人教B版数学高一版必修1课后导练3.2.1对数及其运算第1课时对数概念及常用对数

3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算第1课时 对数概念及常用对数[学习目标] 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.[知识链接] 1.832＝4，6432-＝116. 2.若2x ＝8，则x ＝3；若3x ＝81，则x ＝4.[预习导引]1.对数(1)定义：对于指数式a b ＝N ，把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)，其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”.(2)常用对数：当a ＝10时，log 10N 记作lg_N ，叫做常用对数.(3)对数恒等式：a ＝N .2.对数的基本性质要点一 指数式与对数式的互化例1 将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14；(2)102＝100； (3)e a ＝16；(4)6431-＝14； log N a(5)log 39＝2；(6)log x y ＝z .解 (1)log 214＝－2. (2)log 10100＝2，即lg 100＝2.(3)log e 16＝a .(4)log 6414＝－13. (5)32＝9.(6)x z ＝y .规律方法 1.对数式与指数式的互化图：2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .跟踪演练1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A.e 0＝1与log e 1＝0B.831＝2与log 82＝13C.log 24＝2与421＝2D.log 33＝1与31＝3答案 C解析 由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 24＝2⇔22＝4. 要点二 对数基本性质的应用例2 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 4x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1； (3)log (2－1)12＋1＝x . 解 (1)∵log 2(log 4x )＝0，∴log 4x ＝20＝1，∴x ＝41＝4.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.(3)∵log 12＋1＝x ， ∴(2－1)x ＝12＋1＝2－1，∴x ＝1. 规律方法 1.对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.2.使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，1)可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.跟踪演练2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值：(1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2； (3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得221-＝x ， ∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25.∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5.(3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x ＝5或x ＝－5.要点三 对数恒等式a＝N 的应用 例3 计算：353log 1+－232log 4+＋103lg3＋⎝⎛⎭⎫1252log . 解 353log 1+－232log 4+＋103lg3＋⎝⎛⎭⎫1252log ＝3×353log －24×2＋(10lg3)3＋(252log )－1 ＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－295. 规律方法 对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用.这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数.跟踪演练3 求值：(1)943log 21；(2)525log 1+. 解 (1)943log 21＝(32)43log 21＝3＝4. (2)525log 1+＝5×5＝5×2＝10.1.2x ＝3化为对数式是( )A.x ＝log 32B.x ＝log 23C.2＝log 3xD.2＝log x 3答案 Blog N a 32log 43log 25log解析 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23.2.若log 3x ＝3，则x 等于( )A.1B.3C.9D.27答案 D解析 ∵log 3x ＝3，∴x ＝33＝27.3.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数.A.1B.2C.3D.0答案 C解析 对于②，(－2)3＝－8不能化为对数式，∴②不正确，其余正确.4.已知log 2x ＝2，则x －12＝________. 答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝4，∴x 21-＝421-＝1421＝12. 5.若lg(lg x )＝0，则x ＝________.答案 10解析 lg x ＝1，x ＝10.1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a ＝N .2.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.3.指数式与对数式的互化log Na。

3.2.1对数及其运算（第一课时）一、教学目标：二、教学重点：1重点是对数定义的理解2在指数知识的基础之上，利用类比联想，互动探究的方式来引出对数定义。

鼓励学生利用网络查找知识背景，从学生的角度来提问题并在解决问题的过程中加深对知识的理解。

引导学生初步认识数学是一门严谨的科学并进一步理解数学中规定的合理性三、教学方法：1充分利用信息技术和网络资源来学习知识2学生在一定的情境背景下，借助老师和学习伙伴的帮助下，利用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的3 教学方法与学习指导策略建议对学生的学法指导：联想类比。

数学是一门基础学科，数学的概念、性质抽象严谨，因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、类比发现新的知识，这有利于培养学生的数学情感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握。

鼓励学生自主学习和协作学习。

学生是在特定的学习环境进行学习。

“水涨船高”，通过小组协商、讨论；使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决。

鼓励学生利用网络查询有关对数的相关信息。

对数的应用学生感到数学是有用的有趣的整合各学科知识为今后的学习做准备。

四、教学过程：引入新课[仿照初中如何引入根式定义的方式来导入]资料：布尔基与耐普尔数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（Joh n Na ei p r，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Jo b st Bürgi，1552－1632）．布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价3.2.1对数及其运算（二）一、教学目标：1、知识与技能（1）理解对数的运算性质，掌握对数的运算法则（2）掌握对数的加、减、乘、除运算法则（3）知道对数运算性质的实质：把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法．2、过程与方法（1）通过学习对数运算性质和法则，再次强调真数大于零（2）学会借助实例分析、探究数学问题3、情感、态度与价值观通过对数运算性质的研究，增强学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度。

3.2.1对数及其运算一、教学目标：1、理解对数的定义及常用对数。

2、掌握对数的运算性质。

3、掌握换底公式及对数式变形，理解自然对数。

重点：对数的定义及对数的运算性质。

难点：换底公式及对数式变形。

第1课时二、知识梳理1、 在指数函数(0,1)x y a a a =>≠中，幂指数x ，又叫做 。

2、 一般地，对于指数式a b=N （1,0≠>a a ），我们把“以a 为底N 的对数b ”记作 ，即：log a N （1,0≠>a a ），其中，数a 叫做 ，N 叫做 ，读作 。

3、对数恒等式： 。

4、对数log a N （1,0≠>a a ）具有下列性质：① ；② ；③ 。

5、常用对数： 。

三、例题解析题型一 对数的概念例1、求2log 2，2log 1，2log 16，21log 2。

例2、求下列各式中的x. ①、3log 272x = ②、22log 3x =- ③、271log 9x = ④、12log 16x = 变式训练：课本97页练习A 第2题，第3题。

题型二 对数的性质 例3、求下列各式的值 ①、2log 32 ②、2log 31()4 ③、33log 9 变式训练1：课本97页练习A 第4题 变式训练2：求下列各式的值 ①、23log 3log 44⋅ ②、log log log a b c b c N a ⋅⋅（a,b,c ∈()0,+∞,且均不等于1，N>0） 题型三 常用对数 例4、求下列各式的值 ①、lg10 ②、lg100 ③、lg0.01 变式训练：课本课本97页练习A 第5题 限时训练1、 若log (0a N b a =>≠且a 1)，则下列等式正确的是（ ） A 2b N a = B 2b N a = C 2a N b = D 2b N a =2、 如果点P （lga ，lgb ）关于x 轴的对称点为(0,-1),则（ ） A a=1，b=10 B a=1，b=0.1 C a=10，b=1 D a=0.1 b=13、求下列各式的值：4 、（2006上海春招）方程3log (21)1x -=的解x= 。

