f x 在[]1,4上是单调减函数∴()0110821021'2≤+-+-=-++=xa x x x x a x f 在[]1,4上恒成立 …7分 ∴010822≤-+-a x x 在[]1,4上恒成立 …………………………8分∴min 2)]1082([---≤x x a …………………………………………9分∵在[]1,4上，18)1082(102≤---≤x x …………………………11分 ∴10≤a …………………………………………………………12分22．解：(1)由题意知c a =12，1a 2+94b 2=1，又a 2=b 2+c 2， ∴a=2，b=3，c=1 ……(4分)故所求的椭圆方程为y 24+x 23=1 …… (6分) (2)延长AF 1交椭圆B′ 由对称性可知 BF 2→=F 1B′→设A(x 1，y 1)，B′(x 2，y 2) AF 1→=12F 1B′→ ∴x 2=－2x 1① ……(8分) 当直线AB′斜率不存在时，不符合当直线AB′斜率存在时，设直线AF 1的斜率为k ，又F 1(0，1)∴直线AF 1：y=kx+1联立 y=kx+1y 24+x 23=1 消去y ，得(3k 2+4)x 2+6kx －9=0 ∴x 1+x 2=－6k 3k 2+4② x 1x 2= －93k 2+4③ 由①②③得k=±25 5 故直线AB 的斜率为±255……………………..…..(12分) 附加题：1.(5分)函数y=x 3-2x+2过点P(2,6)的切线的斜率为 .1或102.(5分)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =－2对称，则()f x 的最大值是______.16【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.【解析】由()f x 图像关于直线x =－2对称，则0=(1)(3)f f -=-=22[1(3)][(3)3]a b ----+，0=(1)(5)f f =-=22[1(5)][(5)5]a b ----+，解得a =8，b =15，∴()f x =22(1)(815)x x x -++，∴()f x '=222(815)(1)(28)x x x x x -+++-+=324(672)x x x -++-=4(2)(22x x x -+++当x ∈(－∞,2-∪(－2, 2-时，()f x '＞0，当x ∈(2-－2)∪(2-∞)时，()f x '＜0，∴()f x 在（－∞，2-2-2）单调递减，在（－2，2-+调递增，在（2-+，+∞）单调递减，故当x =2--和x =2-+时取极大值，(2f -=(2f -+=16.3.(5分) 已知|a →|＝3，|b →|＝2，a →与b →的夹角为60°，c →＝a →＋b →，d →＝m a →－6b →(m ∈R)．若c →∥d →，|c →+d →|= .：∵c ∥d ，∴存在惟一实数λ使得c ＝λd ，即a ＋2b ＝λ(m a －6b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λm ＝1－6λ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13m ＝－3. ∴d ＝－3a －6b ，∴c ＋d ＝－2a －4b ，∴|c ＋d|2＝|－2a －4b|2＝|2a ＋4b|2＝4a 2＋16a·b ＋16b 2＝4×9＋16×3×2×cos60°＋16×4＝148，∴|c ＋d |＝237.。

山西省忻州第一中学等学校 2014—2015学年度上学期期中联考高二数学理试题注意事项:1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号填写在试题和试卷上。

2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{0,2,a }，B ＝{1,a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则实数a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．42．若一条直线的倾斜角的正弦值为32，则此直线的斜率为A ．B ．±C ．D ．±3．函数⎩⎨⎧>+-≤+=0,ln 1,0,2)(2x x x x x x f 的零点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0 4．给出下列四个命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行； （3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）垂直于同一平面的两条直线平行. 其中正确命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．已知过点和的直线与直线平行，则实数的值为A ．B ．C ．D ．6．圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上的点到点(－2,－2)的最小距离为A ．9B ．7C ．5D ．37．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠B 1A 1C 1＝90°，BC 1⊥AC ，则顶点C 1在底面ABC 上的射影H 必在 A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上 D ．△ABC 内部8．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为A ．5B ．4C ．2D ．1 9．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是正视图侧视图俯视图10．右面程序框图的输出结果为6，那么判断框① 表示的“条件”应该是A ．i ＞7?B ．i ＞6?C ．i ＞5?D ．i ＞4? 11．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线段长的最小值为A ． 1B ．2 2 C.7 D ．312．如右图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，点P 、Q 分别在棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则平面BPQ 把三棱柱分成两 部分的体积比为A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:3二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上) 13．将直线绕原点逆时针旋转90︒，则所得到的直线方程为 ① ． 14．若某几何体的三视图（单位：）如右图所示，则该几何体的表面积为 ① ．15．三棱锥中，底面，∠ACB ＝90°，且P A ＝AC ，则二面角P ―BC ―A的大小为 ① ．16．如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且321PA PB PC ===，，．设是 内一点．定义，其中、、分别 是三棱锥、、的体积． 若，且恒成立，则正实数的最小值为 ① ．三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．(本题满分10分)在∆ABC 中，角为锐角，记角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量)sin ,(cos ),sin ,(cos A A n A A m -== ，且＝12． (1)求角的大小；(2)若，求∆ABC 的面积． 18．(本题满分12分)知平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥042,0,0y x y x 恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2已＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖． (1)试求圆C 的方程；(2)若斜率为3的直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ，满足CA ⊥CB (C 为圆心)，求直线l 的方程．