(完整版)近世代数复习知识点

【VIP专享】近世代数复习（⼀）群在集合上的作⽤群在集合上的作⽤主要掌握如何求轨道、稳定⼦、不动元．下⾯分别对这三个概念简要介绍．设群G 作⽤在集合X 上，x X ∈．(1) 称{|}x O gx g G =∈为x 在G 下的轨道．该定义的含义是：对于固定的x X ∈，x 所在的轨道是⽤x 去乘G 中的每个元素，将结果记⼊x O 内．(2) 称{|()}x S g G g x x =∈=为x 在G 中的稳定⼦．该定义的含义是：对于固定的x X ∈，将群G 中的元素ig 依次作⽤于这个x 上，若作⽤结果仍为x ，将该i g 记⼊x S 内．(3) 称{|()}g F x X g x x =∈=为x 在G 中的稳定⼦(集)．该定义的含义是：对于固定的g G ∈，将g 依次作⽤于i x X ∈上，若作⽤结果仍为i x ，将该i x 记⼊g F 内．⽤⼀个例⼦来说明这三者的求法．已知{1,2,3,4,5,6}X =，{(1),(12),(356),(365),(12)(356),(12)(365)}G =．(1) 轨道．固定1x X =∈，11{1,2}i O g =?=，i g G ∈．固定3x X =∈，33{3,5,6}i O g =?=，i g G ∈．固定4x X =∈，44{4}i O g =?=，i g G ∈．由此可以看到，在某轨道出现过的值不需要再次进⾏计算，,x y X ?∈，,x y O O 或者完全相同，或者完全不同，且x x X O =，这种算法类似于陪集的算法．(2) 稳定⼦．固定1x X =∈，G 中的每个元素分别去作⽤1，结果仍为1的只有1{(1),(356),(365)}S =．固定3x X =∈，G 中的每个元素分别去作⽤3，结果仍为3 的只有3{(1),(12)}S =．固定4x X =∈，G 中的每个元素分别去作⽤4，结果仍为4 的有4S G =．由此可以看到，同⼀轨道元素在G 中的稳定⼦相同，所以x 的取法和计算轨道时x 选取相同．(3) 不动元素．固定(1)G ∈，⽤(1)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(1)F X =．固定(356)G ∈，⽤(356)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(356){1,2,4}F =．固定(12)G ∈，⽤(12)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(12){3,4,5,6}F =．固定(12)(356)G ∈，⽤(1 2)(3 5 6)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(12)(356){4}F =．（⼆） Burnside 引理的应⽤(以P103的例12为例)例：今有红(r)、黄(y)、蓝(b)三种颜⾊的⼩珠⼦各2颗．问：⽤他们可以串成多少种不同的⼿链？【解答】(1) ⾸先要认识到，对于这样的问题，共有2264C C 种排列⽅法(在6个位置中先选取2个位置放⼀种颜⾊，再从剩下的4个位置中选取2个放另外⼀种颜⾊)．所以集合X 的元素个数为90．(2) 我们需要知道群G 中有哪些变换．第⼀类：i τ为绕中⼼按逆时针⽅向旋转3i π．第⼆类：i η为沿着对边中线的反射，如右图．第三类：i σ为沿着对⾓线的反射，如右图．综上，{(1),(1,2,3,4,5),(1,2,3),(1,2,3)}i i i G i i i τησ====．(3) 下⾯来求不动元素数．因为当对⾓颜⾊相同时，旋转180?情况不变，其余旋转均会改变颜⾊的分布情况．另外，当对称两个⽅向的颜⾊相同时，翻折并不会使颜⾊分布发⽣变化．可得数P103表2.5.1．(4) 从⽽由Burnside 引理11||(90020266363)11||12g g G n F G ∈==+?+?++?+?=∑ 可以算得有11种不同的⼿链．（三）西罗定理(Sylow Theorem)的应⽤例1：证明：56阶群G 不是单群．【证明】(不失⼀般性)由西罗第三定理，35627=?．设P 为G 的Sylow 7⼦群，则||7P =．设7r 为G 的Sylow 7⼦群的个数，则7|[:]8r G P =，71(mod7)r ≡．则有71r =或8．(1) 若71r =，则P 为G 的正规⼦群，与G 是单群⽭盾．(2) 78r =，则G 有8个Sylow 7⼦群18,,P P ，它们互相共轭，由于j P 是素数阶的循环群，{}i j P P e =，因此G 中有8648?