高一数学 对数的运算

教 学 目 标1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数．重 难 点掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．【知识回顾与能力提升】1．指数函数的图象与性质a ＞1 0＜a ＜1图象性质 定义域R ，值域(0，＋∞)图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数在R 上是减函数例1 比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－3与0.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.例2 判断f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x 的单调性，并求其值域．要点一 指数式与对数式的互化例1 将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14；(2)102＝100； (3)e a ＝16；(4)6431＝14； (5)log 39＝2；(6)log x y ＝z .解 (1)log 214＝－2. (2)log 10100＝2，即lg 100＝2.(3)log e 16＝a ，即ln 16＝a .(4)log 6414＝－13. (5)32＝9.(6)x z ＝y .规律方法 1.对数式与指数式的互化图：2．并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .跟踪演练1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．831＝2与log 82＝13C ．log 24＝2与421＝2D ．log 33＝1与31＝3答案 C解析 由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 24＝2⇔22＝4. 要点二 对数基本性质的应用例2 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 4x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)log (2－1)12＋1＝x .。

第2课时 对数的运算及换底公式明目标、知重点 1.加深对数的概念.2.理解对数运算性质的推导过程，掌握对数的运算性质、换底公式.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．[情境导学]我们已经知道，实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算，集合有交、并、补运算，指数也有三种运算，那么，对数有怎样的运算？ 探究点一 对数运算性质 思考1 指数的运算法则有哪些？ 答 a m·a n＝am ＋n；a m ÷a n ＝am －n；(a m )n ＝a mn；ma n＝nma .思考2 指数式与对数式的互化公式是怎样的？ 答 指数式与对数式的互化公式为：a b ＝N ⇔log a N ＝b .思考3 根据对数的定义及对数与指数的关系，你能解答下列问题吗？ (1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a m ＋n ；(2)设log a M ＝m ，log a N ＝n ，试利用m 、n 表示log a (MN )． 解 (1)由log a 2＝m ，得a m ＝2，由log a 3＝n ，得a n ＝3， 所以a m ＋n ＝a m ·a n ＝2×3＝6.(2)由log a M ＝m ，得a m ＝M ，由log a N ＝n ，得a n ＝N .所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝M ×N ，把指数式化为对数式得： log a (M ·N )＝m ＋n .小结 在思考3中的第(2)题中，我们得到log a (M ·N )＝m ＋n ，又由log a M ＝m ，log a N ＝n ，进行m ，n 的代换后就得到对数的一条运算性质，即log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . 思考4 同样地，由a m ÷a n ＝a m－n和(a m )n ＝a mn ，也得到对数运算的其他性质：log a MN＝log a M－log a N ；log a M n ＝n log a M (a >0，且a ≠1，M >0，N >0，n ∈R )．你能不能推导出呢？答 令M ＝a m ，N ＝a n ，则M N＝a m ÷a n ＝a m －n ，∴m －n ＝log a MN .又由M ＝a m ，N ＝a n ，∴m ＝log a M ，n ＝log a N ，即：log a M －log a N ＝m －n ＝log a MN；当n ≠0时，令log a M ＝p ，由对数定义可以得M ＝a p ， ∴M n ＝(a p )n ＝a np ，∴log a M n ＝np ，将log a M ＝p 代入， 即证得log a M n ＝n log a M .当n ＝0时，显然成立．∴log a M n ＝n log a M .小结 上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式．对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”，“正数的n 次方的对数＝正数的对数的n 倍”．有时逆用运算性质，如lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 例1 求下列各式的值： (1)log 2(23×45)；(2)log 5125. 解 (1)log 2(23×45)＝log 223＋log 245 ＝3＋5log 24＝3＋5×2＝13. (2)log 5125＝log 553＝3log 55＝3.反思与感悟 这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N . 跟踪训练1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a x 2y 3z.解 (1)log a xyz ＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .探究点二 换底公式思考1 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可得到什么结论？答 把3x ＝5化为对数式为：log 35＝x ，又因x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论．思考2 怎样用常用对数表示log 35?答 设t ＝log 35，则3t ＝5.两边取常用对数，得lg 3t ＝lg 5，即t lg 3＝lg 5，所以t ＝lg 5lg 3，故log 35＝lg 5lg 3.小结 一般地，log a N ＝log c Nlog c a ，其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1.这个公式称为对数换底公式，用语言可表示为：一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示． 例2 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.解 ∵log 23＝a ，则1a ＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.反思与感悟 在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．跟踪训练2 求log 89×log 332的值．解 log 89×log 332＝lg 9lg 8×lg 32lg 3＝2lg 33lg 2×5lg 2lg 3＝103.例3 2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．解 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x ＝89 442×4，即1.078x ＝4，故x ＝log 1.0784＝lg 4lg 1.078≈18.5.答 约经过19年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标． 反思与感悟 利用换底公式可推导出下面的结论：(1)log a m b n ＝nm log a b ；(2)log a b ＝1log b a(或log a b ·log b a ＝1)．跟踪训练3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x .依题意，得13＝0.75x ，即x ＝lg 13lg 0.75＝－lg 3lg 3－lg 4＝lg 32lg 2－lg 3＝0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4. ∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②(log a x )n ＝n log a x ； ③log a x n ＝log a n x ；④log a x log a y ＝log a x －log a y . 