数学高一必修1课时作业 3.4.1对数及其运算

4.3.1 对数的概念【学习目标】课程标准学科素养1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).1、直观想象2、数学运算【自主学习】一．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是.二.常用对数与自然对数三.对数的基本性质(1)负数和零对数.(2)log a1＝(a>0，且a≠1).(3)log a a＝(a>0，且a≠1).(4)对数恒等式a log a N＝(a>0且a≠1，N >0).【小试牛刀】思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log a N是log a与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．()【经典例题】题型一指数式与对数式的互化点拨：指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.例1 根据对数定义，将下列指数式写成对数式：①3x ＝127； ①⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝64； ①log 1612＝－14； ①ln 10＝x .【跟踪训练】1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3.题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 点拨:①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算.例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值. (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.【跟踪训练】2 (1)求下列各式的值.①log 981＝________.①log 0.41＝________.①ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值.①log 64x ＝－23；①log x 8＝6； ①lg 100＝x ；①－ln e 2＝x .题型三 对数基本性质的应用 点拨：利用对数性质求值的方法(1)性质 log a 1＝0 log a a ＝1 (a >0，且a ≠1).(2)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a (log b c )的值，先求log b c 的值，再求log a (log b c )的值．(3)对数恒等式a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)例3 求下列式子值。

2020-2021学年高一数学北师大版（2019）必修一同步课时作业 4.1对数的概念 4.2对数的运算1.有下列说法: ①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以e 为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为( ) A.1B.2C.3D.42.已知()23409=>a a ，则23log =a ( )A. 2B.3C.12D.133.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A. 01e =与ln10= B. 3log 92=与1293= C. 1 3182-=与811log 23=- D. 7log 71=与177= 4.下列计算正确的是( ) A ．()239a a =B ．22log 6log 31-=C ．11220a a -⋅= D ．()()233log 42log 4--5.若2510a b ==,则11a b+=( ) A.12 B.1C.32D.26.若384log 4log log 16m ⋅=,则m 等于( ) A.3B.9C.18D.277.若lg2,lg3a b ==,则54=( )A.3a b +B.1322a b + C.12a b + D.32a b +8.设lg2,lg3a b ==,则5log 12等于( )A.21a b a ++B.21a ba++ C.21a ba+- D.21a ba+-9.化简661log 122log 2-的结果为( )A. B. C.6log D.1210.若023log 3log 4,lg 2lg 5,,ln1P Q M e N =⋅=+==,则下列正确的是( ) A. P Q =B. Q M =C. M N =D. N P =11.方程2(1)1log 1log 2x x ++=的解是x =__________.12.化简求值：()1434281log 4216⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭______________ ． 13.若22log log 1m n +=,那么m n +的最小值是________. 14.已知132a =，2312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2log ab =__________.15.将下列指数式与对数式互化. (1)2log 164=; (2)13log 273=-;(3)6x =;(4)3464=; (5)2139-=; (6)21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 16.求值:(1).41log 92641()lg 22lg5494-++-；(2).已知25log 5,log 7,a b ==试用,a b 表示14log 56.答案以及解析1.答案：C解析：①③④正确,②不正确,只有0a >且1a ≠时,N x a =才能化为对数式. 2.答案：B解析：由2349=a ，得3324293⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ，所以322332log log 33⎛⎫== ⎪⎝⎭a . 3.答案：B解析：3log 92=化为指数式为239=,故选B. 4.答案：B解析：A.()236a a =，A 不正确；B.222log 6log 3log 21-==，B 正确；C.110221a a a -⋅==，C 不正确； D.()()233log 42log 4-=-，不正确. 故选：B. 5.答案：B解析：∵2510a b ==, ∴25log 10,log 10a b ==, ∴101010251111log 2log 5log (25)1log 10log 10ab+=+=+=⨯=,故选B. 6.答案：D解析：原式可化为832log log 4m =,∴241log 2log 33m =,∴133,27m m ==.7.答案：B解析：111lg54lg6lg9222==+11113lg6lg3(lg2lg3)lg3()22222a b b a b =+=++=++=+. 8.答案：C 解析：5lg12lg32lg 2lg32lg 22log 12lg5lg51lg 21b aa+++====--. 9.答案：C解析：2666666 1log122log log log log log2-===10.答案：B解析：∵22323log3log4log3log22P=⋅=⋅=lg2lg5lg101Q=+==,01,ln10M e N====∴Q M=.11.答案：1解析：原方程可变为22log log(1)1x x++=,即[]2log(1)1x x+=,∴(1)2x x+=,解1x=得或2x=-.又1011xxx>⎧⎪+>⎨⎪+≠⎩,即0x>∴1x=12.