有限元计算

有限元计算方法嘿，咱今儿就来说说这有限元计算方法。

你知道吗，有限元计算方法就像是一个超级厉害的魔术师！它能把那些复杂得让人头疼的问题，变得清晰明了起来。

想象一下，有一个庞大的结构体，就像一个巨大的拼图。

我们想要知道这个结构体在各种情况下的表现，比如承受压力啦、受热啦等等。

要是靠我们一点点去分析，那可不得累坏了呀。

但有限元计算方法就不一样啦，它能把这个大拼图拆分成好多好多小的部分，每个小部分都相对简单。

然后呢，再通过巧妙的计算和组合，把这些小部分的信息汇总起来，哇塞，我们就得到了整个结构体的情况！这难道不神奇吗？它就像是一个智慧的军师，在面对复杂的战局时，能冷静地分析出每一个细节，然后给出最佳的策略。

比如说在工程领域，工程师们用它来设计各种坚固又可靠的建筑、桥梁。

没有它，那些伟大的工程怎么能建得起来呢？而且啊，有限元计算方法可不是一成不变的哦。

它就像一个不断成长的孩子，随着科技的发展和人们对它的深入研究，它也在不断进步呢。

它变得越来越强大，能解决的问题也越来越多。

你看，在汽车制造中，它能帮助设计师们优化车身结构，让车子既轻便又安全；在航空航天领域，它能确保飞行器在极端环境下也能稳定运行。

这不就像是给这些领域注入了一股神奇的力量吗？再说说我们的日常生活，说不定你身边的某个东西，就是通过有限元计算方法设计出来的呢。

也许是你每天坐着的椅子，也许是你走的那座桥，也许是你开的车子。

它无处不在，却又常常被我们忽略。

那有限元计算方法难不难呢？嗯，说难也不难，说简单也不简单。

这得看你有没有足够的耐心和兴趣去钻研啦。

就像学骑自行车一样，一开始可能会摔倒，但只要坚持下去，总会找到平衡的感觉，然后就能自由驰骋啦。

总之呢，有限元计算方法真的是个非常非常重要的工具。

它就像一把钥匙，能打开无数知识和创新的大门。

难道你不想去了解一下它的神奇之处吗？还等什么呢，赶紧去探索吧！。

二维模型有限元计算
哎，说起这二维模型有限元计算啊，咱北京话里也得讲究个明白。

这有限元计算嘛，说白了就是给那复杂的工程问题搭个数字的小舞台，让它在这舞台上按规矩演一出戏。

咱先说说这二维模型，那就是个平面的图纸，上面标着各种参数和条件，就像咱老北京胡同里的地图，一眼就能看出哪儿是门脸儿，哪儿是四合院。

有了这二维模型，咱们就能把实际问题简化成平面图上的计算问题。

再来说说有限元这回事儿。

有限元啊，其实就是把这整个模型切割成一小块儿一小块儿的，每一块儿咱都给它定个规矩，定个条件，然后看看这些小块儿之间是怎么互相影响的。

这就好比咱胡同里的大爷大妈们，虽然各自有各自的生活，但一个胡同里的，总有个互相照应的时候。

这计算的过程啊，就是给这些小块儿们定个规矩，让它们按照规矩来“演戏”。

演完了，咱就能知道这整个模型在特定条件下的表现是啥样了。

这就好比咱胡同里的大爷大妈们，按照规矩生活，最后整个胡同就呈现出一种和谐的气氛。

所以啊，这二维模型有限元计算，就是咱工程领域里的一种实用工具，让复杂的问题简单化，让咱们能更好地理解和解决这些问题。

咱得好好利用这个工具，让它为咱们的工作服务。

四种常用有限元计算软件的单元方向，材料方向以及复合材料定义的比较：一． MSC.PATRAN/NASTRAN单元方向：PATRAN中的单元坐标系是由单元节点的顺序来确定的（X轴平行与单元的其中一条边，Y轴与之垂直，Z轴是它们的差乘）。