答案 ③解析 因为log a x n ＝1nlog a x ＝log a x1n＝log a nx ，故③成立．2．已知x ，y 为正实数，则下列各式成立的是________． ①2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y ；②2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg y ；③2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y ；④2lg(xy )＝2lg x ·2lg y . 答案 ④解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y ＝2lg(xy )．故④成立．3．log 327＋lg 25＋lg 4＋＋(－9.8)0＝________.答案 132解析 原式＝12log 333＋lg (25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132.4．化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 答案 54解析 原式＝(log 23log 24＋log 23log 28)(1log 23＋1log 232)＝56log 23·32log 23＝54. 5．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求xy 的值．解∴x －2y ＝0，∴xy ＝2.[呈重点、现规律]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简． 2．运用对数的运算性质应注意(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ， ③log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).一、基础过关7log 271．计算：log 916·log 881的值为________．答案 83解析 log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝________.答案 125解析 由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.3．若lg x －lg y ＝a ，则lg (x 2)3－lg (y2)3＝________.答案 3a解析 lg(x 2)3－lg(y 2)3＝3(lg x 2－lg y2)＝3[(lg x －lg 2)－(lg y －lg 2)] ＝3(lg x －lg y )＝3a .4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b ＝2，则A ＝________.答案15解析 ∵3a ＝5b ＝A >0，∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15.5．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 答案 1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.6．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，那么A 地地震的能量是B 地地震能量的________倍． 答案 1010解析 由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝1032R ＋11.4.设A 地和B 地地震能量分别为E 1，E 2，则3911.432123811.422101010E E ⨯+⨯+===即A 地地震的能量是B 地地震能量的1010倍． 7．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解 (1)方法一 原式()315222214(lg 2lg 7)lg 2lg 7523+⨯＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 二、能力提升8.已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3用a ，b 可表示为________． 答案 3ab ＋解析 ∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8＝2lg 33lg 2＝a ，∴23log 2 3＝a ，∴log 23＝32a . lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3ab ＋.9．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________.答案 4解析 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝x －2y2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0， 所以x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0且x －2y >0， 所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y＝4.10．设a 表示13－5的小数部分，则log 2a (2a ＋1)的值是________．答案 －1解析 13－5＝3＋54，可得a ＝3＋54－1＝5－14.则log 2a (2a ＋1)＝log 5－125＋12＝log 5－1225－1＝－1.11.若a ，b ，c ∈N *，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求log 2(1＋b ＋c a )＋log 2(1＋a －cb )的值；(2)若log 4(1＋b ＋c a )＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求a ，b ，c 的值．解 (1)∵a 2＋b 2＝c 2， ∴log 2(1＋b ＋c a )＋log 2(1＋a －cb )＝log 2[(1＋b ＋c a )(1＋a －cb )]＝log 2a ＋b ＋ca ＋b －cab＝log 2a 2＋b 2－c 2＋2ab ab ＝log 22ab ab ＝1.(2)∵log 4(1＋b ＋ca)＝1，∴a ＋b ＋c a＝4，即3a －b －c ＝0，①∵log 8(a ＋b －c )＝23，∴a ＋b －c ＝4② ∵a 2＋b 2＝c 2③ 且a ，b ，c ∈N *，∴由①②③解得a ＝6，b ＝8，c ＝10.12.若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg alg b )＝(lg a ＋lg b )·b2＋a 2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·a ＋lgb 2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12. 三、探究与拓展13.已知f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)＝－2，方程f (x )＝2x 至多有一个实根，求实数a ，b 的值．解 由f (－1)＝－2得，1－(lg a ＋2)＋lg b ＝－2，∴lg b a ＝－1＝lg 110，∴b a ＝110，即a ＝10b . 又∵方程f (x )＝2x 至多有一个实根，即方程x 2＋(lg a )x ＋lg b ＝0至多有一个实根， ∴(lg a )2－4lg b ≤0，即(lg 10b )2－4lg b ≤0， ∴(1－lg b )2≤0，∴lg b ＝1，b ＝10，从而a ＝100， 故实数a ，b 的值分别为100,10.。

§2.6对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(2)对数的性质①负数和零没有对数；②log a 1＝0，log a a ＝1(a >0，且a ≠1)；③log a Na＝N (a >0，a ≠1，且N >0)；④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0；(5)当x >1时，y <0；当0<x <1时，y <0当0<x <1时，y >0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？②化简log m na b .提示①log a b ·log b a ＝1；②logm na b ＝n mlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示0<c <d <1<a <b .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．(√)(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)一、四象限．(√)题组二教材改编2．log 29·log 34·log 45·log 52＝________.答案23．已知a ＝1-32，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案c >a >b解析∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1.