20．(本题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列． (1)设b n ＝a n －2，证明：数列{b n }为等比数列； (2)求数列{nb n }的前n 项和．21．(本题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组,第二组，…，第五组[17,18]，右图是按上述分组方法得到的频率分布 直方图．(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好， 求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)设m ,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩， 且已知,[13,14)[17,18]m n ∈，求事件“|m －n |＞1”的概率．22．(本题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中，以C (1,-2)为圆心的圆与直线相切． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线，使得以被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过坐标原点，若存在，求出直线l 方程；若不存在，请说明理由．四．附加题(共2个小题，满分15分) 23．(本题满分5分)如图所示，正方体的棱长为1,分别是棱,的中点，过直线的平面分别与棱,交于M ，N ，求四棱锥C '-MENF 的体积．24．(本题满分10分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0． (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)当直线l与圆C相交时，求直线l被圆C截得的最短弦长及此时直线l的方程．参考答案一．选择题(每小题5分，共60分)DBAAB DACBC CA二．填空题(每小题5分，共20分)13．x ＋3y ＝0 14．7π 15．45︒ 16．1三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．解：(1)∵＝cos2A ，∴cos2A ＝12．π0,02π,2A A <<<<……5分 (2),及2222cos a b c bc A =+-,, 即 (舍去)或故S ＝12bc sin A ＝3． · ……10分18．解：(1)由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆， 故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5. ……6分(2)设直线l 的方程是y ＝3x ＋m ．因为CA ⊥CB ，所以圆心C 到直线l 的距离是102，即|6－1＋m |10＝102，解得m ＝0或m ＝－10．.所以直线l 的方程为y ＝3x 或y ＝3x －10． ……12分19．(1)证明：设AC ∩BD ＝H ，连结EH .在△ADC 中，∵AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ， ∴H 为AC 的中点．又由题设，E 为PC 的中点，故EH ∥P A . 又EH ⊆平面BDE ，且P A ⊄平面BDE ， ∴P A ∥平面BDE ． ……6分(2)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊆平面ABCD ，∴PD ⊥AC ． 由(1)可得，DB ⊥AC ．又PD ∩DB ＝D ，故AC ⊥平面PBD ． ……12分20．(1)证明：∵数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列，由题意得a 1－2＝－1，∴(a n ＋1＋S n ＋1)－(a n ＋S n )＝2，即a n ＋1＝a n ＋22．又∵a n ＋1－2a n －2＝a n ＋22－2a n －2＝12，∴{b n }是首项为－1，公比为12的等比数列．……6分(2)解：由(2)得b n ＝－(12)n -1，∴nb n ＝－n ·(12)n -1，设T n ＝1＋2·12＋3·(12)2＋…＋n ·(12)n -1， ①∴12T n ＝12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n ， ② ①－②得12T n ＝1＋12＋(12)2＋…＋(12)n -1－n ·(12)n ，∴12T n ＝1－(12)n1－12－n ·(12)n ，∴T n ＝4－(n ＋2)·(12)n -1，∴数列{nb n }的前n 项和为(n ＋2)·(12)n -1－4．……12分22．解：(1)设圆的方程为222()()x a y b R -+-=，依题意得，所求圆的半径||3R ==,∴所求的圆方程是22(1)(2)9x y -++=．……4分(2)设存在满足题意的直线，设此直线方程为， 设直线与圆C 相交于A ，B 两点的坐标分别为， 由OA ⊥OB ，即121212121,1,0OA OB y y k k x x y y x x ⋅=-∴⋅=-∴+=． ……7分由2222(1)(2)92440y x m y x mx y x y x y =+=+⎧⎧⎨⎨-++=+-+-=⎩⎩即消去y 得 2222(1)440x m x m m ++++-=，所以2121244(1),2m m x x m x x +-+=-+=．……9分12121122212121212220;,()()0;2()044(1)0.+==+=+∴+++=+++=∴+--++=x x y y y x m y x m x x x m x m x x m x x m m m m m m ，即， 解得．经检验m 1＝－4，m 2＝1使∆＞0，都符合题意， ∴存在满足题意的直线为y ＝x －4或y ＝x ＋1． ……12分 四．附加题(本大题共2小题，共15分)23．解：V ＝2V C '-MNF ＝2V N -MFC '＝2×13S ∆MFC '×1＝23×12×12＝16． ……5分24．解：(1)∵直线l 过定点P (3,1)，且P 与圆心C (1,2)的距离|PC |＝5<5,∴直线l 一定过圆内定点P ，∴直线l 与圆C 一定相交． ……5分(2)由平面几何知识可知，当直线l 过定点P 且与PC 垂直时，直线l 被圆C 所截得的弦长最短，而k PC＝－12，∴此时直线l的方程为y－1＝2(x－3)．故弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0．最短弦长为d＝225 5＝45．……10分说明：各题如有其它解法可参照给分．高二数学(理科)双向细目表序号内容选择填空解答小计1 必修1 10 102 必修2 42 17 36 953 必修3 5 12 174 必修4 10 105 必修5 3 3 12 186 合计60 20 70 150说明：1．第1题是课本必修1习题改编．2．第2题是课本必修2习题改编．3．第4题是课本必修2习题改编．4. 第8题是课本必修2习题改编．5．第17题是课本必修4复习题改编．6. 第24题是课本必修2习题改编．。