=个7阶元，1个单位元．设Q 为G 的Sylow 2⼦群，则Q 中有8个元素(其中⼀个是单位)．但G 不能⾃由⼀个Sylow 2⼦群，不然Q 为G 的正规⼦群，与G 是单群⽭盾．所以G 不是单群．例2：证明：85阶的群G 是循环群．【证明】(不失⼀般性)对85进⾏素因数分解，85517=?．由西罗第⼀定理，G 有Sylow 5⼦群和Sylow 17⼦群．由西罗第三定理，Sylow 5⼦群的个数5|17n 且51(mod5)n ≡，则有551|17k n +=． Sylow 17⼦群的个数17|5n 且171(mod17)n ≡，则有17171|5t n +=．从上式可以解到：51n =，171n =，说明只有1个Sylow 5⼦群和1个Sylow 17⼦群．由性质：若群||G pq =，其中p q 、为素数，若G 中只有唯⼀p 阶⼦群和q 阶⼦群，则G 为循环群．由此，证毕．例3：试求：4A 的Sylow 2⼦群．【解答】(不失⼀般性)先求：44||4!||1222S A ===，2123432=?=?，所以由西罗第三定理，4A 有唯⼀的Sylow 2⼦群．4A 的Sylow 2⼦群即为4A 的4阶⼦群(同理，4S 的Sylow 2⼦群即为4S 的8阶⼦群)．则4A 的Sylow 2⼦群为{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}K =，K 也是4A 的正规⼦群．例4：设G 是⼀个21阶的⾮循环群，求G 中Sylow 3⼦群的个数．【解答】(不失⼀般性)21的标准素因数分解为2137=?，则331n k =+|7，则有31n =或7，由条件G 是⾮循环群，则37n =，即G 中有7个Sylow 3⼦群．例5：设G 是⼀个36阶的群，求G 中Sylow 3⼦群的个数．【解答】(不失⼀般性)36的标准素因数分解为223623=?，则2331|2n k =+，则有31n =或4(1) 若G 是循环群，则31n =，即G 中有1个Sylow 3⼦群，G 为正规⼦群．(2) 若G 是不循环群，则34n =，即G 中有4个Sylow 3⼦群．（四）关于求⾼斯整环的理想的显然形式及其商环的⼀般解法：1．⾼斯整环的显然形式分两种情况：(a) 理想形如i I a =<+>⾸先，(i)(i)(i)N a a a I +=+-∈，所以对任意的z ∈Z ，(i)N a z I +?∈．对于i 前系数为1的情况，i x y +以y 优先凑y 的表达式i ()(i)x y x ay a y +=-++．因为(i)a I +∈，所以只要x ay I -∈，则i x y I +∈．则可以得到其显然表达式为i {i |mod((i))}a x y x ay N a <+>=+≡+．若mod((i))x ay N a ≡+/，则i x y I +?，若不然，1I ∈，则有[i]I =Z ，⽭盾．(b) 理想形如1i I b =<+>同样，(1i)(1i)(1i)N b b b I +=+-∈，所以对任意的z ∈Z ，(1i)N b z I +?∈．对于i 前系数为b 的情况，i x y +以x 优先凑x 的表达式i (1i)()i x y b x y bx +=++-．因为(1i)b I +∈，所以只要y bx I -∈，则i x y I +∈．则可以得到其显然表达式为1i {i |mod((1i))}b x y y bx N b <+>=+≡+．若mod((1i))y bx N b ≡+/，则i x y I +?，若不然，1I ∈，则有[i]I =Z ，⽭盾．2．⾼斯整环的商环当理想的⽣成元的范围为素数时，即若(i)N a b +为素数，(i)[i]/i N a b a b +<+>?Z Z ．(a) 理想形如i I a =<+>的显然表达式为i {i |mod((i))}a x y x ay N a <+>=+≡+．当mod((i))x ay N a ≡+时，i x y a +∈+，i 0x y +=；当mod((i))x ay N a ≡+时，i i x y m a +∈+<+>，其中(i)N a m +∈Z ，则i 1,2,,(i)1x y N a +=+-．由此得[i]/i {0,1,2,,(i)1}a N a <+>=+-Z ，并且当(i)N a +为素数时，这是⼀个极⼤理想，当然也是⼀个素理想．(b) 理想形如1i I b =<+>的显然表达式为1i {i |mod((1i))}b x y y bx N b <+>=+≡+．