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《点集拓扑学教案》一、引言1.1 点集拓扑学的定义：研究在给定的拓扑空间中，点集的性质、结构以及点集之间的相互关系。
1.2 点集拓扑学的重要性：点集拓扑学是拓扑学的基础，对其他数学分支如代数、分析、微分几何等有重要的影响。
1.3 点集拓扑学与其他学科的联系：与计算机科学、物理学、经济学等领域有密切的联系。
二、拓扑空间的基本概念2.1 拓扑空间的定义：一个拓扑空间是一个集合，along with a collection of subsets of called a topology, which satisfies certn properties.2.2 拓扑空间的性质：拓扑空间具有三个基本性质：开集、闭集和连续性。
2.3 常见拓扑空间：欧几里得空间、度量空间、仿射空间、辛空间等。
三、拓扑空间的连通性3.1 连通性的定义：一个拓扑空间是连通的，如果它可以通过连续变换连通起来。
3.2 连通性的性质：连通的拓扑空间是自相似的，即它可以通过连续变换变成自身。
3.3 连通性与曲率的关系：通过曲率的定义，可以判断拓扑空间的连通性。
四、拓扑空间的紧性4.1 紧性的定义：一个拓扑空间是紧的，如果它的任何开覆盖都有一个有限子覆盖。
4.2 紧性的性质：紧的拓扑空间是可分的，即它可以被分成有限个开集的并集。
4.3 紧性与连续变换的关系：紧的拓扑空间可以通过连续变换变成自身。
五、拓扑空间的度量5.1 度量的定义：度量是一个函数，它为每个点集赋予一个非负实数，称为度量。
5.2 度量的性质：度量具有正定性、对称性和三角不等式性质。
5.3 度量空间：具有度量的拓扑空间称为度量空间，度量空间中的点集可以通过度量来度量它们之间的距离。
六、连通拓扑空间的同伦6.1 同伦的定义：两个连通拓扑空间之间的同伦是指一个连续映射可以将一个空间连续地变形到另一个空间。
6.2 同伦的性质：同伦关系是等价关系，满足自反性、对称性和传递性。
6.3 同伦的应用：同伦关系可以用来研究连通拓扑空间的性质和结构，例如通过同伦变换可以将一个空间变形为另一个空间。
数学中的拓扑学分支数学是一门广泛而深奥的学科，涵盖了许多分支和领域。
其中，拓扑学作为数学的一个重要分支，主要研究集合和空间的性质及其之间的映射关系。
在本文中，我们将深入探讨数学中拓扑学的几个分支，包括点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学。
一、点集拓扑学点集拓扑学是拓扑学的最基础、最基本的分支，它研究的是点集及其子集的性质。
在点集拓扑学中，我们关注的是集合中的点及其之间的关系，而不考虑度量和距离。
通过引入开集、闭集、连通性等概念，点集拓扑学研究了集合的性质，如连通性、紧致性、分离性等。
例如，欧几里得空间中的开集是指任意一点存在一个足够小的邻域，使得该邻域中的所有点仍然属于该集合。
闭集则是指集合包含了所有其极限点。
通过对开集和闭集的研究，我们可以推导出许多重要的性质，如集合的交、并、差运算、闭包、内部等。
二、代数拓扑学代数拓扑学是拓扑学中的另一个重要分支，它结合了拓扑学和代数学的方法和思想，研究了在拓扑空间上定义的代数结构。
代数拓扑学的研究内容主要包括群论、环论、域论等代数结构与拓扑空间之间的关系。
代数拓扑学的一个重要应用是同伦论，它是研究拓扑空间中连续变形的方法。
同伦论通过引入同伦等价的概念，研究了拓扑空间之间的变形和形状不变性。
例如，同伦论可以用来研究环面和球面是否同胚，即它们是否具有相同的形状。
三、微分拓扑学微分拓扑学是拓扑学中应用最广泛的分支之一，它结合了微积分和拓扑学的知识，研究了光滑流形和向量场等对象的性质。
微分拓扑学主要关注的是流形及其上的微分结构和微分同胚。
光滑流形是一个具有光滑结构的拓扑空间，它可以用来描述现实世界中的各种物理现象。
微分拓扑学通过引入切空间、切丛和微分同胚等概念，研究了流形的性质，如维度、切空间的结构、流形的切向量场等。
微分拓扑学的一个重要结果是斯托克斯定理，它建立了微分形式在流形上的积分与边界的关系，是微分几何和微分拓扑学的基础。