山西省吕梁学院附属高级中学2014-2015学年高二下期末考试理科数学一、选择题（每题5分，共12题） 1.集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ） A ． 3B ．4C ．7D ．82.已知函数)( 11ln )(R a x a x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=.命题p ：)(, x f R a ∈∃是奇函数；命题q ：)(, x f R a ∈∀在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．q p ∧C ．()q p ∧⌝D ．()q p ⌝∧3.命题P ：“2,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝为 A. 2,12x R x x ∃∈+> B.2,12x R x x ∃∈+≥ C.2,12x R x x ∀∈+≥ D.2,12x R x x ∀∈+< 4、已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b < D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5.已知函数()4,0,1,0,x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12 C ．2 D ．46．当[]2,0∈x 时，函数3)1(4)(2--+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是 A.1[,)2-+∞ B. [)+∞,0 C. [)+∞,1 D.2[,)3+∞7．已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f (x)又是减函数，且f (a －3)+f (9－a2)<0，则a 的取值范围是（ ） A ．(22，3) B ．(3，10) C ．(22，4) D ．(－2，3)8．某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资x 与居民人均消费y 进行统计调查, y 与x 具有相关关系,回归方程562.166.0ˆ+=x y (单位:千元),若某城市居民消费水平为7.675,估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为（ ）A. 66%B. 72.3%C. 67.3%D. 83%9.设随机变量X～N （2，4），则D （21X ）的值等于 ( )A.1B.2C.21D.410．二项式303a a 的展开式的常数项为第（ ）项 A ． 17 B 。

2014-2015学年山西省忻州一中高二（下）期中数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合∪=R，M={x||x|＜2}，N={y|y=2x-1}，则（C U M）∪（C U N）=（）A.（-1，2）B.（-∞，2]C.（-∞，-1）∪（2，+∞）D.（-∞，-1]∪[2，+∞）【答案】D【解析】解：集合∪=R，M={x||x|＜2}=（-2，2），N={y|y=2x-1}=（-1，+∞），∴（C U M）=（-∞，-2]∪[2，+∞），（C U N）=（-∞，-1]，∴（C U M）∪（C U N）=（-∞，-1]∪[2，+∞），故选：D．先求出集合M，N，再根据补集和并集的定义即可求出．本题考查的是集合的交集、并集、补集及其运算．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想以及集合交并补的运算．值得同学们体会反思．2.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[，]，则点P横坐标的取值范围为（）A.（-∞，]B.[-1，0]C.[0，1]D.[-，+∞）【答案】D【解析】解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y'=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，，∴1≤2x0+2，∴x0∈[-，+∞）故选D．根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．3.设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（-∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．4.图是计算1+3+5+…+99的值的算法程序框图，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A.i≤101B.i≤99C.i≤97D.i≤50【答案】B解：经过第一次循环得到的结果为s=1，i=3经过第二次循环得到的结果为s=1+3，i=5经过第三次循环得到的结果为s=1+3+5，i=7…经过第50次循环得到的结果为s=1+3+5+…+99，i=101此时i=101不满足判断中的条件，输出s的值故判断框中的条件为i≤99故选B．根据程序框图的流程，写出前几次循环的结果，判断出输出时输出的结果，此时i的值应该满足判断框中的条件，得到判断框中的条件的内容．解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，然后找出规律再解决需解决的问题．5.若函数f（x）=cos（2x+α）-sin（2x+α）的图象关于直线x=0对称，则α=（）A.α=kπ-（k∈Z）B.α=kπ-（k∈Z）C.α=kπ+（k∈Z）D.α=kπ+（k∈Z）【答案】D【解析】解：∵f（x）=cos（2x+α）-sin（2x+α）=2[cos（2x+α）-sin（2x+α）]=2cos （2x+α-），∵函数的图象关于直线x=0对称，∴α-=kπ，（k∈Z）即α=kπ+，（k∈Z）故选：D．利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2cos（2x+α-），结合三角函数的对称性，即可得解．本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，利用三角函数的对称轴是解决本题的关键，属于基本知识的考查．6.已知，，且关于x的函数在R上有极值，则与的夹角范围为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】解：因为，，且关于x的函数=在R上有极值，所以f'（x）=x2+2|x+2||2cosθ=0在R上有不等实根，所以判别式△=4||2-8||2cosθ＞0，所以cosθ＜，所以θ∈（，π]；故选：D．判别式大于零，得到的模与两向量数夹角余弦值的不等关系，求出角的范围．本题考查了函数的极值与数量积结合的问题；关键是由函数有极值得到关于向量的夹角的不等关系，属于中档题．7.若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线-=1的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，所以=．所以．所以双曲线的离心率=．故选B．利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用a，b 表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是高考考查的重点．8.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】解：过点P作y=x-2的平行直线，且与曲线y=x2-lnx相切，设P（x0，x02-lnx0）则有k=y′|x=x0=2x0-．∴2x0-=1，∴x0=1或x0=-（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x-2的最小距离．本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题．9.掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n）与向量=（1，-1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：解：连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个基本事件若θ∈（0，]，则m≥n，则满足条件的（m，n）有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2）（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2），（6，3）（6，4），（6，5），（6，6），共21个基本事件则P=；故选C．