当mod((1i))y bx N b ≡+时，i 1i x y b +∈<+>，i 0x y +=；当mod((1i))y bx N b ≡+时，i 1i x y m b +∈+<+>，其中(1i)N b m+∈Z ，则i 1,2,,(1i)1x y N b +=+-．由此得[i]/1i {0,1,2,,(1i)1}b N b <+>=+-Z ，并且当(1i)N b +为素数时，这是⼀个极⼤理想，当然也是⼀个素理想．（五）素理想、极⼤理想之间的关系在素理想、极⼤理想这⼀块我们主要研究四类环：Z 、[i]Z 、p Z 、2()M R ．⾸先来观察前三类，它们是性质⾮常好的两类环，体现在：Z 是欧⼏⾥得整环、主理想整环、也是唯⼀分解整环(4.4)．[i]Z 是欧⼏⾥得整环、主理想整环、也是唯⼀分解整环(4.4)．1. 书本在3.5节给出两个等价命题：n 为Z 的素理想?n 为素数； m 为Z 的极⼤理想?m 为素数；这个命题同样可以类⽐到p Z 中，证明⽅式相同，即：n 为p Z 的素理想?n 为素数且|n p ；m 为p Z 的极⼤理想?m 为素数且|m p ．⼀般地，在p Z 中，p a ?∈Z ，1212S l l l s a q q q =为标准素因数分解，则12s q q q 、、、均为素理想，且它们是全部的极⼤理想．2. 证明⼀个理想I 是素理想的⼀般⽅法：法⼀：先证明I 是⼀个极⼤理想，则在有单位元的交换环中，I 是素理想．法⼆：从定义出发，证明任取,a b I ∈，由ab I ∈可以推得a I ∈或b I ∈．法三：在满⾜条件的情况下，证明/R I 是⼀个整环．3. 证明⼀个理想I 是极⼤理想的⼀般⽅法：法⼀：从定义出发，选取⼀个理想J ，使得I J R ??，选取元素a J ∈，a I ?，推出1J ∈由1J ∈⽴得J R =，证毕．注：(1) 这个“1”是凑出来的，且在矩阵中，1应该对应变为为1001?? ???，在不同的环中，1代表不同的含义，应该把1理解为单位元．(2) 要得到1，不仅可以⽤加减法得到，也可以由乘法得到(在矩阵中)．法⼆：在满⾜条件的情况下，证明/R I 是⼀个域．结合书P153例10、书P154习题10、习题11，可以直接写出这个商环的元素再证明它是⼀个域(其中元素可逆)．4. 关于p q ⊕Z Z 的极⼤理想：特别注意：p Z 的极⼤理想和q Z 的极⼤理想的直和不是p q ⊕Z Z 的极⼤理想．（六）关于判断p 在[i]Z 、Z (整环)中是否为素元和不可约元的⼀般解法：1. 先判断p 是否为素元(1) 若p ∈Z 且3(mod 4)p ≡，则p 为素元，这在[i]Z 、Z 中均成⽴．(2) *若p ∈Z 且1(mod 4)p ≡，则存在a b ∈Z 、，使得22p a b =+，且i a b ±都是[i]Z 的素元．(3) 若p 不是整数且()N p 为素数，则p 必为素元：(法⼀)：⽤书本P174的⽅法验证．注：在[i]Z 中，若题⽬中的i 前系数不为1，则要设⼀个i a b +，使得其乘积中i 前系数为1，这个由待定系数法很容易做到，则此时|p αβ应变为(i)|(i)(i)p a b a b a b αβ?++?+．(法⼆)：以[i]Z 为例，Z 同理．设i,i [i]a b x y αβ+=+∈Z =，且有|p αβ．取范数得()|()()N p N N αβ，因为()N p 为素数，则由数论知识，()|()N p N α或()|()N p N β，则有|p α或|p β，则p 为素元．(4) 若p 不是整数且()N p 为合数 (以[i]Z 为例，Z 同理) ：取i [i]a b α+∈Z =，求⽅程：22()()N a b N p α=+=的整数解．若⽅程⽆整数解，则p 只能写成1p ?的形式，显然p 是素元．若⽅程有整数解，则令i a b α=+，i a b β=-，此时|()p N p αβ=，但|p α/，|p β/，则p 不是素元．2. 再判断p 是否为不可约元(1) 若()N p 为素数(或p 为素元)，则p 为不可约元；(2) 若()N p 为合数，则令p αβ=，其中[i](αβ∈Z Z 、，取范数()()()N p N N αβ=．下以[i]Z 为例，Z 同理：取i,i [i]a b x y αβ+=+∈Z =，设()N p 可以分解为12q q ?(12q q 、均不为单位)，那么分别验证是否存在a b x y ∈Z 、、、，使得12(),()N p N p αβ==．若存在，则说明存在不为单位的αβ、分解p ，则p 不是不可约元；若不存在，则说明()()N N αβ、中必有⼀个值为1，即αβ、必有⼀个为单位，则p 是不可约元．。