∴c >a >b .4．函数y的定义域是______．答案1解析由23log (21)x -≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1.∴函数y1.题组三易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是()A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c答案B6．(多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1答案BC解析由图象可知函数为减函数，所以0<a <1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c .由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案(1，＋∞)解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a (1，＋∞).对数式的运算1．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．答案3解析由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.2．设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝________.答案6解析∵函数f (x )＝3x ＋9x ，∴f (log 32)＝339log 2log 2log 43929＋＝＋＝2＋4＝6.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案A解析两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7，lgE 1E 2＝25·(m 2－m 1)＝25(－1.45＋26.7)＝10.1，E 1E 2＝1010.1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1答案A解析由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)方程4x＝log a x ，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．答案，22解析若方程4x ＝log a x ，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x ，12上有交点，a<1，a12≤2，解得0<a≤22.4x<log a x，12上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案解析当0<x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方．又当x＝12时，124＝2，即函数y＝4x y＝log a x，得a＝22.若函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方，则需22<a<1(如图所示)．当a>1时，不符合题意，舍去．所以实数a思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1(1)(2019·河北冀州中学月考)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()答案B解析由函数值域为R，可以排除C，D，当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A，选B.(2)若不等式x 2－log a x <0对xa 的取值范围是________．答案116，解析只需f 1(x )＝x 2f 2(x )＝log a x图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<loga x 在x只需ff所以有≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是116，对数函数的性质及应用命题点1解对数方程、不等式例2(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．答案x ＝5解析原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝5.(2)设f (x )2x ，x >0，12(－x )，x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．答案{－1,1}解析当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝121log a ⎛⎫⎪⎝⎭＝f (－a )＝12log a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝12log ()a-＝logf (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1.∴方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}．本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．答案(－1,0)∪(1，＋∞)解析>0，log 2a >12a<0，12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.命题点2对数函数性质的综合应用例3(2020·湛江质检)已知函数f (x )＝12log (x 2－2ax ＋3)．(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解(1)由f (－1)＝－3，得12log (4＋2a )＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2.则f (x )＝12log (x 2－4x ＋3)，由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令μ＝x 2－4x ＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．又y ＝12log μ在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.≥2，(2)≥0，即≥2，－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2(1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为()A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1](1)>0，≥1，－a >0，≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴a >4，且a<4，故不存在．综上可知，实数a比较指数式、对数式的大小例4(1)(2019·天津市河西区模拟)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则()A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a .又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则()A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(3)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝fc ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案c <a <b解析易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f |log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f f (4)，所以c <a <b .思维升华(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.跟踪训练3(1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案B解析因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(2)(2019·天津市滨海新区模拟)已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f b ＝f c ＝f (2－1)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <c <bB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案A解析ln 32<ln e ＝12，log 23>12，∴log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴ff f (log 23)＝f ∴a <c <b .