由已知掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记为（m，n），共有36种可能，而由数量积则θ∈（0，]的，n范围是m-n≥0并且m+n≠0，由几何概型公式得到所求．本题主要考查古典概型概率求法，用到了用两个向量的数量积表示两个向量的夹角；解答本题的关键是明确概率模型，分别求出所有事件以及满足条件的事件个数，利用公式解答．10.斜率为2的直线L经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．抛物线y2=2px的焦点F为（，0），准线为x=-，由于直线过其焦点且斜率为2，可得方程为y=2（x-）．代入抛物线方程可得4x2-6px+p2=0，∴x1+x2=p，∴p+=1，解得p=．故选：B．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直线过其焦点且斜率为2，可得方程，与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得p．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、根与系数的关系和中点坐标公式，属于中档题．11.已知P（m，n）（m＞0，n＞0）是f（x）=x3-x2-x+在点x=5处的切线上一点，则+的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵f（x）=x3-x2-x+，∴f′（x）=x2-5x-1，∴f′（5）=52-5×5-1=-1，∵f（5）=×53-×52-5+=5，∴切线方程为y-5=-（x-5），即x+y=10，∵P（m，n）（m＞0，n＞0）是f（x）=x3-x2-x+在点x=5处的切线上一点，∴m+n=10，∴+=（+）××（m+n）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当m=，n=时取等号，故+的最小值是，故选：A．先根据导数的几何意义求出切线方程，得到m+n=10，再由+=（+）××（m+n）=（5++），根据基本不等式即可求出答案．本题考查了导数的几何意义，以及基本不等式的应用，属于中档题．12.函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A.{x|x＞0}B.{x|x＜0}C.{x|x＜-1，或x＞1}D.{x|x＜-1，或0＜x＜1}【答案】A解：令g（x）=e x•f（x）-e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）-1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）-e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）-e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选A构造函数g（x）=e x•f（x）-e x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=e x•f（x）-e x，是解答的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______ ．【答案】32【解析】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2××4×3=12，高h=8，故几何体的体积V==32，故答案为：32由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14.∫04|x-2|dx= ______ ．【答案】4【解析】解：∫04|x-2|dx=∫02（2-x）dx+∫24（x-2）dx=（2x-x2）|02+（x2-2x）|24=4故答案为：4将：∫04|x-2|dx转化成∫02（2-x）dx+∫24（x-2）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．15.已知函数f（x）=x3+ax2-a（a∈R），若存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，且f （x0）=0，则a的值为______ ．±3【解析】解：f′（x）=3x2+2ax=．令f′（x）=0，解得x=0或．∵存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，∴≠0，即a≠0．当a≠0时，可知：0，都是f（x）的极值点．但是x0≠0，否则由f（0）=0得到a=0．因此x0=-，由f（x0）=0，可得-a=0，化为a2=9，解得a=±3．故答案为：±3．f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，解得x=0或．由于存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，可知x0=-，由f（x0）=0，解出即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力和计算能力，属于难题．16.已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2-x）+e x-1+x2，则曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程是______ ．【答案】x-y-3=0【解析】解：由题意得，f（2-x）=2f（x）+e1-x+（2-x）2，①∴令x取2-x代入①得，f（x）=2f（2-x）+e x-1+x2，②联立①②解得：f（x）=（2e1-x+e x-1+3x2-8x+8），∴f′（x）=（-2e1-x+e x-1+6x-8）则f（1）=-2，f′（1）=1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是x-y-3=0，故答案为：x-y-3=0．将x用2-x代入f（x）=2f（2-x）+e x-1+x2，建立f（x）与f（2-x）的方程组，解出f（x）的解析式，求出f′（x）、f（1）、f′（1），利用导数的几何意义和点斜式方程求出切线方程．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数解析式的求解，考查运算求解能力，转化思想，属于中档题．三、解答题(本大题共9小题，共85.0分)17.已知等差数列{a n}中，公差d＞0，又a2•a3=45，a1+a4=14（I）求数列{a n}的通项公式；（II）记数列b n=，数列{b n}的前n项和记为S n，求S n．【答案】解：（I）∵等差数列{a n}中，公差d＞0，a2•a3=45，a1+a4=14，∴，解得，或（舍），∴a n=a1+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3．（II）∵a n=4n-3，∴b n===（-），∴数列{b n}的前n项和：S n=b1+b2+b3+…+b n=+++…+==．【解析】（I）等差数列{a n}中，由公差d＞0，a2•a3=45，a1+a4=14，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．（II）由a n=4n-3，知b n==（-），由此利用裂项求和法能求出数列{b n}的前n项和．本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A=acos C1）求角C大小；（2）求sin A-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．解：（1）由正弦定理得sin C sin A=sin A cos C，因为0＜A＜π，所以sin A＞0．从而sin C=cos C，又cos C≠0，所以tan C=1，C=．