高二数学期末试卷附答案

2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023-2024学年四川省成都市校级联考高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a =(1,1,2),b =(−3,2,0)，则a +b 在a 上的投影向量为( )A. (32,32,322) B. (1510, 1510, 3010)C. (34,34,3 24) D. (−25,35, 25)2.平面直角坐标系内，与点A(1,1)的距离为1且与圆(x−1)2+(y−4)2=4相切的直线有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 0条3.设−A 、−B 分别是事件A 、B 的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列结论不正确的是( )A. P(A)+P(−A )=1B. 若A 、B 是互斥事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)C. P(A ∪−A )=1D. 若A 、B 是独立事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)4.如图，在平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°，则AC1⋅BD 1=( )A. 12B. 1C. 32D. 25.在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的25，且样本容量为210，则该组的频数为( )A. 28B. 40C. 56D. 606.已知双曲线C ：x 22−y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ，则|P F 2|为( )A.3B. 23C. 2D. 47.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，其上有两点A ，B ，若AB 的中点为M ，满足MF 的斜率等于1，则|BF|的最大值是( )A. 7B. 8C. 5+23D. 108.半径为R 的光滑半球形碗中放置着4个半径为r 的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则Rr 的最大值是( )A. 25+1B. 27+1C. 211+1D. 213+1二、多选题：本题共4小题，共20分。

2023-2024学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：﹣tx+2y+2＝0和l2：6x﹣（t+1）y+3＝0平行，则实数t＝（）A．3B．3或﹣4C．﹣3D．﹣3或42．已知＝（﹣1，4，2）为平面α的一个法向量，α∥β（）A．（2，0，1）B．（4，2，﹣1）C．（2，8，4）D．（2，﹣8，﹣4）3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则λ＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣64．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BCA＝90°，CC1＝3BC＝3CA，则AC1与CB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（）A．30B．33C．38D．406．如图所示，在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，N为线段BC的中点，，则（）A．B．C．D．7．在空间直角坐标系中，已知点M（1，1，0），N（2，﹣1，﹣2），P（﹣1，1，2），则点P到直线MN 的距离为（）A．B．2C．D．48．如图，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7＝9，S4＝3a4，则（）A．{a n}的公差为1B．{a n}的公差为2C．S4＝18D．a2023＝202510．已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（）A．当l与圆O相切于点E时，B．点P到圆O上点的距离的最大值为5C．点P到圆O上点的距离的最小值为2D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则11．已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在空间内一点，且，0＜λ＜1，则（）A．B．三棱锥D﹣P A1C1的体积为定值C．存在唯一的λ，使得平面P A1C1⊥平面BDD1B1D．存在唯一的λ，使得，12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为AB，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．+＝B．•≥5C．若F恰好为PB的中点，则直线PQ的斜率为±D．直线PQ过定点（3，0）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的焦距为．14．若数列{a n}满足a2＝11，，则a985＝．15．若直线x+3y﹣1＝0是圆x2+y2﹣2ax﹣8＝0的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为．16．在首项为1的数列{a n}中，若存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+3）＞0成立，则m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2（a1+a2）＝a4，S5＝35．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若，求正整数m的最大值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，＝，BC＝，AC＝．（1）证明：BC⊥平面P AB；（2）求直线CP与平面ABD所成角的正弦值．19．（12分）已知圆C过点A（﹣5，﹣1）和B（2，0），且圆心C在直线x+y﹣1＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）经过点（3，4）的直线l与圆C相切，求l的方程．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，BC＝BP＝5，，△P AC为等边三角形，Q为PC上的一个动点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC．（2）当时，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．21．（12分）在数列{a n}中，已知a1＝3，a n+1＝4a n+3n﹣1．（1）证明数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2n﹣1，若数列{a n}与{b n}的公共项为b m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆C1和双曲线C2的离心率；（2）设双曲线C2的右焦点为F，过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆C1交于另一点Q，O为坐标原点，证明：k BP•k OP＝k OQ+k OP．2023-2024学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：﹣tx+2y+2＝0和l2：6x﹣（t+1）y+3＝0平行，则实数t＝（）A．3B．3或﹣4C．﹣3D．