第一章 基本概念1.1 集合1.集合：由一些事物所组成的一个整体.通常用大写拉丁字母,,,A B C L L 表示.2.组成一个集合的各个事物称为这个集合的元素，通常用小写拉丁字母,,,a b c L L 表示.常见符号：;,.a A a A a A ∈∉∈3.子集：若,a A a B ∀∈⇒∈则称A 是B 的子集，B 是A 的扩集，或A 包含于B ， B 包含A ，记作,A B B A ⊆⊇.当A 不是B 的子集时，记作“A B ⊄”.4.真子集：若A B ⊆，且b B ∃∈，而b A ∉，则称A 是B 的真子集，记作A B ⊂.5.幂集：由给定集合A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作()2A P A =.6.设,A B 是全集U 的两个子集.{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且A 的余：{}=|A x x U x A '∈∉，B 在A 中的余：{}{}\||.A B x x A x B x x A x B A B ''=∈∉=∈∈=⋂且 且 例. 设},,,,,{},,,,{},,,,,,,,{g f e d a N h e c a M h g f e d c b a U ===求,\,.M N M N M N ''⋃⋂解：{}{}{}{}{},,,,,,;\,;,,,,,,;.M N a c d e f g h M N c h M b d f g N b c h M N b ⋃==''''==⋂=1.2 映射1.映射：设,A B 是两个给定的非空集合，若有一个对应法则f ，使a A ∀∈，通过f ，!b B ∃∈与其对应，则称f 是A 到B 的一个映射，记作:f A B →或f A B −−→A 称为f 的定义域，B 称为f 的陪域.b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的 原像，记作()b f a =或:.f a b a2.映射相等：设f 是1A 到1B 的映射，g 是2A 到2B 的映射，若1122,,A B A B ==且1x A ∀∈，都有()()f x g x =，则称f 与g 相等，记作f g =.3.设,,A B C 是三个集合，f 是A 到B 的映射，g 是B 到C 的映射，规定:(()),,h x g f x x A ∀∈a则h 是A 到C 的映射，称为f 与g 的合成（或乘积），记作h g f =o ，即()(()),.g f x g f x x A =∀∈o4.设f 是A 到B 的一个映射.（1）若12,a a A ∀∈，当12a a ≠时，有12()()f a f a ≠，则称f 是A 到B 的一个单射；（2）若,b B a A ∀∈∃∈，使()f a b =，则称f 是A 到B 的一个满射；（3）若f 既是单射，又是满射，则称f 是一个双射.例如，映射:,2,,f x x x →+∀∈ a ?是从¡到¡的一一映射.设f 是A 到B 的映射，g 是B 到C 的映射，若g f o 有左逆映射，则f 有左逆映射.但是g 没有.1.3 卡氏积与代数运算1.设,A B 是两个集合，作一个新的集合：{}(,)|a b a A b B ∈∈,称这个集合是A 与B 的笛卡尔积（简称卡氏积），记作A B ⨯.例如，集合A 中含有m 个元素，集合B 中含有n 个元素，则A 与B 的卡氏积 A B ⨯中含有mn 个元素.n 个集合的卡氏积12,,,n A A A L 定义为{}12(,,,)|1,2,,,n i i a a a a A i n ∈=L L ,并记作12n A A A ⨯⨯⨯L ，或1ni i A =∏.2.设,,A B D 是三个非空集合，从A B ⨯到D 的映射称为,A B 到D 的代数运算.特别，当A B D ==时，,A A 到A 的代数运算简称为A 上的代数运算.3.设o 是集合A 上的一个代数运算，若123,,a a a A ∀∈，都有123123()(),a a a a a a =o o o o则称o 适合结合律.若12,a a A ∀∈，都有1221,a a a a =o o则称o 适合交换律.设e 是集合,B A 到A 的代数运算，⊕是A 上的代数运算，若12,,a a A b B ∀∈∈，都有1212()()(),b a a b a b a ⊕=⊕e e e则称e 对于⊕适合左分配律.设⊗是集合,A B 到A 的代数运算，⊕是A 上的代数运算，若12,,a a A b B ∀∈∈，都有1212()()(),a a b a b a b ⊕⊗=⊗⊕⊗则称⊗对于⊕适合右分配律.4.设o 是集合A 上的一个代数运算，（1）若,,a b c A ∀∈，有,a b a c b c =⇒=o o则称o 适合左消去律.（2）若,,a b c A ∀∈，有,b a c a b c =⇒=o o则称o 适合右消去律.例. 在实数集¡上规定一个代数运算ο：,2b a b a +=ο问这个代数运算ο是否适合结合律、交换律？解：（1）由于,11325353)221(3)21(,1782181)322(1)32(1=⋅+==⋅+==⋅+==⋅+=οοοοοοοο 二者不等，代数运算ο不适合结合律.（2）由于,722323,832232=⋅+==⋅+=οο 二者不等，代数运算ο不适合交换律.1.4 等价关系与集合的分类1.设,A B 是两个集合，则A B ⨯的子集R 称为,A B 间的一个二元关系.当(,)a b R ∈时，称a 与b 具有关系R ，记作aRb ；当(,)a b R ∉时，称不具有关系R ，记作aR b '.,A A 间的二元关系简称为A 上的关系.2.设:是集合A 上的一个二元关系，若满足下列性质：（1）自反性：,;a A a a ∀∈:（2）对称性：,,;a b A a b b a ∀∈⇔::（3）传递性：,,,,;a b c A a b b c a c ∀∈⇔:::则称:是A 上的一个等价关系.当a b :时，称a 与b 等价.例如,定义为“8|a b a b ⇔-:”的二元关系“:”是偶数集2¢上的一个等价关系.3.设一个集合A 分成若干个非空子集，使得A 中每一个元素属于且只属于一个元 素，则这些子集的全体称为A 的一个分类.每个子集称为一个类.