（2）有（1）知，B=-A，于是sin A-cos（B+）=sin A+cos A=2sin（A+）．因为0＜A＜，所以＜A+＜，从而当A+=，即A=时2sin（A+）取得最大值2．综上所述sin A-cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=．【解析】（1）利用正弦定理化简csin A=acos C．求出tan C=1，得到C=．（2）B=-A，化简sin A-cos（B+），通过0＜A＜，推出＜A+＜，求出2sin （A+）取得最大值2．得到A，B．本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型．19.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若PA=AB，求二面角E-AF-C的余弦值．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA∩AD=A，且PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD∴AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，（2）解：设PA=AB=2，则由（1）知AE、AD、AP两两垂直，∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（，，1），∴=（，0，0），=（，，1），设平面AEF的一个法向量为=（x，y，z），则取z1=-1，得=（0，2，-1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，∴=（-，3，0）为平面AFC的一法向量，∴cos＜，＞==．∵二面角E-AF-C为锐角，∴所求二面角的余弦值为．【解析】（1）四边形ABCD是一条对角线AC等于边长的菱形，从而△ABC为正三角形，BC边上的中线AE也是高线，联系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD内的射影，从而得到AE与PD垂直．（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AF-C的余弦值．解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题．20.已知函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x（1）若x=3是该函数的一个极值点，求函数f（x）的单调区间（2）若f（x）在[1，4]上是单调减函数，求a的取值范围．【答案】解：（1）∵′，∴′，因此a=16∴f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，其定义域为（-1，+∞），′，又∵f（x）定义域为（-1，+∞），当f'（x）＞0，即-1＜x＜1，或x＞3时，函数f（x）单调递增，当f'（x）＜0，即1＜x＜3时，函数f（x）单调递减，∴f（x）的单调递增区间为（-1，1），（3，+∞），单调递减区间为（1，3）．（2）∵f（x）在[1，4]上是单调减函数∴′在[1，4]上恒成立，∴2x2-8x+a-10≤0在[1，4]上恒成立，∴a≤[-（2x2-8x-10）]min，∵在[1，4]上，10≤-（2x2-8x-10）≤18∴a≤10．【解析】（1）利用导数与极值的关系，先求得a，再根据导数与函数的单调性的关系即可判断函数的单调区间；（2）由题意可得′在[1，4]上恒成立，即a≤[-（2x2-8x-10）]min，利用导数求得函数的最小值．本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生恒成立问题的等价转化能力及运算求解能力，属于中档题．21.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（，1），且离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若F1、F2为椭圆的上下两个焦点，A、B为椭圆的两点，且=，求直线AF1的斜率．【答案】解：（1）由题意知：椭圆C：（a＞b＞0）焦点在y轴，椭圆的离心率e===，即a=2c，将点P（，1）代入椭圆方程：+=1，又a2=b2+c2，解得：a=2，b=，c=1，…（4分）故所求的椭圆方程为：；…（6分）（2）延长AF1交椭圆与B′，由对称性可知=′，设A（x1，y1），B′（x2，y2），由=，∴x2=-2x1①…（8分）当直线AB′斜率不存在时，不符合，当直线AB′斜率存在时，设直线AF1的斜率为k，又F1（0，1）∴直线AF1：y=kx+1，∴，消去y，整理得（3k2+4）x2+6kx-9=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴-x1=，-2x12=，∴-2（）2=，整理得：45k2=36，解得：k=±，故直线AF1的斜率为±．…..…..（12分）【解析】（1）椭圆的离心率e===，即a=2c，点P（，1）代入椭圆方程：+=1，又a2=b2+c2，即可取得a和b的值，求得椭圆C的方程；（2）延长AF1交椭圆与B′，由对称性可知=′，即x2=-2x1，直线AF1：y=kx+1，代入椭圆方程，由韦达定理可知x1+x2=，x1x2=，联立即可求得k的值，即可求得直线AF1的斜率．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的共线定理，考查计算能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=lnx+，a∈R．（1）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．【答案】解：（1）∵，∴′．∵f（x）在[2，+∞）上是增函数，∴′≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≤在[2，+∞）上恒成立．令，则a≤[g（x）]min，x∈[2，+∞）．∵在[2，+∞）上是增函数，∴[g（x）]min=g（2）=1．∴a≤1．所以实数a的取值范围为（-∞，1]．（2）由（1）得′，x∈[1，e]．①若2a＜1，则x-2a＞0，即f'（x）＞0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上是增函数．所以[f（x）]min=f（1）=2a=3，解得（舍去）．②若1≤2a≤e，令f'（x）=0，得x=2a．当1＜x＜2a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，2a）上是减函数，当2a＜x＜e时，f'（x）＞0，所以f（x）在（2a，e）上是增函数．所以[f（x）]min=f（2a）=ln（2a）+1=3，解得（舍去）．③若2a＞e，则x-2a＜0，即f'（x）＜0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上是减函数．所以，所以a=e．综上所述，a=e．【解析】（1）先求导数：′．根据f（x）在[2，+∞）上是增函数，得出a≤在[2，+∞）上恒成立．令，则a≤[g（x）]min，从而求得实数a的取值范围；（2）由（1）得′，x∈[1，e]．下面对2a进行分类讨论：①若2a＜1，②若1≤2a≤e，③若2a＞e，分别讨论函数f（x）在[1，e]上的最小值为3列出等式求出a值即可．本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．23.函数y=x3-2x+2过点P（2，6）的切线的斜率为______ ．【答案】1或10【解析】解：求导函数可得，y′=3x2-2，设切点为（x0，y0），则y-y0=（3x02-2）（x-x0），代入P（2，6）可得6-y0=（3x02-2）（2-x0），∵y0=x03-2x0+2，∴6-（x03-2x0+2）=（3x02-2）（2-x0），∴x0=-1或2∴函数y=x3-2x+2过点P（2，6）的切线的斜率为：1或10．故答案为：1或10．