答案：323解析：()114341022813232log42log21016233-⎛⎫⎛⎫+⨯=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13.答案：解析：22log log1m n+=,即2log1mn=,2mn∴=，由基本不等式可得m n+≥=当且仅当m n=时,等号成立, 故m n+的最小值是14.答案：13-解析：213312,2a b⎛⎫⎪⎝⎭==，121333222ab--=⋅=.则()213log ab=-.15.答案：(1)∵2log164=,∴4216=.(2)∵13log273=-,∴31273-⎛⎫=⎪⎝⎭.(3)∵6x=,∴6x=.(4)∵3464=,∴4log 643=. (5)∵2139-=,∴31log 29=-. (6)∵21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴14log 162=-.解析：16.答案：(1).原式21log 322184[()]2lg725-=++7328=+-158=(2).225222log 7log 5log 7log 5log 7log 5⋅=⋅= 故原式=22log 56log 14=2222log 7log 8log 7log 2++=31ab ab ++解析：。

3.4.1 对数及其运算问题导学一、指数式与对数式的互化 活动与探究1将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4；(2)13log 27=3-；(3)6=；(4)43＝64；(5)3－2＝19；(6)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16.迁移与应用把下列各等式转化为相应的对数式或指数式： (1)53＝125；(2)12log 8=3-；(3)12142-=； (4)ln x ＝12；(5)lg a ＝5.对数式和指数式互化的主要依据是关系式a b＝N 等价于b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，互化时，注意以下问题：(1)指数式与对数式在满足底数大于0且不等于1时，可以相互转化．(2)把指数式改写成对数式时，指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置，指数式的指数变为对数式中的对数，指数式中的幂值变为对数式中的真数．(3)在进行指数式与对数式的互化时，一定要保证对数式中的真数大于0. (4)注意常用对数与自然对数的表示方法． 二、对数基本性质及对数恒等式的应用 活动与探究2 求下列各式的值：(1)lg 1；(2)ln e ；(3)log 327；(4)71log 57-；(5)22log 9log 52-. 迁移与应用计算：(1)log 2(log 5x )＝0，则x ＝______；(2)31log 63+=______；(3)151log 21=5-⎛⎫ ⎪⎝⎭______.1．利用对数的定义可以求对数值，这时通常是先将对数式化为指数式，再利用指数的有关运算转化为同底数的幂的形式，从而列出方程，求出结果．2．利用对数的基本性质求值(1)1的对数等于0，即log a 1＝0；(2)底的对数等于1，即log a a ＝1(a ＞0，a ≠1)．3．利用对数恒等式log a Na N =求值在计算含有形如“log a N ma ±”的题目时，首先借助指数幂的运算性质，使其变形为log log a a N m N m a a a ±±=⋅，然后借助对数恒等式log a N a N =及指数幂的运算求值．三、利用对数的运算性质化简、求值 活动与探究3计算下列各式的值： (1)log 85－log 840；(2)log 2748＋log 212－12log 242；(3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.迁移与应用 求下列各式的值： (1)log 64＋log 69； (2)4lg 2＋3lg 5－lg 15；(3)lg 25＋lg 2·lg 5＋lg 2.对数式化简求值常用的方法与技巧： (1)对于同底对数的化简方法：①将同底的两个对数的和(差)化为积(商)的对数； ②将积、商的对数拆成对数的和(差)； ③把真数化成最简；④把数与对数的乘积写成幂的形式，逆用运算性质．(2)对真数中含有多重根号的对数式的化简，应从内到外逐层化简．(3)对于常用对数的化简要充分利用“lg 2＋lg 5＝1”、“lg 2＝1－lg 5”、“lg 5＝1－lg 2”来解题．当堂检测1．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是( )．A ．100＝1与lg 1＝0B ．131273-=与log 2713＝－13C ．log 39＝2与129=3D ．log 55＝1与51＝52．下列等式成立的有( )．①lg 1100＝－2 ②log 333＝32 ③2log 52=5 ④e ln e ＝1 ⑤3lg 3＝3 ⑥5ln 5＝5A ．①②③B ．①②③④C ．①②③④⑤ D．①②③④⑤⑥3．log 812＋log 814等于( )．A ．1B ．－1C ．8D ．184．若log 3(x 2＋1)＝1，则x ＝__________. 5．12ln 36＋13ln 82ln 2＋ln 3＝__________.答案：课前预习导学 【预习导引】1．log a N ＝b 底数 真数预习交流1 提示：指数式a b＝N 与对数式b ＝log a N (a ＞0，a ≠1，N ＞0)是等价的，它们表达的是a ，b ，N 三者之间的同一种关系．但字母a ，b ，N 在两个式子中的名称是不相同的(如下表)：2．(1)零和负数 N (2)0 log a 1＝0 (3)1 log a a ＝1 (4)=a a N预习交流3 提示：在log a N ＝b 中，必须N ＞0，这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而a b＝N 中，N 总是正数．3．10 lg N e ln N4．(1)log a M ＋log a N (2)n log a M (3)log a M －log a N预习交流4 提示：不一定成立． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 迁移与应用 1.思路分析：由题目可知：(1)(2)(3)是对数式，(4)(5)(6)是指数式，可以利用指数式与对数式的关系进行转化．解：(1)∵log 216＝4，∴24＝16.(2)∵13log 27＝－3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27.(3)∵=6，∴(3)6＝x .(4)∵43＝64，∴log 464＝3.(5)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(6)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16，∴14log 162=-.迁移与应用 解：(1)∵53＝125， ∴log 5125＝3.(2)∵12log 83=-，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8.(3)∵12142-=，∴log 412＝－12.(4)∵ln x ＝12，∴x ＝12e .(5)∵lg a ＝5，∴a ＝105.活动与探究2 思路分析：对数的求值问题，可考虑利用对数的基本性质、指数式与对数式的互化以及对数恒等式求解．解：(1)∵100＝1，∴lg 1＝0.(2)设ln e ＝x ，则有e x ＝e ，即e x＝12e .因此x ＝12，即ln e ＝12.(3)设log 327＝x ，则由指数式和对数式的关系可得3x＝27，即3x＝33，所以x ＝3.