《诱导公式的运用》链接高考

一、高中数学诱导公式全集：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

高考数学常用的【诱导公式】高考数学常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα高中数学重要知识点1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x，y+y)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。

0的反向量为0 AB—AC=CB。

即“共同起点，指向被减”a=(x，y)b=(x，y)则a—b=(x—x，y—y)。

3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ0时，λa与a同方向;当λ0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

5.3诱导公式（精讲）诱导公式公式终边关系图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin (π＋α)＝－sin αcos (π＋α)＝－cos αtan (π＋α)＝tan α公式三角－α与角α的终边关于x 轴对称sin (－α)＝－sin αcos (－α)＝cos αtan (－α)＝－tan α公式四角π－α与角α的终边关于y 轴对称sin (π－α)＝sin αcos (π－α)＝－cos αtan (π－α)＝－tan α公式五sin()cos 2cos()sin 2π-α=απ-α=α公式六sin()cos 2cos()sin 2π+α=απ+α=-α记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦．②“奇”“偶”是对k·π2±α(k∈Z)中的整数k来讲的．③“象限”指k·π2±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·π2±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四一．利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.二．三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.三．诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．考点一给角求值问题【例1】（2023·广东肇庆）求下列各式的值．(1)sin1470︒；(2)9πcos4；(3)11πtan6⎛⎫- ⎪⎝⎭．（4）43sin6π⎛⎫-⎪⎝⎭；（5）()()cos120sin150tan855︒︒︒--+.【答案】(1)12(2)24）12；（5）34-【解析】（1）()1sin1470sin 436030sin302︒=⨯︒+︒=︒=．（2）9πππcos cos 2πcos 444⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（3）11πππtan tan 2πtan 666⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）43sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭7sin 66ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7sin sin sin 666ππππ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭1=2.（5）原式()()()cos 18060sin 18030tan 1352360︒︒︒︒︒︒=--⋅-++⨯()cos60sin 30tan135︒︒︒=--+()cos60sin30tan 18045︒︒︒︒=+-cos60sin 30tan 45︒︒︒=-1131224=⨯-=-.【一隅三反】1．（2023秋·新疆塔城）sin 240︒的值是（）A．BC ．12-D ．12【答案】A【解析】()sin 240sin 18060sin 602︒=︒+︒=-︒=-.故选：A.2．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知角θ的终边经过点(1,2)P ，则()sin ππcos cos 2θθθ-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．23-D ．23【答案】D【解析】由三角函数的定义可得tan 2θ=，则()sin πsin tan 2πsin cos tan 13cos cos 2θθθθθθθθ-===++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.故选：D3．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）.求下列各值.(1)πsin 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)7πtan 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(4)7πsin 4⎛⎫- ⎪⎝⎭(5)47cos π6；(6)7πsin 3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(7)()tan 855-︒．【答案】(1)12-；(2)2；(3)(4)2【解析】（1）ππ1sin sin 662⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭；（2）ππcos cos 442⎛⎫-== ⎪⎝⎭；（3）7πππtan tan πtan 666⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）7πππsin sin 2πsin 4442⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（5）47ππcos πcos 8πcos 6662⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．（6）7π7πππsin sin sin 2πsin 3333⎛⎫⎛⎫-=-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7）())tan 855tan855tan(2360135tan135-︒=-︒=-⨯︒+︒=-︒()tan 18045tan451=-︒-︒=︒=．考点二化简求值问题【例2】（2023秋·高一课时练习）已知α的终边与单位圆交于点P m ⎛ ⎝⎭，且α为第二象限角，试求()πsin 23πsin πsin 12ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值．【答案】36-【解析】由题意得22(14m +=，解得2116m =，因为α为第二象限角，可得0m <，所以14m =-，所以1sin ,cos 4αα=-，所以()π1sin cos 243πsin cos 1sin πsin 12αααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--++⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知4cos 5α=-，且α为第三象限角．求()()()()()7πsin 5πcos tan π2tan 19πsin f αααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----的值．【答案】35-【解析】()()()sin sin tan 3sin tan sin 5f ααααααα-===--.2．（2023秋·高一课时练习）已知1cos 3α=-，且α为第二象限角,tan β=()()πsin cos 3sin sin 2cos πcos 3sin sin αβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值为（）A．－411B．－11C．11D【答案】C 【解析】因为1cos 3α=-，且α为第二象限角，所以sin 3α=，则()()πsin cos 3sin sin 2cos πcos 3sin sin αβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--sin cos 3cos sin =cos cos 3sin sin αβαβαβαβ+--sin 3cos tan =cos 3sin tan ααβααβ+--13311⎛⎫-⨯ ⎪=故选:C.3．（2023春·陕西西安）已知函数()22x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则()211π9πcos sin 22sin πααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--等于（）A ．