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典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验 周前猛一、选择题1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D 不能确定答案：C2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A 、-74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74答案：C∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2765y x 416⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭此时，它在－2≤x≤l 的最大值是6516，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ．3． 已知0≤x≤12，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。
真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0<x<8). 配方得S=- (x2-8x)=- (x-4)2+8∴当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.-≤≤的最大值与最小值分别是3、函数y=2（0x4）答案：2,0最小值为0，当4x-x2最大，即x=2最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a （0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）解：（1）()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x而()()2150160x x y ---=＝1040502++-x x＝()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x ， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。
二次函数及其应用一、学习目标1．掌握二次函数的定义；2．理解并掌握二次函数的图像以及性质；3．会利用二次函数的性质解决实际问题．二、典型例题题型一、二次函数的概念例题1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝1x2＋1C．y＝x(x＋1) D．y＝(x＋2)2－x2【题小结】用二次函数的概念进行判断借题发挥：若y＝(k－1)x k2+1是二次函数，则k＝．题型二、二次函数的图像与性质例题2．关于抛物线y＝3(x－1)2＋2，下列说法错误的是（）A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小例题3．已知二次函数y＝2x2－8x＋c的图象过点A（－2，y1），B（－1，y2），C（8，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1【题小结】用二次函数的图像与性质解决借题发挥：1．当x≥2时，二次函数y＝x2－2x－3有（）A．最大值－3 B．最小值－3 C．最大值－4 D．最小值－42．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a －b＋c＝0；②2a＋b＝0；③4ac－b2＞0；④a＋b≥am2＋bm（m为实数）．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型三、用待定系数法求二次函数例题5．如图，已知点A的坐标是（1，3），将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OB．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，当线段MN的长度取最大值时，求点M的坐标．借题发挥：已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当－3＜x＜0时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为．题型四、二次函数与方程、不等式例题6．已知二次函数y＝x2－6x－9k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为．例题7．如表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的几组对应值：（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20例题8．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－2，－3），B（3，q）两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集是．【题小结】二次函数的图像与x轴交点坐标，一元二次方程、不等式等问题的联系．。
二次函数基础典型经典题型(全面超好)二次函数精讲基础题型 一认识二次函数1、y=mx m2+3m+2是二次函数，则m 的值为（ ） A 、0，-3 B 、0，3 C 、0 D 、-32、关于二次函数y=ax 2+b ，命题正确的是（ ）A 、若a>0,则y 随x 增大而增大B 、x>0时y 随x 增大而增大。
C 、若x>0时，y 随x 增大而增大D 、若a>0则y 有最大值。
二简单作图1在一个坐标系内做出2x y =，12+=xy ，12-=xy ，2)1(-=x y ，2)1(+=x y 你发现了什么结论2同样的在同一个坐标系内做出2x y -=，22x y -=，12--=x y ，12+-=xy 2)1(--=x y ，2)1(+-=x y 的图像，你又发现了什么结论，并且与上一题的图像比较的话，你又有什么样新的发现3 已知抛物线y xx =-+123522，五点法作图。
