新高一数学衔接课第十六讲-对数及其运算

第16讲对数函数及其性质1．理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域；2．初步掌握对数函数的图象与性质；3．能够利用对数函数的单调性比较大小、能够解简单的对数型不等式；4．了解反函数的概念及它们的图象特点；一、对数函数的概念1、定义：函数y =log a x （0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为()0,∞+．2、特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =.（2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =.二、对数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0当0＜x ＜1时，y ＞0；当x ＞1时，y ＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数【小结】当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势；当1a >时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；01a <<时，a 越小，图象向右越靠近x 轴.三、判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如log (01)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x四、利用对数函数的单调性比较大小常用方法1、同底数的两个对数值的大小比较，常利用对数函数的单调性进行比较；2、底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引用中间变量法比较，通常取中间变量为-1,0,1等；3、底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常利用数形结合思想来比较，也可利用换底公式化为同底，再进行比较。

考点一：对数函数概念及应用例1．下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a y x =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【变式训练】（多选）下列函数为对数函数的是（）A ．()()1log m f x x -=（1m >，且2m ≠）B ．()3lg f x x=C ．()ln f x x=D ．()ln ef x x =+考点二：求对数型函数的定义域例2．函数()1lg f x x=的定义域为__________.【变式训练】函数()()22log 2f x x x =-的定义域为（）A ．(),0∞-B ．()2,+∞C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞ 考点三：对数函数的图象判断例3．如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【变式训练】如图是对数函数log a y x =的图象，已知a 5，53，45，18，则相应的1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（）A ．18，45，535B 553，45，18C ．53545，18D 553，18，45考点四：对数函数过定点问题例4．若函数()log (2)7a f x x =-+(0a >，且)1a ≠的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为______．【变式训练】函数()()lg 213f x x =-+的图象过定点P ，则点P 的坐标是______.考点五：对数型函数的单调性判断例5．函数()20.5log 2y x x =--的单调递增区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式训练】已知函数()2()ln 344f x x x =-++，则()f x 的单调增区间为_______.考点六：利用对数函数的性质比较大小例6．下列不等式错误的是（）A ．0.50.5log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5>C ．35log 10log 20>D ．πe log e log π>【变式训练】（多选）已知22log e,ln 2,log πa b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a>B ．a b>C ．c a>D ．a c>考点七：解简单的对数型不等式例7．不等式()3log 212x -≤的解集为（）A ．3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,52⎛⎤⎥⎝⎦C ．(],5∞-D ．7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【变式训练】已知21log log 2aa a <（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为____________.考点八：对数型函数的奇偶性判断例8．设函数3()lg 11xf x x+=+--，则下列函数中为奇函数的是（）A ．(2)1f x --B ．(2)1f x -+C ．(2)1f x +-D ．(2)1f x ++【变式训练】若函数())2log f x x a =--为奇函数，则a =____________．考点九：对数型函数的值域求解例9．函数2log y x =在[]1,2上的值域是（）A ．RB ．(－∞，1]C ．[0，1]D ．[0，＋∞)【变式训练1】函数()()22log f x x x =-，[]2,5x ∈的值域为（）A ．[]21,2log 5+B ．[]1,2C ．[]22,log 10D ．[]22,1log 5+【变式训练2】函数())2log 2,f x x x =∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的最小值为________．考点十：反函数的概念及应用例10．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（）A ．4xy =B ．4xy -=C ．14log y x=D ．4log y x=【变式训练】已知函数()f x 为2log y x =的反函数，则(4)f =__________．1．若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（）A ．－2B ．－1C ．1D ．23．下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上是增函数的是（）A ．()lg f x x=B ．()0.3xf x =C ．()3f x x=D ．()21f x x =4．当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（）A．B ．C ．D．5．图中曲线是对数函数log a y x =的图象，已知a43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为()A 343，35，110B 343，110，35C ．43335，110D ．433110，356．若0.13a =，131log 2b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b<c<aD ．c b a<<7．函数()2)1lg(2e 2xf x x x =+--的定义域为___．8．函数log (27)2a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图像一定经过的点是________．9．函数2log (1)(2)y x x =--的单调递减区间是____________.10．若点()2,4P 在函数lo ()g a f x x =的图像上，点(),16Q m 在()f x 的反函数图像上，则m =______.11．若110x <<，2(lg )a x =，2lg b x =，lg(lg )c x =，则a ，b ，c 的大小关系是_____.12．函数21e x y -=的反函数为__________．13．已知函数()f x 为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，当0x >时，()log a f x x =的图象过点(5,2)．（1）求a 的值：（2）求()f x 的解析式；（3）求不等式()4f x >的解集．14．已知函数()()()log 3log 3,0a a f x x x a =+-->且1a ≠.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）若0a >，指出函数的单调性，并求函数()f x 在区间[]0,1上的最大值.15．已知函数()log a f x x =过(2,1)-点．（1）求()f x 解析式；（2）若2()(45)g x f x x =-++，求()g x的值域．1．下列函数是对数函数的是()A ．2log y x =B ．ln(1)y x =+C ．log ex y =D ．log x y x=2．函数()f x =）A ．(]0,2B ．()0,2C ．()(]0,11,2 D ．()()0,11,2 3．函数()()log 352(0a f x x a =-+>且1)a ≠恒过定点（）A ．()2,0B ．()2,2C ．()1,0D ．()1,24．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<5．函数22log (2)y x x =+≥的值域为（）A ．(3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]6．已知0.3113211log 2log 32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则有（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c a b<<7．已知()f x 为对数函数，122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f=______．8．已知函数()f x 是函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数，且()f x 的图象过点()5,2，则=a _______.9．已知()()0.60.6log 2log 1x x +>-，则实数x 的取值范围是_______.10．函数()()1ln 102y x x =->的单调递增区间是________．11．函数()212log 617y x x =-+的值域是__________．12．比较下列各组中两个数的大小：（1） 1.2log 1.6， 1.2log 1.7；（2）23log 0.5，23log 0.6；（3）log 0.9a ，log 0.8a ．13．求下列函数的反函数．（1）13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）51y x =+；（3）2y x =（0x ≤）．14．已知函数42()lg(1)lg(1)2f x x x x x =-+++-．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性．15．已知2a >，函数()y f x =的表达式为44()log (2)log ()f x x a x =---．（1）求()f x 的定义域；（2）当4a =时，求不等式(25)(3)f x f -≤的解集．。