总结起来，数学中的拓扑学分支涵盖了点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学三个重要方向。
一、点集拓扑学的基本概念1. 拓扑空间的概念拓扑空间是点集拓扑学中的一个基本概念，它是一个具有一定性质的集合，其定义是一个集合X，以及X的子集族T，称为X上的一个拓扑结构，满足以下条件：（1）空集和全集都属于T（2）任意两个元素的交集属于T（3）任意有限个元素的并集属于T拓扑结构T的元素称为开集，满足这些条件的集合X称为拓扑空间。
2. 拓扑结构的生成拓扑结构可以由邻域系统、基本开集系统或者距离函数生成。
通常我们可以通过指定一组生成元素，然后利用生成元素的运算得到拓扑结构。
3. 连通性连通性是点集拓扑学中一个重要的概念，它描述了集合的整体性质。
一个集合如果可以被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是不连通的；反之，如果一个集合不能被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是连通的。
4. 紧性紧性是一种覆盖性质，描述了集合上开覆盖的性质，一个集合如果任何开覆盖都存在有限子覆盖，则称该集合是紧的。
二、拓扑空间上的映射1. 连续映射拓扑空间之间的映射称为连续映射，一个映射如果满足对于任意开集的原像都是开集，则称该映射是连续的。
2. 同胚映射一个双射且连续的映射称为同胚映射，它描述了两个拓扑空间之间的等同性质。
3. 全局性质全局性质是指拓扑空间中全体元素的性质，例如紧性、连通性等。
1. 度量空间度量空间是一种特殊的拓扑空间，它可以通过度量函数来定义拓扑结构。
度量空间的拓扑结构由度量函数生成。
2. 离散拓扑离散拓扑是一种特殊的拓扑结构，它的开集是所有单点集和空集的组合。
它是最精细的拓扑结构。
3. 有限开拓扑有限开拓扑是一种限制了开集数量的拓扑结构，它适用于有限集的拓扑结构定义。
四、点集拓扑的应用1. 分析学拓扑学在分析学中有广泛的应用，比如连续函数的性质、紧性和连通性对于函数的性质有很大的影响。
2. 几何学拓扑学在几何学中有着举足轻重的地位，比如拓扑不变性理论、同伦理论等都是几何学中重要的研究方向。
3. 应用数学拓扑学在应用数学中有广泛的应用，比如网络结构的分析、信号传输的优化等都涉及到拓扑学的知识。
点集拓扑的基本概念点集拓扑是数学中的一个分支，研究的对象是集合上的拓扑结构和拓扑性质。
本文将介绍点集拓扑的基本概念，包括拓扑空间、连通性、紧致性和家族等内容。
拓扑空间拓扑空间是点集拓扑的基础概念。
所谓拓扑空间，就是一个集合和该集合上的一族子集的组合。
这个子集族满足一定的条件，即满足空集和整个集合的要求，同时闭underfiniteintersection和有限完全并的性质。
对于拓扑空间，我们有开集和闭集的概念。
开集是指拓扑空间中的某个子集，该子集内的每个点都有一个相对于整个集合而言的领域包含于该子集中。
闭集则是指拓扑空间中的某个子集，该子集的补集是一个开集。
连通性连通性是点集拓扑中的一个重要概念。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不能划分为两个非空且互不相交的开集。
换言之，一个连通的拓扑空间中的任意两个点都可以通过一条连续的曲线连接起来。
对于连通空间，其一些基本性质可以推导出来。
例如，连通空间的子空间也是连通的，连通的开集不是空集，连通空间的闭包是连通的等。
紧致性紧致性是点集拓扑中的另一个重要概念。
对于一个拓扑空间，如果它的任意开覆盖都存在有限子覆盖，那么它被称为紧致的。
换言之，紧致空间的任意开覆盖可以从中选取有限个开集，仍然能够覆盖整个空间。
紧致性在分析和拓扑学中具有广泛的应用。
紧致空间的一些性质，如有界性、闭合性和列紧性等，都与紧致性密切相关。
家族在点集拓扑中，我们还有一个重要概念是家族。
家族是指一个非空集合的集合，即一组集合的集合。
在拓扑学中，我们通常讨论某个集合的子集家族，这些子集可以具有某些特定的性质。
家族在点集拓扑中的应用广泛，例如，家族可以用来表示开集和闭集的集合，也可以用来描述拓扑基和拓扑生成的集合等。