3．2.1 对数及其运算第1课时1．若a 2＝N(a>0且a≠1)，则有( )A ．log 2N ＝aB ．log 2a ＝NC ．log N a ＝2D ．log a N ＝22．若log x 7y ＝z ，则( )A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x3．21＋log 272的值等于( )A ．272B ．7 C.47D ．144．若log 16x ＝－14，则x ＝________；若(2)x＝12，则x ＝________.5．若log 2(x 2－4x ＋6)＝1，则x ＝________.1．有下列说法：①零和负数无对数；②3log 3(－5)＝－5成立；③任何一个指数式都可以化为对数式；④以10为底的对数叫做常用对数．其中正确命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3D ．log 55＝1与51＝53．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围为…( ) A ．a>5或a<2 B ．2<a<5 C ．2<a<3或3<a<5 D ．3<a<44．计算3log 35＋3log315＝________.5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －12＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值．7．求alog a b·log b c·log c N 的值．1．给出下列式子：①5log 512＝12；②πlogπ3－1＝13；③4log 4(－3)＝－3；④xlog x 6＝6.其中不正确的是( )A ．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 2．下列命题正确的是( )①对数式log a N ＝b(a>0，且a≠1)和指数式a b＝N(a>0，且a≠1)是同一关系式的两种不同表达形式；②在同底条件下，对数式log a N ＝b 与指数式a b＝N 可以互相转化；③若a b＝N(a>0，且a≠1)，则alog a N ＝N 一定成立； ④对数的底数是任意正实数． A ．①② B．①②③④ C ．①②③ D．④3．以6为底，216336的对数等于( )A.73B.113C.92D ．2 4.设5lgx＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．±10 C．100 D ．±100 5．log 6(log 4(log 381))＝________.6．log 3(1－2x9)＝1，则x ＝________.7．(1)求对数值：log 4381＝________；log 354625＝________.(2)求真数：log 3x ＝－34，则x ＝________；log 2x ＝78，则x ＝________.(3)求底数：log x 3＝－35，则x ＝________；log x 2＝78，则x ＝________.8．已知二次函数f(x)＝(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．9．已知log a b ＝log b a(a>0，a≠1；b>0，且b≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.10．已知lga 和lgb 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lga)x －(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．答案与解析课前预习1．D 由对数式与指数式的互化易得．2．B log x 7y ＝z ⇔x z ＝7y ，∴x 7z＝y.3．B 21＋log 272＝2·2log 272＝2·72＝7.4.12 －2 log 16x ＝－14⇔x ＝16－14＝12，(2)x ＝12⇔x ＝log 212＝log 2(2)－2＝－2. 5．2 由log 2(x 2－4x ＋6)＝1得x 2－4x ＋6＝2，即x 2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，∴x ＝2. 课堂巩固1．B ③错误，如(－1)2＝1就不能写成对数式．②错误，log 3(－5)无意义．2．C log 39＝2的指数式应为32＝9. 3．C 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧5－a>0，a －2>0，a －2≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<5，a>2，a≠3，∴2<a<3或3<a<5.4.655 ∵3log 35＝5，3log 315＝(3log 315)12＝(15)12＝55. ∴原式＝5＋55＝655. 5.24由已知得log 3(log 2x)＝1， ∴log 2x ＝3，则x ＝23.∴x－12＝2－32＝122＝24.6．解：∵log a 2＝m ，∴a m＝2.又log a 3＝n ，∴a n＝3. ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.7．解：原式＝(alog a b)log b c·log c N ＝blog b c·log c N ＝(blog b c)log c N ＝clog c N ＝N. 点评：重复使用对数恒等式即可得解；对数恒等式alog a N ＝N 中要注意书写格式． 课后检测1．C ③不正确，log 4(－3)无意义，∵负数和零无对数；④不正确，应在条件“x>0，且x≠1”的前提下计算．2．C ④中的底数应满足“大于0且不等于1”．3．A ∵216336＝63623＝63－23＝673，∴log 6216336＝log 6673＝73.4．C 5lgx ＝25，∴lgx＝2，即102＝x. ∴x＝100.5．0 原式＝log 6[log 4(log 334)] ＝log 6(log 44) ＝log 61＝0.6．－13 由已知得1－2x9＝3，∴x＝－13.7．(1)16 3 (2)1427278 (3)3－53 287(1)(43)16＝34＝81，∴log 4381＝16；∵(354)3＝625，∴log 354625＝3.(2)由题意可得x ＝3－34＝1427；由已知得x ＝278.(3)由已知得x －35＝3，∴x＝3－53；x 78＝2，∴x＝287.点评：对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可求另外一个，关键是指数式与对数式的互化．8．解：∵f(x)的最大值为3，∴⎩⎪⎨⎪⎧lga<0，16lg 2a －44lga＝3⇒(4lga ＋1)(lga －1)＝0.∴lga＝1(舍去)或lga ＝－14.∴a＝10－14.9．证明：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k，从而有b ＝(b k )k ＝bk 2.∵b>0，b≠1，∴k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b.∴a＝b 或a ＝1b ，命题得证．10．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lga ＋lgb ＝1，lga·lgb＝m ，(lga)2＋4(1＋lga)＝0，①②③由③得(lga ＋2)2＝0，∴lga＝－2.∴a ＝1100.代入①得lgb ＝1－lga ＝3，∴b＝103＝1 000. 代入②得m ＝lga·lgb＝(－2)×3＝－6.∴a＝1100，b ＝1 000，m ＝－6.。

双基达标 (限时20分钟)1．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )． A ．a >5或a <2 B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0a －2>0且a －2≠1得2<a <5且a ≠3. 答案 C2．( )． A ．－4 B ．－3C ．3D ．4 解析 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝16，∴2－x ＝24，∴－x ＝4，∴x ＝－4.答案 A3．已知log x 16＝2，则x ＝( )．A ．±4B ．4C ．256D ．2 解析 ∵log x 16＝2，∴x 2＝16，∴x ＝±4，又x >0，∴x ＝4. 答案 B4．方程log 4(1－2x )＝1的解x ＝________.解析 由1－2x ＝4得：x ＝－32.答案 －325．解析 原式＝5－4＝1.答案 16．求下列各式中x 的值：(1)log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1；(2)log 2 003(x 2－1)＝0.解 (1)∵log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3，∴1－2x ＝27，即x ＝－13.(2)∵log 2 003(x 2－1)＝0，∴x 2－1＝1，即x 2＝2，∴x ＝±2.综合提高 (限时25分钟)7．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( )． A ．log 310 B ．lg 3C ．103D ．310 解析 方法一：令10x ＝t ，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg 3.方法二：令10x ＝3，则x ＝lg 3，∴f (3)＝lg 3. 答案 B8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 3x x >02x x ≤0则f (f (19))＝( )． A ．4 B.14C ．－4D ．－14解析 f (19)＝log 319＝－2，f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14. 答案 B9．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________．解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 答案 1210．若log 3(log 2x )＝0，则x －12＝________.解析 由log 2x ＝1，∴x ＝2，答案 2211．求下列各式中x 的值：(1)log x (3＋22)＝－2；(2)log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1.解 (1)∵log x (3＋22)＝－2， ∴x －2＝3＋22，∴1x 2＝3＋22，∴x 2＝13＋22， 又∵x >0且x ≠1，∴x ＝13＋22＝2－1. (2)∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1， ∴⎩⎨⎧ x 2＋3x ＝x ＋3，①x 2＋3x >0，②x ＋3>0且x ＋3≠1，③解x 2＋2x －3＝0得，x ＝－3或x ＝1. 当x ＝－3时，不满足②和③， 当x ＝1时，满足②③，故x ＝1.12．(创新拓展)已知：x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x的值． 解 由x ＝log 23得2x ＝3,2－x ＝13.∴23x －2－3x2x －2－x ＝22x ＋2－2x ＋1 ＝(2x )2＋(2－x )2＋1＝9＋19＋1＝919.。