﹣3或4解：直线l1：﹣tx+2y+8＝0和l2：7x﹣（t+1）y+3＝8平行，则（﹣t）•（﹣t﹣1）＝2×4，解得t＝3或﹣4，当t＝7时，两直线不重合，当t＝﹣4时，两直线重合，故a＝3．故选：A．2．已知＝（﹣1，4，2）为平面α的一个法向量，α∥β（）A．（2，0，1）B．（4，2，﹣1）C．（2，8，4）D．（2，﹣8，﹣4）解：根据题意，为平面α的一个法向量，则也是平面β的一个法向量，分析选项：对于A，设＝（2，0，∥不成立，7，1）不是平面β的一个法向量；对于B，设＝（4，6，∥不成立，0，1）不是平面β的一个法向量；对于C，设＝（7，8，∥不成立，8，3）不是平面β的一个法向量；对于D，设＝（2，﹣4），有，则∥成立，﹣5．故选：D．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则λ＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6解：等比数列{a n}的前n项和为S n，则＝，＝6×3n+λ，故，即．故选：D．4．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BCA＝90°，CC1＝3BC＝3CA，则AC1与CB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：如图，建立空间直角坐标系，设CC1＝3BC＝6CA＝3，则A（1，2，0），C1（6，0，3），7，0），B1（3，1，3），所以，则，故AC1与CB1所成角的余弦值为．故选：C．5．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（）A．30B．33C．38D．40解：根据题意，第n排的座位数为a n，由于第一排有5个座位，从第二排开始，则数列{a n}是以5为首项，公差为8的等差数列n＝5+（n﹣1）×6＝3n+2，该阶梯大教室共有258个座位，则有，变形可得：（3n+43）（n﹣12）＝0，又由n是正整数，则n＝12，则该阶梯大教室最后一排的座位数为a12＝5×12+2＝38．故选：C．6．如图所示，在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，N为线段BC的中点，，则（）A．B．C．D．解：＝+＝﹣++，则x＝﹣，y＝．故选：B．7．在空间直角坐标系中，已知点M（1，1，0），N（2，﹣1，﹣2），P（﹣1，1，2），则点P到直线MN 的距离为（）A．B．2C．D．4解：点M（1，1，5），﹣1，P（﹣1，6，则＝（﹣2，0，，故＝，，故点P到直线MN的距离为：＝2．故选：B．8．如图，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解：由，设|F2A|＝8t，|F2B|＝3t，（t＞6），则|AB|＝5t，由对称性知2B|＝|F6B|＝3t，因为F1在以AB为直径的圆上，则|F7A|＝4t，cos∠F1AB＝，由椭圆的定义知|F1A|+|F7A|＝6t＝2a，所以a＝5t，在△F1AF2中，8c2＝16t2+2t2﹣2×8t×2t×cos∠F1AB＝20t3﹣t2＝t2，所以c＝t，所以e＝．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7＝9，S4＝3a4，则（）A．{a n}的公差为1B．{a n}的公差为2C．S4＝18D．a2023＝2025解：设{a n}的公差为d，a7＝9，S8＝3a4，则解得故a2023＝a8+2022d＝2025，S4＝4a3+6d＝18．故选：ACD．10．已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（）A．当l与圆O相切于点E时，B．点P到圆O上点的距离的最大值为5C．点P到圆O上点的距离的最小值为2D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则解：对于A，，A正确．易知点P到圆O上点的距离的最大值为8+2＝5，B正确；点P到圆O上点的距离的最小值为6﹣2＝1，C错误．对于D，动直线l过点P（6，点Q（0，所以直线l的方程为x+3y﹣5＝0，点O到直线l的距离，所以，D错误．故选：AB．11．已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在空间内一点，且，0＜λ＜1，则（）A．B．三棱锥D﹣P A1C1的体积为定值C．存在唯一的λ，使得平面P A1C1⊥平面BDD1B1D．存在唯一的λ，使得， 解：建立空间直角坐标系，如图所示：因为，0＜λ＜3，设＝t，1）；＝++＝++t，6，0）+（0，4，t，0）＝（t﹣1，t，＝+＝（1，6，0，﹣1）＝（4，1，所以•＝t﹣1+t﹣1＝4t﹣2＜0；三棱锥D﹣P A 5C1的体积为＝•BD＝××＝，是定值；当且仅当P为AC的中点时，平面P A1C1⊥平面BDD2B1，此时λ＝，选项C正确；因为＝++＝（﹣t，0）+（4，0，0，7）＝（﹣t+1，﹣1），＝++＝（﹣t，0）+（0，7，1，0）＝（﹣t，﹣4），所以•＝4t（t﹣1）+1＝2t2﹣2t+4，||＝|＝；令＝＝，化简得3t5﹣3t+1＝4，Δ＝9﹣12＜0，即不存在λ∈R，使cos＜，，选项D错误．故选：BC．12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为AB，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．+＝B．•≥5C．若F恰好为PB的中点，则直线PQ的斜率为±D．直线PQ过定点（3，0）解：设直线AB的方程为x＝my+1（m≠0），A（x7，y1），B（x2，y7），联立方程组，得y2﹣4my﹣5＝0，则y1+y2＝4m，y1y3＝﹣4，∴|AB|＝＝4（m2+5），同理可得，∴，故A正确；∵P，Q分别为AB，∴P（6m2+1，8m），，∴，当且仅当m＝±1时等号成立；∵F为PB的中点，∴y3＝﹣2m，又∵y1+y2＝4m，∴y1＝7m．∵，∴，可得；当直线PQ的斜率存在时，，∴直线PQ的方程为，整理得，可得直线PQ过定点（3；当直线PQ的斜率不存在时，m＝±2，过点（3，∴直线PQ过定点（3，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的焦距为2．解：由题意知，双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x，因为双曲线C的一条渐近线方程为，即y＝x，所以＝，解得m＝9，所以C的焦距为2＝2．故答案为：2．14．若数列{a n}满足a2＝11，，则a985＝．解：根据题意，有a2＝，又a2＝11，所以11＝，解得a5＝，又a3＝＝＝﹣，a4＝＝＝＝a2，…，所以{a n}是以3为周期的周期数列，所以a985＝a328×3+3＝a1＝．故答案为：．15．若直线x+3y﹣1＝0是圆x2+y2﹣2ax﹣8＝0的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为1．解：由题可知，该圆的圆心为（a，因为直线x+3y﹣1＝3过圆心，所以a﹣1＝0，所以圆的方程为（x﹣8）2+y2＝7，因为圆心与的距离为，所以点与该圆上任意一点的距离的最小值为3﹣2＝4．故答案为：1．16．在首项为1的数列{a n}中，若存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+3）＞0成立，则m的取值范围为或．解：结合题意：a n＝a1+（a2﹣a3）+（a3﹣a2）+⋯+（a n﹣a n﹣3）＝，则a n＞0，所以（m﹣a n）（m+a n+3）＞7，解得m＞a n或m＜﹣a n+3，当n为偶数时，，递增n的最小值为，则，，递增n+3的最小值为，则，当n为奇数时，，递减n的最大值为a8＝1，，，递减n+6的最大值为，，综上所述：要使得存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+5）＞0成立，只需或，所以m的取值范围为或．故答案为：或．