对数概念及其运算—对数的概念重庆市武隆中学刘正宇一、指导思想与理论依据数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。

因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。

所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。

因此本节课我以建构主义的“创设问题情境—提出数学问题—尝试解决问题—验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。

在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。

二、教材分析“对数”是高一新教材的内容，共分三个课时完成。

第一课时为对数的概念，第二课时为对数的运算，第三课时为换底公式。

今天我要说的是第一课时—对数的概念。

对数概念对于高一的同学来讲是一个全新的概念，在初中的学习里没有接触过。

此前，学生已学习了指数及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数则是已知底数和幂值求指数，二者是互逆的关系。

对数的概念的学习，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备，起到了承上启下的重要作用。

三、学情分析大部分学生比较怕数学概念的学习，理解能力，逆向思维能力等方面参差不齐。

对数概念对于高一的同学来讲是一个全新的概念，在初中的学习里没有接触过。

在教学过程中，我从实际问题出发，不断创设疑问，激发学生的求知欲和学习主动性，使学生紧紧抓住对数运算是指数运算的逆运算这一实质，重视指数式与对数式的互化，通过教师的引导点拨和学生的思考练习，使学生理解和掌握对数的概念及本质，达到我们预期的教学目标。

四、教学目标1、经历由指数式引入对数概念的过程，理解和掌握对数的概念；2、知道特殊对数的表示方法，会利用计算器计算常用对数值；3、通过对数式与指数式的互化，了解对数运算与指数运算互逆关系，养成类比、分析、转化的思维习惯；4、通过对数概念的建立，树立事物的辩证发展和矛盾转化的观点，养成科学严谨的思维品质。

高一数学对数及其运算教学一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是向高一学生讲授数学中的对数及其运算。

对数是数学中一个重要的概念，它在解决复杂数学问题，尤其在自然科学、工程技术和经济学等领域有着广泛的应用。

通过本节课的学习，学生将掌握对数的定义、性质以及基本的对数运算，从而为后续学习指数函数、对数函数以及解决实际问题打下坚实基础。

2、教学对象本节课的教学对象是高中一年级的学生。

这一阶段的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的基本概念和运算规则，但对于对数这一较为抽象的概念可能还感到陌生。