课后导练 基础达标 1.方程2x 3log =41的解是( ) A.x=91 B.x=3 C.x=33 D.x=9 解析：∵2x 3log =41,∴log 3x=-2.∴x=3-2=91.选A. 答案：A2.1<m<n,令a=(log n m)2,b=log n m 2,c=log n (log n m),那么( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b解析：令n=4,m=2,则log n m=log 42=21, ∴a=41,b=1,c=log n 21=log 421=-21. ∴b>a>c.答案：D3.若a ∈(0,1),则函数y=log a ［1-(21)x ］在定义域上是( ) A.增函数且y>0 B.增函数且y<0C.减函数且y>0D.减函数且y<0解析：令g(x)=1-(21)x ,则g(x)在(0,+∞)上为增函数且0<g(x)<1.又0<a<1,∴原函数为减函数且y>0.答案：C4.下列函数中,在其定义域上是增函数的有( )①y=a x (a>1) ②y=log a x(0<a<1) ③y=lgx ④y=x1 ⑤y=x 3+x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C5.已知a>0且a≠1,则在同一直角坐标系中,函数y=a -x 与y=log a (-x)的图象可能是( )解析：a>1时,0<a1<1,又y=log a x 与y=log a (-x)关于y 轴对称,故D 正确.答案：D6.函数y=log x-1(3-x)的定义域是( )A.(1,3)B.(1,3］C.(1,2)∪(2,3］D.(1,2)∪(2,3)解析：由⎩⎨⎧>->-01,03x x 且x-1≠1,得1<x<3且x≠2.答案：D7.函数f(x)=log 2(2-a x )在(-∞,1］上单调递减,则a 的取值范围是( )A.1<a<2B.0<a<1C.0<a<1或1<a<2D.a<1或a>2解析：若f(x)在(-∞,1］上递减,又f(x)=log 2x 是增函数,则必须g(x)=2-a x 在(-∞,1］上递减,即a>1.又2-a x >0,即a x <2在(-∞,1］上恒成立,∴a<2.∴1<a<2.答案：A8.已知a=log 0.70.8,b=log 1.10.9,c=1.10.9,则a 、b 、c 的大小关系是_________.解析：a=log 0.70.8>log 0.71=0且a<log 0.70.7=1,∴0<a<1;b=log 1.10.9<log 1.11=0;c=11.0.9>11.0=1.∴c>a>b.答案：c>a>b9.函数f(x)=log 2(3-2x-x 2)的单调减区间是__________.解析：解3-2x-x 2>0,得-3<x<1.又y=-x 2-2x+3的减区间是x>-1,∴-1<x<1.答案：(-1,1)10.f(x)=log a x(2≤x≤π)的最大值比最小值大1,则a=_________.解析：当a>1时,由f(x)=log a x 是增函数,知log a π=log a 2+1,∴log a π-log a 2=1.∴log a2π=1.∴a=2π. 当0<a<1时,log a 2-log a π=1,log a π2=1,∴a=π2. 答案：2π或π2 综合运用11.函数y=f(x)的定义域为［-1,1］,y=f(log 2x)的定义域是__________.解析：由-1≤log 2x≤1,得21≤x≤2. 答案：［21,2］ 12.已知函数f(x)=ln ［mx 2+(m-2)x+(m-1)］的值域为R ,则实数m 的取值范围是________. 答案：［0,332］ 13.设函数f(x)=lg(1-x),g(x)=lg(1+x),在f(x)和g(x)的公共定义域内比较f(x)和g(x)的大小.解析：由⎩⎨⎧>+>0,x 10,x -1得-1<x<1.∴f(x)与g(x)的公共定义域为{x|-1<x<1}.(1)当1-x>1+x,即-1<x<0时,∵y=lgx 为增函数,∴lg(1-x)>lg(1+x),即f(x)>g(x).(2)当1-x<1+x,即0<x<1时,∵y=lgx 为增函数,∴lg(1-x)<lg(1+x),即f(x)<g(x).(3)当1-x=1+x,即x=0时,f(x)=g(x).14.设0<a<1,函数f(x)=log a (a 2x -2a x -2),求使f(x)<0的x 的取值范围. 解析：∵log a (a 2x -2a x -2)<0=log a 1,又0<a<1,∴a 2x -2a x -2>1,即a 2x -2a x -3>0.∴a x <-1(舍去),或a x >3.又a x >3=a 3log a ,且0<a<1,∴x<log a 3.15.已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1).(1)若f(x)的值域为R ,求实数a 的取值范围;(2)若f(x)的定义域为R ,求实数a 的取值范围.解析：(1)如图,因为f(x)的值域为R ,所以要求u=ax 2+2x+1的值域包含(0,+∞),即能取遍一切正数. 当a<0时,这不可能;当a=0时,u=2x+1∈R 成立;当a>0时,u=ax 2+2x+1的值域包含(0,+∞).⎩⎨⎧≥-=∆>,044,0a a 解得0<a≤1. 综合所知,a 的取值范围是0≤a≤1.(2)由已知,u=ax 2+2x+1的值恒为正.∴⎩⎨⎧<-=∆>.044,0a a 解得a 的取值范围是a>1.拓展探究16.设定义在实数集R 上的函数,f(x)=x x ea a e +. (1)f(x)可能是奇函数吗?(2)若f(x)是偶函数,试研究其单调性.解析：(1)假设可能,∵定义域是R ,且有f(-x)=-f(x),∴f(x)=x x e a a e +=-f(-x)=)(x x ea a e --+-. 可得-(1+a 2)e 2x =1+a 2.∴e 2x =-1显然不成立.∴f(x)不可能是奇函数.(2)∵f(x)是偶函数,∴有f(x)=f(-x), 即x x e a a e +=x x ea a e --+. ∴(e x )2(1-a 2)=1-a 2,因此有a 2-1=0,得a=±1.当a=1时,f(x)=e x +x e1,讨论单调性: 取x 1、x 2(任意)且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=1x e +11x e 2x e -21x e -=212121)1)((x x x x x x e e e e e •--+, 其中21x x e e •>0,21x x e e-<0, 当21x x e +-1>0时,f(x 1)<f(x 2),∴f(x)为R 上的增函数.此时需要x 1+x 2>0,即增区间为［0,+∞);反之(-∞,0)为减区间. 当a=-1时,同理,(-∞,0］为增区间,［0,+∞)为减区间.。

课题 §3.2.1 对数及其运算（一） （一）学习目标知识与技能：理解对数的概念，能根据对数概念进行指数与对数之间的互化；理解对数恒等式及对数性质；熟练运用计算器求一个正实数的常用对数。

过程与方法：通过对数概念的学习，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想。

情感、态度与价值观：通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想。

（二）重点难点 重点：对数的定义难点：对数的概念、对数的符号表示（三）教学内容安排1．复习引入细胞分裂x 次后，细胞个数为2x y =；给定分裂次数x ，可求出细胞分裂后的个数y ，实际问题中，常需要由细胞分裂后的个数y ，计算分裂的次数x ，又如指数式9x y =中，已知底数9和幂y 的值，求指数x ，怎样求呢？2．新授内容在指数函数x y a =()0,1a a >≠中，对实数集R 内的每一个值x ,在正实数集内都有唯一的值y 和它对应；反之，对正实数集内的每一个确定的值y ,在R 内都有唯一的值x 和它对应；我们把幂指数x 叫做以a 为底 y 的对数。

定义：一般地，对于指数式 N a b = ()0,1a a >≠，我们把数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 log a b N =，读作“数 b 等于以a 为底 N 的对数”，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

学生举例例如：1642= ⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=2421= ⇔212log 4=; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵01log =a ，1log =a a∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ⑷底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围范围),0(+∞。