近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。

下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。

首先是群的概念。

群是近世代数中最基本的结构之一。

简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。

比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。

群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。

环也是近世代数中的重要概念。

一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。

加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。

常见的环有整数环、多项式环等。

接下来是域。

域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。

比如有理数域、实数域和复数域。

同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。

同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。

如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。

同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。

在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。

子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。

再来说说商群和商环。

以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。

商群中的元素是由N 的陪集构成的。

近世代数中的重要定理也不少。

比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。

该定理指出，子群的阶整除群的阶。

最后，我们谈谈近世代数的应用。

在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。

《近世代数》复习一、群论：基本结构有循环群，对称群与商群。

基本内容有：元素的周期，置换的表示，子群，陪集，正规子群，同态（映射），同构（映射），群的类方程，Lagrange定理。

基本技术：o(a)=|<a>|;o(ab)=o(ba), 特别,在交换群中, o(ab)=[o(a), o(b)]; 置换的周期=非交轮换周期的最小公倍数; 中心为正规子群; |G/N|=|G|/|N|; 所有不同的共轭类做成G的一个划分,故有类方程|G|=Σ[G:C(a)](其中a取自不同的共轭类)=|C(G)| +Σ[G:C(a)](其中a取自不同的非中心元素所在的共轭类即元素个数大于等于2的共轭类); o(a)| |G|;若H≤G,则|H| | |G|; 对称群S n中奇偶置换各占一半即n!/2; 所有偶置换组成交错群A n且是S n的非平凡的最大的正规子群; S n中的n-轮换σ的中心化子(即能与σ交换的所有元素构成的子群)就是它生成的循环子群,由此可知与其共轭的元素共有(n-1)!个.二、环论：基本结构有交换环，无零因子环，整环，主理想整环，唯一分解环，多项式环，域与商环。

基本内容有：理想，环同态（映射），环同构（映射），不可约元，整环中的因子分解，多项式环中的因子分解，多项式的根，孙子定理（中国剩余定理），同余方程。

基本技术: 特征; 在有单位元的交换环R中, 主理想(a)=aR, (a)(b)=(ab); 设R是主理想整环, 则a是不可约元⇔a是素元⇔(a)是极大的理想⇔R/(a)是域; 主理想整环是唯一分解环;欧氏环是主理想环; 环同态,商环与理想分别一一对应,即f:R→S 是环同态, 则kerf是R的理想且商环R/kerf≅Imf, 故若f还是满射,则R/kerf≅S; 多项式的欧几里德算法; 二多项式的最大公因式;不可约多项式及其判别(Eisenstein判别法); 多项式的根的判别: α是多项式f(x)的根⇔(x-α)|f(x);α是重根⇔(x-α)|f '(x); 整环上的n次多项式的根的个数不超过n;整系数多项式的有理数根的求法;域上的不可约多项式f(x)有重根⇔f '(x)=0; 域上的(一元)多项式环是欧氏环(从而是主理想环);整数环上的多项式环是唯一分解环(但非主理想环).三、域论：基本结构有素域，分裂域与有限域。

近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。

近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。

近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。

下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。

“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。

设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。

若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。

若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。

不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。

例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。

本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。

一个集合A 的元素个数用A 表示。

当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。

用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。

近世代数论文、上半学期学习总结第一章基本概念1、集合的幕集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为p（A）或2\ （含n个元素的集合的子集有2•个，即無集中的元素共有2,个）2、积（笛卡尔积）：AXB={ （a, b）|aEA, b€B}叫 A 与 B 的积。

（A XBHBXA）3、A到B的对应法则0为A到B的映射u>①VxWA, x有象②Vxe A, x的象唯一@Vxe A, X的象在B中。

4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有n"个，一一映射共有n!个。

5、代数运算：一个AXB到D的映射叫做一个AXB到D的代数运算。

（。

为AXB到D的代数运算oV（a, b）WAXB, anb有意义，且aob唯一，属于D）。

6、满射：VyG A,设y二0 （x）,求出x （x为y的函数），若x存在且xGA,则0为满射。

（4中的每一个元素都有原象）：单射：Va, beA,若aHb,则0 （a） H0 （b）。

（元素不同象不同）：一一映射：即单•乂满。

（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B有限且元素个数相同）7、一个A到A的映射叫做A的一个变换:有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。