因此，在教学过程中，需要将抽象的概念具体化、形象化，帮助学生理解并掌握对数的本质及其运算方法。

同时，针对不同学生的认知水平和学习风格，采用多样化的教学策略，使全体学生能够积极参与，提高学习兴趣和效果。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解对数的定义，掌握对数的性质，能够准确区分自然对数与常用对数；（2）学会对数的运算方法，包括对数的加、减、乘、除以及幂运算，能够熟练进行对数计算；（3）了解对数在解决实际问题中的应用，例如在物理学、生物学、经济学等领域；（4）掌握对数函数的基本概念，为后续学习对数函数的性质和图像打下基础。

2、过程与方法（1）通过实际例子引出对数的概念，让学生在对数产生的背景中感受对数的意义；（2）采用师生互动、小组讨论的方式，引导学生发现并总结对数的性质和运算规律；（3）设计丰富的例题和练习，让学生在解决问题的过程中运用对数知识，培养分析问题和解决问题的能力；（4）利用数学软件或图形计算器等辅助工具，帮助学生直观地理解对数函数的图像和变化趋势。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发他们学习数学的热情；（2）鼓励学生主动参与课堂讨论，敢于提出问题，勇于挑战困难，形成积极向上的学习态度；（3）通过小组合作，培养学生团结协作、互相帮助的精神，增强集体荣誉感；（4）让学生体会数学在自然科学和社会科学中的应用价值，认识到学习数学的重要性，从而树立正确的价值观。