求导函数，设切点为（x0，y0），求出切线方程，可得x0，即可求得函数y=x3-2x+2过点P（2，6）的切线的斜率．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，属于基础题．24.若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是______ ．【答案】16【解析】解：∵函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，∴f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，即[1-（-3）2][（-3）2+a•（-3）+b]=0且[1-（-5）2][（-5）2+a•（-5）+b]=0，解之得a=8，b=15，因此，f（x）=（1-x2）（x2+8x+15）=-x4-8x3-14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=-4x3-24x2-28x+8=当x∈（-∞，）∪（-2，）时，f'（x）＞0，当x∈（-2-，-2）∪（，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，）单调递增，在（，-2）单调递减，在（-2，-2）单调递增，在（-2，+∞）单调递减，故当x=-2和x=时取极大值，==16．故答案为：16．由题意得f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=-x4-8x3-14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值本题给出多项式函数的图象关于x=-2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．25.函数f（x）=，x∈[1.5，3]的值域为______ ．【答案】（0，3ln2]【解析】解：函数f（x）=，x∈[1.5，3]，且x≠2．则f′（x）=′′，令f′（x）=0，解得：x=2．∵x∈[1.5，3]，且x≠2．当1.5≤x＜2，f′（x）＜0，故而f（x）是单调递减，且f（x）＞0．当2＜x≤3，f′（x）＞0，故而f（x）是单调递增，且f（x）＞0．∴f（x）＞0．当x=3时，取得最大值为3ln2．得函数f（x）的值域为（0，3ln2]．故答案为：（0，3ln2]．利用导函数研究函数f（x）的单调性，利用单调性求其值域．本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．。

山西省忻州市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 若i为虚数单位，a，b∈R，且 =b+i，则复数a+bi的模等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·惠来月考) 集合，，，则 =（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·慈溪期中) 已知函数f（x），g（x）都是R上的奇函数，且F（x）=f（x）+3g（x）+5，若F（a）=b，则F（﹣a）=（）A . ﹣b+10B . ﹣b+5C . b﹣5D . b+54. （2分）(2017·潍坊模拟) 已知a∈R，则“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2017·甘肃模拟) 设抛物线K：x2=2py（p＞0），焦点为F，P是K上一点，K在点P处的切线为l，d为F到l的距离，则（）A . =pB . =pC . =2pD . =6. （2分）设随机变量，且则P等于（）A . 0.1B . 0.2C . 0.3D . 0.47. （2分）(2020·化州模拟) 若的展开式中各项的系数之和为，则分别在区间和内任取两个实数，，满足的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一上·澄城期中) 已知f：x→x2是集合A到集合B={0，1，4}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有（）A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个9. （2分） 5个人排队，其中甲、乙、丙3人按甲、乙、丙的顺序排队的方法有（）A . 12B . 20C . 16D . 12010. （2分）某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，则可用不等式表示为（）A .B . v≤120（km/h）或d≥10（m）C . v≤120（km/h）D . d≥10（m）11. （2分）(2013·广东理) 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A . 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB . 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC . 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD . 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β12. （2分） (2017高二下·临淄期末) 设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A . f（a）＜eaf（0）B . f（a）＞eaf（0）C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知幂函数y=xn图象过点（2，8），则其解析式是________．14. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c ﹣1），则c=________．15. （1分）设常数a＞0，展开式中x3的系数为，则=________16. （1分） (2015高一下·金华期中) 定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y=lg（10x+10y）（x，y∈R）．对于任意实数a，b，c，给出如下结论：①a*b=b*a；②（a*b）*c=a*（b*c）③（a*b）+c=（a+c）*（b+c）；④（a*b）×c=（a×c）*（b×c）．其中正确的结论是________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2017·孝义模拟) 已知在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为：，曲线C2的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）=8，（1）写出C1和C2的普通方程；（2）若C1与C2交于两点A，B，求|AB|的值．18. （10分） (2018高二上·鞍山期中) 已知双曲线 =1，P为双曲线右支上除x轴上之外的一点．（1）若∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面积．（2）若该双曲线与椭圆 +y2=1有共同的焦点且过点A（2，1），求△F1PF2内切圆的圆心轨迹方程．19. （10分） (2016高二上·临川期中) 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：）20. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ADC=90°，PD=AD=AB=1，DC=2．（1）求证：BC⊥平面PBD；（2）求二面角A﹣PB﹣C的大小．21. （5分）(2017·蔡甸模拟) 已知m＞1，直线l：x﹣my﹣ =0，椭圆C： +y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2 ，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．22. （10分） (2018高三上·成都月考) 已知， .（1）若在恒成立，求的取值范围；（2）若有两个极值点，，求a的范围并证明 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17、答案：略18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共13 页第12 页共13 页21-1、22-1、22-2、第13 页共13 页。