类里任何一个元 素称为这个类的一个代表.集合A 上的等价关系与集合的分类之间有着本质的联系，它们可以互相决定：{}[]|.a x x A x a =∈:,4.设:是集合A 上的一个等价关系，由A 的全体不同:等价类所组成的集合族称为A 关于:的商集，记作/A :.例. 若设,,A m =∈ⅴ令 {}(,)|,,|,m R a b a b m a b =∈-¢证明m R 是整数集¢上的一个等价关系，并给出由这个等价关系所确定的¢的一个分类.证明：显然m R 是⨯ⅱ的一个子集，所以m R 是¢上的一个关系.又（1）,|,a m a b ∀∈-¢所以m aR a ；（2）,,a b ∀∈¢若m aR b ，则|m a b -，于是|m b a -，所以m bR a ；（3）,,,a b c ∀∈¢若,m m aR b bR c ，则|,m a b -|m b c -，于是|()()m a b b c -+-，即|m a c -，所以.m aR c因此，m R 是整数集¢上的一个等价关系.由这个等价关系m R 所确定的m R 等价类为：{}[0],2,,0,,2,,m m m m =--L L{}[1],21,1,1,1,21,,m m m m =-+-+++L L{}[2],22,2,2,2,22,,m m m m =-+-+++L L………{}[1],1,1,1,21,.m m m m -=-----L L第二章 群2.1 半群1.设S 是一个非空集合，若（1）在S 中存在一个代数运算ο；（2）ο适合结合律：()(),a b c a b c =o o o o ,,,a b c S ∀∈则称S 关于ο是一个半群，记作),(οS .若半群S 的运算还适合交换律：,,,a b b a a b S =∀∈o o则称S 是交换半群.半群的代数运算“ο”通常称为乘法，并将符号“ο”省略，即b a ο记作ab ，称为a 与b 的积.一个交换半群S 的代数运算常记作“+”，并称为加法，此时结合律、交换律分别为：()(),,,,,,.a b c a b c a b c S a b b a a b S ++=++∀∈+=+∀∈2.设S 是半群，,n a S ∈∈¥，n 个a 的连乘积称为a 的n 次幂，记作n a ，即.n n a aa a =678L且有：(),,,,.nm n m n m mn a a a a a a S m n +==∀∈∈¥ 如果S 是交换半群，且代数运算是加法时，a 的n 次幂应为a 的n 倍，表示n 个a 的和，记作na ，即.n na a a a =+++6447448L相应运算性质具有下列形式：,,.a S m n ∀∈∈¥(),()(),().ma na m n a n ma nm a n a b na nb +=+=+=+2.2 群的定义1.设(,)G g 是一个有单位元的半群，若G 的每个元都是可逆元，则称G 是一个群.适合交换律的群称为交换群或阿贝尔群.交换群G 的运算常用“+”号表示，并称G 是加群.2.设G 是半群，则下列四个命题等价：（1）G 是群；（2）G 有左单位元l ，而且G a ∈∀关于这个左单位元l 都是左可逆的；（3）G 有右单位元r ，而且G a ∈∀关于这个右单位元r 都是右可逆的；（4）G b a ∈∀,方程b ya b ax ==,在G 中都有解.3.若群G 所含元素个数有限，则称G 是有限群，称G 所包含元素的个数G 是G 的阶.4.群G 的运算适合左、右消去律.2.3 元素的阶1.设G 是一个群，e 是G 的一个单位元，a G ∈，使m a e =成立的最小正整数m 称为元素a 的阶，记作a m =.若使上式成立的正整数m 不存在，则称a 是无限阶的，记作a =∞.每个元素的阶都是无限的群不存在.当G 是加群时，其运算是加法，单位元为零元0，所以上式具有下列形式：0.ma =2.设G 是一个群，a G ∈，若,b G n ∀∈∃∈¢，使n b a =则称G 是由a 生成的循环群，a 是G 的生成元，记作().G a =循环群一定是交换群.3.设()G a =是一个循环群，（1）若a m =，则G 是含有m 个元素的有限群，有()m ϕ个生成元：,(,)1,r a m r =且{}0121,,,,;m G e a a a a -==L（2）若a =∞，则G 是无限群，有两个生成元：1,a a -，且{}21012,,,,,,.G a a a a a --=L L4.设G 是m 阶群，则G 是循环群当且仅当G 有m 阶元.例. 求出模12的剩余类加群12¢的每一个元的阶与所有生成元.解：12个元素：],11[],10[],9[],8[],7[],6[],5[],4[],3[],2[],1[],0[ 阶分别为：.12,6,4,3,12,2,12,3,4,6,12,1 由于12¢是由[1]生成的12阶循环群，所以12¢的生成元为：].11[],7[],5[],1[2.4 子群1.设G 是一个群，H G ∅≠⊆，若H 对G 的乘法作成群，则称H 是群G 的一个子群，记作.H G ≤2.设G 是群，H G ∅≠⊆，则下列各命题等价：（1）H G ≤（即H 对G 的乘法构成群）；（2）,a b H ∀∈，有1,ab a H -∈；（3）,a b H ∀∈，有1.ab H -∈3.（1）无限循环群G 的子群，除单位元子群外，都是无限循环群.而且G 的子群的个数是无限的；（2）m 阶循环群G 的子群的阶是m 的因数；反之，若n|m ，则G 恰有一个n 阶子群，从而G 的子群的个数等于m 的正因数个数.任何一个群都不能是它的两个真子群的并.例1. 设12¢是一个模12的剩余类加群，证明：{}[0],[4],[8]H =是12¢的一个子群.证明：首先[0]H ∈，从而H ≠∅.又[0][0][0],[0][4][4],[0][8][8],[4][4][8],[4][8][0],[8][8][4],+=+=+=+=+=+= 而12¢是一个交换群，所以H 对12¢的加法运算封闭. 因此12.H <¢ 例2. 求出Klein 四元群{}4,,,K e a b ab =的所有子群.解：由Lagrange 定理，{}4,,,K e a b ab =的子群的阶只能是：1，2，4.1阶子群是单位元群{}e ，4阶子群是4K 自身；2阶（素数阶）子群是由二阶元生成的循环群. 