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第四节无穷小与无穷大

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高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1

→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1

⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是

→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′

′

四节无穷大与无穷小

四节无穷大与无穷小

例３ 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
若未定式旳分子或分母为若干个因子旳乘积，则 可对其中旳任意一种或几种无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会变化原式旳极限．
二、根据定义证明 : 当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么条件 ,能使 y 104 .
三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 xx
x 0 时 ,这个函数不是无穷大 .
练习题答案
一、1、0；
3、 ；
二、0
x
1. 104 2
例1 证明 : 当x 0时,tan x sin x为x的三阶无穷小.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
1 sin x 1 cos x
lim( x0 cos x x
x2
)
1 lim x0 cos x
sin x lim
x0 x
1 cos x
lim x0
x2
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
k
C
0, k
0,就说 是
的k
阶的
无穷小.
例如，
x2 lim
0，
x0 3x
即 x 2 o(3x) ( x 0).
当 x 0 时，x2 是比 3x 高阶的无穷小;
lim sin x 1， x0 x
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小．

四、五节 无穷小与无穷大极限运算法则

四、五节 无穷小与无穷大极限运算法则
1，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大 ，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
注意 （1）无穷大是变量 不是一个很大的数，它能大于任 不是一个很大的数， ）无穷大是变量,不是一个很大的数 意大的数; 意大的数
0
x−3 例3 求 lim 2 x →3 x − 9
B、x -->∞ 时求函数极限 、
例4
2x − 3 求 lim 2 x →1 x − 5 x + 4
3x3 + 4 x2 + 2 例5 求 lim 3 x→∞ 7 x + 5 x2 − 3
3 x2 − 2 x − 1 例6 求 lim 3 2 x→∞ 2x − x + 5
极限的四则运算法则
定理
设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B, 则 (1) lim f ( x) ± g( x)] = A± B; [ (2) lim f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; [ f ( x) A (3) lim B = , 其中 ≠ 0. g( x) B
第五节 极限的运算法则
本节讲述极限的四则运算法则。为此先介绍两个定理。 定理1：有限个无穷小的和还是无穷小。 有限个无穷小的和还是无穷小 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 （常数是有界的） 推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。 有限个无穷小的乘积是无穷小 推论 有限个无穷小的乘积是无穷小 （无穷小是有界的）

高等数学1.4无穷大与无穷小的关系

高等数学1.4无穷大与无穷小的关系
f ( x) A ( x)
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大 定义: 绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 1 1 称 为 x 0 时的无穷大 如 x 0时， ， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2） 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域 ， 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x

《无穷小于无穷大》PPT课件

《无穷小于无穷大》PPT课件
界变量.（2）当x 0时，f (x)不是无穷大.
证 (1) 任给M 0(无论M多么大），存在k N+ ,
使
xk
1
2k
(0,1).
于是
f
( xk
)
2k
2
,
2
当k充分大时, f (xn ) M . 无界，
(2)
取
xk
1
2k
(k 0,1, 2,3, )
对任意正数 ，当k充分大时, xk ,
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
函数与极限
14
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0.
M
x x0
0, 对
1 M
,
0,使得当0
x x0
时
恒有 f (x) 1 , 由于 f ( x) 0, 从而 1 M .
M
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
函数与极限
15
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小的概念
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值

高等数学 第一章 第四节 无穷小和无穷大

高等数学 第一章 第四节 无穷小和无穷大
x
因此，讨论一般的极限问题，先讨论极限为 0 的问题。
一、无穷小 —— 极限存在的一种最特殊的情形
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
即：如 lim xn 0 ，
n x
{xn }是无穷小量 。 称当n 时，
如 lim f ( x) 0 ， 称当x 时，f ( x)是无穷小量 。 如 lim f ( x) 0 ， 称当x x0时，f ( x)是无穷小量 。
0
证 由无穷大与无穷小的关系，
1 只需证明 是无穷小。 f ( x ) g( x ) 1 1 1 当x x0时, 为无穷小， 极限为 ， f ( x) g( x ) A 1 1 1 从而 也是无穷小. f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
故 f ( x ) g( x )是无穷大。
2
但 y( xk ) 2k sin 2k 0
注意图形：
不是无穷大．
1 1 1 1 y sin ; y x sin ; y sin x x x x
1 例3 证明 lim . x 1 x 1
证
M 0. 要使 1 M , x 1
1 y x 1
1 只要 x 1 , M
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义: 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.
反例
1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x 推论4 若 lim g( x )存在且不为零， ( x )是无穷小， ( x) 则 ( x ) 也是无穷小。

