近世代数基础测验卷

{ 1、设置换σ 和τ 分别为：σ = ⎡⎢ ，τ = ⎡⎢⎥ ，判断 和 的奇偶性，并把 和12345678 ⎤ 12345678 ⎤⎣64173528⎦⎣23187654⎦矩阵，且 A = B + C 。

若令有 A = B + C ，这里 B 和 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 2 2 ..世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中 只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无 分。

1、设 A ＝B ＝R(实数集)，如果 A 到 B 的映射 ϕ ：x→x ＋2，∀ x∈R ，则 ϕ 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 A×B 中含有（ d ）个元素。

A 、2 B 、5 C 、7 D 、103、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。

5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合 A = {- 1,0,1}； B = 1,2}，则有 B ⨯ A = 。

2、若有元素 e∈R 使每 a∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环。

近世代数测验题一、填空题（42分）1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 时， 也满足结合律；当 时， 也满足交换律。

2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ；3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = ；4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与 同构；若n a =||， 则a 与 同构；5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 ；子群有 ；6、n 次对称群n S 的阶是 ；置换)24)(1378(=τ的阶是 ；7、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2314432114324321βα，，则=αβ ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ ；9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= ；10、任意一个群都同一个 同构。

二、证明题（24）1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程e x n=。

2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。

3、 证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2，则G 必为交换群。

二、解答题（34）1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。

2、 写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。

参考答案：一、填空题1、满足结合律； 满足交换律；2、11--a b ；3、e ；4、整数加群；n 次单位根群；5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ；6、n!;47、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23144321 8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已知||n G =，|a|=k,则k|n令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(即G 中每个元素都满足方程e x n =2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,；证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,H 是G 的子群，有H ab ∈K 是G 的子群，有K ab ∈Q ab ∈∴Ha Ka H a H a ∈∈∈∈∀-11，可知由定理且，则综上所述，H 也是G 的子群。

一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、(从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。

(A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。

(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。

(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分） （请将正确答案填入空格内）1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。

2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅当 。

3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:A ～B ⇔秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。

三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）1、设G 是群，∅≠H，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ）2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。

( )3、商环6Z Z 是一个域。

（ ）4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -， 则H G 。

（ ）5、任意群都同构于一个变换群。

（ ）四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、找出6Z 的全部理想，并指出哪些是极大理想。

近世代数试卷1.以下关系中，哪个是实数集的元间的等价关系？（ D ）A.关系～：a ～b ?a 2+b 2=1B.关系～：a ～b ?a ≤bC.关系～：a ～b ?a =2bD.关系～：a ～b ?a =b2.设A 是区间［0，1］上全体实函数组成的集合，规定：σ（ f （x ））=（x 2+1） f （x ）,?f （x ）∈A,则σ是A 的（ A ）A.满变换B.单变换C.⼀⼀变换D.不是A 的变换3.在有理数集Ｑ上定义代数运算a b =（a +b ）2，则这个代数运算（）A.既适合结合律⼜适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律⼜不适合交换律4.下列集合对所给运算作成群的是（ A ）A.全体实数对普通数的加法B.全体实数对普通数的减法C.全体实数对普通数的乘法D.全体实数对普通数的除法5.设?∈???? ??=Z b a b a R ,00，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是（） A.有单位元的可换环 B.⽆单位元的可换环C.⽆单位元的⾮可换环D.有单位元的⾮可换环1.设A ={a ,b ,c ,d },则A 的⼀⼀变换共有______个.（ C ）4!A.4B.16C.24D.64B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律⼜不适合交换律3.设A ={所有有理数x }，A 的代数运算是普通加法，则以下映射作成A 到A 的⼀个⼦集A 的同态满射的是（ B ）A.x →|x |B.x →2xC.x →x 2D.x →|x|4.在⾮零复数乘法群C *中，阶为2的元有____C__个.（）A.0个B.1个C.2个D.3个5.设M 2（R ）=?∈???? ??为实数域R ,R b a,00b a 按矩阵的加法和乘法构成R 上的⼆阶⽅阵环，那么这个⽅阵环是（）A.有单位元的交换环B.⽆单位元的变换环C.⽆单位元的⾮交换环D.有单位元的⾮交换环1.以下关系中，哪个不是所给集合元间的等价关系?（ C ）A.在有理数集Q 中关系～：a ～b ?a -b ∈ZB.在复数集C 中关系～：a ～b ?|a |=|b |C.在实数集R 中关系～：a ～b ?a ≤bD.在实数集R 中关系～：a ～b ?a =b2.设A =Z ，D =Z +，σ∶n |→?<--≥+0,120),1(2n n n n 则σ是Z 到Z +的（）A.单射B.满射C.⼀⼀映射D.不是映射3.在实数集R 中定义代数运算aob =a +b +ab ，则这个代数运算（）A.既适合结合律⼜适合交换律D.既不适合结合律⼜不适合交换律4.下列集合对所给运算作成群的是（ C ）A.⾮零有理数的全体Q *对普通数的加法B.⾮零有理数的全体Q *对普通数的减法C.⾮零有理数的全体Q *对普通数的乘法D.⾮零有理数的全体Q *对普通数的除法5.设R =?∈???? ??Z d c b a d c b a ,,,，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是（）A.有单位元的可换环B.⽆单位元的可换环C.⽆单位元的⾮可换环D.有单位元的⾮可换环1. 设集合A 中含有3个元素，集合B 中含有4个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有______个元素。