2、已知y=ax 2+bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出函数的大致图象。
三，二次函数的三种表达形式，求解析式 1求二次函数解析式：（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）； （3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。
2 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +=20，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。
3、根据下列条件求关于x的二次函数的解析式=-1，且图象过（0，7）（1）当x=3时，y最小值（2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直3线x=2（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）（4）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3（5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）三图像与a,b,c的符号之间的关系1、二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线，其开口方向由_________来确定。
二次函数分类知识点、考点、典型例题及对应练习题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12） 下列命题中正确的是○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
○3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。
○4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。
○5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC=6，则抛物线解析式为y=x 2－5x+4。
○6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
○7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。
○8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。
○9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。
○10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。
○11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。
点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。
复习时，抓住系数a 、b 、c 对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。
二次函数和基本性质专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.二次函数的概念 (2)2.二次函数y=的图像和性质 (2)3.二次函数y=a（）（）的性质 (4)4，用配方法求（） (6)5.二次函数图像性质总结 (7)6.二次函数解析式的求法 (7)7.二次函数图像的平移 (9)三、重难点题型 (11)1.由抛物线的位置确定系数的符号 (11)2.用待定系数法求二次函数的解析式 (13)3.运用抛物线的对称性解题 (17)4.用二次函数解决最值问题 (18)5.二次函数的图像 (20)6.二次函数与应用问题 (21)二、基础知识点1.二次函数的概念形如y=（a≠0）的函数叫作二次函数。
注：①a、b、c为常数，且a≠0，即二次项必须有，一次项和常数项可以没有②二次函数为函数的一种，满足函数的所有性质。
即在定义域内，自变量x有且仅有唯一应变量y与之对应例1.下列各项中，y是x的二次函数的有：①y=；②y=（）（m为常数）；③y=（m为常数）；④y=答案：①是二次函数，二次项系数不为0；②不应定，当m=1时，二次项为0，则不是二次函数；③是二次函数，二次项系数不为0；④化简得：－x－2，因此不是二次函数例2.已知y=（）是二次函数，求k的值。
答案：因为y=（）是二次函数所以解得：k=22.二次函数y=的图像和性质y=（a≠0，b=0，c=0，即一次项和常数项皆为0）的性质：①图形为抛物线形状②a>0，开口向上；a<0，开口向下③过原点（顶点），为最大值或最小值（由a的正负决定）④关于y轴对称，即关于x=0对称⑤越大，开口越小，即上升或下降越快注：关于y轴对称的前提条件是：函数定义域关于y轴对称例1.求等边三角形面积S与边长a的函数关系式。
答案：由等边三角形性质可知S=例2.根据抛物线y=（a≠0）的性质回答下列问题；（1）抛物线的开口向上，则a：（2）当x＜0时，抛物线y值随x的增大而减小，则a：（3）除顶点外，抛物线上的点都在x轴的下方，则a：（4）当x＞0且a＜0时，则抛物线的y值随x的增大而：答案：（1）因为抛物线开口向上所以a＞0（2）因为当x＜0时，抛物线y值随x的增大而减小所以抛物线开口向上所以a＞0（3）因为除顶点外，抛物线上的点都在x轴的下方所以抛物线开口向下所以a＜0（4）因为a＜0所以抛物线开口向下因为x＞0所以y随x的增大而减小例3.如图所示的四个二次函数的图像分别对应：（1）y=；（2）y=；（3）y=；（4）y=，求a、b、c、d的大小关系：答案：由y=的图像性质可知a与b＞0,且c与d＜0因为越大，开口越小所以＞，＞综上得：a＞b＞c＞d3.二次函数y=a（）（）的性质二次函数通过配方，可得y=a（）的形式①图形为抛物线形状②a>0，开口向上；a<0，开口向下③顶点为（h，k），为最值（最大值或最小值）④关于x=h对称⑤越大，开口越小当h=0，k=0时，y=a（）即为y=a形式关系：y=a（）通过平移可得到y=a（形状不变，开口不变）通过特殊点（如顶点）平移，向左或右平移，向上或下平移。