(4)原式＝7log 577＝75.(5)原式＝22log 9log 522＝95.迁移与应用 (1)5 (2)18 (3)110解析：(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝1，∴x ＝5.(2)原式＝3·3log 63＝3×6＝18. (3)原式＝15÷15log 215⎛⎫⎪⎝⎭＝15÷2＝110. 活动与探究3 思路分析：利用对数的运算性质进行计算，特别注意这些性质公式的逆用．解：(1)log 85－log 840＝log 8540＝log 818＝log 88－1＝－1. (2)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12.(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.迁移与应用 解：(1)log 64＋log 69＝log 6(4×9)＝log 636＝2.(2)原式＝lg 24×5315＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.(3)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5·lg(5×2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 【当堂检测】 1．C2．A 解析：④中e ln e＝e ，⑤⑥中指数式的底数和对数式中的底数不相等．3．B 解析：log 812＋log 814＝log 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12×14＝log 818＝－log 88＝－1. 4．± 2 解析：由已知可得x 2＋1＝3，因此x 2＝2，即x ＝± 2. 5．1 解析：原式＝ln 6＋ln 2ln 4＋ln 3＝ln 12ln 12＝1.。

《换底公式》课时作业1．log 49343等于( ) A ．7 B ．2 C.23 D.32答案 D解析 log 49343＝lg343lg49＝3lg72lg7＝32.2．log 29×log 34＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 log 29×log 34＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.3.log 89log 23＝( ) A.23 B.32 C ．1 D ．2 答案 A解析 原式＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2lg3lg2＝23，故选A.4．log 2353可以化简为( ) A ．log 25 B ．log 52 C ．log 85 D ．log 2125答案 A5．若log 23·log 3m ＝12，则m ＝( )A ．2 B. 2 C ．4 D ．1答案 B解析 ∵log 23·log 3m ＝log 2m ＝12，∴m ＝2 12＝2，故选B.6．若f (e x )＝x ，则f (5)等于( ) A ．log 5e B ．ln5 C ．e 5 D ．5e答案 B7．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36＝( ) A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b 答案 B8．设a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2 D ．3a －a 2－1 答案 A解析 原式＝3log 32－2(1＋log 32)＝a －2. 9．log 24＋log 33＝________. 答案 92解析 原式＝log 24log 22＋log 3312＝212＋12＝92.10．2513log 527＋4log 1258＝________. 答案 2 30411．若a >0，a 23 ＝49，则log 23 a ＝________.答案 312．若4a ＝25b ＝10，则1a ＋1b ＝________.答案 213.(log 32)2－log 34＋1＋log 94＝________. 答案 114．已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg5＝________.(用p ，q 表示) 答案q p ＋q解析 方法一：lg5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q.方法二：⎩⎨⎧lg2lg6＝p ，lg5lg6＝q ⇒{ 1－lg5＝p lg6，lg5＝q lg6⇒lg5＝qp ＋q .15．若log a b ·log b c ·log c 3＝2，则a 的值为________． 答案316．计算下列各式的值． (1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)； (2)log 2732·log 6427＋log 92·log 427.解析 (1)原式＝(log 32＋12log 32)×(12log 23＋13log 23)＝32log 32×56log 23＝54.(2)原式＝53log 32×36log 23＋12log 32×12log 2332＝56＋12log 32×34log 23＝56＋38＝2924. 17．已知log 142＝a ，用a 表示log27.解析 方法一：∵log 142＝a ，∴log 214＝1a .∴1＋lo g 27＝1a .∴log 27＝1a －1.∴log 27＝log 27log 22＝log 272.∴log 27＝2log 27＝2(1a －1)＝2(1－a )a .方法二：log 142＝log 22log 214＝2log 27＋2＝a ，∴2＝a (log 27＋2)，即log 27＝2(1－a )a. 方法三：log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22)＝2(1a －1)＝2(1－a )a .1．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y ＝( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3答案 A解析 ∵x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， ∴1x ＝log 1 0002.5，1y＝log 1 0000.25. ∴1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13，故选A. 2．log 43·log 13 432＝________.答案 －58解析 原式＝log 43·(－14log 332)＝－14×log 432＝－14×log 2225＝－14×52＝－58. 3．lg9＝a,10b ＝5，用a ，b 表示log 3645为________． 答案a ＋b a －2b ＋2解析 由已知b ＝lg5，则log 3645＝lg45lg36＝lg5＋lg9lg4＋lg9＝a ＋b a ＋2lg2＝a ＋b a ＋2(1－b )＝a ＋b a －2b ＋2.4．计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．