近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ ）6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（ ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（ ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（ ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，abba b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设人=B=R (实数集)，如果A 到B 的映射：x-x+2,xCR,则是从A 到B 的() A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合AXB 中含有()个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b,a,bCG 都有解，这个解是()乘法来说 A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数() A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是门的() A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 1、设集合A1,0,1;B1,2,则有BA 。

2、若有元素eCR 使每aCA,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个。

4、偶数环是的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个。

6、每一个有限群都有与一个置换群。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是,元a 的逆元是。

8、设I 和S 是环R 的理想且ISR,如果I 是R 的最大理想，那么 9、一个除环的中心是一个。

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合M m {0,1,2,,m1,m}(m1),定义M m 中运算“m ”为a m b=(a+b)(modm),则(M m,m)是不是群，为什么？四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、设G 是群。

近世代数考试试题题库近世代数是一门研究代数结构的数学分支，它主要研究群、环、域等代数结构的性质和它们之间的关系。

以下是一份近世代数考试试题题库的示例内容：一、选择题1. 以下哪个不是群的公理？A. 单位元存在性B. 可逆性C. 交换律D. 结合律2. 一个集合G，配合一个二元运算*，若满足以下条件，则G是一个群：A. 存在单位元B. 每个元素都有逆元C. 运算满足结合律D. 所有上述条件3. 在群G中，若a属于G，a的阶是最小的正整数n，使得a^n等于单位元，那么a的阶是：A. 1B. nC. 0D. G的阶4. 以下哪个是有限群的拉格朗日定理的表述？A. 群的子群的阶总是群的阶的因子B. 群的子群的阶等于群的阶C. 群的子群的阶总是群的阶的倍数D. 群的阶总是其子群的阶的倍数5. 环R中，若存在单位元1，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b=b*a，则R是一个：A. 群B. 域C. 交换环D. 模二、填空题6. 群的______性质保证了每个元素都有逆元。

7. 一个有单位元的结合环，如果其每个非零元素都有逆元，则这个环称为一个______。

8. 一个环的加法群是阿贝尔群，如果它的加法运算满足______律。

9. 一个环R中，如果a^2 = a对于所有a属于R，则R被称为______环。

10. 一个域的特征是2，这意味着域中1+1=______。

三、简答题11. 解释什么是子群，并给出一个不是子群的例子。

12. 描述拉格朗日定理，并说明它在群论中的重要性。

13. 什么是环的雅各比恒等式，并解释它在交换环中的意义。

14. 举例说明什么是有限域，并讨论它的性质。

15. 解释什么是主理想环，并讨论它与环的整性之间的关系。

四、证明题16. 证明：如果H是群G的一个子群，那么G/H的阶等于[G:H]。

17. 证明：任何群的子群都是阿贝尔的当且仅当该群本身是阿贝尔的。

18. 证明：如果R是一个有单位元的交换环，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b = b*a，则R是一个域。

试题(2)的参考答案一、填空题（27分）1、7阶群的子群共有 2 个。

2、“圆规直尺作图的三大难题”是三等分任意角问题 、 化圆为方问题 、 倍立方问题 。

3、把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积是 (17234)(56) 。

4、如果域E 的乘法群恰好包含f (x ) = x 124-1的所有根，则E 的特征是 5 。

5、剩余类加法群Z 8的生成元有 4 个，它们是 [1], [3], [5], [7] 。

6、除环的理想有 2 个。

7、实数32在有理域上的极小多项式是 x 3-2 。

8、20042005≡ 1 (mod 5).9、复数域C 作为实数域R 的扩域，指数[C : R ]= 2 .二、选择题 10、(D) 11、(B) 12、(C) 13、(A) 14、(B).三、计算题15、解: 如果域E 的乘法子群E*=E\{0}有一个13阶子群H, 且[E*:H]=2, 则|E*|=2|H|=26，进而，|E|=27=33，域E 的特征是3。

………………………10分16、解：32+在有理数域Q 上的极小多项式为f (x ) = x 4-10x 2+1。

………2分因为, (1) 32+∉Q (2) . 假设32+∈Q (2)，则3∈Q (2)，设3= a+b 2，a , b ∈Q ，且a ≠ 0 ≠ b ，两边平方得3 - a 2-2b 2 = 2 ab 2, 等式左边是有理数，而右边是无理数，矛盾。

………………………2分(2) 2∈Q (32+) . 因为 2=21[(32+-(3-2)]=21[32+-(32+)-1]. ………2分(3) [Q (32+):Q ] = 4. 由(1)和(2)知, Q (2)是Q (32+)的真子域，显然，32+在Q (2)上的极小多项式为x 2-22x -1，进而， [Q (32+):Q (2)]=2，所以，[Q (32+):Q ]= [Q (32+):Q (2)][Q (2):Q]=4. ………2分 (3)说明,32+在Q 上的极小多项式的次数是4。

§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。

（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。