本文介绍了点集拓扑的基本概念，包括拓扑空间、连通性、紧致性和家族等内容。
拓扑空间是点集拓扑的基础，连通性和紧致性是拓扑空间的重要性质，家族则是用来描述集合和子集的组合。
通过对这些基本概念的理解，我们可以更好地研究和应用点集拓扑的知识。
熊金城点集拓扑讲义一、引言点集拓扑学是现代数学的一个重要分支。
它的研究对象是一般的拓扑空间，即是由不同类型的点及其之间的关系组成的空间。
它是抽象代数学的一部分。
它探索的是空间的本质结构，不仅仅考虑空间的代数性质，而是将空间中多样的几何性质整合起来，从而揭示空间的整体性质。
点集拓扑可由简单形式的集合拓扑展开，进而发展为更为深奥和复杂的分支，如流形、纤维丛等。
点集拓扑学具有广泛的应用，如在物理、化学、计算机科学、天文学等领域均有涉及。
二、定义与基本概念点集拓扑学的基本对象是拓扑空间，其定义如下：定义1.1 拓扑空间设X是一个集合，T是X的一个子集族，若其满足以下三个条件：1. X及空集∅∈T；2. T的任意（包括可数无穷）并集仍属于T；3. T的有限交仍属于T，则称X配以集合族T为一拓扑空间，简称拓扑空间（topological space）。
通常我们将配以不同拓扑的同一集合视为不同的拓扑空间，即称(X,T1)和(X,T2)为不同的拓扑空间。
给定拓扑空间(X,T)，若S⊆X，则S处在S所在空间的拓扑子集上，此时称(X,yS,T|S)为子拓扑。
定义1.3 闭集、开集给定拓扑空间(X,T)，S是X的一个子集，如果S的补集S′∈T，那么称S是X的一个闭集；如果S∈T，那么称S是开集。
由于0和整个集合X本身总是开集，因而称它们是平凡开集；空集是闭集，其余闭集就是其余集合的开集的补集。
设A是拓扑空间X的一个子集，x是X的一个点，若对于任何包含x的开集U，有U∩A≠∅，那么称x是A的极限点（accumulation point）。
若A的闭包为X，那么称A在X中是稠密的（dense），也就是说，任何不属于A的X 的点，它都是A的极限点。
三、连通性和紧性连通性和紧性是点集拓扑的两个最为基本的概念。
连通性考虑了空间内元素之间的连通情况，紧性则关注空间的内部有多少信息。
定义2.1 连通性设X是拓扑空间，若对于任意的开集A∈T，它的对立集X-A也是连通的，那么称X是连通的（connected）。
《点集拓扑学教案》word版教案章节一：引言1.1 课程介绍本课程旨在帮助学生理解点集拓扑学的基本概念和性质，掌握基本的拓扑空间及其性质，了解拓扑学在数学和物理学中的应用。
1.2 知识点1.2.1 拓扑空间的定义与性质1.2.2 开集、闭集和边界1.2.3 拓扑关系的传递性1.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解拓扑空间的基本概念，掌握开集、闭集和边界的定义及其性质，理解拓扑关系的传递性。
教案章节二：拓扑空间2.1 基本概念2.1.1 拓扑空间的定义2.1.2 拓扑空间的性质2.1.3 常见的拓扑空间2.2 拓扑关系2.2.1 拓扑关系的定义2.2.2 拓扑关系的性质2.2.3 拓扑关系的传递性2.3 教学目标通过本章的学习，使学生掌握拓扑空间的基本概念和性质，理解拓扑关系的定义及其性质，掌握拓扑关系的传递性。
教案章节三：开集与闭集3.1 开集与闭集的定义3.1.1 开集的定义3.1.2 闭集的定义3.2 开集与闭集的性质3.2.1 开集与闭集的举例3.2.2 开集与闭集的关系3.2.3 开集与闭集的运算3.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解开集与闭集的定义及其性质，掌握开集与闭集的举例和运算。
教案章节四：边界4.1 边界概念4.1.1 边界的定义4.1.2 边界的性质4.2 边界定理4.2.1 边界定理的定义4.2.2 边界定理的证明4.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解边界的定义及其性质，掌握边界定理及其证明。