应力应变的输出均按照其每个单元所固有的单元坐标系的方向来输出，但不从坐标系上区分正负。

正负始终是根据受拉为正，受压为负来判断的。

材料方向：PATRAN中定义的材料方向是一个向量，也即0度铺层方向。

材料坐标系的方向决定着各向异性材料的材料数据方向，是为了确定材料数据中E1的方向，E2与之垂直，E3是前两个的差乘。

PATRAN中材料方向并不决定应力应变的输出方向。

（各向同性材料而言其材料方向没有实际意义）复合材料：复合材料中定义的层偏转角实际上是指该层的E1方向为将材料方向偏转这个度数后的方向。

（若以单元法方向为外向，则先输入的铺层为最外层）。

结果里各个层输出的都是主轴方向的应力应变。

二． MSC.MARC单元方向(同PATRAN)：MARC中的单元坐标系是由单元节点的顺序来确定的。

应力应变的输出均按照其每个单元所固有的单元坐标系的方向来输出，但不从坐标系上区分正负。

正负始终是根据受拉为正，受压为负来判断的。

材料方向(同PATRAN)：MARC中定义的材料方向是一个向量，也即0度铺层方向。

材料坐标系的方向决定着各向异性材料的材料数据方向是，为了确定材料数据中E1的方向，E2与之垂直，E3是前两个的差乘。

MARC中材料方向并不决定应力应变的输出方向。

（各向同性材料而言其材料方向没有实际意义）复合材料（与PATRAN有区别）：复合材料中定义的层偏转角实际上是指该层的E1方向为将材料方向偏转这个度数后的方向。

（若以单元法方向为外向，则先输入的铺层为最内层）三． ABAQUS材料方向（有区别）： ABAQUS软件与上述两种软件最大的不同在于其单元坐标系就是 材料坐标系，局部坐标的1和2轴位于壳平面内，1轴是整体坐标的1轴在壳元上的投影（若整体坐标的1轴垂直于壳面则用整体坐标的3轴投影）。

有限元计算原理
有限元计算原理是一种工程分析的方法，用于求解各种结构及连续体的力学问题。

其基本思想是将结构或连续体分割成有限数量的小单元，然后通过对这些小单元进行计算，再将其组合起来求解整体问题。

这种方法可以将结构或连续体的力学行为分析得非常精确，可以获得结构的应力应变分布、位移分布等信息。

有限元计算的原理可以概括为以下几个步骤：
1. 网格划分：将结构或连续体划分成许多小单元，即有限元，这些小单元通过节点连接起来构成整个结构。

2. 求解力学方程：根据结构或连续体的几何形状和物理特性，建立相应的力学方程组。

通常采用弹性力学理论来描述结构或连续体的力学行为。

3. 边界条件的处理：给定结构或连续体的边界条件，如固支、约束力等，在有限元网格中对应的节点上施加相应的约束。

4. 单元刚度矩阵的组装：通过计算每个小单元的刚度矩阵，将其组装成整个结构或连续体的整体刚度矩阵。

5. 单元荷载向量的组装：根据给定的荷载条件，在每个小单元上计算相应的荷载向量，将其组装成整个结构或连续体的荷载向量。

6. 求解位移和应力：根据组装好的整体刚度矩阵和荷载向量，通过求解线性方程组，得到结构或连续体中每个节点的位移和应力。

7. 后处理：根据求解得到的位移和应力，可以计算出结构或连续体的各种物理量，比如应变、应力、变形等。

通过这种有限元计算的方法，可以对各种复杂的结构或连续体进行力学分析和优化设计。

曲轴有限元计算小结：由于曲轴的静强度计算主要用于概念设计阶段对曲轴进行评价，或者用于改进设计时对改进前后曲轴强度变化趋势的比较，因此采用简单的二分之一拐曲轴模型进行有限元应力分析是最经济可行的。

模型：二分之一曲拐模型（曲柄销轴颈及主轴颈各取一半宽度）网格：在不能实现完全六面体网格的情况下，采用二阶10节点的四面体网格是可以达到计算精度要求的。

具体步骤：一、前处理1. 将几何模型导入Hypermesh软件，切割实体（solidedit）→产生1/2曲拐→1/4曲拐（删除多余模型）→另存为**.hm2．去除实体，仅保留面。