& 一个A到才的映射叫做一个对于代数运算。

申"来说的，A到才的同态映射，假如满足：Va, b€A, a-> a* b~*b则aob~*aob （运算的象二象的运算）；A与力同态u>A与4存在同态满射0°9、一个A到力的一一映射0，叫做一个对于代数运算。

和0来说的，A到4的同构映射。

（同构映射的逆映射也是同构映射）。

10、若R为法则，若R满足Va, bEA,要么aRb,要么龍乩唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A的元间的一个关系~叫做一个等1价关系，假如满足①反射律（VaGA,有a〜a）②对称律③推移律11、A的一个分类即为A的一些子集41、金、…令满足：① A】U 金U ...U A n =A. ®A t r\Aj-（b（iH j ）（不相交）。

近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集,记作2A、1.2映射●证明映射:●单射:元不同,像不同;或者像相同,元相同。

●满射:像集合中每个元素都有原像。

Remark: 映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{(a,b)∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积,其中(a,b)为有序元素对,所以一般A*B不等于B*A、●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类★等价关系:1 自反性:∀a∈A,a a;2 对称性:∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性:∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R、Remark:对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类,反之,一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交,一般等价类用[a]表示。

第二章群2、1 半群1.半群=代数运算+结合律,记作(S,)Remark: i、证明代数运算:任意选取集合中的两个元素,让两元素间做此运算,观察运算后的结果就是否还在定义的集合中。

ii、若半群中的元素可交换,即a b=b a,则称为交换半群。

2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在,即使存在也可能不唯一,甚至可能都不存在;若都存在,则左单位元=右单位元=单位元。

ii.单位元具有唯一性,且在交换半群中:左单位元=右单位元=单位元。

iii.在有单位元的半群中,规定a0=e、3.逆元i.在有单位元e的半群中,存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性,记作a-1且在交换半群中,左逆元=右逆元=可逆元。

iii.若一个元素a既有左逆元a1,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。

4.子半群i.设S就是半群,≠T S,若T对S的运算做成半群,则T为S的一个子半群ii.T就是S的子半群a,b T,有ab T2、2 群1.群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark:i、若代数运算满足交换律,则称为交换群或Abel群、ii、加群=代数运算为加法+交换群iii、单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆(满秩)矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p)、2、群=代数运算+结合律+左(右)单位元+左(右)逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3、群的性质i、群满足左右消去律ii、设G就是群,则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii、e就是G单位元⇔ e2=eiv、若G就是有限半群,满足左右消去律,则G就是一个群4、群的阶群G的阶,即群G中的元素个数,用表示。

近世代数知识点3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ； 有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。

一个集合A 的元素个数用A 表示。

当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。

用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。

3．1．2 映射映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。

定义1 设A ，B 为两个非空集合，若存在一个A 到B 的对应关系f ，使得对A 中的每一个元素x ，都有B 中唯一确定的一个元素y 与之对应，则称f 是A 到B 的一个映射，记作y=f(x)。

y 称为x 的像，x 称为y 的原像，A 称为f 的定义域，B 称为f 的定值域。

定义2 设f 是A 到B 的一个映射(1) 若A x x ∈∀21,和21x x ≠均有)()(21x f x f ≠，则称f 是一个单射。

(2) 若B y ∈∀均有A x ∈使y x f =)(，则称f 是满射。

(3) 若f 既是单射又是满射，则称f 是双射。

3．1．3 二元运算3．1．3．1 集合的笛卡儿积由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。

定义3 设A ，B 是两个非空集合，由A 的一个元素a 和B 的一个元素b 可构成一个有序的元素对（a,b ），所有这样的元素对构成的集合，称为A 与B 的笛卡儿积，记作B A ⨯，即{}B b A a b a B A ∈∈=⨯,),(。

用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。

定义4 设S 是一个非空集合，若有一个对应规则f ，对S 中每一对元素a 和b 都规定了一个唯一的元素S c ∈与之对应，即f 是S S S →⨯的一个映射，则此对应规则就称为S 中的一个二元运算，并表示为c b a =•，其中“•”表示运算符，若运算“•”是通常的加法或乘法，b a •就分别记作b a +或ab 。