二次函数综合复习（一）、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．（二）、二次函数2y ax bx c =++的性质1.对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 2.当0a >时，抛物线开口向上，当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>- 时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．当0a <时，抛物线开口向下，当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．（三）、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数与一元二次方程之间的联系当2y ax bx c =++中y=0时便是方程，当抛物线与x 轴有一个交点时方程的有一个根，当抛物线与x 轴有两个交点时，方程有两个根，当抛物线与x 轴没有交点时，方程没有实数根。
1 二次函数典型例题例1．二次函数c bx ax y ++=2，其中0≠a ，以)4,1(-M 为顶点，图象经过点)5,4(与x 轴的交点为A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴的交点为C ，（1）求函数c bx ax y ++=2的表达式；（2）求A 、B 、C 点的坐标；（3）求ABM S ∆、ABC S ∆的值；（4）当0>y 时，写出x 的取值范围； 当0<y 时，写出x 的取值范围；（5）点P 是二次函数c bx ax y ++=2在x 轴下方，且在BC 之间的图象上点，求BCP S ∆的最大值，并求此时点P 的坐标；（6）点P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，过点PQ 作PQ ∥x 轴交二次函数c bx ax y ++=2图象于点Q ，若以PQ 为直径的圆，恰好与x 轴相切，求点P 的坐标；（7）若点Q 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且∠AQB =90°，求点Q 的坐标；2（8）若点),(00y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，判断△APB 的形状，并写出相应地0x 、0y 的范围；（9）判断直线m y =与函数c bx ax y ++=2的图象交点的个数？（10）若点),(y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且⊙P 的半径为1，若⊙P 与坐标轴相切，求点P 的坐标；（11）作直线BC ，设BC 的解析式为n mx y +=1；求直线BC 的解析式n mx y +=；观察图象直接写出1y y >时自变量x 的取值范围；直接写出1y y <时自变量x 的取值范围；（12）①对于△ABC 来说，求出各角的三角函数值；②对于△ABM 来说，求出各角的三角函数值；（13）对于△ABC 来说，外接圆为⊙P ，判断直线m x =，n y =与⊙P 的位置关系？（14）对于△ABM 来说，求出△ABM 的外心点Q 的坐标；判断直线b x =，c y =与⊙Q 的位置关系？（15）判断△BCM 的形状，并求△BCM 的外心E 坐标；（16）设△ABC 的外接圆为⊙P ，求劣弧AC 的长度以及劣弧AC 与AC 所组成的弓形的面积；3 （17）设△ABC 的外接圆为⊙P ，⊙P 与y 轴的另一个交于点为D ，求点D 的坐标，并求∠ABM —∠ABD 的度数；（18）点C 关于函数c bx a y ++=2图象的对称点为C '，求点C '的坐标，并判断△C CM '的形状，并设其外心为N ，分别判断⊙N 与直线e x =，f y =的位置关系？（19）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA +的最小值，且求此时点P 的坐标；（20）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA -的最大值，且求此时点P 的坐标；例2．二次函数c bx ax y ++=2，其中0≠a ，以)4,1(--M 为顶点，图象与x 轴的交点为A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴的交点为C ，4=AB ，（1）求函数c bx ax y ++=2的表达式；（2）求A 、B 、C 点的坐标；4 （3）求ABM S ∆、ABC S ∆的值；（4）当0>y 时，写出x 的取值范围； 当0<y 时，写出x 的取值范围；（5）点P 是二次函数c bx ax y ++=2在x 轴下方，且在BC 之间的图象上点，求BCP S ∆的最大值，并求此时点P 的坐标；（6）点P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，过点PQ 作PQ ∥x 轴交二次函数c bx ax y ++=2图象于点Q ，若以PQ 为直径的圆，恰好与x 轴相切，求点P 的坐标；（7）若点Q 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且∠AQB =90°，求点Q 的坐标；（8）若点),(00y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，判断△APB 的形状，并写出相应地0x 、0y 的范围；（9）判断直线m y =与函数c bx ax y ++=2的图象交点的个数？（10）若点),(y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且⊙P 的半径为1，若⊙P 与坐标轴相切，求点P 的坐标；5 （11）作直线BC ，设BC 的解析式为n mx y +=1；求直线BC 的解析式n mx y +=；观察图象直接写出1y y >时自变量x 的取值范围；直接写出1y y <时自变量x 的取值范围；（12）①对于△ABC 来说，求出各角的三角函数值；②对于△ABM 来说，求出各角的三角函数值；（13）对于△ABC 来说，外接圆为⊙P ，判断直线m x =，n y =与⊙P 的位置关系？