解析 方法一：原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125) ＝(3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22)(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二：原式＝(lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8)(lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125)＝(3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2)(lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5)＝(13lg53lg2)(3lg2lg5)＝13.5．已知2x ＝3，log 483＝y ，求x ＋2y 的值．解析 ∵x ＝log 23，y ＝12(log 28－log 23)，∴x ＋2y ＝log 23＋3－log 23＝3.6．已知lg 87＝a ，lg 5049＝b ，用a ，b 表示lg2，lg7.解析 ∵lg 87＝a ，∴3lg2－lg7＝a .①∵lg5049＝b ，∴2－lg2－2lg7＝b .② 由①②可得lg2＝2a －b ＋27，lg7＝6－a －3b7.《对数函数的概念、图像和性质》课时作业1．函数y ＝log (x －1)(3－x )的定义域为( ) A ．(1,3) B ．(－∞，3) C ．(1,2)∪(2,3) D ．(－∞，1)答案 C解析 由{ x －1>0，x －1≠1，3－x >0，得1<x <3且x ≠2，故选C. 2．log 43，log 34，log 3443的大小顺序是( )A ．log 34<log 43<log 34 43B ．log 34>log 43>log 34 43C ．log 34>log 34 43>log 43D ．log 34 43>log 34>log 43答案 B解析 ∵log 34>1,0<log 43<1，log 3443<0，∴选B.3．若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(23，＋∞)C ．(23，1)D ．(0，23)∪(1，＋∞)答案 D解析 ∵log a 23<1＝log a a ，当a >1时，⎩⎨⎧a >1，23<a ，得a >1；当0<a <1时，⎩⎨⎧0<a <1，23>a ，得0<a <23.综上，选D.4．如图，曲线是对数函数y ＝lo g a x 的图像，已知a 的取值有43，3，35，110，则相应c 1，c 2，c 3，c 4的a 的值依次是( )A.3，43，110，35B.3，43，35，110C.43，3，35，110D.43，3，110，35 答案 B解析 利用例2中关于图像的结论，亦可用特殊值法，例如令x ＝2，则比较log 43 2，log 32，log 35 2，log 1102的大小．5．若log a (π－3)<log b (π－3)<0，a ，b 是不等于1的正数，则下列不等式中正确的是( ) A ．b >a >1 B ．a <b <1 C ．a >b >1 D ．b <a <1答案 A解析 ∵0<π－3<1，log a (π－3)<log b (π－3)<0， ∴a ，b ∈(1，＋∞)且b >a ，∴选A.6．设P ＝log 23，Q ＝log 32，R ＝log 2(log 32)，则( ) A ．R <Q <P B ．P <R <Q C ．Q <R <P D ．R <P <Q 答案 A解析 P >1,0<Q <1，∵0<log 32<1， ∴log 2(log 32)<0，∴P >Q >R .7．若0<a <1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图像不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵y ＝log a (x ＋5)过定点(－4,0)且单调递减， ∴不过第一象限，选A.8．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg2 B ．lg32 C ．lg 132 D.15lg2答案 D解析 令x 5＝2，∴x ＝2 15. ∴f (2)＝lg2 15 ＝15lg2，故选D.9．函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为( )A ．(34，1)B ．(34，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(34，1)∪(1，＋∞)答案 A10．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |log 12x ≥12，则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪[22，＋∞) D ．[22，＋∞) 答案 A11．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0且a ≠1)在同一坐标系中的图像只可能是( )答案 A12．函数y ＝log a (x －2)＋3(a >0且a ≠1)恒过定点______． 答案 (3,3)13．比较大小，用不等号连接起来． (1)log 0.81.5________log 0.82； (2)log 25________log 75； (3)log 34________2； (4)log 35________log 64. 答案 (1)> (2)> (3)< (4)>14．求不等式log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)的解集．解析 ∵{ 2x －1>0，－x ＋5>0，2x －1<－x ＋5，得12<x <2.∴不等式的解集为{x |12<x <2}．15．求函数y ＝2－xlg (x ＋3)的定义域．解析 要使函数有意义，必须且只需{ 2－x ≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即{ x ≤2，x >－3，x ≠－2.∴－3<x <－2或－2<x ≤2.∴f (x )的定义域为(－3，－2)∪(－2,2]． ►重点班·选做题16．函数y ＝log 2x 和y ＝lo g 124x 的图像关于直线( )对称( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．y ＝1D ．y ＝－1答案 D17．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m ，则m ＝______. (lg2≈0.301 0) 答案 155解析 由10m －1＜2512＜10m ，得m －1＜512lg2＜m . ∴m －1＜154.12＜m ，∴m ＝155.1．已知f (x )＝1＋lg(x ＋2)，则f －1(1)的值是( ) A ．1＋lg3 B ．－1 C ．1 D ．1＋lg2 答案 B2．求下列函数定义域． (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log x ＋1(16－4x )．思路点拨 (1)真数要大于0，分式的分母不能为0，(2)底数要大于0且不等于1，真数要大于0.解析 (1)由{ x －2>0，x －3≠0，得x >2且x ≠3. ∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4x >0x ＋1>0x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <4x >－1x ≠0，解得－1<x <0或0<x <4. ∴定义域为(－1,0)∪(0,4)．。