因此4K 的子群有且只有下列5个：1阶子群：{}e ；2阶子群：{}{}{}(),,(),,(),a e a b e b ab e ab ===；4阶子群：4.K2.5 变换群1.非空集合A 到A 自身的映射称为A 的变换，A 到A 自身的满射称为A 的满变换，A 到A 自身的单射称为A 的单变换，A 到A 自身的双射称为A 的一一变换，A A ={A 的所有变换}.()E A ={A 的所有一一变换}.()E A 称为A 的一一变换群，()E A 的子群称为A 的变换群.2.（1）一个包含n 个元的有限集合的一一变换称为（n 次）置换；（2）一个包含n 个元的有限集合的所有置换作成的群称为n 次对称群，记作n S ；对称群的子群称为置换群.3.设在n 次置换σ下，1j 的像是2j ，2j 的像是31,,r j j -L 的像是r j ，r j 的像是1j ， 其余的数字（如果还有的话）保持不变，则称σ是一个r 项循环置换，记作()12,,,,r j j j σ=L也可以记作()()23111,,,,,,,,,.r r r j j j j j j j σσ-==L L L1项循环置换()j 是恒等置换，2项循环置换()12j j 又称为对换.4.（1）n S 中的所有偶置换作成n S 的子群（称为n 次交错群，记作n A ）；（2）n 次交错群n A 的阶是!.2n例1. 写出三次对称群3S 的所有元素.解：.123321,312321,231321,213321,132321,321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例2. 设两个六次置换： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=416532654321,526413654321τσ求.,,12-στστστ 解：123456,142536στ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2123456,134652τσ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1123456.231546στ-⎛⎫= ⎪⎝⎭例3. 将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积.()()()4251314234563解：记(3654),(3241),(31524)σδη===，则:1554,2411,3136,4322,5243,6665,σδηa a a a a a a a a a a a a a a a a a从而，(3654)(3241)(31524)(142)(365).=2.6 群的同态与同构1.设G 与G '都是群，f 是G 到G '的映射，若f 保持运算，即()()(),,,f xy f x f y x y G =∀∈则称f 是G 到G '的同态.若同态f 是单射，则称f 是单同态；若同态f 是满射，则称f 是满同态，并称G 与G '同态，记作G G ':；若同态f 是双射，则称f 是同构，并称G 与G '同构，记作.G G '≅2.设f 是群G 到群G '的同态，e '是G '的单位元，则称{}Im ()()|f f G f x x G ==∈是f 的同态像，称{}1()|()Kerf f e x G f x e -''==∈=是f 的同态核.3.设f 是群G 到群G '的同态，e 是G 的单位元，则（1）f 是满同态当且仅当Im ;f G '=（2）f 是单同态当且仅当{}.Kerf e =4.任意一个群G 都与一个变换群同构.5.设()G a =是循环群，则（1）若a m =，则(,);m G ≅+¢（2）若a =∞，则(,).G ≅+¢2.7 子群的陪集1.设H G ≤，在G 中定义一个（等价）关系l R ：1,,.l aR b b a H a b G -⇔∈∀∈由等价关系l R 所决定的类称为H 的左陪集.包含元素a 的左陪集等于aH .2.设H G ≤，则下列各命题成立：（1）a aH ∈；（2）1.aH bH aH bH a b H b aH bH aH -=⇔⋂≠∅⇔∈⇔∈⇔⊆ 特别，;.aH H a H eH H =⇔∈=（3）在aH 与H 之间存在一个双射.3.设H G ≤，在G 中定义一个（等价）关系r R ：1,,.r aR b ab H a b G -⇔∈∀∈由等价关系r R 所决定的类称为H 的右陪集.包含元素a 的左陪集等于Ha .4.（Lagrange 定理）设G 是有限群，H 是G 的子群，则||[:]||.G G H H =5.有限群G 的每一个元素的阶都是||G 的因数；素数阶的群都是循环群.例如，6阶有限群的任何子群的阶数都是其正因子：1，2，3，6. 设G 是有限群，H 是G 的正规子群，若||H 与[:]G H 互素，则H 是G 中唯一的||H 阶子群.例. 求出Klein 四元群{}4,,,K e a b ab =的所有子群.解：由Lagrange 定理，{}4,,,K e a b ab =的子群的阶只能是1，2，4，而1阶子群是单位元群{}e ，4阶子群是4K 自身.二阶（素数阶）子群是由二阶元生成的循环群，因此4K 的子群有且只有下列5个：1阶子群：{}e ；2阶子群：{}{}{}(),,(),,(),a e a b e b ab e ab ===；4阶子群：4.K2.8 正规子群与商群1.设N G ≤，若a G ∀∈都有,aN Na =则称N 是G 的正规子群或不变子群，记作.N G <2.设N G ≤，则下列各命题等价：（1）N G <（即,aN Na a G =∀∈）；（2）1,,;ana N a G n N -∈∀∈∈（3）1,;aNa N a G -⊆∀∈（4）1,;aNa N a G -=∀∈（5）N 的每一个左陪集也是N 的右陪集.3.设G 是群，记作N G <，令{}/|,G N aN a G =∈规定：(),,/,aN bN ab N aN bN G N =∀∈g则(/,)G N g 是一个群，称为G 关于N 的商群.4.商群/G N 的阶是N 在G 中的指数[:]G N ，且当G 是有限群时，/G N 的阶是||.||G N 2.9 正规子群与商群1.