3.2　对数与对数函数3.2.1　对数及其运算课时过关·能力提升1若log a =2c ,则a ,b ,c 满足的关系式是( )3b A.a 2c =bB .3a 2c =bC .a 6c =bD .=b a 23clog a =2c ,所以a 2c =,所以(a 2c )3=b ,即a 6c =b.3b 3b2lo 的值等于( )g 33127A.B .-C .6D .-63232=lo 3-3=log 33=6.g 33127g3-12-3-123若ln x-ln y=a ,则ln -ln 等于( )(x 2)3(y 2)3A. B.a C. D.3a a 23a 2-ln =3=3(ln x-ln 2-ln y+ln 2)=3(ln x-ln y )=3a.(x 2)3(y 2)3(ln x 2-ln y 2)4已知lg 2=a ,lg 3=b ,则log 36等于( )A. B. C. D.a +b aa +b b a a +b b a +b,得log 36=.lg6lg3=lg (2×3)lg3=lg2+lg3lg3=a +b b5在对数式log a-4(6-a )中,实数a 的取值范围是( )A .a>6或a<4B .4<a<6C .4<a<5或5<a<6D .4<a<5故4<a<6,且a ≠5.{6-a >0,a -4>0,a -4≠1,6已知f (x )=lg x ,若f (ab ) =,则f (a 2)+f (b 2)等于( )13A. B. C. D.13231929f (ab )=,可得lg(ab )=,故f (a 2)+f (b 2)=lg a 2+lg b 2=lg a 2b 2=2lg ab=2×.131313=237如果关于lg x 的方程lg 2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2·lg 3=0的两根为lg x 1,lg x 2,那么x 1·x 2的值为( )A.lg 2·lg 3 B.lg 2+lg 3C. D.-616,得lg x 1+lg x 2=-(lg 2+lg 3)=-lg 6=lg .16∵lg x 1+lg x 2=lg(x 1·x 2),∴lg(x 1·x 2)=lg ,∴x 1·x 2=.16168已知x>0,且x ≠1,log x =-4,则x= .116log x =-4,116∴x -4=.116∴x 4=16=24.∵x>0,且x ≠1,∴x=2.9计算(0.008 1-10×0.02+lg -lg 25= .)-1471314=-10×+lg -3-2=-.1033101100=1035310已知log a 2=m ,log a 3=n ,则a 2m+n = .log a 2=m ,log a 3=n ,∴a m =2,a n =3.∴a 2m+n =(a m )2·a n =22×3=12.11已知正数a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2.求证:log 2+log 2=1.(1+b +c a )(1+a -c b )=log 2+log 2a +b +c a a +b -c b =log 2(a +b +c )(a +b -c )ab=log 2(a +b )2-c 2ab=log 2a 2+b 2-c 2+2ab ab=log 22=1=右边,所以原式成立.★12已知lg a 和lg b 是关于x 的方程x 2-x+m=0的两个根,而关于x 的方程x 2-(lg a )x-(1+lg a )=0有两个相等的实数根,求实数a ,b 和m 的值.,得{lg a +lg b =1,lg a ·lg b =m ,(lg a )2+4(1+lg a )=0.①②③由③,得(lg a+2)2=0,故lg a=-2,即a=.1100代入①,得lg b=1-lg a=3,即b=103=1 000.代入②,得m=lg a ·lg b=(-2)×3=-6.故a=,b=1 000,m=-6.1100★13设a>0,a ≠1,x ,y 满足log a x+3log x a-log x y=3,用log a x 表示log a y ,并求出当x 为何值时,log a y 取得最小值.,得log a x+3·=3,1log a x ‒log a y log ax 整理得lo x+3-log a y=3log a x ,g a 2于是log a y=lo x-3log a x+3=.g a 2(log a x -32)2+34故当log a x=,即x=时,log a y 取最小值.32a 3234。

数学人教B 必修1第三章3.2.1 对数及其运算1．理解对数的概念及其运算性质，掌握积、商、幂的对数的运算法则． 2．知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 3．了解对数的发现历史及对简化运算的作用．1．对数的概念(1)如果a (a ＞0，且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数__称为以__为底__的对数，记作________，其中a 称为__________，N 称为______；(2)以10为底的对数称为______对数，即log 10N ，记作________；(3)以无理数e(e ＝2.718 28…)为底的对数称为____对数，即log e N ，记作______．指数式和对数式的关系如图所示：对数式log a N 可看作一记号，表示关于x 的方程a x＝N (a ＞0，且a ≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a (a ＞0，且a ≠1)的幂为N ，求幂指数的运算，因此对数式log a N 又可看作幂运算的逆运算．【做一做1】如果12a b =(a ＞0，且a ≠1)，则( )A ．log a 12＝bB ．log a b ＝12C ．12log a b = D ．12log b a =2．对数的性质(1)真数N 为____(负数和零无对数)． (2)log a 1＝__. (3)log a a ＝__.(4)对数恒等式：a log a N ＝__.【做一做2】式子4log 43的值是( )A ． 3B ．13C ．33 D ．3(1)应用公式时需要注意法则的适用范围，并且公式可以正用、逆用和变形用． (2)当心记忆错误：如log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N . 【做一做3－1】对于a ＞0，a ≠1，下列说法中正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②③④【做一做3－2】求值lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2＝________.4．对数的换底公式一般地，我们有log b N ＝__________________，这个公式称为对数的换底公式． 通过换底公式可推导出两个重要的结论： (1)log a b ·log b a ＝____(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (2)log m na b ______(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．(1)在具体解题过程中，正用换底公式可统一底数，逆用换底公式可将分式化为整式． (2)如果不做特殊要求，一般换底成常用对数．【做一做4】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，用a ，b 表示log 125＝__________.一、解读对数的定义剖析：(1)对数式x ＝log a y 是指数函数式y ＝a x 的另一种表达形式，其本质相同．对数式中的真数y 就是指数函数式中的函数值y ，而对数x 是指数函数式中的指数x ，对数式与指数式的关系如图所示．(2)对数log a y 中，规定a ＞0且a ≠1的原因．①若a ＜0，则y 为某些数值时，x 不存在，如式子(－2)x ＝3没有实数解，所以log (－2)3不存在，为此，规定a 不能小于0；②若a ＝0，则当y ≠0时，log a y 不存在；当y ＝0时，log a 0有无数个值，不能确定，为此，规定a ≠0；③若a ＝1，则y 不为1时，x 不存在，如log 12不存在；而a ＝1，y ＝1时，x 可以为任何实数，不能确定，为此，规定a ≠1.指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：二、对性质log a M n ＝n log a M 的延伸剖析：式子log a M n ＝n log a M 中表明指数可以拿到前面，但对log m a M 而言是否有log m a M ＝m log a M 成立呢？答案是否定的，应为log ma M ＝1m log a M .证明如下：令log a M ＝x ，则a x ＝M .所以1m log a M ＝1m x .而1log log log m m m xa a a M a x a x m===⋅， 所以log m a M ＝1mlog a M .log a M n ＝n log a M 与log m a M ＝1mlog a M 的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的．这两个公式还可以合写为log m n a M ＝nmlog a M .题型一 对数式与指数式的互化【例1】已知log a x ＝4，log a y ＝5(a ＞0，且a ≠1)，求12A x ⎛⎫= ⎝的值． 分析：本题可以将目标式子化为指数式，通过已知条件得到x ，y ，将x ，y 代入目标式子求值，其中指数式与对数式的转化是解题的关键．反思：通过本题我们可以看出指数式与对数式的相互转化的重要作用．从两种解法上看，解法一侧重于指对互化，转化为幂的运算来解决；解法二侧重于对数运算性质的使用．题型二 对数基本性质的应用【例2】(1)若log 3(lg x )＝1，则x ＝__________； (2)求值221(log 9log 5)24-=__________.反思：在对数的相关运算中，除了对数的定义外，应灵活应用如log a 1＝0，log a a ＝1，log a M a M =等常用性质；再者要特别注意真数与底数的取值要求，做到及时检验．题型三 对数运算法则的应用 【例3】计算下列各式的值． (1)(lg 2)2＋lg 5·lg 2＋lg 5； (2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. 分析：根据对数的运算法则将(1)式变形成10的整数次幂的对数，(2)式变形为6的整数次幂的对数，(3)式各部分变形要化成最简形式，同时注意真数的形式．反思：利用对数运算性质解题时，应先根据式子的结构对真数分解或合并转化，然后再进行化简并求值．题型四 对数换底公式的应用【例4】已知log 23＝a,3b ＝7，用含a ，b 的式子表示log 1256.分析：先将3b ＝7转化为log 37＝b ，然后设法将log 1256化成关于log 23和log 37的表达式即可求值．反思：解法一是借助指数变形来解，解法二与解法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型五 易错辨析【例5】已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．错解：由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3.解得x ＝1或x ＝－3.反思：由对数的定义可知，对数的底数a ＞0且a ≠1，真数N ＞0，因此我们在解题时一定要注意这些限制条件，如果忽视了这些条件，则很容易出错．1有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以a (a ＞0，且a ≠1)为底1的对数等于0； ④以3为底9的对数等于±2；⑤3log (5)35-=-成立． 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④3求值：(2－1)0＋43-＋lg 20－lg 2－log 23·log 32＋23log 42＝__________.4若a ＞1，b ＞1，p ＝log b (log b a )log b a ，则a p ＝________.5设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．答案： 基础知识·梳理1．(1)b a N log a N ＝b 对数的底数 真数 (2)常用 lg N (3)自然 ln N 【做一做1】B2．(1)正数 (2)0 (3)1 (4)N 【做一做2】D3．log a M ＋log a N log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k 对数的和 log a M －log a N 减去n log a M 底数【做一做3－1】C 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 无意义，故①不成立； 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M ＝N ＞0成立，故②成立；在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N ，例如：M ＝2，N ＝－2时，有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N ，∴③不成立；在④中，当M ＝N ＝0时，log a M 2与log a N 2均无意义，∴④不成立．【做一做3－2】32 原式=1133222lg(3)lg23lg1032lg10+-⨯ ＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.4．log a N log a b (a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0) (1)1 (2)n mlog a b【做一做4】1－a 2a ＋b log 125＝lg 5lg 12＝1－lg 2lg 3＋2lg 2＝1－a 2a ＋b .典型例题·领悟【例1】解：解法一：因为log a x ＝4，log a y ＝5， 由对数的定义有x ＝a 4，y ＝a 5.所以A＝124a ⎛⎫⎝＝a 2·a －2＝1.解法二：1215312A x x y -⎛ == ⎝， 两边取以a 为底的对数，得log a A ＝15312log a x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝512log a x －13log a y ＝512×4－13×5＝0，所以A ＝1.【例2】(1)1 000 (2)95(1)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3.∴x ＝103＝1 000. (2)原式＝2222log 9(log 9log 5)log 529225-==. 【例3】解：(1)(lg 2)2＋lg 5·lg 2＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5 ＝lg 2·lg 10＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64 ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋log 62·2log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63 ＝1.(3)解法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 解法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.【例4】解：解法一：∵log 23＝a ，∴2a ＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab .故56＝23＋ab .又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2，故log 1256＝log 256log 212＝log 223＋ab log 22a ＋2＝3＋aba ＋2.解法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a.又3b ＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a ＝ab ＋3a ＋2.解法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b ＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.【例5】错因分析：错解中忽视了对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1. 正解：由对数的性质，知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.随堂练习·巩固1．B ①③正确，②错误，如(－2)2＝4，(－1)2＝1等不能写成对数式； ∵log 39＝log 332＝2，∴④错误； ∵log 3(－5)无意义，∴⑤错误．2．C ①lg(lg 10)＝lg 1＝0，②ln(ln e)＝ln 1＝0， ∴①②正确；∵10＝lg x ＝log 10x ，∴x ＝1010， ∴③不正确；∵e ＝ln x ，∴x ＝e e ，∴④不正确．3．2原式＝1＋4332(2) ＋lg 10－1＋34＝1＋14＋1－1＋34＝2.4．log b a由对数的换底公式，得log b(log b a)log b a＝log a(log b a)，∴p＝log a(log b a)．∴a p＝log b a.5．解：由3x＝4y＝36，得x＝log336，y＝log436，∴1x＝1log336＝log363，1y＝1log436＝log364.∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.。