忻州一中2015−2016学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试题一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分) 1. 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若i z +=1，则z i iz⋅+= A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2 2. 已知随机变量ξ~2(3,)N σ，若(6)0.16P ξ>=，则=≤≤)60(ξPA. 0.84B. 0.68C. 0.34D. 0.163. 已知函数2log ,(0)()2,(0)x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则不等式()1f x >的解集为A. (2,)+∞B. (,0)-∞C.(0,2)D. (,0)(2,)-∞+∞4. 若随机变量),(~p n B ξ，91035==ξξD E ，,则=p A. 31 B. 32 C. 52D. 535. 二项式53(2)x x-的展开式中x 的系数等于A. 20-B. 20C. 40D. 40-6. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 （单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A.383cmB.343cm C.323cm D.313cm 7. 在极坐标系中，已知圆C 的方程为)4cos(2πθρ+=，则圆心C 的极坐标为A. )41(π-， B. )431(π， C. )42(π-， D. )432(π， 8. 执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为63，则输入的x 值为A. 1B. 3C. 7D. 159. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin CA=2，21x x =+是否3n ≤1n n =+x输入开始1n =x 输出结束ac a b 322=-，则B ∠=A. 030 B. 060 C. 0120 D. 015010. 现有2位男生和3位女生站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率为A.54 B. 53 C. 52D. 5111. 已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为 A.3B.212. 已知)(x f 是定义在R 上的减函数，其导函数()f x '满足()2()f x x f x +>'，则下列结论正确的是A. 当()2,∞-∈x 时，)(x f >0； 当()+∞∈,2x 时，0)(<x fB. 当()2,∞-∈x 时，0)(<x f ； 当()+∞∈,2x 时，0)(>x fC. 对于任意∈x R ,)(x f >0D. 对于任意∈x R ,)(x f <0二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 已知x ，y 的取值如右表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.95 2.6yx =+，则a = . 14. 已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=为参数）（t t y t x 22221)，点P 是曲线为参数）ααα(sin 22cos 21⎩⎨⎧+=+=y x )上的任一点，则点P 到直线l 距离的最小值为 . 15. 5)2)(12(x x --的展开式中，含4x 项的系数是 .（用数字作答） 16. 某俱乐部有10名队员，其中2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有 种.三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分)17. (本小题满分10分)已知函数)sin()(ϕω+=xAxf（其中ϕω,,A为常数，且22,0,0πϕπω<<->>A）的部分图象如图所示（1）求函数)(xf的解析式；（2）若,23)(=αf求sin(2)6απ+的值．18. (本小题满分12分)等差数列{}n a中，11-=a，公差0≠d且632,,aaa成等比数列，前n项的和为nS（1）求na及nS；（2）设11+=nnn aab，nnbbbT+++=21，求nT.19. (本小题满分12分)如图(1)，等腰直角三角形ABC的底边4AB=，点D在线段AC上，DE AB⊥于E，现将ADE∆沿DE折起到PDE∆的位置（如图(2)）（1）求证：PB DE⊥；（2）若PE BE⊥，直线PD与平面PBC所成的角为o30，求PE长．20. (本小题满分12分)从“神州十号”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所对该种子进行发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败.若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值.（1）求随机变量ξ的数学期望)(ξE ；（2）记“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率)(A P .21. (本小题满分12分)已知函数x xax x f ln )(++=，a ∈R . （1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若)(x f 在区间)2,1(上单调递增, 求a 的取值范围； （3）讨论函数x x f x g -'=)()(的零点个数. 22. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)Q 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点(3,2)P ，记直线PA 、PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程. 附加题（每小题5分，共15分）23. 在等腰直角ABC ∆中，90,2,,ABC AB BC M N ∠===为AC 边上的两个动点，且满足MN =BM BN ⋅的取值范围为 ．24. 已知实数,a b R ∈，若223,a ab b -+=则222(1)1ab a b +++的值域为 ．25. 在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．忻州一中2015−2016学年度第二学期期末考试高二数学(理科)参考答案及评分标准一．选择题(每小题5分，共60分)1-5: CBDAD 6-10: BACCB 11-12:AD 二．填空题(每小题5分，共20分)13. 4.3 14. 2-22 15. 90- 16. 77 三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．（10分）解：由图知，1,22===ωπ故，T A所以，)sin(2)(ϕ+=x x f ………3分 又22()2sin()233f ϕππ=+=，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-．于是f (x )2sin()6x π-．