教案章节五：拓扑关系与边界关系5.1 拓扑关系与边界关系的联系5.1.1 拓扑关系与边界关系的定义5.1.2 拓扑关系与边界关系的性质5.2 拓扑关系与边界关系的应用5.2.1 拓扑关系与边界关系在几何学中的应用5.2.2 拓扑关系与边界关系在物理学中的应用5.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解拓扑关系与边界关系的联系及其性质，掌握拓扑关系与边界关系在数学和物理学中的应用。
点集拓扑讲义知识点总结一、拓扑空间基本概念1.1 集合和拓扑空间在点集拓扑学中，最基本的两个概念就是集合和拓扑空间。
集合是元素的无序集合，而拓扑空间是一个集合，其中定义了一种称为拓扑结构的特定结构。
这个结构用来描述集合中元素的“接近”或“相邻”的概念。
1.2 拓扑结构拓扑结构定义了哪些子集被认为是开集，从而为集合赋予了拓扑性质。
具体来说，给定一个集合X，如果满足以下条件：（1）空集和X本身是开集；（2）任意开集的任意并集仍然是开集；（3）有限个开集的任意交集仍然是开集。
那么这个集合X连同其定义的拓扑结构称为一个拓扑空间。
1.3 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个非常重要的概念。
开集是指每个点都包含在集合内部的集合，闭集则是指包含了其边界的集合。
开集和闭集的性质和运算是拓扑学中的基础。
1.4 拓扑空间的连通性拓扑空间的连通性描述了空间内部的连通性质，一个拓扑空间如果不是两个不相交开集的并，则称为连通的。
连通性质是描述空间整体结构的一种重要方式。
二、拓扑空间的结构和性质2.1 度量空间和拓扑空间度量空间是一种拥有度量的拓扑空间，度量是一种满足一系列性质的函数，用来度量空间中两点之间的距离。
度量空间可以定义一种称为度量拓扑的拓扑结构，这种拓扑结构给出了空间中点的“接近”概念。
2.2 Hausdorff空间Hausdorff空间是指任意两个不同的点都存在不相交的邻域的拓扑空间。
这种空间具有较强的分离性质，能够更好地描述空间中点的位置关系。
2.3 紧空间在拓扑学中，紧空间是指任何开覆盖都存在有限子覆盖的空间。
紧空间具有重要的性质，例如有限覆盖性质和闭性性质，这些性质在分析和拓扑学的研究中有着重要的应用。
2.4 连通空间连通空间是指空间中不存在非空且既开又闭的子集的空间。
换句话说，连通空间是指空间中的点在拓扑上是连续的，没有间断。
这是拓扑空间中另一个极为重要的性质。
2.5 分离性和局部性在拓扑学中，还存在一些描述拓扑空间性质的分离性和局部性定理，包括T0空间、T1空间、T2空间等概念。
拓扑学中的点集拓扑理论拓扑学是数学中研究空间的性质和结构的学科，而点集拓扑理论则是拓扑学的一个重要分支。
在点集拓扑理论中，我们研究的是点集及其子集之间的联系和性质，并通过定义拓扑空间，引入拓扑结构来研究这些问题。
本文将介绍拓扑学中的基本概念、基本性质以及一些相关应用。
一、基本概念1. 点集在拓扑学中，点集是指由一些点组成的集合。
这些点可以是实数、复数、向量等数学对象，也可以是一般的集合。
我们研究的对象主要是点集及其子集之间的关系。
2. 拓扑空间拓扑空间是指一个集合X以及X上的一个拓扑结构T的有序对(X, T)。
其中，X是点集，T是X上的一些子集构成的集合，满足以下性质：（a）X和空集∅都属于T；（b）任意多个集合的并集属于T；（c）有限个集合的交集属于T。
3. 开集与闭集在拓扑空间中，如果一个集合属于拓扑结构T，则称其为开集；如果一个集合的补集属于拓扑结构T，则称其为闭集。
4. 连通性连通性是指拓扑空间中无法拆分为两个非空、不相交开集的性质。
若一个空间既非空也不是整个空间，则称其为连通的；否则称其为不连通的。
二、基本性质1. 连通性的等价性对于拓扑空间X，以下三个命题是等价的：（a）X是连通的；（b）X中任意两点之间存在连通子集；（c）X中任意两点之间的道路连续子集。
2. 拓扑空间的同胚两个拓扑空间(X, T)和(Y, U)如果存在一个双射f：X→Y，使得f和f的逆映射都是连续映射，则称(X, T)与(Y, U)同胚。
同胚的概念可以理解为两个空间在拓扑结构上完全相同。