一个群G 与它的每一个商群/G N 同态.:/,,G G N a aN a G π→∀∈a称为自然（满）同态.自然同态π的核为N.2.（同态基本定理）设f 是群G 到群G '的同态，则（1）;Kerf G <（2）/Im .G Kerf f ≅3.（第一同构定理）设f 是群G 到G '的满同态，N G ''<，1()N f N -'=，则N G <，并且//.G N G N ''≅例. 设(6),(30)是整数加群¢的两个子群，证明：5(6)/(30).≅¢ 证明：令5:(6),6[6],f n n →则f 是到的一个满同态，且{}{}{}{}6(6)|(6)[0]6(6)|[6][0]6(6)|5|630|(30).Kerf n f n n n n n m m =∈==∈==∈=∈=¢因此，(30)(6)<，且5(6)/(30).≅¢ 第三章 环3.1 环的定义1、设R 是一个非空集合，具有两种代数运算：加法（记作“+”）与乘法（记作“g ”），若（1）(,)R +是一个加群；（2）(,)R g 是一个半群；（3）,,a b c R ∀∈都有乘法关于加法的左右分配律：(),(),a b c a b a c b c a b a c a +=++=+g g g g g g 则称R 是一个结合环，简称环，记作(,,)R +g .2、常见环（1）数环：数集关于数的加法、乘法所作成的环.例如2.⊂⊂⊂⊂ⅱぁ?（2）R 上的n 阶全矩阵环()n M R ：数环R 上全体n 阶矩阵关于矩阵加法、乘法.（3）R 上的一元多项式环[]R x ：数环R 上全体一元多项式关于多项式的加法、乘法.（4）高斯（Gauss ）整数环[]{|,}i m ni m n =+∈ⅱ关于数的加法、乘法作成一个环.（5）设G 是一个加群，()E End G =是G 的所有自同态所组成的集合，规定：,,E x G στ∀∈∈，()()()(),()()(()),x x x x x στστστστ+=+=g 则(,,)E +g 是一个环，称为G 的自同态环.（6）商集{}[0],[1],,[1]m m =-关于加法运算[][][],a b a b +=+与乘法运算[][][],a b ab =g作成一个环(,,)m +，称为模m 的剩余类环.3、环的初步性质环R 关于加法是一个加群，R 具有加群的运算性质：（1）00,;a a a a R +=+=∀∈（2）()()0,;a a a a a a a R -=+-=-+=∀∈（3）(),;a a a R --=∀∈（4）,,,;a b c b c a a b c R +=⇔=-∀∈（5）(),(),,;a b a b a b a b a b R -+=----=-+∀∈（6）()(),(),,,,;m na mn a n a b na nb m n a b R =+=+∀∈∈¢其次，环R 关于乘法是一个半群，而且加法与乘法通过左右分配律相联，从而R 还具有如下性质：（7）(),(),,,;a b c ac bc c a b ca cb a b c R -=--=-∀∈（8）000,;a a a R ==∀∈（9）()(),()(),,;a b a b ab a b ab a b R -=-=---=∀∈00,,x y x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭¡00,,x y x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭¡（10）121212121111(),(),,;,,;n n n n i m n mn i j i j i j i j i j a b b b ab ab ab b b b a b a b a b a a b R a b a b a b R ====+++=++++++=+++∀∈⎛⎫⎛⎫=∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑L L L L（11）()()(),,,.na b a nb n ab n a b R ==∀∈∈¢4、若环R 的乘法运算g 适合交换律，则称R 是交换环.5、若在环R 中，半群(,)R g 有单位元，则称R 是有单位元环，或称R 是带1的环.6、设R 是一个环，0a R ≠∈，若0b R ∃≠∈，使0(0),ab ba ==则称a 是R 的一个左（右）零因子.当a 既是R 的左零因子，又是R 的右零因子时，则称a 是R 的零因子. 例如，模12的剩余类环12¢是有零因子环：[3][4][12][0]==.例1. 求所有形如的矩阵组成的环R 的零因子.解：对任意的由于00000,0a x y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以环R 的每个非零元素都是R 的右零因子，且每个形如00,00a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的元素都是R 的左零因子.又当0≠a 时，如果0000000,*a x y ax ay ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则有0,0==y x .所以00,0*a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭不是环R 的左零因子.所以环R 的左右零因子分别是00,00a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ 与 00,x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x ,不全为0. 7、设环R 不含左、右零因子，则称R 是无零因子环.8、一个有单位元、无零因子的交换环称为整环.9、设R 是一个环，若（1）R 至少包含两个元素；（2）R 有单位元；（3）R 中每个非零元都可逆；则称R 是一个除环（或体，斜域）.一个交换除环称为域.除环具有以下性质：（1）设R 至少包含两个元素，则R 是除环R ⇔中全体非零元组成的集合R *关于乘法作成一个群；（2）除环R 是无零因子环；（3）在除环R 中，,,0a b R a ∀∈≠，方程ax b =与ya b =都有唯一解.