23-B ．23C ．32D ．32-【答案】A 【解析】()()()222ππππ11π9πcos 6πsin 4πcos sin cos sin 222222sin πsin π+sin πααααααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦==--⎡⎤-+⎣⎦又因为ππcos cos sin 22ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin os π2c αα⎛⎫= ⎪+⎝⎭，()22sin πsin αα+=，故原式=2sin cos 1sin tan αααα-⋅=-;又()22x f x a -=+过定点()2,3P ,所以3tan 2α=，代入原式得原式=12tan 3α-=-.故选：A考点三给值(或式)求值问题【例3-1】（2023秋·高一课时练习）已知1sin(π)3α-=，则sin(2021π)α-的值为（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【答案】D【解析】由sin()sin παα-=，可得1sin 3α=，则1sin(2021π)sin[(π)2020π]sin(π)sin 3αααα-=--=-=-=-.故选：D.【例3-2】（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）若πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13，则πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．79-B ．3C ．79D ．13【答案】D 【解析】ππππ1sin sin cos 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D.【例3-3】（2023秋·浙江嘉兴）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．BCD 【答案】D【解析】因为ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ5π,61212α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又πsin 063α⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知π2cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A ．23B ．23-C D ．【答案】B【解析】因为2πππ2cos()cos π()cos()3333ααα⎡⎤-=-+=-+=-⎢⎥⎣⎦.故选：B.2．（2023秋·山东德州）已知2π3sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πcos 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于．【答案】35-/0.6-【解析】7πππππ2π3cos cos(π)cos()sin()sin()6662635x x x x x ⎛⎫+=++=-+=-++=-+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-3．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）已知π1cos 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25ππcos cos 63x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为；【答案】1116【解析】π1cos 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，5πππ1cos cos cos 6664x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππcos cos sin 3266x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，222πππ115cos sin 1cos 13661616x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，25ππ11511cos cos 6341616x x ⎛⎫⎛⎫∴-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1116.考点四利用诱导公式证明恒等式【例4】（2022·高一课时练习）求证：()()()3tan 2cos cos 62133tan sin cos 22ααααααπ⎛⎫π--π- ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫π-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】证明见解析【解析】证明：左边()()()tan cos cos 2tan sin cos 22αααααα⎡π⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡π⎤⎡π⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()()tan sin cos tan cos sin αααααα--=--1==右边，所以原式成立．【一隅三反】1．（2023云南）求证：()()()cos 6sin 2tan 2tan 33cos sin 22πθπθπθθππθθ+---=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】证明见解析【解析】证明：左边=()()cos sin tan cos sin tan tan sin (cos )sin cos θθθθθθθθθθθ--==---=右边所以原等式成立2．（2023·高一课时练习）求证：()()()()()11sin 2cos cos cos 22tan 9cos sin 3sin sin 2πππαπααααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫----+ ⎪⎝⎭．【答案】证明见解析.【解析】左边=()()()()sin cos sin sin cos sin sin cos αααααααα-⋅----⋅⋅⋅=–tan α=右边，∴等式成立．3．（2023·全国·高一假期作业）求证：232sin()cos()12212sin ()ππθθπθ-+--+＝tan(9)1tan()1πθπθ+++-．【答案】证明见解析【解析】左边()()22222222sin()sin 12sin cos sin cos 2sin cos 1212sin 12sin sin cos 2sin πθθθθθθθθθθθθθ+----+--===--+-()()()2sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθθθθ-++==+--.右边sin 1tan()1tan 1sin cos cos sin tan()1tan 1sin cos 1cos θπθθθθθθπθθθθθ+++++====+----.∴左边＝右边，故原等式成立．4．（2023北京）（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin(22παπαπααππαα----=-++；（2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）左边=tan()sin()cos()sin[2()]cos[2()]22αααπππαπα-------22(tan)(sin)cos sin sincos sinsin[()]cos[()]sin()cos()2222αααααππππαααααα--===--------sin tancosααα=-=-=右边，所以原等式成立.（2）方法1：左边=88sin[()]3cos[()3]7788sin[4()]cos[2(77πππααππππαπα++++--+-++=888sin()3cos()tan()3777888sin()cos()tan()1777πππαααπππααα-+-+++=-+-+++=31mm++=右边，所以原等式成立.方法2：由8tan()7mπα+=，得tan()7mπα+=，所以，等式左边=sin[2()]3cos[()2]77sin[2()]cos[2()]77πππααπππππαππα++++-+-+-+++=sin()3cos()77sin()cos()77ππααππαα++++++=tan()3371tan()17mmπαπα+++=+++=右边，等式成立.。

