2.当m_______时,函数y=(m+1)χ m2 m- 2χ+1 是二次函数？
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2aБайду номын сангаас
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
x1,2
b 2a
.
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0没有实数根
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次 方程ax²＋bx＋c=0的解。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
练习：
（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以 得到函数y=x2-5x+6的图象.
y=x2-5x+6 (x 5)2 1 24
y=x2
y (x 5)2 1 24
6二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系
• 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键 的作用.
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b2 4ac
x1,2
2a
.
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个相等的实数根:
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
4a
例2：已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M
的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、
B两点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为
何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）
练习： １、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 y
B 所示，则a、b、c的符号为（ ）
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
·co
x
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
A 如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解: 抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相
同
a=1或-1 又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(1)有两个交点 (2)有一个交点
b2 –bb422a––c44<aa0cc=>00
(3)没有交点
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： 二次函数
b2-4ac
y=ax2+bx +c
与（x轴a有≠0两）个不
b2-4ac＞0
同的交点 （x1，0）
（x2，0）
与x轴有唯一个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
5、抛物线的平移
练习 左加右减，上加下减
⑴二次函数y=2x2的图象向下 平移 3 个单位可得 到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向右 平移3 个单位可得到 y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的 图象。
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。
答案:y=-x2+6x-5
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
C 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ）
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
二次函数复习课
朝阳市第二十六中学 杨东旭
二次函数知识点导航：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用 本章共分两课时：第一课时复习知识点1——5
即： y=-2x2+4x
4、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， 通常设抛物线解析式为_y_=_a_(_x_-_h_)2_+_k_(_a_≠_0_) 求出表达式后化为一般形式. 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_y_=_a_(x_-_x_1_)(_x_-_x_2)_(a≠0) 求出表达式后化为一般形式.
(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴 上,则c=＿1＿6＿＿.
(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根 是x2+x1x=-1-02与,xx2轴=5的/3交, 点那坐么标二是次（＿-函2、＿数0）＿y（=5＿/33、. 0）
7二次函数的综合运用
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向 增减性 最值
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四 象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
x
3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
b2-4ac=0 交点 ( b ,0) 2a
与x轴没有
b2-4ac＜0 交点
图象
一元二次方程 ax2+bx+c=
0
y
O
x
（a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
y
O
x y
有两个相等的
解
x1=x2=