4．1 对数及其运算(2)导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容： 1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化． a b ＝N ⇔log a N ＝b . 3．重要公式：(1)负数与零没有对数；(2)log a 1＝0，log a a ＝1；(3)对数恒等式a log a N ＝N . 下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题〕思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则．a m·a n＝a m ＋n；a m÷a n＝a m －n；(a m )n＝a mn；ma n＝n ma .从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题．推进新课 新知探究 提出问题1在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？2如我们知道a m ＝M ，a n ＝N ，a m ·a n ＝a m ＋n，那m ＋n 如何表示，能用对数式运算吗？ 3在上述2的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？ 4你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？ 6上述结论能否推广呢？7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？ 讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．(2)如a m ·a n ＝a m ＋n ，设M ＝a m ，N ＝a n ，于是MN ＝a m ＋n，由对数的定义得到 M ＝a m ⇔m ＝log a M ，N ＝a n ⇔n ＝log a N ， MN ＝a m ＋n ⇔m ＋n ＝log a MN ， log a MN ＝log a M ＋log a N .因此m ＋n 可以用对数式表示．(3)令M ＝a m，N ＝a n，则M N＝a m ÷a n ＝am －n，所以m －n ＝log a M N.又由M ＝a m，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N .所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a M N，即log a M N ＝log a M －log a N .设M ＝a m ，则M n ＝(a m )n ＝a mn.由对数的定义，所以log a M ＝m ，log a M n＝mn .所以log a M n ＝mn ＝n log a M ，即log a M n＝n log a M .这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 log a (MN )＝log a M ＋log a N ，①log a M N ＝log a M －log a N ，②log a M n＝n log a M (n ∈R )．③(4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0. (6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a ＞0，a ≠1，M 1M 2M 3…M n均大于0)．(7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．应用示例思路1例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a (x 2yz )；(2)log a x 2yz ；(3)log a xy z.活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正．利用对数的运算性质，把整体分解成部分．对(1)可先利用性质1，转化为两数对数的和，再利用性质3，把幂的对数转化为两数对数的积．对(2)(3)可先利用性质2，转化为两数对数的差，再利用性质1，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质3，转化为幂指数与底数的对数的积．解：(1)log a (x 2yz )＝log a x 2＋log a y ＋log a z ＝2log a x ＋log a y ＋log a z .(2)log a x 2yz ＝log a x 2－log a (yz )＝2log a x －log a y －log a z .(3)log a x y 2z ＝log a x －log a (y 2z )＝12log a x －2log a y －log a z .点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算．变式训练1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子正确的个数为( )． ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y ) ②log a x －log a y ＝log a (x －y )③log a x y＝log a x ÷log a y ④log a (xy )＝log a x ·log a yA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A2．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N ＋，下列式子正确的个数为( )．①(log a x )n ＝n log a x ②(log a x )n ＝log a x n③log a x ＝－log a 1x④log a x log a y ＝log a x y ⑤n log a x ＝1n log a x ⑥1nlog a x ＝log a nx ⑦log a x n＝n log a x ⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －yA ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B 例2 计算：(1)log 3(92×35)；(2)15lg100.活动：学生审题，回顾对数的运算性质和运算顺序，严格按性质和法则解题，注意运算结果的准确性．解：(1)log 3(92×35)＝log 392＋log 335＝log 334＋5log 33＝4＋5＝9；(2)lg 15100＝15lg 102＝15×2＝25.例3 计算：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 243lg 9； (3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2.解：(1)解法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.解法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.(2)lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. (3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2＝lg 3312＋lg 23－3lg 1012lg3×2210＝32lg 3＋2lg 2－1lg 3＋2lg 2－1＝32. 点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数运算性质．特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视．例4 科学家以里氏震级来度量地震的强度．