（4）一个至少含有两个元素，且没有零因子的有限环是除环.（5）一个有限整环是域.11、设R 是一个环，若存在最小正整数n ，使对于所有a R ∈，都有0na =，则称n 是环R 的特征（数）.若这样的n 不存在，则称环R 的特征（数）是零.环R 的特征（数）记作chR .在一个无零因子环R 中，所有非零元（对于加法）的阶全相等.12、设R 是一个环，且0chR n =>，则（1）当R 是有单位元时，n 是满足10n =g 的最小正整数；（2）当R 是无零因子时，n 是素数.13、域F 的特征或是素数，或是零.3.2 子环1、设R 是一个环，S R ∅≠⊆，若S 关于R 的加法、乘法作成环，则称S 是R 的一个子环，R 是S 的扩环，记作S R ≤.平凡子环：{0},.R非平凡子环：,{0},.S R S S R ≤≠≠2、(1)设R 是一个环，S R ∅≠⊆，则S 是R 的子环,a b S ⇔∀∈，有,.a b ab S -∈(2)设R 是一个除环（域），S R ∅≠⊆，则S 是R 的子除环（子域）,a b S ⇔∀∈，有1,(0).a b ab b S --≠∈3、当S 是R 的一个子环时，S 与R 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致.（1）在交换性上.①若R 是交换环，则S 也是交换环.②当S 是交换环时，R 未必是交换环. 例如20|,,().0a a b M b ⎧⎫⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ （2）在有无零因子上.①若R 是无零因子环，则S 也是无零因子环.②当S 是无零因子环时，R 未必是无零因子环. 例如12¢有零因子[3],[4]等，但{}[0],[4],[8]没有零因子.（3）在有无单位元上.①若R 有单位元，S 可以没有单位元. 例如¢有单位元1，但其子环2¢没有单位元.②若S 有单位元，R 可以没有单位元. 例如0|,,|,.0000a b a R a b S a b ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭ ③若R 与S 都有单位元，它们的单位元可以不同. 例如210(),;01010|,,.0000M a S a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭¡¡ 4、设R 是环，I 是一个指标集，()i S R i I ≤∈，则i i I S R ∈≤I .5、设R 是环，T R ∅≠⊆，令{}12|,n i S x x x x T n =±∈∈∑L ?则S R ≤.上述子环S 称为由T 生成的子环，记作[]T .并称T 中元素是[]T 的生成元，T 是[]T 的生成元集.若12{,,,}l T t t t =L 是有限集，则称[]T 是有限生成的，并可以记作12[,,,]l t t t L .特别地，1[]|,m i i i i t n t n m =⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭∑ⅴ. 6、设R 是环，T R ∅≠⊆，{}|,i i M S T S R i I =⊆≤∈是R 的所有包含T 的子环族，则i i IT S ∈=I .3.3 环的同态与同构1、设R 与R '都是环，f 是R 到R '的映射，若f 保持运算，即,x y R ∀∈，有()()(),()()(),f x y f x f y f xy f x f y +=+= 则称f 是R 到R '的同态.单同态：同态f 是单射.满同态：同态f 是满射，并称R 与R '同态，记作R R ':. 同构：同态f 是双射，并称R 与R '同构，记作R R '≅. 环R 的自同态：R 与R 的同态；环R 的自同构：R 与R 的同构.2、设f 是环R 到环R '的同态.（1）若0是R 的零元，则(0)f 是R '的零元；（2）,()()a R f a f a ∀∈-=-；（3）若S R ≤，则()f S R '≤；（4）若S R ''≤，则1()f S R -'≤.3、当:f R R '→是满同态时，R 与R '在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致.（1）在交换性上.①若R 是交换环，则R '也是交换环.②当R '是交换环时，R 未必是交换环. 例如0:.00a b a f c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a （2）在有无零因子上.①当R 是无零因子环时，R '未必是无零因子环. 例如:m f ，¢没有零因子，m 是合数时，m ¢是有零因子环.②当R '是无零因子环时，R 未必是无零因子环. 例如 0:;00001010.0000a b a f c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a （3）在有无单位元上.①若R 有单位元1，则R '有单位元(1)f .②当R '有单位元时，R 未必有单位元. 例如010:;000000a b a f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a 4、设环R R '≅，则R 是整环（除环，域）R '⇔是整环（除环，域）.5、设f 是环R 到环R '的同态，g 是环R '到环R ''的同态，则f 与g 的合成g f o 是环R 到环R ''的同态.6、设f 是环R 到环R '的满同态（单同态，同构），g 是环R '到环R ''的满同态（单同态，同构），则f 与g 的合成g f o 是环R 到环R ''的满同态（单同态，同构）.7、设f 是环R 到环R '的同态，0'是R '的零元，则称{}|()0Kerf x R f x '=∈=是的同态核.8、设f 是环R 到环R '的同态，0是R 的零元，则f 是单同态{}0.Kerf ⇔=3.4 理想与商环1、设(,,)R +g 是一个环，(,)A +是(,)R +的一个子加群，（1）若,r R a A ∀∈∈有ra A ∈，则称A 是R 的左理想；（2）若,r R a A ∀∈∈有ar A ∈，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，又是R 的右理想，则称A 是R 的（双侧）（双边）理想，记作A R <.