………5分 （2）由3()2f α=，得3sin()64απ-=． ………6分所以，sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ⎡⎤⎡⎤+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ………8分=2112sin ()68απ--=-．………10分18．（12分）解：（1）由题意可得2362a a a =⋅又因为11-=a 2=∴d ………4分32-=∴n a n n n s n 22-= ………6分（2）)121321(21)12)(32(111---=--==+n n n n a a b n n n ………9分)]121321()3111()1111[(2121---++-+--=+++=∴n n b b b T n n12)1211(21--=---=n n n ………12分 19．（12分）(1) ,,DE AB DE PE DE EB ⊥∴⊥⊥.又,PE BE E DE =∴⊥平面PEB .PB ⊂平面PEB ，PB DE ∴⊥. ………5分(2)由(1)知,DE PE DE EB ⊥⊥，且PE BE ⊥，所以,,DE BE PE 两两垂直.分别以,,ED EB EP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设||PE a =，则(0,4,0)B a -，(,0,0)D a ，(2,2,0)C a -，(0,0,)P a ，可得(0,4,),(2,2,0)PB a a BC =--=-. ………7分设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BC n PB n所以(4)0220a y az x y --=⎧⎨-=⎩，取4(1,1,)an a -= ………9分直线PD 与平面PBC 所成的角为o30,且),0,(a a PD -=，o 2221sin 30|cos ,|||2(4)22PD n a a a ∴=<>==-⨯+. ………11分 解之得45a =，或4a =（舍去）.所以PE 的长为45. ………12分 20.(12分) 解：（1）由题意知：ξ的可能取值为0，2，4．“ξ=0”指的是实验成功2次 ，失败2次；()2224111424016339981P C ξ⎛⎫⎛⎫∴==-=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ………2分 “ξ=2”指的是实验成功3次 ，失败1次或实验成功1次 ，失败3次；()3331441111211333312184044.27332781P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯+⨯⨯= ………4分 “ξ=4”指的是实验成功4次 ，失败0次或实验成功0次 ，失败4次；()44404411116174133818181P C C ξ⎛⎫⎛⎫∴==+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ………6分 ξ 0 2 4 P248140811781024********E ξ∴=⨯+⨯+⨯=.故随机变量ξ的数学期望E(ξ)为14881. ………8分（2）∵f(0)=-1∴ f(2)f(3)=(3-2ξ)(8-3ξ)0<，故3823<<ξ ………10分 3840()()(2)2381P A P P ξξ∴=<<===，故事件A 发生的概率P （A ）为8140. ………12分21．（12分）解: （1）22211)(x ax x x x a x f -+=+-=' (x >0)，由已知)(x f 在1=x 处取得极值，所以0)1(='f .解得2=a ，)(x f 在1=x 处取得极小值，2=∴a . ………3分 (2)由（1）知，22211)(x ax x x x a x f -+=+-='(x >0)，因为)(x f 在区间）（2,1上单调递增，所以0)(≥'x f 在区间）（2,1上恒成立.即x x a +≤2在区间）（2,1上恒成立，2≤∴a . ………7分(3)因为x x f x g -'=)()(=232211x x a x x x x x a --+=-+-，0>x ，令0)(=x g 得x x x a ++-=23，令=)(x h x x x ++-23，0>x ， ………8分 则123)(2++-='x x x h )1)(13(-+-=x x ，当）（1,0∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间）（1,0上单调递增， 当）（+∞∈,1x 时，0)(<'x h ，)(x h 在区间）（+∞,1上单调递减，1)1()(max ==∴h x h ， ………9分综上：当1>a 时，函数)(x g 无零点；当01≤=a a 或时，函数)(x g 有一个零点；当10<<a 时，函数)(x g 有两个零点. ………12分22.(12分) 解：（1）由题意可得a b ===所以椭圆C 的方程是22163x y +=． ………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，易得123k k ⋅=．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1122(2),(,),(,)y k x A x y B x y =-. 联立22(2)26y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消y 得2222(21)8860,k x k x k +-+-= ………6分 22121222886,2121k k x x x x k k -∴+==++， 12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k k -∴+=-+-=+-=+， 221212121222(2)(2)[2()4]21k y y k x k x k x x x x k -=-⋅-=-++=+, 21212121222121212222()4684853333()92323y y y y y y k k k k k x x x x x x k k ---++++-∴⋅=⋅===+---++++.……8分令85k t -=，则58t k +=，12232310121tk k t t ⋅=+++． 只考虑0t >的情形，123232334121221010k k t t⋅=+≤+=+++， ………10分当且仅当11t =时，等号成立，此时11528k +==， 故所求直线l 的方程为2(2)y x =-，即240x y --=． ………12分附加题：（每小题5分，共15分） 23.（5分）答案：]2,23[x =x -=2，且20≤≤x 则BM BN ⋅⋅+=（（+=⋅+⋅⋅+⋅+=︒⋅45cos ||||CN BA ︒⋅+45cos ||||BC AM ||||CN AM ⋅-222+-=x x =23222+-）（x ，20≤≤x∴时当22=x ，23)(min =⋅； 时或当20=x ，2)(ax =⋅m BN BM ；∴]2,23[∈⋅.24. （5分）答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡716,0解：222(1)1ab a b +++ab ab ++=4)1(2ab x +=4令||2a 322ab b a b ≥+=+则 得31≤≤-ab ]7,3[∈∴x222(1)1ab a b +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=+-=716,069962x x x x x 25. （5分）答案：200解：等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x ++∈N …，遗漏的项为*+,x n a n ∈N 且9,n 1≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+185902)223(9=+--+=n x ，化简得4494352x n =+≤≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯，.。