3．进行拓扑修复和特征简化（将螺栓孔去除，创建缺失面），注意曲柄销处小台阶面的处理（去除台阶面，上移找平）。

4．分区处理根据规范，将曲轴主轴颈和连杆轴颈处分区处理，注意：要考虑120°加载面及宽度（轴瓦宽度），先切好该区域，再划分2D、3D网格。

另外，非圆角处网格可适当加大，可画圆分区处理。

二、网格圆角特征线表面上均布4-8层网格可满足计算精度，推荐5-7层。

推荐网格密度：圆角处网格单元尺寸2-2.5mm，其他非重点区域可适当加大。

对于1/2网格曲拐模型，网格数量控制在10万以内。

网格质量保证：1. 画好所有二维网格后，在Hypermesh中用qualityindex检验，调整至无红色网格；2. 生成实体三维网格后，在Hypermesh中用elementcheck检验，调整至无红色网格；3. 从Hypermesh中以*.inp格式输出网格模型，导入ABAQUS中用Verify mesh 进行Statistical checks和Analysis cheks检验，确保无Analysis errors，Analysis warnings应尽量少，尤其在应力考核区域不应出现Analysis warnings网格。

4. 检验判据：通常取软件默认值。

三、载荷采用目前工程上公认较为合理的轴向二次抛物线，径向120°余弦分布载荷，分别施加于曲柄销轴颈和主轴颈表面。

电磁场计算中的有限元方法教程引言电磁场计算是电磁学领域中重要的研究内容之一，广泛应用于电气工程、通信工程、电子技术等领域。

而有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值计算技术，可以解决电磁场计算中的复杂问题。

本文将介绍有限元方法在电磁场计算中的基本原理、步骤和应用。

一、有限元方法简介有限元方法是一种通过将待求解区域划分成有限数量的小单元，利用单元上的近似函数构造整个区域上的解的数值计算方法。

有限元方法的基本思想是在每个小单元内近似解以建立一个代数方程组，通过将这些方程组联立得到整个区域上的解。

有限元方法具有处理复杂几何形状、边界条件变化和非线性问题的优势，因此被广泛应用于工程和科学计算中。

二、电磁场方程建立在电磁场计算中，关键是建立合适的电磁场方程。

常见的电磁场方程包括静电场方程、恒定磁场方程、麦克斯韦方程等。

根据具体情况选择适用的方程，并根据材料的性质和边界条件确定相应的方程形式。

三、有限元网格划分有限元方法需要将计算区域划分为有限数量的小单元。

在电磁场计算中，通常采用三角形或四边形单元来进行划分，这取决于计算区域的几何形状和分辨率要求。

划分过程需要考虑电场变化的特点和计算精度的需求，合理划分网格对精确计算电磁场起着重要的作用。

四、有限元方程的建立有限元网格划分完成后，需要建立相应的有限元方程组。

以求解静电场问题为例，我们可以利用能量最小原理、偏微分方程等方法建立有限元方程组。

有限元方程组的建立需要考虑电场的连续性、边界条件和材料特性等。

五、有限元方程求解有限元方程组的求解是求解电磁场分布的核心任务。

根据具体的方程形式和计算区域的几何形状，可以采用直接法、迭代法、近似法等方法来求解方程。

在电磁场计算中，常用的求解算法包括高斯消元法、迭代法、有限元法和有限差分法等。

六、计算结果的后处理在得到有限元方法计算的电磁场分布结果后，需要进行相应的后处理，进行数据分析和可视化。

1、计算原理任何有限元模拟的第一步都是利用一个有限单元的集合离散结构的实际几何形状,每个单元（element）代表这个实际结构的一个离散部分.这些单元通过公用的节点（node）来连接.节点和单元的集合成为网格（mesh）.在一个特定网格中的单元数目称为网格密度（mesh density）.在ansys计算过程中,程序以每个节点的每个自由度建立平衡方程,以节点的位移作为未知量,利用矩阵求解节点的位移.一旦节点位移求出,整个结构的应力和应变都很容易计算出来.这种计算的过程和方法,数学上称之为隐式方法.从上叙述来看,整个计算过程中就是求解n个n元一次方程组（n表示节点数量）,当计算模型复杂而且庞大时,隐式求解方法的计算量还是相当大的.