第四节 无穷小与无穷大(Infinitely Small and Infinitely Great)

第四节 无穷小与无穷大(Infinitely Small and Infinitely Great)教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量之间的关系，掌握它们的性质及无穷小的比较。

内 容：1. 无穷小与无穷大2. 无穷小的性质3. 无穷小的比较教学重点: 无穷小量和无穷大量的概念教学难点: 无穷小量和无穷大量有关性质，等价无穷小的应用。

教 具：多媒体课件教学方法: 启发式教学教学过程：1.引入新课:本节根据函数极限的两种特殊结果来给出无穷小和无穷大的定义2.教学内容：一、 无穷小与无穷大1. 无穷小的定义定义1当在给定的()0x x x →→∞或时，()x f 以零为极限，则称()x f 是()0x x x →→∞或下的无穷小量，简称无穷小，记作()()0lim 0(lim 0)x x x f x f x →→∞==或 例如, 函数36y x =-是2x →时的无穷小，而函数12y x=是x →∞时的无穷小。

注意(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆;(2)零是可以作为无穷小的唯一的数.例1 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小？()111y x =- ()224y x =- ()32x y = ()144xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭解 (1) 因为1lim 01x x →∞=-，当x →∞时，11x -为无穷小 (2) 因为()()22lim 240x x →-=，所以当2x →时，24x -为无穷小（3）因为lim 20xx →-∞=，所以当x →-∞时，2x 无穷小 (4) 因为1lim 04x x →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当x →+∞时，14x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为无穷小 2. 无穷大的定义定义2 如果0x x →(或x →∞)时，()x f 无限增大，则称()x f 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大量，简称无穷大，记作()0lim x x f x →=∞(或()lim x f x →∞=∞)。

第四节 无穷小(量)和无穷大(量)

1
无穷小和极限的关系: 无穷小和极限的关系: 定理 变量 y 以A为极限的充分必要条件是：变量 为极限的充分必要条件是： 为极限的充分必要条件是 u 可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即 与一个无穷小量的和。 lim u = A ⇔ u = A+α ， + 其中α 是无穷小 。 证略. 证略 定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述 定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述. 无穷小量的性质： 无穷小量的性质： 定理 1° 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量； ° 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量； 2° 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； ° 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； 3° 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。 ° 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。
9
四、无穷小量的比较
1 例如, 例如 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x x2 2 lim = 0, x 比3 x要快得多 ; 观 x→0 3 x 察 各 sin x sin x与x大致相同 ; lim = 1, 极 x→0 x 限 x 2 lim 2 = ∞ ， x比x 要慢得多 . x →0 x
3、如果 lim
x→0
α
x
k
= C (C ≠ 0, k > 0), 则称α是x的k阶
无穷小.
12
1 1 1 , 例7 当 n → ∞ 时 , , 都是无穷小 , 由于 n n2 n 1 1 1 n = n→∞, n2 = 1 → 0 , n = 1 → 0 , 1 1 1 n n n n n 1 1 1 1 比高阶的无穷小， 故 2 = o( ), 即 2 是 比高阶的无穷小， n n n n
7
三、无穷大量与无穷小量的关系

第四节 无穷大量与无穷小量


二、无穷小量与无穷大量阶的比较
1、无穷小量阶的比较
x2 = 0 lim , lim 3x = ∞ , lim sin x = 1 . 观察 x →0 3x x→0 x 2 x →0 x
两个无穷小比值的极限的各种不同情况, 反映了不 同的无穷小趋于零的“快慢”程度. 在x→0的过程中, x2比3x趋于零的速度快些, 反过来 3x比x2趋于零的速度慢些, 而sin x与x趋于零的速度相仿.
当k充分大时 , y( x k ) > M . ( k ′ = 0,1,2,3,⋯)
π y ( x k ) = 2 kπ + , 2 1 ( 2) 取 x k ′ = 2k ′π
无界， 无界，
当 k ′ 充分大时 , x k ′ < δ ,
但 y( x k ′ ) = 2k ′π sin 2k ′π = 0 < M .
•定理2(等价无穷小替换定理)
β β′ β′ 设α~α ′, β~ β ′, 且 lim 存在, 则 lim = lim . α α′ α′ β β β ′ α′ 证明 lim =lim ⋅ ⋅ α β ′ α′ α β β′ α′ β′ = lim ⋅ lim ⋅ lim =lim . β′ α′ α α′
不是无穷大． 不是无穷大．
一、 无穷小量与无穷大量
例2: 试从函数图形判断下列极限.
(1)
lim tanx,
x→
π
2
x→
lim+ tanx,
π
2
x→
lim− tanx,
π
2
(2)
(3)
x → +∞
lim e x ,
x → −∞
lim e x ,