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2（a1+a2）＝a4，S5＝35．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若，求正整数m的最大值．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，解得，{a n}的通项公式a n＝1+5（n﹣1）＝3n﹣2．（2）由（1）得S n＝＝，所以＝＝，所以T n＝＝，由，得≤，解得m≤15，故正整数m的最大值为15．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，＝，BC＝，AC＝．（1）证明：BC⊥平面P AB；（2）求直线CP与平面ABD所成角的正弦值．解：（1）证明：因为P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，因为AB＝2，，，所以AB5+BC2＝AC2，则AB⊥BC，又因为P A∩AB＝A，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB．（2）以B为坐标原点，，的方向分别为x，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，0，0），7，0），，4，4），1，8），所以，，，设平面ABD的法向量为，则，解得y＝0，令z＝﹣1，得，所以，设直线CP与平面ABD所成的角为θ，则，即直线CP与平面ABD所成角的正弦值为．19．（12分）已知圆C过点A（﹣5，﹣1）和B（2，0），且圆心C在直线x+y﹣1＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）经过点（3，4）的直线l与圆C相切，求l的方程．解：（1）AB的中点（，），k AB＝＝，所以AB的中垂线方程为：7x+y+11＝6，由，得，即圆心（﹣2，半径r＝，所以圆C的标准方程为：（x+2）2+（y﹣3）2＝25．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时直线l与圆C相切，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣3），因为直线l与圆C相切，所以＝3，所以直线L的方程为：12x+5y﹣56＝2．综上，直线l的方程为：x＝3或12x+5y﹣56＝2．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，BC＝BP＝5，，△P AC为等边三角形，Q为PC上的一个动点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC．（2）当时，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．（1）证明：因为△P AC为等边三角形，所以，又PB＝CB，PC为公共边，作PO⊥AB，垂足为O，由三角形全等易知CO⊥AB，PO＝CO，设OB＝x，则OA＝4﹣x2＝P A2﹣OA2，且PO2＝PB2﹣OB6，所以，解得x＝2，故，故CO＝4，在△POC中，因为PO8+CO2＝PC2，所以PO⊥CO，又因为CO⊥AB，AB，AB∩PO＝O，所以CO⊥平面P AB，因为CO⊂平面ABC，所以平面P AB⊥平面ABC；（2）以O为坐标原点，OC，OP所在直线分别为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，则＝（5，7，设点Q（x0，5，z0），则，因为，所以，解得，所以Q（1，2，则，设平面QAB的一个法向量为，则，解得y＝3，则x＝3，故，又因为平面P AB的一个法向量为，所以，由图可知，二面角P﹣AB﹣Q为锐二面角，故二面角P﹣AB﹣Q的余弦值为．21．（12分）在数列{a n}中，已知a1＝3，a n+1＝4a n+3n﹣1．（1）证明数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2n﹣1，若数列{a n}与{b n}的公共项为b m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和S n．（1）证明：因为a n+1＝4a n+6n﹣1，所以a n+1+n+3＝4a n+4n＝5（a n+n），即＝5，又a1+1＝7，所以数列{a n+n}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n+n＝5×4n﹣1＝2n，即a n＝4n﹣n，故数列{a n}的通项公式为a n＝4n﹣n．（2）解：设b n＝8n﹣1，则b m＝2m﹣7，由数列{a n}与{b n}的公共项为b m，得2m﹣1＝4n﹣n，所以m＝，所以n﹣1＝7k（k∈N），即n＝2k+1（k∈N），所以m＝34k+1﹣k（k∈N），所以c n＝54n﹣3﹣（n﹣5）（n∈N*），所以S n＝＝．22．（12分）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆C1和双曲线C2的离心率；（2）设双曲线C2的右焦点为F，过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆C1交于另一点Q，O为坐标原点，证明：k BP•k OP＝k OQ+k OP．解：（1）易知椭圆C1的焦距，双曲线C2的焦距，因为椭圆与双曲线，所以，整理得，此时，，则椭圆C1的离心率，双曲线C2的离心率，（2）证明：由（1）知，因为A（﹣a，0），此时直线AP的方程为，联立，消去y并整理得，由韦达定理得，解得，则，因为，，，所以，，故k BP•k OP＝k OQ+k OP．。

2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（ ）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（ ）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 ．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 ． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '， 由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4． 故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14． 故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2， 因为点A （1，0）在圆M 内，如图， 由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时， 弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2． 故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内； 对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内； 对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内； 对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部， 所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上， 因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2， 所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ， 设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误； 对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确； 由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确； 设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误． （或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一） ．