3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算5分钟训练1.对数式x=ln2化为指数式是( )A.x e =2B.e x =2C.x 2=eD.2x =e答案：B2.以下说法不正确的是( )A.0和负数没有对数B.对数值可以是任意实数C.以a(a ＞0,a≠1)为底1的对数等于0D.以3为底9的对数等于±2答案：D3.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=100;④若e=lnx,则x=e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④答案：C4.log 2487+log 212-21log 242=_____________. 答案：21-解法一：487log 2+log 212-21log 242 =21(log 27-log 248)+log 24+log 23-21log 26-21log 27 =21-log 21621-log 23+2+log 23-2121-log 23=21-. 解法二：原式=log 2(21)67112347(-=⨯⨯⨯. 10分钟训练1.式子)5log 211(22+的值为( ) A.52+ B.52 C.2+25 D.1+25 答案：B解析：原式=5222)52(log )5log 1(22==+.2.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N 答案：D解析：在对数运算的性质中，与A 类似的一个正确等式是lg2+lg3=lg6；B 中的lg 23表示(lg3)2，它与lg32=lg9不是同一个意义；C 中的log a M+N 表示(log a M)+N ，它与log a (M+N)不是同一意义；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2N M N M 3log =，所以M=N. 3.已知11.2a =1 000，0.011 2b =1 000，那么ba 11-等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b 11000， ∴两式相除得0112.02.11100011=-b a =1 000. ∴b a 11-=1.解法二：用对数解.由题意，得a×lg11.2=3，b×lg0.011 2=3， ∴b a 11-=31(lg11.2-lg0.011 2)=1.4.若lnx-lny=a,则ln(2x )3-ln(2y)3等于( ) A.2a B.a C.23aD.3a 答案：D解析：ln(2x)3-ln(2y)3=3(ln 2x -ln 2y)=3(lnx-ln2-lny+ln2)=3a.5.已知lg6=0.778 2,则102.778 2=______________.答案：600解析：∵lg6=0.778 2,∴100.778 2=6.∴102.778 2=102·100.778 2=100×6=600.6.(1)已知3a =2,用a 表示log 34-log 36;(2)已知log 32=a,3b =5,用a 、b 表示log 330.解：(1)∵3a =2,∴a=log 32.∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1.(2)∵3b =5,∴b=log 35.又∵log 32=a,∴log 330=21log 3(2×3×5) =21(log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1).30分钟训练1.已知a 、b 、c 为非零实数，且3a =4b =6c ，那么( ) A.b a c 111+= B.b a c 122+=C.b a c 221+=D.ba c 212+= 答案：B 解析：设3a =4b =6c =k ，则a=log 3k ，b=log 4k ，c=log 6k ，得a 1=log k 3，b 1=log k 4，c 1=log k 6.所以ba c 122+=. 2.设x 、y 为非零实数，a>0且a≠1，则下列各式中不一定成立的个数是( )①log a x 2=2log a x ②log a 3>log a 2 ③log a |x·y|=log a |x|·log a |y| ④log a x 2=2log a |x|A.1B.2C.3D.4答案：C解析：①②③不一定成立，④一定成立.3.(探究题)已知f(x 6)=log 2x,那么f(8)的值为( ) A.34 B.8 C.18 D.21 答案：D 解析：设t=x 6,则x=61t ,所以f(t)=log 261t ,f(8)=log 2212log 821261==. 4.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f （91）］的值是( ) A.9 B.91 C.-9 D.91- 答案：B解析：f(91)=log 391=-2，f(-2)=3-2=91. 5.(创新题)已知集合M={(x,y)|xy=1,x ＞1},在映射f:M→N 作用下,点(x,y)与点(log 2x,log 2y)相对应,设u=log 2x,v=log 2y,则N 的集合为( )A.{(u,v)|u+v=0}B.{(u,v)|u+v=0,u ＞0}C.{(u,v)|u+v=1}D.{(u,v)|u+v=1,v ＞0}答案：B解析：∵x ＞1,∴log 2x ＞0.又∵xy=1,∴x=y1. 于是log 2x=log 2y 1=-log 2y, 从而log 2x+log 2y=0.6.已知log 23=a,log 37=b,则log 1456=_________________. 答案：abab ++13解析：由log 23=a,log 37=b,得log 27=ab.log 1456=abab ++=++=⨯⨯=137log 17log 3)72(log )87(log 14log 56log 222222. 7.式子n a n a n aaa a 1log 1log log ++(a ＞0,a≠1)的化简结果是_______________. 答案：-n 解析：原式=n a a a n a n a n a 1log log log 11=++--log a a-nlog a a-n 1log a a=n 1-n-n1=-n. 8.已知a 、b 均为正实数,且a 2+b 2=7ab,试证明213lg=+b a (lga+lgb). 证明：∵a 2+b 2=7ab,∴(a+b)2=9ab. ∵a ＞0,b ＞0,∴ab b a =+3. ∴21lg 3lg ==+ab b a (lga+lgb). 9.已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3,求a 的值.解：∵二次函数f(x)有最大值,∴lga ＜0.又［f(x)］max =aa a a lg 1lg 4lg 44lg 162-=-=3, ∴4lg 2a-3lga-1=0.∴lga=1或lga=41-. ∵lga ＜0,∴lga=41-. ∴a=4110-.10.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设N 为地震时所散发出来的相对能量程度，那么里氏震级m 可以定义为m=lgN ，试比较8.2级和8.5级地震的相对能量程度. 解：设8.2级和8.5级地震的相对能量程度分别为N 1和N 2，由题意得⎩⎨⎧==,lg 5.8,lg 2.821N N 因此lgN 2-lgN 1=0.3， 即12lg N N =0.3，∴12N N =100.3≈2. 因此，8.5级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2倍.。