与之相对应的,显式求解方法.显式求解方法是通过动态方法从一个增量步前推到下一个增量步得到的.具体显式求解方法和隐式求解方法例子如下：（1）隐式求解（2）显式求解隐式求解中,计算的精度完全控制于计算步数,在一般的计算软件中（flac、abaqus）,软件均是利用不平衡力来控制计算步数（当不平衡力<10-5时,停止计算）.不平衡力＝A+B.A表示施加在节点上的集中力；B表示：在n步数下,根据第n步计算出来的应力,求出节点的内力.Flac软件中 B,以上公式是根据虚功原理推倒而得到.具体推倒过程见《flac 原理》.2、Ansys计算注意事项：计算单位、参数、荷载、标准值、设计值,计算过程中系数的加入. （1）b eam单元对于beam单元.Ansys软件中我们常用的有两种梁单元：beam188和beam4.这两种单元均是三维的梁单元,每个节点都具有6个自由度（ux、uy、uz、mx、my、mz）,并且单元坐标系x轴是i点指向j 点.Beam188单元是基于铁木辛哥理论的梁,beam4单元是我们常用的经典结构力学梁.（铁木辛哥理论考虑了梁的剪切变形,而我们常用的经典结构力学梁只考虑了弯矩对结构的变形影响）所以说,beam188可以更精确的计算梁单元,因此我们结构计算中,一般都采用beam188单元.当然还有beam189单元,189单元属于三维二次的梁单元（beam188属于三维一次梁单元）,精度比beam188更加高.定义beam188单元,一般采用如下形式：!定义单元/prep7 !进入前处理et,1,beam188 !定义单元188号标号为1!定义材料属性mp,ex,1,2.55e7 !定义弹性模量(kn/m2)mp,nuxy,1,0.167 !定义泊松比mp,dens,1,2.5 !定义密度（KN/N*KG/M3）nummrg,all ！合并重合节点numcmp,all ！压缩编号!定义梁截面SECTYPE,1,BEAM,RECT,A1,0 ! 1表示梁编号 ; RECT表示是矩形梁（还有其他t型等等,具体见ansys帮助）; A1 表示梁的名称 ; 0表示薄壁梁单元网格划分精细程度（0～5）. SECDATA,1,3,4,12 !1表示梁b ; 3表示梁h ; 4和12定义对应宽长等分份数.SECOFFSET,CENT !cent质心 ; shrc剪切中心 ; origin原始中心 ; user用户定义;!注意：当梁单元和壳单元一起使用时,可以设置梁单元的偏心,使梁的一面和壳的一面共面.（secoffset,user,offset－y,offset－z）,如下图：!划分网格LSEL,S,,,1 !选中编号为1的线.LATT,1,1,1,,,,1 !mp,r,et,,方向点,,SECTYPE截面号.LESIZE,ALL,0.2,,,,,,,1 !0.2是单元大小,1是确认细分规则.LMESH,ALL !用beam单元离散模型,形成网格.!对于划分网格,空间的beam单元,由于需要确定b、h的方向,ansys软件利用方向点来控制b、h的方向.方向点的编号最好定义的很大,如果定义太小,会影响后面的加载.具体方向点如何控制见上面的latt命令和ansys帮助.自己试两下就知道怎么用了. AllsFINISH!加载加约束/SOLUACEL,,,9.8 !重力加速度.注意方向,数值和整体坐标相反,比如重力指向z轴负向,则为正值.SFCUM,ALL,ADD !设置单元荷载是叠加还是替代,只对加在单元和节点上的荷载有效,对于加在面、线上的荷载,都只有替代作用（对同一个面,第二次加的荷载替代第一次加的荷载）!对于beam单元,只能根据sfbeam命令增加均布荷载①等大小的均布荷载.Lsel,s,,,1ESLL,S,1sfbeam,ALL,1,PRES,-161.5 !1表示作用在beam单元的①面上(如下图,③面表示beam单元的轴向,②面表示单元侧面,①面表示beam单元顶面),-161.5表示均布荷载大小,正负号可以控制作用力的方向.②梯形均布荷载Sfbeam命令是对每个单元进行加载.如果一根梁承受10～100的梯形均布荷载,而且这根梁被分成了10个beam单元,这样施加荷载就非常困难.