若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为r ＝0.6lg I ，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度．解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I 1和I 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6.9＝0.6lg I 1，7.8＝0.6lg I 2.因此0.6(lg I 2－lg I 1)＝0.9，即lg I 2I 1＝1.5.所以I 2I 1＝101.5≈32.因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍．思路2例1 求下列各式的值．(1)log 525；(2)log 0.41；(3)log 2(47×25)；(4)lg 5100.解法一：(1)log 525＝log 552＝2； (2)log 0.41＝0；(3)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19； (4)lg 5100＝15lg 102＝25lg 10＝25.解法二：(1)设log 525＝x ，则5x ＝25＝52，所以x ＝2；(2)设log 0.41＝x ，则0.4x ＝1＝0.40，所以x ＝0；(3)log 2(47×25)＝log 2(214×25)＝log 2219＝19，或log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 222＋log 225＝2×7＋5＝19；(4)设lg 5100＝x ，则10x＝15100＝2510，所以x ＝25.点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式．例2 计算：(1)2log 510＋log 50.25；(2)2log 525＋3log 264；(3)log 2(log 216)．解：(1)因为2log 510＝log 5102＝log 5100，所以2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 552＝2log 55＝2；(2)因为2log 525＝2log 552＝4log 55＝4,3log 264＝3log 226＝18log 22＝18， 所以2log 525＋3log 264＝22；(3)因为log 216＝log 224＝4，所以log 2(log 216)＝log 24＝log 222＝2. 点评：要注意灵活运用对数的运算性质，特别是公式的逆用． 例3 计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质．先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算．再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算．(1)解法一：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 解法二：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝lg 427－3423lg 2 ＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12.(2)解法一：lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.解法二：lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(1－lg 5)2＝2lg 10＋lg 5[2(1－lg 5)＋lg 5]＋(1－lg 5)2＝2＋lg 5(2－lg 5)＋(1－lg 5)2＝2＋2lg 5－(lg 5)2＋1－2lg 5＋(lg 5)2＝3.(3)解法一：lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12. 解法二：lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 3－12lg 1810＝12lg 2＋lg 3－122lg 3＋lg 2－1＝122lg 3＋lg 2－12lg 3＋lg 2－1＝12. 点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值．例4 已知a ，b ，c 均为正数，3a ＝4b ＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c.活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程．从求证的结论看，解题的关键是设法把a ，b ，c 从连等号式中分离出来，为便于找出a ，b ，c 的关系，不妨设3a ＝4b＝6c＝k (k ＞0)，则a ，b ，c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论．证法一：设3a ＝4b ＝6c＝k ，则k ＞0.由对数的定义得a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则左边＝2a ＋1b ＝2log 3k ＋1log 4k ＝2log k 3＋log k 4＝log k 9＋log k 4＝log k 36，右边＝2c ＝2log 6k ＝2log k 6＝log k 36，所以2a ＋1b ＝2c.证法二：对3a ＝4b ＝6c 同时两边取常用对数得lg 3a ＝lg 4b ＝lg 6c，a lg 3＝b lg 4＝c lg 6.所以c a ＝lg 3lg 6＝log 63，c b ＝lg 4lg 6＝log 64.又2c a ＋c b ＝log 6(9×4)＝2，所以2a ＋1b ＝2c.点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质．灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化．知能训练1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y )，log a (x －y )表示下列各式：(1)log a 3xy z ；(2)log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ·4z 3y 2；(3)log a (2132xy z -)；(4)log a xy x －y ；(5)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y ·y ；(6)log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x x －y 3.解：(1)log a 3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z )＝13log a x －2log a y －log a z ； (2)log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ·4z 3y 2＝log a x ＋log a 4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2) ＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z ；(3)log a (2132xy z -)＝log a x ＋log a y 12＋23log a z-＝log a x ＋12log a y －23log a z ；(4)log axyx 2－y2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )(x －y )＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )－log a (x －y )；(5)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y ·y ＝log a x ＋y x －y ＋log a y ＝log a (x ＋y )－log a (x －y )＋log ay ；(6)log a [y x x －y ]3＝3[log a y －log a x －log a (x －y )]＝3log a y －3log a x －3log a (x －y )．