三、相关应用1. 图论中的拓扑排序拓扑排序是指对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)的所有顶点进行线性排序，使得若存在一条从顶点u到顶点v的路径，则在排序中u一定在v之前。
拓扑排序在任务调度、编译顺序以及依赖关系分析等领域有广泛应用。
2. 数据分析中的聚类与分类在数据分析中，将样本点抽象成点集，并通过拓扑结构来描述样本之间的关系。
点集拓扑学
注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。
本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。
由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。
点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。
其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。
这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。
拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。
集合概念的发展历程：
集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。
朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。
集合的定义：
① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。
② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。
全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。
集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。
集合的表示方式:
1枚举法
一般在大括号里罗列出集合的元素，如下:
{}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a
2文字语言表述法
用文字语言来表达构成集合的要求：
某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。
3图示法
4数学关系描述法或者数学语言描述法
用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者
对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。
又比如：
{}{}能是该集合的元素
同时说明一个集合不可了离模式表示方式就合理所以我们采用下面的分的元素都是矛盾，
元素与不是这个集合中很显然是这个集合中的呢？也就是说是不是这个集合的元素是一个集合，那么如果X A A x X x R R x R R x x x R ⊂∉∈==∉=,? 集合的关系符号：
如果在集合A 中的某个元素a 属于它那么记为A a ∈否则A a ∉；如果集合B 中的元素包含在集合A 中我们记为A B ⊆或者B A ⊇，这时当A 中元素有多的异于B 中的元素时记为A B ⊂或者B A ⊃;当A 与B 中元素相同时我们称它们相等记为B A =。
集合的运算：
运算符号：交⋂，并⋃，差-，补︒A ,余A ',
{}B A x x B A ∈∈=⋃x 或者，{}B x A x x B A ∈∈=⋂且
1幂等律：A A A A A A =⋃=⋂,
2交换律：A B B A A B B A ⋃=⋃⋂=⋂,
3分配律：()()()()()()C A B A C B A C A B A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃⋂⋃⋂=⋃⋂, 4结合律:()()()()C B A C B A C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃⋂⋂=⋂⋂,