若A R <，且A R ≠，则称A 是R 的真理想.理想是子环，子环不一定是理想.2、只有零理想{}0与单位理想R 的环R 称为单环. 除环是单环.3、设R 是一个环，I 是一个指标集，()i A R i I ∈<，则i i IA R ∈<I .注：理想的并集一般不是理想.5、设R 是环，T R ∅≠⊆，{}|,i i M A T A R i I =⊆∈<是R 的所有包含T 的理想族，则称i i IA ∈I 是由T 所生成的理想，记作()T .并称T 中元素是()T 的生成元，T 是()T 的生成元集.若12{,,,}l T t t t =L 是有限集，则称()T 是有限生成的，并可以记作12(,,,)l t t t L . 特别地，由一个元素a 生成的理想()a 称为主理想.3、设R 是一个环，a R ∈，T R ∅≠⊆，则{}()|,,,,i i i i a x ay sa at na x y s t R n =+++∈∈∑¢.且有（1）若R 是有单位元环，则{}()|,i i i i a x ay x y R =∈∑；（2）若R 是交换环，则{}()|,a ra na r R n =+∈∈¢；（3）若R 是有单位元的交换环，则{}()|a ra r R =∈；（4）{}()|(),i i i i T x x t t T =∈∈∑.例1. 求整数环¢上一元多项式环[]x ¢的理想(2,)x ，并证明(2,)x 不是主理想. 证明：因为[]x ¢是有单位元的交换环，所以12120(2,){2()()|(),()[]}{2()|()[]},x f x xf x f x f x x a xf x f x x =+∈=+∈¢¢ 即(2,)x 是由[]x ¢中常数项为偶数的多项式组成.若(2,)(()),()[],x p x p x x =∈¢则2(()),(()),2()(),()(),(),()[],(),(),1(2,)p x x p x p x q x x p x h x q x h x x p x a x ah x a x ∈∈==∈=∈==±∈¢¢这与1(2,)x ±∉矛盾.得证.4、设R 是环，A R <，在商群{}{}(,)/(,)[]||R A x x R x A x R ++=∈=+∈中再规定：[][][],[],[]/x y xy x y R A =∀∈g ，则(/,,)R A +g 是一个环，/R A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[]x x A =+称为R 模A 的剩余类.5、（1）若R 是交换环，则/R A 也是交换环；（2）若R 是有单位元1的环，则/R A 有单位元[1].6、一个环R 与它的每一个商环/R A 同态.自然同态：:/,[],R R A x x x A x R π→=+∀∈a . 且有.Ker A π=7、（同态基本定理）设f 是环R 到环R '的同态，则（1）Kerf R <；（2）/Im R Kerf f ≅.8、（第一同构定理）设f 是环R 到环R '的满同态，A R ''<，1()A f A -'=，则A R <，并且//R A R A ''≅.9、设f 是环R 到环R '的满同态，若A R <，则()f A R '<.3.5 素理想与极大理想1、设R 是交换环，P 是R 的一个理想，若,,a b R ab P a P ∀∈∈⇒∈或b P ∈，则称P 是R 的素理想.单位理想是素理想.当R 是无零因子交换环时，零理想也是素理想；当R 有零因子时，零理想不是素理想.2、设P 是有单位元的交换环R 的一个理想，则P 是R 的素理想/R P ⇔是整环.例1. 试求模18的剩余类环18¢的所有素理想.解：（1）18¢有6个子加群：{}{}{}{}{}18{[0]},[0],[1],,[17],([2])[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],([3])[0],[3],[6],[9],[12],[15],([6])[0],[6],[12],([9])[0],[9].=====它们也是18¢的所有子环，也是18¢的所有理想.（2）因为[2][3][6]([6]),=∈但是[2],[3]([6]),∉所以([6])不是18¢的素理想.同理可证，{0},([9])都不是18¢的素理想.（3）对于([3])，设18[],[],[][]([3])a b a b ∈∈¢，则[][]([3]),[3][0],18|3a b r ab r ab r =-=-，从而存在m ∈¢，使318,183.ab r m ab m r -==+因为3|18，所以3|ab ，从而3|a 或3|b ，因此[]([3])a ∈或[]([3])b ∈，所以([3])是18¢的素理想.同理可证，([2])也是18¢的素理想.（4）显然单位理想18¢是18¢的素理想.3、设M 是环R 一个真理想，若对于的理想N ，M N N R ⊂⇒=，则称M 是R 的极大理想.R 中包含极大理想M 的理想只有R 与M .环R 本身不是的极大理想.若R 只有平凡理想，则零理想是R 的极大理想. 一个环可以有多个极大理想，也可以没有极大理想.4、设M 是有单位元的交换环R 的一个理想，则M 是R 的极大理想/R M ⇔是域.5、在有单位元的交换环中，极大理想一定是素理想.例2. 证明：在整数环¢上一元多项式环[]x ¢中，(2,)x 是一个极大理想. 证：因为[]x ¢是有单位元的交换环，所以12120(2,){2()()|(),()[]}{2()|()[]},x f x xf x f x f x x a xf x f x x =+∈=+∈ⅱ 即(2,)x 是由[]x ¢中常数项为偶数的多项式组成.令[0],2|(0),(())[1],f f x ϕ⎧=⎨⎩其它 …………(3分) 则ϕ是满同态，且ker {()[]|(())[0]}{()[]|2|(0)}(2,),f x x f x f x x f x ϕϕ=∈==∈=¢¢ 由同态基本定理，2[](2,)x x ≅¢¢，2¢是域，则 [](2,)x x ¢ 也是域，(2,)x 是[]x ¢的极大理想. 