第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg 自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a +=．【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论．考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2eπ+=D122.535[(0.064)]1-=【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c+=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lgb （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1ab=3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45= .（用含,a b的式子表示）10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12a b ==，则11a b+=.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【解析】对于A ：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A 正确；对于B ：只有符合0a >，且10a N ≠>，，才有log xa a N x N =⇔=，故B 错误；对于C ：以10为底的对数叫做常用对数，故C 错误；对于D ：以e 为底的对数叫做自然对数，故D 错误.故选：BCD.【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【答案】C【解析】由式子(31)log (2)x x --有意义，则满足31031120x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得123x <<且23x ≠.故选：C.【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5 【答案】D【解析】要使对数式()()3log 5a b a -=-有意义，需满足303150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得34a <<或45a <<，所以实数a 的取值范围是()()3,44,5 ．故选:D.【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．【答案】B【解析】对A ，若0M N =≤，则log ,log a a M N 均无意义，故A 错；对B ，若log log a a M N =，说明0M N =>，则B 项正确；对C ，若22log log a a M N =，则22M N =，不一定能推出M N =，故C 错；对D ，若0M N ==，则22log ,log a a M N 无意义，故D 错.故选：B考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【答案】A【解析】把对数式3log 0.81x =化成指数式，为30.81x =．故选：A ．【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【答案】B【解析】328=化为对数式为2log 83=，故选：B ．【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【答案】C【解析】由)4x =得42x =，即22x x =，又0x >且1x ≠，所以2x =，故选：C ．【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=【答案】ABD【解析】根据指数式与对数式的互化公式log Na ab b N =⇔=(0a >且1,0)a N ≠>可知，ABD 正确；对于C ，22log 4242=⇔=，故C 错误.故选：ABD考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B【解析】由()()2lg 1lg 22x x -=+，得2212210220x x x x ⎧-=+⎪->⎨⎪+>⎩，即2223010220x x x x ⎧--=⎪->⎨⎪+>⎩，解得3x =，所以方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为3.故选：B【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【答案】3log 4【解析】由()3log 941x x -=+，得()133log 94log 3x x +-=，所以1943x x +-=，即()23433x x -=⋅，即()()34310x x-+=，所以34x =或31x =-（舍去），所以3log 4x =.故答案为：3log 4.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a += ．【答案】52/2.5【解析】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x -+=的两个实数根，由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=，则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a b a b b a b a a b a b a b a b ++-⋅++=+===-=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t -+=的根为1t =或12t =，不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +=+=+=．故答案为：52.【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论 ．【答案】1081a b +=（答案不唯一）【解析】根据换底公式有33333log log lo 7g l 343og 32x x +=-，即33114133log log x x ++=-+，令3g 1lo x t +=，则1433t t +=-，解得1t =-或3t =-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-，解得19x =或181x =.故答案为：1081a b +=（答案不唯一）考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2e π+=D122.535[(0.064)]1-=【答案】A【解析】对于A 中，由2222(lg5)2lg2(lg2)(1lg2)2lg2(lg2)1+-=-+-=，所以A 正确；对于B 中，由335lg5lg22lg3log 5log 2log 93lg3lg3lg5⋅⋅=⋅⋅≠，所以B 错误；对于C中，由ln 27e log 825ππ=++-≠，所以C 错误；对于D 中，122.513551515[(0.064)](0.4)122222--=+⨯=+⨯≠，所以D错误．故选：A【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【答案】1【解析】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为：1.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【答案】(1)0；(2)6【解析】（1）原式=1122234937(1()1021644+-=+-=（2）原式=3+log 23⋅log 32+lg100=3+1+2=6．【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．【答案】(1)0；(2)2【解析】（1）420.5251log log 3log 95+-22222251log log 95log 3log 4log 0.5=+-2225log log 3log 53=+-225log 35log 103⎛⎫=⨯÷== ⎪⎝⎭；（2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 3ln 3ln 2ln 3ln 3ln 2ln 2⎛⎫=+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭2222ln 2ln 3ln 2ln 322ln 3ln 2ln 3ln 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【答案】D【解析】由对数运算性质可得()2lg12lg 34lg3lg4lg3lg2lg32lg22a b =⨯=+=+=+=+，故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【答案】C 【解析】由25a=得，2lg 51lg 2log 5lg 2lg 2a -===，则1lg 21a =+，故选：C ．