因此我将这种加载过程写成命令流,让软件自动进行加载.命令流如下：LSEL,S,,,1 !选中要加载的那根梁（线）ESLL,S,1 !选中属于这根梁（线）的beam单元*GET,Nelem,ELEM,,COUNT, , , , !获得当前所选单元个数,赋予参数Nelem*GET,Ne,ELEM,,NUM,MIN, , , , !获得当前所选单元最小编号,赋予参数Ne*DO,I,1,Nelem !循环加载,循环次数＝单元个数ESEL,S,,,NeNSLE,S,1*GET,Nnode,NODE,,COUNT, , , , !获得当前所选节点个数,赋予参数Nnode*GET,Nn,NODE,,NUM,MIN, , , , !获得当前所选节点最小编号,赋予参数NnNN1X=NX(NN) !将nn节点的x坐标赋予NN1X(NX表示x坐标,NY表示y坐标) NN=NDNEXT(NN) !NN=当前所选节点的下一个编号NN2X=NX(NN) !将nn节点的x坐标赋予NN2Xsfbeam,ALL,1,PRES,-1630.76/3.23*(3.23-NN1X),-1630.76/3.23*(3.23-NN2X)!以上荷载公式应根据实际情况进行调整LSEL,S,,,1ESLL,S,1NE=ELnext(NE) !NE=当前所选单元的下一个编号*ENDDO!对于此命令流,根据不同的实际情况,ABC部分需要修改,其他不需要修改.!后处理 (XY平面) （大拇指指向y，就是my）etable,ImY,smisc,2 !显示弯距etable,JmY,smisc,15PLLS,IMY,JMYETABLE,IFX,SMISC,1 !显示轴力ETABLE,JFX,SMISC,14PLLS,IFX,JFXETABLE,IFY,SMISC,5 !显示剪力ETABLE,JFY,SMISC,18PLLS,IFY,JFY!注意：beam单元的结果输出都是以单元坐标系输出的,且拉为正、压为负.前面我们已经知道,单元坐标系x轴就是i点指向j点,其他坐标可以根据整体坐标系推出.详细内容见ansys 帮助.（2）S hell单元对于shell单元应用的范围,ansys软件并没有强制规定,只是从字面上区分了薄壳和厚壳.我以前看过一本电子教案《仿真在线》,里面说一般规定壳体的主尺寸是厚度的10倍左右,都是可以用壳体来模拟的.一般高度与跨度之比（非与单元尺寸比较）<1/15,可以当作薄壳处理,>1/15 & <1/10,可以当作厚壳来处理.shell63是薄壳单元,他包含弯曲和薄膜效应,但是忽略横向剪切变形；shell43,shell143,shell181,shell91,shell93和shell99,都属于厚壳单元,不仅有弯曲、薄膜效应,他也包含了横向剪切效应.横向剪切被表示为整个厚度上的常剪切应变.这种一阶近似只适用于中等厚度壳体.线形分析时,如果不包含横向剪切应变,使用63,163单元;如果横向剪切变形重要,则遵守以下原则:均匀材料,使用43,93,143单元,复合材料使用91,99,181.我们土木工程中,一般利用shell43计算.!定义单元/prep7 !进入前处理et,1,shell43 !定义单元43号标号为1!定义材料属性mp,ex,1,2.55e7 !定义弹性模量(kn/m2)mp,nuxy,1,0.167 !定义泊松比mp,dens,1,2.5 !定义密度（KN/N*KG/M3）!定义墙体厚度!①等厚度板R,1,2 !1表示编号,2表示厚度（m）R,2,3Asel,s,,,1 !选中1号面Aatt,1,1,1 !mp,real,typeESIZE,0.2 !定义单元大小为0.2左右MSHAPE,0,2D !规定划分单元形状,0表示四边形（1表示三角形）,2d表示划分面（3d表示划分体）MSHKEY,2 !指定是自由划分还是映射划分,2表示：尽量用映射划分,不符合要求就自动使用自由划分,具体参见ansys帮助的eshkey命令. AMESH,ALL !划分面单元.！！！注意：在网格剖面方面，最好全部用四边形，而且形状尽量规则、均匀！因为将来后处理内力提取的时候，提取出来的力和单元的大小有直接的关系。