3.6 商域1、（挖补定理）设S 是环R 的子环，S S '≅，S R '⋂=∅，则存在S '的扩环R '， 使R R '≅.2、每一个无零因子交换环R 都可以扩充为一个域F .3、无零因子交换环R 的扩域F 的构造为{}1|,F ab a R b R -*=∈∈.4、设R 是无零因子交换环，F 是R 的扩域，且{}1|,F ab a R b R -*=∈∈则称F 是R 的商域（或分式域）.5、（1）设F 是环R 的商域，F '是环R '的商域，若R R '≅，则F F '≅.（2）设F 与F '都是环R 的商域，则F F '≅.即，在同构的意义下，环的商域是唯一的.（3）环R 的商域是R 的最小扩域.例如¤是¢的商域，¡不是¢的商域.3.7 多项式环1、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，R α'∈，则R '中形如()2012,{0}n n i a a a a a R n ααα++++∈∈⋃L ?的元素称为R 上α的一个多项式，记作()f α；i a 称为()f α的系数，i i a α称为()f α的项.2、用[]R α表示全体R 上α的多项式所组成的集合，[]R α称为R 上α的多项式环.3、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，x R '∈，若()201201,{0}0,nn i n a a x a x a x a R n a a a ++++∈∈⋃⇒====L ?L则称x 是R 上的未定元.称x 的多项式 ()2012(),{0}n n i f x a a x a x a x a R n =++++∈∈⋃L ?是一元多项式.当0n a ≠时，称n n a x 是()f x 的首项；称n a 是()f x 的首项系数；称n 是()f x 的次数，记作deg ()f x ，零多项式0没有次数.[]R x 称为R 上的一元多项式环.4、设(),()f x g x 是[]R x 中两个非零多项式，则（1）(){}deg ()()max deg (),deg ()f x g x f x g x +≤，（2）()deg ()()deg ()deg ()f x g x f x g x ≤+，且当()f x 与()g x 的最高次项系数不是零因子时，有()deg ()()deg ()deg ()f x g x f x g x =+5、设R 是一个有单位元的交换环，则一定存在R 上的未定元x ，从而存在一元多项式环[]R x .6、设(),()[]f x g x R x ∈，且()0g x ≠，若()g x 的首项系数是可逆元，则存在唯一的一对多项式(),()[]q x r x R x ∈，使()()()(),()0f x g x q x r x r x =+= 或 deg ()deg ()r x g x <.7、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，12,,,n R ααα'∈L ，把环12[][][]n R αααL 称为R 上的12,,,n αααL 的多项式环，记作12[,,,]n R αααL .12[,,,]n R αααL 中的元素称为R 上12,,,n αααL 的多项式，它们都可以表示为()1212n n i i i i i i a a R ∈∑L L 其中仅有有限个120n i i i a ≠L ，12n i i i a L 称为这个多项式的系数.8、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，12,,,n x x x R '∈L ，若()1212121212000,1,2,;1,2,,n n n n i i i i i i n i i i i i i j a x x x a i j n =⇒===∑L L L L L L则称12,,,n x x x L 是R 上的无关未定元.称12,,,n x x x L 的多项式()1212121212n n n n i i i i i i n i i i i i i a x x x a R ∈∑L L L L 是n 元多项式.称12[,,,]n R x x x L 是n 元多项式环.9、设R 是一个有单位元的交换环，n ∈¥，则一定存在R 上的无关未定元12,,,n x x x L ，从而存在n 元多项式环12[,,,]n R x x x L .第四章 整环里的因子分解在本章中，I 都表示整环，其单位元是1.4.1 不可约元、素元、最大公因子1、整环I 中的可逆元ε称为I 的单位.ε是单位()I ε⇔=.一个元素个数大于2的整环中至少有两个单位：1和1-.整数环只有两个单位，即1和1-.域F 中的每一个非零元都是单位.2、整环I 的全体单位关于I 的乘法构成一个交换半群.3、设,a b I ∈，若c I ∃∈，使a bc =则称b 整除a ，或b 是a 的因子，记作|b a .4、整除关系具有下列性质.（1）|,||c b b a c a ⇒；（2）|()()b a a b ⇔⊆；（3）|,|,a b b a b a εε⇔=是I 的单位()()b a ⇔=；（4）ε是I 的单位|1ε⇔；（5）设b I ∈，ε是I 的单位，若|b ε，则b 也是I 的单位；（6）设a I ∈，ε是I 的单位，则|,|a a a εε.5、设,a b I ∈，若|a b 且|b a ，则称a 与b 相伴，记作a b :.6、设,,a b c I ∈，则下列各个命题等价：（1）a b :；（2）,b a εε=是I 的单位；（3）()()a b =.7、相伴关系是整环I 上的一个等价关系.8、设,a b I ∈，若|b a ，但b 不是单位，且b 与a 不相伴，则称b 是a 的真因子.9、设,a b I ∈，则b 是a 的真因子()()a b I ⇔⊂⊂.10、单位没有真因子.11、设a I ∈，且a bc =，若b 是a 的真因子，则c 也是a 的真因子.12、设a I ∈，且0a ≠，a 不是单位，若a 在I 中没有真因子，则称a 是I 的一个不可约元；若a 在I 中有真因子，则称a 是I 的一个可约元.13、设a I ∈，且0a ≠，a 不是单位，则a 是I 的可约元a bc ⇔=，且,bc 都不是单位.14、一个不可约元的相伴元也是不可约元.15、设p I ∈，且0p ≠，p 不是单位，若由|p ab 可推出|p a 或|p b ，则称p 是I 的一个素元.16、在整环I 中，每一个素元都是不可约元.17、设,a b I ∈，若d I ∃∈，使（1）|,|d a d b ；（2）,|,||c I c a c b c d ∀∈⇒；则称d 是a 与b 的最大公因子. 