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c <b <a <1.故选C.1．(2019·泸州诊断)2lg 2－lg 125的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析2lg 2－lg 125＝2lg 100＝2，故选B.2．设0<a <1，则()A ．log 2a >B ．>C ．log 2a <D ．log 2a <答案B解析∵0<a <1，∴0<a 2<a <a <1，∴在A 中，log 2a ＝，故A 错误；在B 中，>，故B 正确；在C 中，log 2a >，故C 错误；在D 中，log 2a >，故D 错误．3．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为()答案A解析易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，所以选A.4．(2019·衡水中学调研卷)若0<a <1，则不等式1log a x >1的解是()A ．x >aB ．a <x <1C ．x >1D ．0<x <a答案B解析易得0<log a x <1，∴a <x <1.5．函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间为()A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案D解析函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝12log t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝12log t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．6．(2020·长沙期末)已知函数f (x )2x ，x >0，x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围为()A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(0，＋∞)答案A解析作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，欲使y ＝f (x )和直线y ＝a 有两个交点，则0<a ≤1.7．(多选)关于函数f (x )＝ln1－x1＋x，下列说法中正确的有()A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f 答案BD解析函数f (x )＝ln 1－x1＋x＝其定义域满足(1－x )(1＋x )＞0，解得－1＜x ＜1，∴定义域为{x |－1＜x ＜1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x1－x＝1＝－ln1－x1＋x＝－f (x )，是奇函数，∴B 对．函数y ＝21＋x －1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对．f (x 1)＋f (x 2)＝ln1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2＝f ∴D 对．8．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的说法为()A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1,1)上单调递增答案BC解析函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，∴f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数，∴A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；∵1－|x |≤1，∴h (x )≤log 21＝0，故C 正确．9．函数f (x )＝log 2x ·(2x )的最小值为________．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x 2x －14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.10．(2020·深圳月考)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案(0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点(如图)，∴ab＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间0，32上的最大值．解(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.＋x >0，－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12．是否存在实数a ，使得f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解设t＝ax2－x＝－1 4a.若f(x)在[2,4]上是增函数，<1，4，－4>0，2，2>0，解得a>1.∴存在实数a满足题意，即当a∈(1，＋∞)时，f(x)在[2,4]上是增函数．13．已知函数f(x)＝ln e xe－x，若fff1010(a＋b)，则a2＋b2的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵f(x)＋f(e－x)＝2，∴ff…＋f2020，∴1010(a＋b)＝2020，∴a＋b＝2.∴a2＋b2≥(a＋b)22＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．14．若函数f(x)＝log a(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.答案2解析令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝74.当a>1时，y＝log a u是增函数，f(x)max＝log a4＝2，得a＝2；当0<a<1时，y＝log a u是减函数，f(x)max＝log a74＝2，得a＝72(舍去)．故a＝2. 15．(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝log a(2x－a)在区间12，23上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是()B.13，D.23，答案A解析当0<a <1时，函数f (x )在区间12，23上是减函数，所以log ，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 16．已知函数f (x )＝lgx －1x ＋1.(1)计算：f (2020)＋f (－2020)；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m(x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1.∴函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝0，∴f (x )为奇函数．∴f (2020)＋f (－2020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lgm (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m(x ＋1)(7－x )恒成立．即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9.∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9.即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。

4.3.2对数的运高一数学复习知换底公式及应数的运算(第2课时)
复习知识讲解课件
式及应用问题
课时学案
探究
1
(1)
换底公式的本质是化异底为数或自然对数，解决一般对数的求值问题(2)
利用换底公式化简、求值的一般思路 异底为同底，也可以将一般对数化为常用对问题．
般思路：
探究2 利用对数式与指数式互化求值(1)在对数式、指数式的互化运算中，则，尤其要注意条件和结论之间的关系，(2)对于连等式可令其等于k (k >0，且由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数
化求值的方法：
，要注意灵活运用定义、性质和运算法，进行正确地转化．
且k ≠1)，然后将指数式用对数式表示，再的对数，从而使问题得解．
探究3 关于对数运算在实际问题中的
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题代入，最后利用对数运算性质、换底公式进(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数运算，从而简化复杂的指数运算．
题中的应用： 先将题目中数量关系理清，再将相关数据公式进行计算．
可将指数式利用取对数的方法，转化为对
课 后 巩 固。