第四节无穷小与无穷大

lim 0
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0, 总存在
(正数 X ) , 使对
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
则称函数
当
①
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f ( x) ) x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),
(4n 1) 2n M .
2
所以 y 在区间 ( 0, 1 ] 上无界 .
给出数列{ xn} ,
xn
1
n
,
则
lim
n
xn
0
,
但是
lim
n
y(
xn
)
lim(n
n
sin n )
lim0 0 , n
所以 lim y 不能成立 . x 0
思考与练习 P41 题1 , 3
P41 题3 提示:
证明 :
函数
y
1 x
sin
1 x
在区间 ( 0, 1 ] 上无界 ,
但当 x 0 时 , 这函数不是无穷大 .
证.
M
0,取
x0
2
(4n 1)
(0, 1] ,
则
y(
x0
)
(4n
2
其中 n
1) sin
是 大于
(4n 1)
2
M
2
的一个正整数 .
C 显然 C 只能是 0 !
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f ( x) A
x x0
f ( x) A , 其中 为 x x0
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f (2nπ ) = 2 nπ → ∞ (当 n → ∞ )
但 所以
f ( π + nπ ) = 0 2
y
y = x cos x
x → ∞ 时 , f ( x) 不是无穷大 !
o
x
机动
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1 例 . 证明 lim =∞ x →1 x − 1 1 1 证: 任给正数 M , 要使 > M , 即 x −1 < , M x −1 1 只要取 δ = , 则对满足 0 < x − 1 < δ 的一切 x , 有 M 1 y 1 >M y= x −1 x −1 1 = ∞. 所以 lim o 1 x x →1 x − 1
x → x0
f ( x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0 , ∃δ > 0 , 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f ( x) − A < ε
α = f ( x) − A
x → x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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( lim f ( x) = ∞ )
x →∞
若在定义中将 ①式改为 f ( x) > M ( f ( x) < − M ) , 则记作 lim f ( x) = +∞ ( lim f ( x) = − ∞)
x → x0 ( x →∞ ) x → x0 ( x →∞ )
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注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 f ( x) = x cos x , x ∈ (−∞ , + ∞ )
说明: 若 lim f ( x) = ∞ , 则直线 x = x 0
x → x0
为曲线 y = f (x) 的铅直渐近线 .
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渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
1 为无穷小 ; 若 f (x) 为无穷大, 则 f ( x) 1 为无穷大. 若 f (x) 为无穷小, 且 f ( x) ≠ 0 , 则 f ( x)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
Th1 Th2
思考与练习 P41 题1 , 3
作业 P41 2 (1) , (2) ; 7
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x→ x0
lim f Cx) = 0 (
∀ ε > 0 , ∃δ > 0 ,
当 0 < x − x0 < δ 时,
fC )−0 <ε (x
显然 C 只能是 0 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x → x0
lim f ( x) = A
证: lim f ( x) = A
二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在 δ > 0 (正数 X ) , 使对 一切满足不等式 0 < x − x0 < δ ( x > X ) 的 x , 总有
f ( x) > M
①
则称函数 f ( x) 当 x → x0 ( x → ∞ ) 时为无穷大, 记作
x → x0
lim f ( x) = ∞ .
x →1
1 1 lim = 0 , 函数 当 x → ∞ 时为无穷小; x→ ∞ x x 1 1 lim = 0 , 函数 当 x → −∞ 时为无穷小. x→ − ∞ 1 − x 1− x
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定义1. 若 x → x0 (或 x → ∞ ) 时 , 函数 f ( x) → 0 , 则 则称函数 f (x) 为 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 . 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为
第四节 无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
第一章
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一、 无穷小
定义1 . 若 x → x0 时 , 函数 f ( x) → 0 , 则称函数 f (x) (或x → ∞) 为 x → x0 时的无穷小 . (或x → ∞) 例如 :
lim ( x − 1) = 0 , 函数 x − 1 当 x → 1 时为无穷小;