（14）对于△ABM 来说，求出△ABM 的外心点Q 的坐标；判断直线b x =，c y =与⊙Q 的位置关系？（15）判断△BCM 的形状，并求△BCM 的外心E 坐标；（16）设△ABC 的外接圆为⊙P ，求劣弧AC 的长度以及劣弧AC 与AC 所组成的弓形的面积；（17）设△ABC 的外接圆为⊙P ，⊙P 与y 轴的另一个交于点为D ，求点D 的坐标，并求∠BAM —∠BAD 的度数；（18）点C 关于函数c bx a y ++=2图象的对称点为C '，求点C '的坐标，并判断△C CM '的形状，并设其外心为N ，分别判断⊙N 与直线e x =，f y =的位置关系？（19）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA +的最小值，且求此时点P 的坐标；6 （20）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA -的最大值，且求此时点P 的坐标；例3．二次函数c bx ax y ++=2，其中0≠a ，以)4,1(M 为顶点，图象经过点)5,4(-与x 轴的交点为A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴的交点为C ，（1）求函数c bx ax y ++=2的表达式；（2）求A 、B 、C 点的坐标；（3）求ABM S ∆、ABC S ∆的值；（4）当0>y 时，写出x 的取值范围； 当0<y 时，写出x 的取值范围；（5）点P 是二次函数c bx ax y ++=2在x 轴上方，且在BC 之间的图象上点，求BCP S ∆的最大值，并求此时点P 的坐标；（6）点P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，过点PQ 作PQ ∥x 轴交二次函数c bx ax y ++=2图象于点Q ，若以PQ 为直径的圆，恰好与x 轴相切，求点P 的坐标；7（7）若点Q 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且∠AQB =90°，求点Q 的坐标；（8）若点),(00y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，判断△APB 的形状，并写出相应地0x 、0y 的范围；（9）判断直线m y =与函数c bx ax y ++=2的图象交点的个数？（10）若点),(y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且⊙P 的半径为1，若⊙P 与坐标轴相切，求点P 的坐标；（11）作直线BC ，设BC 的解析式为n mx y +=1；求直线BC 的解析式n mx y +=；观察图象直接写出1y y >时自变量x 的取值范围；直接写出1y y <时自变量x 的取值范围；（12）①对于△ABC 来说，求出各角的三角函数值；②对于△ABM 来说，求出各角的三角函数值；（13）对于△ABC 来说，外接圆为⊙P ，判断直线m x =，n y =与⊙P 的位置关系？（14）对于△ABM 来说，求出△ABM 的外心点Q 的坐标；判断直线b x =，c y =与⊙Q 的位置关系？8（15）判断△BCM 的形状，并求△BCM 的外心E 坐标；（16）设△ABC 的外接圆为⊙P ，求劣弧AC 的长度以及劣弧AC 与AC 所组成的弓形的面积；（17）设△ABC 的外接圆为⊙P ，⊙P 与y 轴的另一个交于点为D ，求点D 的坐标，并求∠ABM —∠ABD 的度数；（18）点C 关于函数c bx a y ++=2图象的对称点为C '，求点C '的坐标，并判断△C CM '的形状，并设其外心为N ，分别判断⊙N 与直线e x =，f y =的位置关系？（19）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA +的最小值，且求此时点P 的坐标；（20）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA -的最大值，且求此时点P 的坐标；例4．二次函数c bx ax y ++=2，其中0≠a ，以)4,1(M 为顶点，图象与x 轴的交点为A 、B （点A 在点9 B 的左边），与y 轴的交点为C ，4=AB ，（1）求函数c bx ax y ++=2的表达式；（2）求A 、B 、C 点的坐标；（3）求ABM S ∆、ABC S ∆的值；（4）当0>y 时，写出x 的取值范围； 当0<y 时，写出x 的取值范围；（5）点P 是二次函数c bx ax y ++=2在x 轴上方，且在BC 之间的图象上点，求BCP S ∆的最大值，并求此时点P 的坐标；（6）点P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，过点PQ 作PQ ∥x 轴交二次函数c bx ax y ++=2图象于点Q ，若以PQ 为直径的圆，恰好与x 轴相切，求点P 的坐标；（7）若点Q 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且∠AQB =90°，求点Q 的坐标；（8）若点),(00y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，判断△APB 的形状，并写出相应地0x 、0y 的范围；10 （9）判断直线m y =与函数c bx ax y ++=2的图象交点的个数？（10）若点),(y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且⊙P 的半径为1，若⊙P 与坐标轴相切，求点P 的坐标；（11）作直线BC ，设BC 的解析式为n mx y +=1；求直线BC 的解析式n mx y +=；观察图象直接写出1y y >时自变量x 的取值范围；直接写出1y y <时自变量x 的取值范围；（12）①对于△ABC 来说，求出各角的三角函数值；②对于△ABM 来说，求出各角的三角函数值；（13）对于△ABC 来说，外接圆为⊙P ，判断直线m x =，n y =与⊙P 的位置关系？（14）对于△ABM 来说，求出△ABM 的外心点Q 的坐标；判断直线b x =，c y =与⊙Q 的位置关系？（15）判断△BCM 的形状，并求△BCM 的外心E 坐标；（16）设△ABC 的外接圆为⊙P ，求劣弧AC 的长度以及劣弧AC 与AC 所组成的弓形的面积；（17）设△ABC 的外接圆为⊙P ，⊙P 与y 轴的另一个交于点为D ，求点D 的坐标，并求∠ABM —∠ABD 的度数；11 （18）点C 关于函数c bx a y ++=2图象的对称点为C '，求点C '的坐标，并判断△C CM '的形状，并设其外心为N ，分别判断⊙N 与直线e x =，f y =的位置关系？（19）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA +的最小值，且求此时点P 的坐标；（20）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA -的最大值，且求此时点P 的坐标；。
