2010届高三数学一轮复习课件：幂函数与二次函数

因此
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3

A．3
B．1－ 2
C. 2－1
D．1
解析：设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即α＝
1 2
，所以f(x)
1
＝x 2 ＝ x，所以f(2)－f(1)＝ 2－1，故选C.
答案：C
返回
2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，
则实数m的值为
()
A．－2
B．1
C．1或－2
D．m≠－12± 5
解析：因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)
上的减函数，所以m－25＋mm－－3<10＝，1， 解得m＝1. 答案：B
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4
2
1
3．已知a＝3 5 ，b＝4 5 ，c＝12 5 ，则a，b，c的大小关系为( )
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
当k<0时，
2 k
<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数
y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实
数k的取值范围是[2，＋∞)．答案：A
返回
[题型技法] 研究二次函数单调性的思路 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研 究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论． (2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调 递增)，则A⊆ －∞，－2ba A⊆－2ba，＋∞ ，即区间A一定 在函数对称轴的左侧(右侧)．
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课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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考点一 幂函数的图象与性质 [考什么·怎么考]

∴2m=0,∴m=0.
则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.
3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象，则解
析式中指数k的值依次可以是( )
(A) 1, 1 ,3
2
(C) 1 , 1,3
2
(B) 1,3, 1
2
(D) 1 ,3, 1
2
【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则
k1<0,0<k2<1,k3>1,故选A.
4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数，则实数 a的取值范围是______. 【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a, 由题意知1-a≥3,∴a≤-2. 答案：(-∞,-2]
5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取
(A)a>0,4a+b=0
(B)a<0,4a+b=0
(C)a>0,2a+b=0
(D)a<0,2a+b=0
(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当a=-2时,求f(x)的最值； ②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； ③当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解析】设f(x)=xn,则 3 ( 3 )n ,
3
即
3
1n
32
,
1
n
1, n
2,f
x
x 2 .
2
2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5,-3)

3．若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a>0， 时，恒有 f(x)>0；当a<0， 时，恒有 f(x)<0.
Δ<0
Δ<0Βιβλιοθήκη — 8—(新教材) 高三总复习•数学
诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1
(1)函数 y＝2x 3 是幂函数．( × ) (2)当 α>0 时，幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上是增函数．( √ ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( × ) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac4－a b2.( × )
[解析] 因为(a＋1)－2>(3－2a)－2，
|a＋1|<|3－2a|， 又 f(x)＝x－2 为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1≠0，
3－2a≠0，
解得
2 a<3
且 a≠－1 或 a>4，所以 a 的取值范围是(－∞，－1)∪－1，23∪(4，＋∞)．
— 19 —
(新教材) 高三总复习•数学
3
1
1
3．(2022·深圳福田区一模)已知 a＝24 ，b＝3 2 ，c＝4 3 ，则 a，b，c 的大小关系为( B )
A．a<b<c B．c<a<b
C．a<c<b D．c<b<a
3
1
1
1
1
[解析] 因为 a＝24 ＝8 4 ，b＝3 2 ＝9 4 ，且函数 y＝x 4 在(0，＋∞)上单调递增，所
都有fxx11－ －fx2x2<0，等价于 f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)＝(x－2)2＋1 满足③， 又 f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①， 故 f(x)的解析式可以为 f(x)＝x2－4x＋5.

4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,

一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
综上可知，当 0＜λ≤2 时，函数 g(x)在[－1＋2 λ，＋∞)上 是增函数．
因此 g(x)在(0,1) 上是增函数， 又 g(0)＝－1＜0，g(1)＝2－|λ－1|＞0， 故函数 g(x)在区间(0,1)上只有唯一的零点．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
已知关于 x 的二次函数 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求证：对于任意 t∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根； (2)若12＜t＜34，求证：方程 f(x)＝0 在区间(－1,0)及(0，12) 上各有一个实根．
【证明】 (1)由于 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. ∴f(x)＝1⇔(x＋2t)(x－1)＝0，(*) ∴x＝1 是方程(*)的根，即 f(1)＝1. 因此 x＝1 是 f(x)＝1 的实根，即 f(x)必有实根． (2)当12＜t＜34时，f(－1)＝3－4t＞0.
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
【解析】 ∵f(x)＝x2＋mx＋1 的对称轴方程为 x＝－m2 . ∴－m2 ＝1，∴m＝－2.
【答案】 A
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
3．(2011·陕西高考)函数 y＝x31的图象是( )
【解析】 因为当 x＞1 时，x＞x13，当 x＝1 时，x＝x31（广东专用）
(2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1可知c＝1. 又f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax ＋a＋b， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝－1.所以f(x)＝x2－x＋1.