一个最基本的有限元计算程序胡金山,朱青云,余治国（西安空军工程大学工程学院,西安710038）Sdf我们在学习有限元课程时做的另一个作业，用C/C++编程求解了一个简单的有限元问题，可以作为有限元学习的编程实例，以更好地理解有限元理论，并为进一步使用大型有限元软件打下基础。

本文所涉及的有限元基本理论请参考章本照先生编著的<<流体力学中的有限元方法>>, PP.156-165。

源代码下载：FemSrc.zip一．二维传热问题二．解题过程1、对结构进行离散化，将待分析的结构物从几何上用线或面划分为有限个单元，按结构物的不同和分析要求，选取不同形式的单元，在单元的边界上设置节点，并书写编号。

计算节点坐标2、单元分析：设法导出单元的结点位移和结点力之间的关系，建立单元刚度矩阵。

单元刚度矩阵的计算：对于方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=Ω∈=∂∂+∂∂ΓΓg n u u u y x p y u xu 21||),(2222采用 Galerkin 弱解表达式⎰⎰⎰⎰⎰ΩΓΩΓ=Ω+Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂2)()(uud g uud p d y uu y u xuu x u δδδδ （*） 这里采用三节点的三角形单元，单元的基函数共有三个，选用插值多项式)3,2,1()()()()(=++=Φi yc x b a e i e i e i e i分别代入单元三个节点的坐标可解得 )(1)(1)(10011)()()()()()()()()()()()()()()()()(e j e k e i e k e j e i e j e k e k e j e ke k e j e j e i e i e i x x Dc y y D b y x y x D y x y x y x D a -=-=-== 其中 )()()()()()()(2111e e k e ke j e j e i e i A y x y x y x D ==[]))(())((21)()()()()()()()()(e i e k e i e j e i e k e i e j e x x y y y y x x A -----= e 单元中的近似函数为∑Φ=)()()(e i e i e u u （**）将式（*）中的积分区域取为e 单元的区域)(e Ω，并将单元中的近似函数表达式（**）代入，并注意到)(e i uu δ的任意性，可得⎰⎰⎰⎰⎰ΩΓΩΓΦ+Φ-=∂Φ∂∂Φ∂+∂Φ∂∂Φ∂)()(2)()()()()()()()()(e e e d g dxdy p dxdy y y x x u e i e i e j e i e j e i e j记=)(e ij A ⎰⎰Ω∂Φ∂∂Φ∂+∂Φ∂∂Φ∂)()()()()()(e dxdy yy x x e j e i e j e i （***） =)(e i f ⎰⎰⎰ΩΓΓΦ+Φ-)()(2)()(e e d g dxdy p e i e i （****） 将单元基函数的具体表达式（*）代入（***）式中，可得)()()()()()()(e e j e i e j e i e ij A c c b b A +=通过等参变换（具体见文献1第201页），可得⎰∆+++=-=！)2(!!!2321)(n m l n m l A d p f n m l e i σξξξ 这里指p 为常数的情况，A 为三角形单元的面积。

1.有限元计算原理与方法有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体，这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上，计算在外荷载作用下各节点的位移，进而计算各单元的应力和应变。

用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。

1.1. 有限元分析的基本理论有限元单元法的基本过程如下：1.1.1.连续体的离散化首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成，相邻单元之间利用单元的节点相互连接而成为一个整体。

单元可采用各种类型，对于三维有限元分析，可采用四面体单元、五西体单元和六面体单元等。

在Plaxis 3D Foundation程序中，土体和桩体主要采用包含6个高斯点的15节点二次楔形体单元，该单元由水平面为6节点的三角形单元和竖直面为四边形8节点组成的，其局部坐标下的节点和应力点分布见图3.1，图3.1 15节点楔形体单元节点和应力点分布界面单元采用包含9个高斯点的8个成对节点四边形单元。

在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方，应适当将单元划分得密集些；若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：若有面约束，则应把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理；若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布荷载等效地移置到有关节点上去。

最后，还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。

由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。

因此，用有限元法计算获得的结果只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高。

与位移不同，应力和应变是在Gauss 积分点(或应力点)而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通过对桩截面进行积分褥到。

1.1.2. 单元位移插值函数的选取在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移作为未知量，即{}[u ,v ,w ,...]e T i i i δ=，单元体内任一点的位移为{}[,,]Tf u v w =。