中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题16二次函数的实际问题中最值问题【典型例题】1．（2022·浙江东阳·九年级期末）工厂加工某花茶的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．(1)求工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并尽可能让利于民，则定价应为多少元？【专题训练】一、解答题1．（2021·广东南雄·九年级期中）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出60件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多？最大盈利为多少元？2．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）为了迎接六一儿童节的到来，某玩具店拟用8000元进购A种玩具，用5000元进购B种玩具．已知一个B种玩具进价比一个A种玩具进价多5元，又知进购A玩具的数量是B玩具数量的2倍．(1)A，B两种玩具的进价各是多少元？(2)玩具店将A种玩具定价为40元，并进行了市场调查，发现若按定价销售，每天能售出30件，每降价2元，每天能多售出10件，要使玩具店销售A种玩具的单日利润最高，A玩具应该降价多少元销售？单日最高利润是多少元？3．（2022·山东招远·九年级期末）新年前夕，金百超市在销售中发现：某服装平均每天可售出30套，每件盈利45元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．(1)要想平均每天在销售服装上盈利1750元，那么每套应降价多少元？(2)商场要想每天获取最大利润，每套应降价多少元？4．（2022·黑龙江龙凤·九年级期末）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，每天的销售利润最大？最大利润是多少？5．（2022·山东莱芜·九年级期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？6．（2021·山东城阳·一模）高尔夫球场各球洞因地形变化而出现不等的距离，因此每次击球受地形的变化影响很大．如图，OA表示坡度为1：5山坡，山坡上点A距O点的水平距离OE为40米，在A处安装4米高的隔离网AB．在一次击球训练时，击出的球运行的路线呈抛物线，小球距离击球点30米时达到最大高度10米，现将击球点置于山坡底部O处，建立如图所示的平面直角坐标系（O、A、B及球运行的路线在同一平面内）．(1)求本次击球，小球运行路线的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）(2)通过计算说明本次击球小球能否越过隔离网AB？(3)小球运行时与坡面OA之间的最大高度是多少？7．（2021·山东青岛·一模）如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形'OAA B组成，矩形的长是16m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-116x2+bx+c表示，CD为一排平行于地面的加湿管．(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．(2)若加湿管的长度至少是12m，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？(3)若在加湿管上方还要再安装一排恒温管(两排管道互相平行)，且恒温管与加湿管相距1.25m，恒温管的长度至少是多少米？。
二次函数各知识点、考点、典型例题与对应练习（超全）【典型例题】题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例2.（拓展，2008年XX 市中考题，12） 下列命题中正确的是○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
○3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。
○4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。
○5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC=6，则抛物线解析式为y=x 2－5x+4。
○6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
○7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。
○8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。
○9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。
○10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。
○11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。
点拨：本题主要考查二次函数图象与其性质，一元二次方程根与系数的关系，与二次函数和一元二次方程二者之间的联系。