课后导练基础达标1.若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数有( )①log a xlog a y=log a (x+y)②log a x-log a y=log a (x-y)③log a yx =log a x÷log a y ④log a (xy)=log a xlog a yA.0个B.1个C.2个D.3个解析：根据对数运算法则,四个式子中无一个是正确的.故选A.答案：A2.对于a>0,a≠1,下列说法中,正确的是( )①若M=N,则log a M=log a N ②若log a M=log a N,则M=N ③若log a M 2=log a N 2,则M=N ④若M=N,则log a M 2=log a N 2A.①③B.②④C.②D.①②③④ 解析：M=N≤0时,①不成立.③中可能M=-N,④中可能M=0.②正确.选C.答案：C3.若a>0,a≠1,x>y>0,n ∈N *,则下列各式中成立的有( )①(log a x)n =nlog a x ②(log a x)n =log a x n③log a x=-log a x1 ④y x a a log log =log a y x ⑤n a x log =n 1log a x ⑥nx a log =log a n x ⑦log a x n =nlog a x ⑧log ay x y x +-=-loga y x y x -+ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个解析：根据对数运算法则,逐一判断③⑥⑦⑧正确.故选B.答案：B 4.22152 log 等于( )A.5B.21 C.2 D.2 解析：原式=(221)52log =252log =5.答案：A5.(lg5)2+2lg2-(lg2)2等于( )A.5B.2C.1D.10解析：原式=(lg5-lg2)(lg5+lg2)+2lg2=lg5-lg2+2lg2=lg5+lg2=lg10=1.答案：C6.已知log 32=a,3b =5,则log 330用a 、b 表示为…( ) A.21(a+b+1) B.21(a+b)+1 C.31(a+b+1） D.2a +b+1 解析：∵3b =5,∴log 35=b.∴log 330=21log 33×10 =21(1+log 310) =21(1+log 35+log 32)=21(a+b+1). 故选A.答案：A 7.10)2lg 9lg 21(-=________.解析：原式=10)2lg 3(lg -=1032lg =23. 答案：23 8.4lg2+3lg5-lg51=_________. 解析：原式=4lg2+3lg5-lg5-1=4lg2+4lg5=4lg10=4.答案：49.log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=________.解析：原式=log 2(1+32+)(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 22+log 2221=1+21=23. 答案：23 10.)1415(log -)1415(+=________,(3+2)2006·(23-)2007=_________.解析：因为1415+=14151-,于是)1415(log -(1415+)=-1.又(3+2)2006·(2-3)2007=［(2+3)(2-3)］2006(2-3) =23-.答案：-1 23-综合运用11.设a=lg(1+71),b=lg(1+491),用a 、b 表示lg2,lg7. 解析：a=lg 78=lg8-lg7=3lg2-lg7, b=lg 4950=lg50-lg49=lg 2100-2lg7=2-lg2-2lg7. 由⎩⎨⎧==b,2lg7-lg2-2a,lg7-3lg2解得lg2=71(2a-b+2),lg7=71(-a-3b+6). 12.计算:log 155log 1545+(log 153)2.解析：原式=log 155(log 155+log 159)+(log 153)2 =(log 155)2+2log 155log 153+(log 153)2=(log 155+log 153)2=(log 1515)2=1.13.已知log 329=p,log 2725=q,试用p,q 表示lg5. 解析：由log 329=p,得lg3=25p(1-lg5). 又由log 2725=q,得lg5=23qlg3. 于是lg5=23q×25p(1-lg5),解得lg5=pq pq 15415+. 14.设3a =4b =36,求ba 12+的值. 解析：对已知条件取以6为底的对数,得alog 63=2blog 62=2, ∴a 2=log 63,b1=log 62. 于是a 2+b 1=log 63+log 62=log 66=1. 15.已知a>0,b>0且a 2+b 2=7ab,求证:log m 3b a +=21(log m a+log m b)(m>0且m≠1). 证明:∵a 2+b 2=7ab,∴(a+b)2=9ab.∵a>0,b>0,∴3b a +=ab .∴log m3b a +=log m ab =21log m ab =21(log m a+log m b). 拓展探究16.已知正数a,b,c 满足a 2+b 2=c 2.求证:log 2(1+a cb +)+log 2(1+bc a -)=1. 证明:左边=log 2a c b a +++log 2b c b a -+ =log 2abc b a c b a ))((-+++=log 2ab c b a 22)(-+ =log 2abab c b a 2222+-+=log 22=1=右边, ∴原式成立.。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算【目标要求】1． 理解对数的概念。

2. 掌握对数的运算性质。

1. 掌握换底公式并灵活运用。

【巩固教材——稳扎马步】1．指数式b c=a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 ( )A ．log c a =bB ．log c b =aC ．log a b =cD ．log b a =c 2．已知ab >0，下面四个等式中，正确命题的个数为 ( )①lg （ab ）=lg a +lg b ②lg b a =lg a －lg b ③bab a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．33. 3log 21122-的值等于 （ ） A.32B.32C.332D.2 4.下列等式中恒成立的是（ ）A.()()0,0log log log >>+=+N M N M N M a a aB.N M NMa a a a log log log log -=()1,0,0≠>>N N MC.M n M a n a log 1log =()*,0N n M ∈> D.M nmM a nmalog log =()*,,0n n m M ∈>【重难突破——重拳出击】 5.已知()1132log log log 0x =⎡⎤⎣⎦,则=-21x（ ）331.221.321.31.D C B A6. 如果方程 lg 2x+（lg2+lg3）lgx+lg2·lg3=0 的两根为x 1，x 2，那么x 1·x 2的值为 （ ）A 、lg2·lg3B 、lg2+lg3C 、61D 、-6 7. 已知：2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，则m 的值是 （ ） A.2 B.3 C.2 D.3 8. =++-+)1(log )1(n n n n ( )A ．1B.-1C.2D.-29. 已知x =2+1，则lo g 4（x 3－x －6）等于 ( ) A ．23B ．45C ．0D ．21 10. 已知),0)(4(log )3(log 31212>+=y yy x则x 的值是 （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、311. 若31log 131log 15121+的值属于区间(n ，n +1)，n ∈N *，则n 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 12. 若a 、b 、c ∈R +，则3a =4b =6c，则 ( )A ．b ac 111+= B ．b ac 122+= C ．ba c 221+=D ．ba c 212+=【巩固提高——登峰揽月】13.lg 25+32lg8+lg5·lg20+lg 22= 。