近世代数复习第⼀章集合A 的⼀个分类决定A的元间的⼀个等价关系；集合A元间的⼀个等价关系~决定A的⼀个分类。

第⼆章群的定义a.设G是⼀个⾮空集合，“?”是其上⼀个⼆元运算，若满⾜1.“?”满⾜结合律；2.{G，?}中有单位元；3.{G，?}每个元都与逆元则称{G，?}是⼀个群，简称G是⼀个群。

b. 若G是⼀个有乘法的有限⾮空集合，且满⾜消去律。

群的性质1.单位元唯⼀；2.逆元唯⼀；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,⽅程ax = b和xa = b都有唯⼀的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推⼴到⽆限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=∈,.a,a215.单位元是群中唯⼀的等幂元素（满⾜x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。

6.群满⾜左右消去律。

推论：若G是有限群，则其运算表中的每⼀⾏（列）都是G中元的⼀个排列，⽽且不同⾏（列）的排列不同。

7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k n|k。

8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。

9.在有限群G中,每⼀元素具有⼀有限阶，且阶数⾄多为|G|。

交换群：若⼀个群中的任意两个元a、b,都满⾜ab = ba,则这个群为交换群。

元素的阶：G的⼀个元素a，能够使a m = e 的最⼩正整数m叫做a的阶，记为o(a)。

若是这样的m不存在，则称a是⽆限阶的。

有限群：若⼀个群的元的个数是⼀个有限整数，则称这个群为有限群，否则为⽆限群。

⼀个有限群的元的个数叫做这个群的阶。

定理：⼀个有乘法的有限集合G若是满⾜封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，⽅程ax = b 和ya = b §5变换群定理1：假定G是集合A的若⼲个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。

若是对于上述乘法来说G做成⼀个群，那么G只包含A的⼀⼀变换。

近世代数考试复习文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。

如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a =e .则称G对代数运算做成一个群。

2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。

3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。

4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。

5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。

如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。

整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。

6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。

-------------7、素理想：设R是一个交换环，P R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。

第一章 基本概念1.1 集合1.集合：由一些事物所组成的一个整体。

通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示。

2.组成一个集合的各个事物称为这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示。

常见符号：;,.a A a A a A ∈∉∈3.子集：若,a A a B ∀∈⇒∈则称A 是B 的子集，B 是A 的扩集，或A 包含于B ， B 包含A ，记作,A B B A ⊆⊇。

当A 不是B 的子集时，记作“A B ⊄”。

4.真子集：若A B ⊆，且b B ∃∈，而b A ∉，则称A 是B 的真子集，记作A B ⊂。

5.幂集：由给定集合A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作()2A P A =。

6.设A,B 是全集U 的两个子集.{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且A 的余：{}=|A x x U x A '∈∉，B 在A 中的余：{}{}\||.A B x x A x B x x A x B A B ''=∈∉=∈∈=⋂且 且 例. 设},,,,,{},,,,{},,,,,,,,{g f e d a N h e c a M h g f e d c b a U ===求,\,.M N M N M N ''⋃⋂解：{}{}{}{}{},,,,,,;\,;,,,,,,;.M N a c d e f g h M N c h M b d f g N b c h M N b ⋃==''''==⋂=1.2 映射1.映射：设A,B 是两个给定的非空集合，若有一个对应法则f ，使a A ∀∈，通过f ，!b B ∃∈与其对应，则称f 是A 到B 的一个映射，记作:f A B →或f A B −−→ A 称为f 的定义域，B 称为f 的陪域。

b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像，记作()b f a =或:.f a b a2.映射相等：设f 是1A 到1B 的映射，g 是2A 到2B 的映射，若1122,,A B A B ==且1x A ∀∈，都有()()f x g x =，则称f 与g 相等，记作f g =。

近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3）11111(),()ab b a a a -----==；（4）ab ac b c =⇒=；（5）1ax b x a b -=⇒=；1ya b y ba -=⇒=。

3、元素的阶使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。

（1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=∀∈=。

（2）若m a e =，则①||a m ≤；②||a m =⇔由n a e =可得|m n 。

（3）当群G 是有限群时，a G ∀∈，有||a <∞且||||a G 。

（4）||||r n a n a d =⇒=，其中(,)d r n =。

证明 设|||r a k =。

因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d。

另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以n k d ，故n k d =。

注：1︒||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。

2︒||,||G a G a <∞⇒∀∈<∞；但,||||a G a G ∀∈<∞⇒<∞/。

例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈∃∈∍=，则G 关于普通乘法作成群。

显然，1是G 的单位元，所以a G ∀∈，有||a <∞，但||G =∞。

二、群的几种基本类型1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。

2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。

3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。