2．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)等于( )． A.43B ．8C ．18D.12分析：因为f (x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得x ＝362＝122，所以f (8)＝122log 2＝12.解析：因为f (x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f (x )＝16log 2x .所以f (8)＝16log 28＝16log 223＝12.答案：D 拓展提升已知x ，y ，z ＞0，且lg x ＋lg y ＋lg z ＝0，求11lg lg y z x +·11lg lg z x y +·11lg lg x yz +的值． 活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t .解：令11lg lg y zx+·11lg lg z xy +·11lg lg x yz +＝t ，则lg t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg y ＋1lg z lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg z ＋1lg x lg y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg x ＋1lg y lg z ＝lg x lg y ＋lg x lg z ＋lg y lg z ＋lg y lg x ＋lg z lg x ＋lg z lg y ＝lg x ＋lg z lg y ＋lg x ＋lg y lg z ＋lg y ＋lg z lg x ＝－lg y lg y ＋－lg z lg z ＋－lg x lg x＝－3， 所以t ＝10－3＝11 000即为所求．课堂小结1．对数的运算法则．2．对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用． 3；习题3—4 A 组6,7,8.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．(设计者：卢岩冰)。

§4对数(一)课时目标1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．1．对数的概念如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做______________，记作__________，其中a 叫做__________，N叫做________．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做__________，以e为底的对数叫做__________，log10N可简记为________，loge N简记为________．3．对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝____.a＝____；log a a x＝____(a>0，且a≠1)．对数恒等式：log a N4．对数的性质(1)1的对数为____；(2)底的对数为____；(3)零和负数________．一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <44．方程3log 2x＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9 5．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )A ．b ＝a 5cB ．b 5＝a cC ．b ＝5a cD ．b ＝c 5a6．0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72C ．8 D.37二、填空题7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝________. 8．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则b a＝________. 三、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝11 000；②0.53＝0.125；③(2－1)－1＝2＋1.(2)将下列对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0；②log 30.8＝－0.203 1；③lg 3＝0.477 1.11．已知log a x＝4，log a y＝5，求A＝12x⎡⎢⎢⎢⎣的值．能力提升12．若log a3＝m，log a5＝n，则a2m＋n的值是( ) A．15 B．75C ．45D ．22513．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a＝8，试用a 表示下列各式： ①log 68；②log 62；③log 26.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2)log a Na ＝N .2．在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． 3．指数式与对数式的互化§4 对数(一) 知识梳理1．以a 为底N 的对数 b ＝log a N 对数的底数 真数 2．常用对数 自然对数 lg N ln N 3.x N x 4．(1)零 (2)1 (3)没有对数 作业设计1．C [①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x＝N 才能化为对数式．] 2．C [∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确； ∵ln e ＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；由lg x ＝10，得1010＝x ，故x ≠100，故③错误；由e ＝ln x ，得e e ＝x ，故x ≠e 2，所以④错误．] 3．C [由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0，a －2>0，a －2≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <5，a >2，a ≠3⇒2<a <3或3<a <5.]4．A [∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.]5．A [由log a 5b ＝c ，得a c＝5b ，∴b ＝(a c )5＝a 5c.]6．