第三章第课时级基础巩固一、选择题．函数()＝－(－)的定义域为( )．[－)．(－，＋∞)．(，＋∞)．(－)[解析]由题意得(\\(＋≥－>))，∴－≤<，故选．．下列函数为对数函数的是( )．＝＋(＞且≠)．＝()(＞且≠)．＝(－)(＞且≠)．＝(＞且≠)[解析]根据对数函数的定义可知选．．设>，函数()＝在区间[]上的最大值与最小值之差为，则等于( )．．．．[解析]∵>，∴函数()＝在区间[]上是增函数，∴()＝()＝()＝＋，()＝()＝＝，∴＋－＝，∴＝.．设()＝(\\(－＋(<((－((≥())，则[()]的值为( )．．．．[解析]∵≥时，()＝(－)，∴()＝(－)＝＝，又∵<时，()＝－＋，∴()＝＋＝＋＝，∴[()]＝()＝.二、填空题．已知函数()＝(\\((>((<())，则[()]＝[解析]∵>时，()＝，∴()＝＝－.又∵<时，(－)＝－＝，∴[()]＝(－)＝.．函数()＝(－))的定义域为 [解析]由题意得(－)≥，[解析]由题意得(－)≥，∴(\\(－>－≤))，∴<≤，∴函数()的定义域为.三、解答题．比较下列各题中两个值的大小：()，；()，(>，≠)；()，；()π，.[解析]()考察函数＝，∵底数为常数(>)，∴该函数在(，＋∞)上是增函数，又>，∴>.()当<<时，＝在(，＋∞)上是减函数，∵<，∴>.当>时，＝在(，＋∞)上是增函数，∵<，∴<.()∵>＝，<＝，∴>.()∵π>＝，<＝，∴π>.．求下列函数的定义域：()()＝(－)＋；()()＝(＋)(－)．[解析]()要使函数()有意义，应满足(\\(－>－≠))，∴>且≠.故所求函数的定义域为()∪(，＋∞)．()要使函数()有意义，应满足(\\(＋>＋≠－>))，解得－<<，且≠.故所求函数的定义域为(－)∪()．级素养提升一、选择题．已知>且≠，函数＝与＝(－)的图象可能是下图中的( )。

3.2.2对数函数(一)自主学习学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做______________，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质对点讲练知识点一求函数的定义域例1 求下列函数的定义域：(1)y＝3log2x；(2)y＝log0.5(4x－3)；(3)y＝log(x＋1)(2－x)．规律方法求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移1 求下列函数的定义域．(1)y＝1lg(x＋1)－3；(2)y＝log a(4x－3)(a>0，且a≠1)．知识点二 对数函数的图象例2 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35规律方法 (1)y ＝log a x (a >0，且a ≠1)图象无限地靠近于y 轴，但永远不会与y 轴相交． (2)设y 1＝log a x ，y 2＝log b x ，其中a >1，b >1(或0<a <1，0<b <1)，则当x >1时，“底大图低”，即若a >b ，则y 1<y 2.当0<x <1时，“底大图高”，即若a >b ，则y 1>y 2.(3)在同一坐标系内，y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴(即y ＝0)对称．变式迁移2 借助图象求使函数y ＝log a (3x ＋4)的函数值恒为负值的x 的取值范围．知识点三 对数函数的单调性的应用例3 比较下列各组中两个值的大小：(1)log 0.52.7，log 0.52.8； (2)log 34，log 65； (3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．规律方法 比较两个对数值的大小，常用的三种方法：变式迁移3 对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a (1＋1a )；②log a (1＋a )>log a (1＋1a )；③a 1＋a <a 1＋1a ；④a 1＋a >a 1＋1a.其中成立的是( ) A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④1．对数函数单调性等重要性质要借助图象来理解与掌握．2．比较对数值的大小要用函数单调性及中间“桥梁”过渡．另外还要注意底数是否相同．3．掌握对数函数不但要清楚对数函数自身的图象和性质，还要结合指数函数的图象和性质来对比掌握．4．对数函数的单调性与指数函数的单调性大同小异.课时作业一、选择题1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅ 2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.()0，＋∞ 3．若log a 2<log b 2<0，则( ) A ．0<a <b <1 B ．0<b <a <1 C ．a >b >1 D ．b >a >1 4．以下四个数中的最大者是( ) A ．(ln 2)2 B ．ln(ln 2) C ．ln 2 D ．ln 25．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状只能是( )二、填空题6．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________．7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x －1)<08．函数y ＝log a (x ＋2)＋3的图象过定点________．三、解答题9．求下列函数的定义域：(1)y ＝32x －1－127；(2)y ＝－lg (1－x )；(3)y ＝11－log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)．10．已知f (x )＝log a 1＋x1－x(a >0，a ≠1)，(1)求f (x )的定义域；(2)求使f (x )>0的x 的取值范围； (3)判断f (x )的奇偶性． 3．2.2 对数函数(一)答案自学导引 1．对数函数2．(1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x 轴 对点讲练例1 解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义， 必须log 0.5(4x －3)≥0＝log 0.51，∴0<4x －3≤1，解得34<x ≤1.∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．变式迁移1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)－3≠0x ＋1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103x >－1， ∴x >－1且x ≠999，∴函数的定义域为{x |x >－1且x ≠999}． (2)log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1， ∴4x －3≥1，x ≥1.当0<a <1时，(*)可化为 log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1.综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝⎛⎦⎤34，1. 例2 A [过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C 1，C 2，C 3，C 4的交点的坐标为(a 1,1)，(a 2,1)，(a 3,1)，(a 4,1)，其中a 1，a 2，a 3，a 4分别为各对数的底，显然a 1>a 2>a 3>a 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的底值依次由大到小．]变式迁移2 解 当a >1时， 由题意有0<3x ＋4<1，即－43<x <－1.当0<a <1时，由题意有3x ＋4>1，即x >－1.综上，当a >1时，－43<x <－1；当0<a <1时，x >－1. 例3 解 (1)∵0<0.5<1，∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数． 又∵2.7<2.8，∴log 0.52.7>log 0.52.8.(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 65<log 66＝1. ∴log 34>log 65. (3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数． ∵π>e ，∴log a π>log a e. 当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数． ∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ； 当0<a <1时，log a π<log a e.变式迁移3 D [∵0<a <1，∴a <1a ，1＋a <1＋1a，∴log a (1＋a )>log a (1＋1a )，a 1＋a >a 1＋1a，即②④正确．] 课时作业1．C [由题意知M ＝{x |x <1}， N ＝{x |x >－1}．故M ∩N ＝{x |－1<x <1}．]2．A [当x ∈(－1,0)时，有x ＋1∈(0,1)，此时要满足f (x )>0，只要0<2a <1即可．由此解得0<a <12.]3．B [由底数与对数函数的图象关系(如图)可知y ＝log a x ，y ＝log b x 图象的大致走向．再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大．∴选B.] 4．D [∵0<ln 2<1，∴ln(ln 2)<0，(ln 2)2<ln 2，而ln 2＝12ln 2<ln 2.∴最大的数是ln 2.] 5．A6．{x |x <4，且x ≠3}解析 ⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0x －3≠0解得x <4，且x ≠3，所以定义域为{x |x <4，且x ≠3}． 7．{x |1<x <2}解析 由题可知a ＝1.2， ∴log 1.2(x －1)<0，∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2， 又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}． 8．(－1,3)9．解 (1)由32x －1－127≥0得，x ≥－1.∴所求定义域为[－1，＋∞)．(2)由－lg(1－x )≥0得，⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≤11－x >0，即x ∈[0,1)∴所求定义域为[0,1)．(3)1－log a (x ＋a )>0时，函数有意义， 即log a (x ＋a )<1① 当a >1时，－a <－1由①得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a <ax ＋a >0解得－a <x <0.∴定义域为(－a,0)．当0<a <1时，－1<－a <0. 由①得，x ＋a >a .∴x >0. ∴定义域为(0，＋∞)． 故所求定义域是：当0<a <1时，x ∈(0，＋∞)； 当a >1时，x ∈(－a,0)．10．解 (1)由1＋x1－x>0，得－1<x <1.故所求的定义域为(－1,1)．(2)①当a >1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1得1＋x1－x>1，∴0<x <1.②当0<a <1时，由log a 1＋x1－x>0＝log a 1得0<1＋x 1－x <1，∴－1<x <0.故当a >1时，所求范围为0<x <1； 当0<a <1时，所求范围为－1<x <0.(3)f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝log a (1＋x 1－x)－1＝－f (x )∴f (x )为奇函数．。