_奇__函__数____
__非__奇__非__偶_ __函__数_____
__奇__函__数___
函数
单调 性
y＝x
y＝x2
y＝x3
在__(_－__∞__，__0_) _
_在__R_上__单___ 上__单__调__递__减__，_ _在__R__上__单__ 调__递__增___ 在__(_0_，__＋__∞__)上_ _调__递__增____
2


D.

52－1，2
【解析】 因为函数 y＝x21的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于 2mm2＋＋m1≥－01，≥0， 2m＋1>m2＋m－1。
解 2m＋1≥0，得 m≥－12；
－ 解 m2＋m－1≥0，得 m≤
25－1或 m≥
52－1。
解 2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，
1
(2)幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1 的图像与性质
函数
y＝x
定义域
R
值域
R
奇偶性 _奇__函__数____
y＝x2 R
_{_y_|y_≥__0_}_
_偶__函__数Biblioteka __y＝x3y＝x－1
R
__{x_|_x_≥__0_}_ _{_x_|x_≠__0_}__
R
__{_y|_y_≥__0_} __{_y_|y_≠__0_}_
解析 正确。由幂函数的图像可知。
(6)关于
x
的不等式
ax2＋bx＋c>0
a>0， 恒成立的充要条件是b2－4ac<0。
( × )解析 错误。当 a＝0，b＝0，c>0 时也恒成立。ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒

2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大 小相同， 开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1， f(x)图像 的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为Y=(x-3) 2+2
发展性训练 1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换， 可以得到y=3x2的图像. 右移2单位，下移4单位 2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单 位， 再向下平移３个单位所得图像对应的函 数 2 -2(x-2)-3=x 2 -6x+5= (x-3) 2 -4 Y=(x-2) 解析式为
2、（2002河南两广高考）已知 a>0,f(x)=ax-bx2. (1)b>0时，若对任意x ∈ R都有 f(x)≤ 1,证明a≤ 2 . b (2)b>1时，证明 对任意 x ∈［ 0,1 ］, │ f(x) │≤1的充要条件是 b-1 ≤ a ≤ 2 b
(3)0<b ≤ 1时， 求 对任意 x∈［ 0, 1 ］, │ f(x) │≤ 1的充要条件。
求下列函数的定义域和值域:
x 3 x 4 (1) y= 2 x 3 x 4
2
(2) y= 1 2x x (3) y= 1 x x 3
作函数的图象的常用方法
1. 描点作图法; 2. 变换作图法.
基础练习
画出下列函数的图象, 并 说明它们的关系:
(1) (2)
(3)
变换作图法
平移变换
对称变换
作 业
画出下列函数的图象:
(1) (2) y=x2+2 x +1 y= x 2 x
2
② y=－x2－2x+3, x∈[－5, 0] ③ y= x 1 x

4x5的单调区间, 4x4
并比较 f (π)与f ( 2)的大小.
2
解
∵
x24x5
1
f(x)x24x41(x2)2
=1+(x+2)-2,
其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位,再 向上平移1个单位得到，
该函数在(-2，+∞)上是减函数，在(-∞，-2)上是 增函数，且其图象关于直线x=-2对称（如图所示）.
2 ∵f（2）=-1，a(21)281,
2 解之，得a=-4. f(x) 4 (x 1 )2 8 4 x2 4 x 7 .
2
探究提高
二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a≠0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定.
则实数m的取值范围是_______.
解析
•1m ,,m1.
又(1,2)且m1在(1,2)上是增函 , 数
11m21,即m(2,5).
2
2
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
题型分类 深度剖析
题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且
思维启迪 由 f(x)xm22m3(m∈N*)的图象关于y
轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+∞）上是减函
数，∴m2-2m-3<0，从而确定m值，再由函数f(x)=
x
m 3
的单调性求a的值.
解 ∵函数在(0，+∞)上递减，

)
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )
(4)当 n＞0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数 f(x)＝xα 的图象过点(4,2)，若 f(m)＝3，则实数 m
的值为( )
A. 3
图象
定义域
_R _
_R _
R__ _{x_|x_≥_0_}___
_{x_|_x≠_0_}___
值域
_R _
_{y_|y_≥_0_}___
R__ _{y_|y_≥_0_}___
_{y_|_y≠_0_}___
奇偶性 奇__
偶__
奇__ _非_奇__非_偶___
奇__
单调性
增__
(_－_∞__，_0_)减__，__ (_0_，_＋__∞_)增____
5．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A(－2,0)，B(4,0)且函数的 最大值为 9，则这个二次函数的表达式是________. 【导学号：51062031】
y＝－x2＋2x＋8 [设 y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为 x＝1， 当 x＝1 时，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1， ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.]
[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数 解析式的形式，选法如下
[变式训练 1] 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段 长为 2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，求 f(x)的解析式．
[解] ∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立， ∴f(x)的对称轴为 x＝2.2 分 又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2， ∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3.8 分 设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3，a＝1.12 分 ∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)， 即 f(x)＝x2－4x＋3.15 分