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°， 由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3， 即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4， 故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5， 当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°， 所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ， 则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3， 在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3， 即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ． 解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1， 故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1， 则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297， 因此，所求正整数n 的最大值为59． 故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程． 解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0． （2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）， 可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ， 所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1． 令n ＝1得a 1＝1， 因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1． 所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2）， 所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1， 所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1， 又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1． （2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， 设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ）， 设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2， 即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ， 又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大， 此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)， 又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23， 因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2， 所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2， 因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)， 因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517． 又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5， 所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3， 令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1， 所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ， 所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)， 因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1， 所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12， 所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0， 此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1， 因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。

2023-2024学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知直线l 经过A （﹣1，0），B(0，√3)两点，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1＝﹣3a n ，S 3＝7，则a 1＝（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．33．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P （m ，n ）在抛物线C 上．若|PF |＝3，则m ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知椭圆x 2m−3+y 27−m =1的焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）A ．3＜m ＜7B ．3＜m ＜5C ．5＜m ＜7D ．m ＞35．如图，在四面体OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →．点M 在OC 上，且OM =12MC ，N 为AB 的中点，则MN →=（ ）A ．−12a →−12b →+13c →B ．−12a →−12b →−13c →C ．12a →+12b →+13c →D ．12a →+12b →−13c →6．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上．若∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．97．