【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【答案】C【解析】因为27b =，所以2log 7=b ，2222242222222log 56log 7log 8log 73log 23log 56log log 7742log log log l g 62o ++==+=++31+=++b b a .故选： C.【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+【答案】B 【解析】30lg18lg2lg92log 18lg30lg311a bb ++===++，故选:B.考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c +=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【答案】C【解析】由346a b c k ===，得3log a k =，4log b k =，6log c k =，1log 3k a=，1log 4k b =，1log 6k c =，则11log 4log 222k k b ==，根据log 3log 2log 6k k k +=可知，1112a b c+=.故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【答案】证明见解析【解析】左边622log 26log 26===，右边362263log 23log 263==⨯⨯=，所以左边=右边，得证.【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）log 1log log log b a b b b b a aααα==，所以等式成立；（2）log log log log log log a a a a a a b b b b a a αββαββαα===，所以等式成立.【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)174【解析】（1）因为log log log log log a a a a a a b b b b a a αββββα===，所以命题log log a ab b αββα=得证.（2）因为log 1log log log b a a b b b b a aαα==，所以命题1log log ab b a αα=得证.（3）因为2log 32x =，所以22322log 22log 4log 3log 3x ===，故1333log 4log 4log 4117333343444x x---+=+=+=+=，即33x x -+的值为174.一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<【答案】B【解析】由对数的定义可知5001a a a ->⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得05a <<，且1a ≠，故选：B ．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1a b=【答案】C【解析】因为lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，所以lg lg lg 0a b ab +==，所以1ab =.故选：C.3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=【答案】B【解析】31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式：121log 38=，故选：B 4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．【答案】A【解析】11111lg 2lg 2lg 5lg(25)22222+=+=⨯=.故选：A5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =【答案】D【解析】当0,0a b <<时，ABC 均不成立，由换底公式知D 正确．故选：D ．6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意可得：2345ln 3ln 4ln 5ln 8ln 83ln 2log 3log 4log 5log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 2ln 2⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===.故选：B.二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=【答案】CD【解析】对A ，lg 2lg 3lg 6+=，故A 错误；对B ，33log 1002log 10=，故B 错误；对C ，4log 545=正确；对D ，34log 4log 31⋅=正确.故选：CD8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6【答案】ABC 【解析】因为25a=，则2log 5a =，且821log 3log 33b ==，则22253log 5log 3log 3a b -=-=则()22252log 253log 9332542229a b a b--====，故A 正确；()()222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 22lg 2lg 5lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 2++-=++-=+-lg 2lg 51=+=，故B 正确；由3log 41x =可得431log 3log 4x ==，则44log 3log 31104444333x x --+=+=+=，故C 正确；因为23m n k ==，则23log ,log m k n k ==，则11log 2,log 3k k m n==，所以11log 2log 3log 62k k k m n+=+==，所以k =D 错误；故选：ABC 三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45=.（用含,a b的式子表示）【答案】22a b a ++【解析】因为25b =，所以2log 5b =，又2log 3a =，所以()()2222122222log 59log 45log 5log 9log 45log 12log 34log 3log 4⨯+===⨯+222222log 52log 3log 32log 2a ba ++=++=.故答案为：22a b a ++10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12ab ==，则11a b +=.【答案】1【解析】因为312a =，所以3log 12a =，所以121212341111log 3log 4log 121log 12log 12a b +=+=+==.故答案为：1.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．【答案】1000【解析】()23lg lg 10x x -+=，即()2lg 3lg 10x x -+=，设lg t x =，由题意lg lg m n ，是方程2310t t -+=的两个根，由根与系数关系得lg lg 3m n +=，即lg 3mn =，所以1000mn =.故答案为：1000.四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++【答案】(1)53-；(2)52；(3)2【解析】（1）()()()111113443344410.027160.32147--⎛⎫⎡⎤-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭10521433=-+-=-（2）2ln 221245log 2lg 4lg e log 2lg 2lg 5lg 222-+++=++-+13352lg 2lg 5lg 22lg 2lg 512222=-++-+=++=+=（3）()()()()232483932232log 3log 3log 2log 22log 3log 3log 2log 2++=++223311log 3log 3log 2log 232⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2343log 3log 2232⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.【答案】（1）5；（2）13π-【解析】（1）因为3515a b ==，所以35log 15,log 15==a b ，3551,1lo 1g 15l g 1o 1a b ==，则()()15151535551155log 3log 55log 355log 15log 15a b ⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭；（2）()()()()()22223331027lg 5lg 2lg 503π3lg 5lglg 105π35++⨯--=++⨯⨯-+()()()()()22223lg 51lg 51lg 5π312πlg 51lg 513π=++-⨯+-+=-++-=-．。