C [0.51log 412-+⎛⎫⎪⎝⎭＝(12)－1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.]7.24解析 由题意得：log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8， ∴128-＝1218＝18＝122＝24. 8．3解析 由题意得：log x 9＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3，又∵x >0，∴x ＝3. 9.110解析 依据a x＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1)，有a ＝102.431 0，b ＝101.431 0，∴b a ＝101.431 0102.431 0＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝110. 10．解 (1)①lg 11 000＝－3；②log 0.50.125＝3；③log 2－1(2＋1)＝－1.(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3.11．解 A ＝12x ·11622xy -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝51213x y .又∵x ＝a 4，y ＝a 5，∴A ＝5353a a＝1.12．C [由log a 3＝m ，得a m＝3，由log a 5＝n ，得a n＝5. ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.]13．解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582.②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a3.③由36a ＝2得32a＝6，所以log 26＝3a.。

1．lg10＋lg100＋lg1000等于( )．A ．10B ．100C ．1000D ．6 2.ln128log 3log 9e ⋅·的值是( )． A.32B ．1C.23D ．2 3．若l nx －l ny ＝a ，则33ln()ln()22xy -等于( )． A.2a B ．a C.32a D ．3a 4．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________.5．比较12log 3a =，0.21()3b =，132c =的大小关系为：________(用“＜”号连接)． 6．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于________．7．化简：(1)222lg5lg8lg5lg 20lg 23++⋅+；(2)．8．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p ；(2)证明1112z x y-=. 9．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳-14，碳-14的衰变极有规律，其精确性可称为自然界的“标准时钟”．动植物在生长过程中衰变的碳-14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳-14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳-14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的碳-14含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的碳-14含量P ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳-14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆墓的年代．10.甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得到根14、18；乙写错了常数c ，得到根12、64.求这个方程真正的根．参考答案1.答案：6解析：原式＝lg10＋lg102＋lg103＝1＋2＋3＝6.2.答案：A解析：原式＝3ln1222log 31312log 323e ⋅=⋅=. 3.答案：D 解析：原式＝3ln3ln 22x y -＝3(l nx －l n 2)－3(l ny －l n 2)＝3(l nx －l ny )＝3a . 4.答案：－3解析：由条件知21(1)101110x x x x x ⎧-=+⎪->⎪⎨-≠⎪⎪+≠⎩解得x ＝－3.5.答案：a ＜b ＜c解析：由指数函数1()3x y =，y ＝2x 性质得b ∈(0,1)，c ∈(1，＋∞)． 又∵1()32a =，由1()2x y =性质知，a ∈(－∞，0)．∴a ＜b ＜c .6.答案：1lg 25解析：令x 5＝2，则152x =.∴151(2)lg 2lg 25f ==. 7.解：(1)原式＝3222lg5lg 2lg5lg(45)lg 23++⋅⨯+ ＝2lg5＋2lg2＋2lg5·lg2＋lg 25＋lg 22＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋lg 25＋lg 22＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3.(2)原式＝212＝111lg 6lg10222⎡+==⎢⎣. 8.解：(1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k ＞0且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由3343log 22log log log 4k x py k p k p=⇒==， 又log 3k ≠0，∴p ＝2log 34＝4log 32.(2)证明：63111111log 6log 3log 2log 4log log 22k k k k z x k k y-=-=-===. ∴1112z x y-=. 9解：(1)生物体死亡时，体内每克组织中的碳-14的含量为1，设1年后的残留量为x ，由于死亡机体中原有的碳-14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的碳-14含量P 有如下关系：死亡年数t 123…t …，碳-14含量Pxx 2x 3…x t …，因此，生物死亡t 年后体内碳-14的含量P＝x t .由于大约每过5730年，死亡生物体的碳-14含量衰减为原来的一半，所以573012x =，于是157301()2x ==，这样生物死亡t 年后体内碳-14的含量57301()2t P =. (2)由对数与指数的关系，指数式57301()2t P =，两边取常用对数得到1lg lg 57302t P =， ∴15730lg lg 2t P =÷. 湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳-14的残留量约占原始含量的76.7%，即P ＝0.767，那么t ＝5730lg0.767÷lg0.5.由计算器可得t ≈2193.10.解：原方程可化为221log 0log x b c x++⋅=，即(log 2x )2＋b log 2x ＋c ＝0. ∵甲写错了常数b 得两根14、18，∴2211log log 648c =⋅=. ∵乙写错了常数c 得两根12、64，∴221(log log 64)52b =-+=-. 故原方程为(log 2x )2－5log 2x ＋6＝0.解之得log 2x ＝2或log 2x ＝3.∴x ＝4或x ＝8，即方程的真正根为x ＝4或x ＝8.。