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为{a n }，其将满月等分成240份，a i （1≤i ≤15且i ∈N *）表示第i 天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的5240，即a 1＝5；第15天为满月，即a 15＝240．已知{a n }的第1项到第5项是公比为q 的等比数列，第5项到第15项是公差为d 的等差数列，且q ，d 均为正整数，则a 5＝（ ） A ．40B ．80C ．96D ．1128．已知点P 在由直线y ＝x +3，y ＝5和x ＝﹣1所围成的区域内（含边界）运动，点Q 在x 轴上运动．设点T （4，1），则|QP |+|QT |的最小值为（ ） A ．√30B ．4√2C ．√34D ．2√109．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱A 1D 1的中点，F 为棱AA 1上一动点．给出下列四个结论：①存在点F ，使得EF ∥平面ABC 1； ②直线EF 与BC 1所成角的最大值为π2；③点A 1到平面ABC 1的距离为√2； ④点A 1到直线AC 1的距离为2√63． 其中所有正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．过双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为P ，延长FP 交双曲线C 的左支于点Q ．若QP →=2PF →，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√415B ．√133 C ．53D ．√132二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年北京市清华大学附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={−1,0,1,2}，B={x|x=4k+3,k∈Z}，则集合A∩B=( )A. {−1}B. {1}C. {−1,1}D. ⌀2.已知复数z的共轭复数是1+i，则复数z2−i在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量a=(3,sinθ)，b=(5,1)，若a//b，则cos2θ=( )A. 725B. −725C. 2425D. −24254.已知双曲线C：x2a2−y216=1的左右焦点依次为F1，F2，且|F1F2|=10，若点P在双曲线的右支上，则|PF1|−|PF2|=( )A. −6B. 6C. 8D. 105.设(2−mx)5=a0+a1x+…+a5x5，若a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，则a3=( )A. 80B. 40C. −40D. −806.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完(一尺约等于33.33厘米).若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为( )A. 5B. 6C. 7D. 87.已知直线l：y=k(x+1)与⊙C：(x−1)2+y2=4交于A、B两点，则“k=±1”是“△ABC的面积取得最大值”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.设max{a,b}表示a与b的最大值.若x，y都是正数，z=max{x+y,1x +4y}，则z的最小值为( )A. 22B. 3C. 8D. 99.将f(x)=cos3x的图像向左平移φ(0<φ<π2)个单位后得到g(x)的图像，当|f(s)−g(t)|=2时，|s−t|min=π4，则φ=( )A. π12B. π6C. π4D. π310.边长为2的正方形ABCD 的中心为O ，将其沿对角线AC 折成直二面角.设E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，将△EOF 绕直线EF 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( )A. π2B. 3π4C. πD. 3π2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像是：A. 一个开口向上的抛物线，顶点在(1, 0)B. 一个开口向下的抛物线，顶点在(1, 0)C. 一个开口向上的抛物线，顶点在(0, 1)D. 一个开口向下的抛物线，顶点在(0, 1)2. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b的值为：A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°4. 下列哪个方程的解集是空集：A. x^2 + 1 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = 05. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是：A. 以(0, 0)为圆心，1为半径的圆B. 以(0, 0)为圆心，2为半径的圆C. x = 0的直线D. y = 0的直线6. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^47. 若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项an是：A. 24B. 27C. 81D. 2438. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点是：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 下列哪个数是等差数列1, 3, 5, ...的第10项：A. 19B. 20C. 21D. 2210. 若log2x + log2(4x) = 3，则x的值是：A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = ________。

2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列1,53,52，…的通项公式可能是a n =( )A. n 2+1n +1B. n +1n 2+1C. n 22n−1D. n 2+12n−12.圆(x +1)2+y 2=1和圆(x−2)2+(y−4)2=16的位置关系为( )A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为( )A. 12B. 30C. 34D. 604.已知F 是抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，点A(1,14)在C 上，则|AF|=( )A. 38B. 58C. 54D. 945.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4=6，S 8=18，则S 16=( )A. 48B. 90C. 96D. 1626.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l 经过点T(1,12)与C 交于A ，B 两点.若T 是线段AB 的中点，则l 的方程为( )A. 4x−6y−1=0 B. 3x−2y−1=0 C. 4x +6y−7=0 D. 3x +2y−4=07.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，BD =4，AD 1⋅DC−AB 1⋅BC =5，则cos <AA 1，BD >=( )A. 512B. −512C. 415D. −4158.已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线y = 52b 与C 交于A ，B 两点.若△ABF 的周长为7a ，则C 的离心率为( )A. 43 B. 65 C. 2 105二、多选题：本题共4小题，共20分。