5 De Morgan 律：()()()()()()C A B A C B A C A B A C B A -⋂-=⋃--⋃-=⋂-,
6 ()()()()()()C A B A C B A C A B A C B A ⨯⋃⨯=⋃⨯⨯⋂⨯=⋂⨯,
7 ()()A A X X X A X A A X X =--⊆⋂=--则，若,
8 B B A B A A B A =⋃⇔⊆⇔=⋂
集合中的元素也可能是一个集合，这样的集合有两种，第一种虽然集合中的元素是集合但是该集合中的元素是把集合当做一个对象或者个体，与集合中其它对象（这里的对象是集合）没有包含关系，这样的集合本质上还是集合概念所定义的集合，也可以称为集族，比如集合，{}别
和一般集合没有本质区共同的全集元素没有合，且没有包含关系各一个元素而不是一个集它们都是作为集合中的时一群羊都是集合，而此，一群人，一群大象，群羊一群人，一群大象，一,第二种是集合中的元素都是集合，但是这些集合有一个全集，它们和全集有包含关系，我们把由全集的部分子集作为研究对象构成子集族。
这种子集族和集合是有区别的，我们把全集的所有子集放在一起称为幂集。
点集拓扑学主要研究的是第二种情况，下面给出指标集族的定义：
给定一个集合J ,对于任意不同的J j ∈，存在不同的集合j A ，我们把所有不同的j A 全体称为指标集族()J j j A A ∈=，称J 为指标集，j 为指标集族中某个集合元素的指标，当任意j A 都是某个集合X 的子集时，这时候的指标集族为子集族。
集合中的关系：
对于集合X 与Y 的笛卡尔集Y X ⨯,存在它的一个子集Y X R ⨯⊆,子集R 中的元素()R y x ∈,,我们说y x ,是对于R 二元相关记作xRy ，当Y X =时R 称为X 上的二元关系。
集合X 上的一个关系R 如果是等价的那么必须满足三个条件：
1 自反的：()()xRx R x x X x R X 即∈∃∈∀⊆∆,,,
2 对称的：R R op =，若xRy ，且yRx
3 传递的：R R R ⊆ ,若yRz xRy ,，则xRz
()()()()y x R x y y x id X R R
R X X op =⇒∈=∆=,,,即称为反对称的：上关系另外 恒同关系()(){}X x x x X ∈=∆,，模p （素数）等价关系：
(){
}np y x t s Z n Z Z y x p =-∈∃⨯∈=..,,mod ，同柸关系等都是等价关系。
(){}y x R y x y x <∈,,,小于关系不是等价的它是传递的，不是对称的和自反的。
R 是X 上的一个等价关系，存在X x ∈,集合[](){}R y x X y x ∈∈=,称为x 关于R 的等价类。
我们把[]{}
X x x ∈叫作集合X 关于R 的商集，记作R X /。
定律：如果R 是非空集合X 上的等价关系，则
1 [][]≠∴∈∈∀x x x X x ，则,∅
2 [][]y x y x R y x =，则等价记关于~,
3 [][][][]y x y x X y x ≠=∈∀要么要么,,,
4 []x X X x ∈= X 上的一个等价类[]x 是X 上的某类划分中的一个划分，且各个划分之间没有交集，所有划分的并为全集X ，即[]x X X x ∈= 。
映射：
映射是集合之间关系的一部分，是在纯数学中讨论的一个基本数学概念，映射由三部分组成：定义域，值域，对应法则，在定义域X 中任意一个取值x 按照某种对应法则f 在值域Y 中都有唯一确定的值y 与之对应。
然而在点集拓扑学里我们这样来定义映射：给定两个集合Y X ,以及它们的一个关系R ,如果集合X 中任意一个元素x ，集合Y 中存在唯一
的元素y ，使得y x ,对于R 相关，即xRy ，我们称R 是集合X 到集合Y 的映射，映射的原像称为定义域，映射的像称为值域，映射的关系R 称为对应法则，一般记为f ，记Y X f →:。
函数：y x f →:
像：()(){}A x x f A f X A ∈=⊆∀,
原像：()(){}B x f X x B f Y B ∈∈=⊆∀-1,。
