第三章 时间响应分析 基本要求 (1)了解系统时间响应的组成; (2)了解时间响应分析中常用的典型输入信号及其特点; (3)掌握一阶系统的定义和基本参数,能够求解一阶系统的单位脉冲 响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应;掌握一阶系统时间响应曲 线的基本形状及意义。掌握线性系统中, 输 入 存 在 微 积 分 关 系 , 其输出也存在微积分关系的基本结论; (1)定义: u(t ) 1 0 t0 t0 (2)L变换: L[u(t)] 1 s u (t) 1 t 3.单位斜坡函数 (1)定义: xi (t ) t 0 t0 t0 (2)L变换: L[ xi (t )] 1 s2 r(t) t 4.单位加速度函数 (1)定义: xi (t ) t 2 2 0 (2)L变换: t0 t0 Biblioteka Baidu L[xi (t)] 1 s3 4 6 8 10 快速性能越好。 3. 一阶系统的单位脉冲响应 输出信号拉氏变换为: Xo (s) G(s)X i (s) 1 Ts 1 时间响应为: xo (t) L1[ X o (s)] L1[ 1 ] Ts 1 1 T e t T (t 0) 单位脉冲响应曲线: 0.6 1 0.5 T 0.4 0.3 0.2 0.368 1 T 特点: 当T ↓,过渡过程持续时间变 3.1.2 典型输入信号 常用的输入信号:单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、 单位抛物线函数(单位加速度函数)、正弦函数和某些随机函数。 1.单位脉冲函数(δ函数) (1)定义: (t) (t) 0 t 0 , (t)dt 1 t 0 t (2)L变换: 0 L[ (t)] 1 2.单位阶跃函数 Xi (s) 1 Xo(s) T s +1 G(s) Xo (s) 1 X i (s) Ts 1 T:一阶系统的时间常数 2. 一阶系统的单位阶跃响应 输出信号拉氏变换为: Xo (s) G(s) X i (s) 1 Ts 1 1 s 时间响应为: xo (t) L1[X o (s)] L1[ 1 ] s(Ts 1) 1 e tT 本章难点 (1)二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其 与系统阻尼比之间的对应关系;二阶系统性能指标的定义及其与 系统特征参数之间的关系; (2)系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 3.1 时间响应的概念 3.1.1 时间响应及其组成 1、时间响应:系统在输入信号的作用下,其输出随时间的变化过 程,即系统的时间响应。它由两部分组成: (1)瞬态响应:系统在某一输入信号作用下,系统的输出量从初始 状态到稳定状态的响应过程。 (2)稳态响应:时间t趋于无穷大时,系统的输出稳定状态。 二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其典型环节是振荡环节。 1.传递函数: Xi s +- 2 n s(s2 n ) X0s Xi s 2 n s2 2 ns 2 n X 0s n为无阻尼固有频率 , 为阻尼比。 2.特征方程特征根 : s2 2 n s 2 n 0 s1,2 n n 2 1 dt dt 输出: 单位脉冲响应 = d 单位阶跃响应 = d 单位斜坡响应。 dt dt 对于任意线性系统而言,若输入A是输入B的导函数,则输入A所引 起的输出就是输入B所引起输出的导函数;同样地,若输入A是输入B的 积分,则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分。 3.3 二阶系统的时间响应 3.3.1 二阶系统的数学模型 6 5 4 3 2 1 xo (t) t T Te t T 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (t 0) 5. 一阶系统典型信号输入与输出的关系 r(t) t 1 u(t) u(t) (t) xor (t) 1 e tT xou (t) xo (t ) 1 T e t T w(t ) 输入: 单位脉冲= d 单位阶跃= d 单位斜坡 短,表明系统惯性越小,系统的 快速性能越好。 0.1 0 0 2 4 6 8 10 4. 一阶系统的单位斜坡响应 输出信号拉氏变换为: X o (s) G(s) X i (s) 1 Ts 1 1 s2 时间响应为: xo (t) L1[ X o (s)] L1[ 1 s 2 (Ts ] 1) t T Te tT 单位斜坡响应曲线: 10 9 T=2s T 8 7 xi (t) t 时间响应就是系统微分方程的全解。包含通解和特解两个部 分。通解完全由初始条件引起的,工程上称为自由响应,特解只 由输入决定,工程上称为强迫响应。 2、时间响应函数:时间响应(函数)等于传递函数与输入的拉氏变 换之积再取拉氏逆变换。 X o (s) G(s)X i (s) 两边取拉氏逆变换 xo (t) L1[G(s) X i (s)] (4)掌握二阶系统的定义和基本参数;掌握二阶系统单位脉冲响应曲 线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之 间的对应关系;掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参 数之间的关系; (5)掌握系统误差的定义,掌握系统误差与系统偏差的关系,掌握误 差及稳态误差的求法;能够分析系统的输入、系统的结构和参数 以及干扰对系统偏差的影响。 (t 0) 单位阶跃响应曲线: 1.2 特点: 1 (1)瞬态响应为 e t T ,稳态值为1; 0.8 (2)单调上升的指数曲线; 0.6 0.4 x t T 1 et T (3)T表示系统输出以最大初速达到 稳态值所需的时间 xo(T)=0.632 (4)当T ↓,过渡过程持续时间变 0.2 短,表明系统惯性越小,系统的 0 T 0 2 本章重点 (1)一阶系统的定义和基本参数,一阶系统的单位脉冲响应、单位阶 跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。 (2)二阶系统的定义和基本参数;二阶系统单位脉冲响应曲线、单位 阶跃响应曲线的基本形状及其与系统阻尼比之间的对应关系, 二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 (3)系统误差的定义,系统误差与系统偏差的关系,误差及稳态误差 的求法;系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的 影响。 xi ( t) t 0 5.正弦函数 (1)定义: sint xi (t ) X 0 i sin t t 0 t0 0 t (2)L变换: L[ X i sin t] X i s2 2 3.2 一阶系统的时间响应 1. 一阶系统的数学模型 一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其典型环节是惯性环节。 传递函数: Xi ( s) +- 1 Xo( s) Ts