3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算自主整理1.对数的概念(1)如果a(a>0,且a≠1)的b 次幂等于N ，就是a b =N ，那么数b 称为以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 称为对数的底，N 称为真数;(2）以10为底的对数称为常用对数，log 10N 记作lgN ；(3）以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log e N 记作lnN.2.对数的性质(1）真数N 为正数（负数和零无对数）.(2）log a 1=0.(3）log a a=1.(4）对数恒等式：a N a log =N.(5)运算性质：如果a>0,a≠1,M>0,N>0,则①log a (MN)=log a M+log a N;②log aN M =log a M-log a N; ③log a M n =nlog a M(n ∈R ).3.对数的换底公式一般地,我们有log a N=aN m m log log (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0), 这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导:(1）log a b·log b a=1；(2）log n a b m =mn log a b. 高手笔记1.对数的运算法则助记口诀：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前.2.对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子.3.证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.4.使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg （-2）（-3）存在，但lg （-2），lg （-3）不存在，lg （-10）2存在，但lg （-10）不存在等.因此不能得出lg （-2）（-3）=lg （-2）+lg （-3），lg （-10）2=2lg （-10）.5.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M=N ，则log a M=log a N. 名师解惑1.对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a≠1，N ＞0呢？ 我们的口号是：渴望找到真理就是功绩，即使在这条道路上会迷路。

3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算第1课时对数的概念、常用对数【选题明细表】1.把对数式x=lg 2,化成指数式为( A )(A)10x=2 (B)x10=2(C)x2=10 (D)2x=10解析:lg 2=log102,即对数式为x=log102,故指数式为10x=2.2.在对数式lo=b中,下列对a,b,N的限制条件中正确的是( C )(A)a>1,N≥0,b∈R(B)a>1且a≠2,N≥0,b>0(C)a>1且a≠2,N>0,b∈R(D)a>1且a≠2,N>0,b>0解析:①>0且≠1,所以a>1且a≠2;②>0,所以N>0;③b ∈R.故选C.3.若log x=z,则( B )(A)y7=x z(B)y=x7z(C)y=7·x z(D)x=z7y解析:由log x=z得x z=,两边同时7次方得(x z)7=()7,即y=x7z.故选B.4.4log22+等于( A )(A) (B)-1(C)9 (D)解析:4log22+=4+()-1=4+=.5.计算+= .解析:原式=23×+=23×3+=24+27=51.答案:516.如果f(10x)=x,则f(3)等于( B )(A)log310 (B)lg 3(C)103 (D)310解析:令10x=3,则x=log103=lg 3,即f(3)=lg 3.7.已知log a3=,则a的值为( B )(A)2 (B)3(C)8 (D)9解析:因为=30=1,所以log a3=1,所以a=3.8.已知f(x)=则f(-2)+f(2)的值为( B )(A)6 (B)5(C)4 (D)3解析:由题意得f(-2)+f(2)=(1+log24)+2=5.故选B.9.函数y=log2x-1的定义域是( A )(A)(,1)∪(1,+∞) (B)(,1)∪(1,+∞)(C)(,+∞) (D)(,+∞)解析:要使函数有意义,则解此不等式组可得x>且x≠1且x>,因此函数的定义域是(,1)∪(1,+∞),故选A.10.(2018·河南省平顶山市、许昌市、汝州高一上学期期中联考)若log3(x-2)=log4(2y-1)=1,则= .解析:由log3(x-2)=1可得x-2=3,所以x=5,由log4(2y-1)=1可得2y-1=4,所以y=,据此可得==2.答案:211.使方程(lg x)2-lg x=0的x的值为.解析:由lg x(lg x-1)=0得lg x=0或lg x=1,即x=1或x=10.答案:10或112.已知M={0,1},N={11-a,lg a,2a,a},是否存在实数a使M∩N={1}? 解:若M∩N={1},则1∈N,(1)若11-a=1,则a=10,于是lg a=1,这与集合中元素的互异性矛盾;(2)若lg a=1,则a=10,于是11-a=1,这与集合中元素的互异性矛盾;(3)若2a=1,则a=0,这与a>0矛盾;(4)若a=1,则11-a=10,lg a=0,2a=2,N={10,0,2,1},于是M∩N={0,1}, 这与M∩N={1}矛盾.综上可知,不存在实数a使M∩N={1}.。

第三章 3.2 3.2.1 第1课时一、选择题1．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．0＜a ＜12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜12B由对数的性质，得⎩⎨⎧－2a ＋1＞0a ＞0a ≠1，解得0＜a ＜12.2．在下列四个命题中，属于真命题的是( )①若log 2x ＝3，则x ＝9； ②若log 36x ＝12，则x ＝6；③若log x 5＝0，则x ＝5； ④若log 3x ＝－2，则x ＝19.A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④B①中x ＝8，排除A ；③中x 的值不存在，排除C 、D ，故选B. 3．已知log 7＝0，那么x －12等于( ) A.13 B ．123C.122 D ．133C∵log 7＝0，∴log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8， ∴x －12＝8－12＝122.4．如果点P (lg a ，lg b )关于x 轴的对称点为(0，－1)，则( ) A ．a ＝1，b ＝10 B ．a ＝1，b ＝110C ．a ＝10，b ＝1D ．a ＝110，b ＝1A点P (lg a ，lg b )关于x 轴的对称点为(lg a ，－lg b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ lg a ＝0－lg b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝10. 5．若f (10x )＝x ，则f (3)的值为( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310B∵f (10x )＝x ，令10x ＝t ，∴x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，∴f (3)＝lg3. 6．的值为( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52B二、填空题7. 的值为________．48．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a－2b＝________.1049三、解答题9．将下列对数式与指数式互化． (1)2－4＝116；(2)53＝125； (3)lg a ＝2； (4)log 0.10.001＝3； (5)log 232＝5. (1)log 2116＝－4. (2)log 5125＝3. (3)102＝a . (4)0.13＝0.001. (5)25＝32.一、选择题1．log 7(log 3x )＝－1，则x 的值为( ) A. 17 B ．13C ．317D ．713C∵log 7(log 3x )＝－1，∴log 3x ＝7－1＝17，∴x ＝317 .2．若f (4x )＝x ，则f (2)等于( ) A ．42 B ．24 C. 12D ．2C令4x ＝2，则x ＝12，故选C.3．下列语句正确的是( )①对数式log a N ＝b 与指数式a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)是同一关系式的两种不同表示方法； ②若a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，则a log a N ＝N 一定成立； ③对数的底数为任意正实数；④log a a b ＝b ，对于一切a ＞0且a ≠1恒成立． A ．①②③④ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④B③错，对数的底数不能为1，排除A 、C 、D ，故选B. 4．若log 3＝log 4＝0，则ab 等于( )A ．4B ．5C ．3D ．15B∵log 3＝log 4＝0，∴log 4(log 5a )＝1，log 3(log 5b )＝1，∴log 5a ＝4，log 5b ＝3， ∴a ＝54，b ＝53，∴ab ＝5.二、填空题5．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. －3由对数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞01－x ≠1(1＋x )2≠0(1＋x )2＝1－x，解得x ＝－3.6．若log x (2＋3)＝－1，则x ＝________. 2－ 3∵log x (2＋3)＝－1，∴x －1＝2＋3，∴1x ＝2＋3，∴x ＝12＋3＝2－ 3. 三、解答题7．求下列各式中的x 值： (1)log 2(x 2－2)＝0； (2)log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1.(1)∵log 2(x 2－2)＝0，∴x 2－2＝1，∴x 2＝3， ∴x ＝±3.(2)∵log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋2x －1＞02x 2－1＞02x 2－1≠13x 2＋2x －1＝2x 2－1，解得x ＝－2.8．解方程3lg x －2－3lg x ＋4＝0. 设3lg x －2＝a ≥0，则3lg x ＝a 2＋2，∴原方程化为a －a 2＋2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2. ∵a ≥0，∴a ＝2.∴3lg x －2＝2，∴3lg x －2＝4，∴lg x ＝2，x ＝100. 经检验知，x ＝100是原方程的根．9．设M ＝{0,1}，N ＝{11－a ，lg a,2a ，a }，是否存在实数a ，使得M ∩N ＝{1}? 若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，此时与集合元素的互异性矛盾； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义；若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性相矛盾． 所以，不存在实数a 使M ∩N ＝{1}成立．。