练习主题 对数已知1个细胞经过x 次分裂后，相应的细胞个数为y=x 2. 由此，若知道了分裂的次数x ，就能求出分裂后相应的细胞数y. 反过来，若知道了分裂后相应的细胞数y ，怎样求出分裂的次数x 呢?知识点一：对数的概念如果ba =N （a ＞0，a ≠1），那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作N a log =b ，其中，a 叫作对数的底数，N 叫作真数.由对数的定义可知，ba =N 与b=N a log 两个等式所表示的是a 、b 、N 这3个量之间的同一个关系，例如：32=9 9log 3=2， 2log 4=21214=2例1、将下列指数式改写成对数式： （1）24=16； （2）3-3=271； （3）5a=20； （4）b 21）（=0.45例2、将下列对数式改写成指数式： （1）125log 5=3； （2）3log 31=-2； （3）a log 10=-1.699例3、求下列各式的值：（1）64log 2； （2）27log 9； （3）4log 55； （4）33log 3通常将以10为底的对数称为常用对数，如2log 10，12log 10等.为了方便起见，对数N 10log 简记为N lg ，如2lg ，21lg 等.在科学技术中，常常使用以e 为底的对数，这种对数称为自然对数.e=2.71828…是一个无理数.正数N 的自然对数N e log 一般简记为N ln ，如2log e ,15log e 分别记为2ln ，51ln 等.对应练习：1、将下列指数式改写成对数式： （1）35=243； （2）2-8=2561； （3）2x=10； （4）x 51）（=122、将下列对数式改写成指数式： （1）4log 21=-4； （2）00001lg =4； （3）a lg =0.4771； （4）21ln =b3、求下列各式的值：（1）64log 4； （2）7log 7； （3）81log 2；（4）9log 31； （5）0001lg ； （6）2e 1ln为什么规定a ＞0，a ≠1呢?1、若a ＜0,则当N 为某些值时，b 的值不存在.如b=8log 2-）（不存在. 2、若a=0，则（1）当N ≠0时，b 的值不存在.如3log 0(可理解为0的多少次幂是3)不存在.（2）当N=0时，b 可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即0log 0有无数个值.3、若a=1，则（1）当N ≠1时，b 的值不存在.如3log 1不存在；（2）当N=1时，b 可以为任意实数，是不唯一的，即1log 1有无数个值.因此规定a ＞0，a ≠1.例4、在对数式b=a -5log 2-a ）（中，实数a 的取值范围是 .巩固练习：1、N b log =a （b ＞0，b ≠1，N ＞0）对应的指数式是（ ）A.a b=N B.b a=N C.N a =b D.Nb =a2、若x log a =1，则（ ）A.x=1B.a=1C.x=aD.x=10 3、若）（1-x 2log 55=25，则x 的值等于（ ）A.10B.13C.100D.±100 4、（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）A.0e =1与1ln =0 B.9log 3=2与219=3 C.31-8=21与21log 8=31- D.7log 7=1与17=7 5、若2log a =m ，3log a =n ，则nm 2a+= .6、已知a4=2， x lg =a ，则x= .7、计算：161log e ln 5log 282532+⨯= . 8、使式子）（）（x -2log 1-2x 有意义的x 的取值范围是 .知识点二：对数的运算我们知道，指数幂运算有下列性质：ts t s aa a +=， t s aa =t -s a ， t t tb a ab =）（根据对数的定义，有：N a log =b ba =N （a ＞0，a ≠1，N ＞0）那么，对数运算也有相应的性质吗？设：M=s a ，N=t a ，于是MN=ts t s aa a +=由对数的定义得：M a log =s ，N a log =t ， ）（MN a log =s+t ， 因此：）（MN a log =M a log +N a log 一般地，我们可以得到如下的对数运算性质：）（MN a log =M a log +N a log ， NMalog =M a log -N a log n a log M =n M a log其中a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R. 例1、求下列各式的值：（1））（53242log ⨯； （2）125log 5； （3）2lg +5lg ； （4）45log 3-5log 3（5）005lg +58lg 25lg 2lg 5064lg 21-）（+⨯+； （6）22lg 2）（+2lg ·5lg ；例2、已知2 lg ≈0.3010，3 lg ≈0.4771，求下列各式的值（保留四位小数）（1）21 lg ； （2）1627lg ； （3）45lg对应练习：1、求下列各式的值：（1））（279log 3⨯； （2））（252184log ⨯； （3）9log -27log 3131；2、已知2 lg ≈0.3010，3 lg ≈0.4771，求下列各式的值（保留四位小数） （1）81 lg ； （2）27 lg ； （3）43lg ； （4）51 lg .3、设2 lg =a ，3 lg =b ，试着用a 、b 表示下列各对数：（1）081 lg ； （2）2518lg知识点三：换底公式alog log log c c a NN =，其中a ＞0，a ≠1，N ＞0，c ＞0，c ≠1. 特别提醒（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算或证明.（3）换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数. 几个常用的推论：（1）c log a ·a log c =1，次公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数； （2）b log a ·c log b ·a log c =1；（3）n a b log m =b log m na ，次公式表示底数变为原来的m 次方，真数变为原来的n 次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍.例1、求下列各式的值：（1）9log 8×32log 3； （2）31log 5·6log 3·251log 6对应练习：1、3log 6×6log 9= .2、计算：2log 3log -3log 2log -3log 2log 3223223）（+= .3、若31log 5·6log 3·x log 6=2，则x= .巩固练习：1、（多选）以下运算错误的是（ ）A.2 lg ×3 lg =6 lgB.22 lg ）（=4 lg C.2 lg +3 lg =5 lg D.4 lg -2 lg =2 lg 2、已知a ＞0且a ≠1，则21log 2log aa +=（ ） A.0 B.21C.1D.2 3、化简2112log 6-22log 6的结果为（ ） A.26 B.212 C.3log 6 D.21 4、（多选）下列运算错误的是（ ）A.102log 51+25.02log 51=2 B.27log 4·8log 25·5log 9=98C.2 lg +05 lg =10D.45-2log -3-2log 2232=+）（）（）（ 5、若 x lg =a ，y lg =b ，则210y lg -x lg ⎪⎭⎫⎝⎛的值是（ ）A.21a-2b-2 B.21a-2b+1 C.21a-2b-1 D.21a-2b+2 6、计算：（1）1-21-2 lg 225 lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+； （2）4 lg5 lg 2 lg 22++）（）（·5 lg （3）21245lg 8lg 34-4932lg +； （4）5 lg 8 lg 3225 lg ++·22 lg 02 lg ）（+。