18、最大公因子有以下基本性质：（1）(,0)a a :；（2）(,)00a b a b ⇔==:；（3）a I ∀∈与单位ε，有(,)a εε:.19、设,a b I ∈，a 与b 的最大公因子存在，且是单位，则称a 与b 互素.a 与b 互素，当且仅当除单位外，a 与b 无其他公因子20、若整环I 中任意两个元的最大公因子都存在，则,,a b c I ∈，有（1）(,(,))((,),)a b c a b c :；（2）(,)(,)c a b ca cb :；（3）(,)1,(,)1(,)1a b a c a bc ⇒:::.4.2 唯一分解环1、设a I ∈满足：（1）有一个因子分解式12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（1）若同时又有因子分解式12s a q q q =L （j q 是I 中不可约元）；那么s r =，并且可以适当调换因子的次序，使(1,2,,)i i q p i r =:L . 则称a 为I 中的唯一分解元，并称r 是a 的长.2、设a 是唯一分解元，若在a 的分解式中，有t 个不可约因子12,,,t p p p L 互不相伴，且其他的不可约因子都与某个i p 相伴，则a 的分解式可以写作：1212t e e e t a p p p ε=L ，其中ε是单位，i e ∈¥.这个式子称为a 的标准分解式.3、若整环I 中每一个既不是零又不是单位的元都是唯一分解元，则称I 是唯一分解环.4、在一个唯一分解环I 中，若元a 的不可约因子已知，则可确定出a 的所有真因子（至多相差单位因子），且元a 的长大于其任一真因子的长.5、在一个唯一分解环I 中，任意两个元都有最大公因子，每一个不可约元都是素元.7、若整环I 中任意两个元的最大公因子都存在，则I 中的每一个不可约元都是素元.8、若整环I 满足：（1）I 中每一个既不是零又不是单位的元a 都有一个因子分解：12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（2）I 的每一个不可约元p 都是素元；则I 是唯一分解环.9、若整环I 满足：（1）I 中每一个既不是零又不是单位的元a 都有一个因子分解：12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（2）I 的任意两个元都存在最大公因子；则I 是唯一分解环.例1. 设[3]{3|,}{3|,}I m n m n m n i m n =-=+-∈=+∈ⅱ?（1）ε是I 的单位2||11εε⇔=⇔=±；（2）求2的相伴元；（3）I 中适合条件2||4a =的元a 是I 的不可约元；（4）2是I 的不可约元，但不是I 的素元；（5）I 不是唯一分解环.证：（1）循环论证法.若ε是I 的单位，则I ε'∃∈，使1εε'=.两边取模的平方，得22||||1εε'=. 设3m n ε=+-，则222||3m n εεε==+是正整数.同理2||ε'也是正整数，于是2||1ε=.若2||1ε=，则2231m n +=，所以0,1n m ==±，即1ε=±.显然1±是I 的单位.（2）由（1）及相伴元的定义，2的相伴元只有2与2-.（3）因为2||4a =，所以0a ≠且不是单位.设3b m n I =+-∈是a 的一个因子，则a bc =，c I ∈，于是2224||||||a b c ==.但是对于任何正整数222,,||32m n b m n =+≠，所以2||1b =或4.若2||1b =，则b 是单位；若2||4b =，则2||1c =，于是c 是单位，所以b a :.从而a 只有平凡因子，因此a 是不可约元.（4）因为2|2|4=，由（1）知，2是I 的不可约元.下面证2不是I 的素元.首先2|(13)(13)+---.若2|13+-，则存在c I ∈，使132c +-=.于是222|13||2|||c +-=，即244||c =，从而2||1c =，1c =±，但这是不可能的.所以2/|13+-.同理2/|13--.因此2不是I 的素元.（5）I 的单位只有1与1-，从而4是I 中一个既不是零元也不是单位的元，而且422(13)(13)=⋅=+--- 因为222|2||13||13|4=+-=--=，所以都是I 的不可约元.又因为213/+-:，213/--:，所以4有两种本质上不同的不可约元的因子分解，从而4不是唯一分解元.因此[3]I =-¢不是唯一分解环.4.3 主理想环1、若整环I 的每一个理想都是主理想，则称是主理想环.例如，整数环¢和域F 上的一元多项式环[]F x 都是主理想环；但¢上的一元多项式环[]x ¢不是主理想环：(2,)x 不是主理想.2、设是一个主理想环，若在序列123,,,(,1,2,3,)i a a a a I i ∈=L L中每一个元都是前面一个元的真因子，则这个序列一定是有限序列.3、每一个主理想环都是唯一分解环.4、设I 是主理想环，,a b I ∈，则(,)()a b d d =⇔是a 与b 的一个最大公因子.5、设I 是主理想环，12,,,s a a a I ∈L ，则12(,,,)()s a a a d d =⇔L 是12,,,s a a a L 的一个最大公因子.6、设I 是一个主理想环，p 是I 中的非零元，则()p 是I 的极大理想p ⇔是I 的不可约元.4.4 欧氏环1、设I 是整环，若（1）存在一个由\{0}I I *=到非负整数集{0}⋃¥的映射ϕ；（2）,,,a I b I q r I *∀∈∈∃∈，使,0b aq r r =+=或()()r a ϕϕ<；则称I 是一个欧氏环.例如，整数环¢，高斯整（数）环[]{|,}i m ni m n =+∈ⅱ，域F 上的一元多。