高考数学诱导公式大全常用的诱导公式有以下几组：公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k＋）＝sin （kZ）cos（2k＋）＝cos （kZ）tan（2k＋）＝tan （kZ）cot（2k＋）＝cot （kZ）公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（＋）＝－sincos（＋）＝－costan（＋）＝tancot（＋）＝cot公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin（－）＝－sincos（－）＝costan（－）＝－tancot（－）＝－cot公式四：利用公式二和公式三能够得到与的三角函数值之间的关系：sin（－）＝sincos（－）＝－costan（－）＝－tancot（－）＝－cot公式五：利用公式一和公式三能够得到2与的三角函数值之间的关系：sin（2－）＝－sincos（2－）＝costan（2－）＝－tancot（2－）＝－cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin（/2＋）＝coscos（/2＋）＝－sintan（/2＋）＝－cotcot（/2＋）＝－tansin（/2－）＝coscos（/2－）＝sintan（/2－）＝cotcot（/2－）＝tansin（3/2＋）＝－coscos（3/2＋）＝sintan（3/2＋）＝－cotcot（3/2＋）＝－tansin（3/2－）＝－coscos（3/2－）＝－sintan（3/2－）＝cotcot（3/2－）＝tan(以上kZ)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式经历口诀※规律总结※上面这些诱导公式能够概括为：关于/2*k (kZ)的三角函数值，①当k是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到相应的余函数值，即sincos；cossin；tancot，c ottan.（奇变偶不变）然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。

高考数学三角函数诱导公式详解分析高考数学中，三角函数是重要的一部分，其中诱导公式是必须掌握的知识之一。

本文将从诱导公式的定义、证明方法以及应用展开详细的分析和解释，希望能够给同学们带来一些帮助。

一、诱导公式的定义在高中数学中，我们学习了正弦、余弦、正切等三角函数的概念和基本性质。

而对于不同角度的三角函数，它们之间存在着一些特殊的关系，这些关系被称为三角函数的诱导公式。

具体来说，诱导公式是指通过对三角函数的变量进行代换，将一个三角函数转化为另一个三角函数的公式。

通常情况下，诱导公式是将各个相邻的三角函数之间的关系进行转化，从而简化我们计算的过程。

二、诱导公式的证明方法针对不同的三角函数诱导公式，其具体的证明方法也各不相同。

这里我们以正弦诱导余弦公式为例，简单介绍一下具体的证明过程。

我们知道，对于任意角度x，有以下公式成立：sin2x + cos2x = 1接下来，我们进行代换。

首先，我们将sin2x 表示为sin(x + x) 的形式：sin2x = sin(x + x)再将cos2x 表示为cos(x + x) 的形式：cos2x = cos(x + x)接着，我们使用公式sin(a + b) = sinacosb + cosasinb 将正弦函数展开：sin(x + x) = sinxcosx + cosxsinx同样的，我们使用公式cos(a + b) = cosacosb - sinasinb 将余弦函数展开：cos(x + x) = cosxcosx - sinxsinx将以上结果代入到sin2x + cos2x = 1 这个公式中，得到：sinxcosx + cosxsinx + cosxcosx - sinxsinx = 1化简可得：cos2x = cosxcosx - sinxsinx因此，我们可以得到正弦诱导余弦公式：sin2x = 2sinxcosx这个公式表明，通过代换可以将sin2x 转化为2sinxcosx，从而将正弦函数的平方与余弦函数联系起来。

高考数学诱导公式大全常用的诱导公式有以下几组：公式一：设为恣意角，终边相反的角的同一三角函数的值相等：sin〔2k＋〕＝sin 〔kZ〕cos〔2k＋〕＝cos 〔kZ〕tan〔2k＋〕＝tan 〔kZ〕cot〔2k＋〕＝cot 〔kZ〕公式二：设为恣意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin〔＋〕＝－sincos〔＋〕＝－costan〔＋〕＝tancot〔＋〕＝cot公式三：恣意角与 -的三角函数值之间的关系：sin〔－〕＝－sincos〔－〕＝costan〔－〕＝－tancot〔－〕＝－cot公式四：应用公式二和公式三可以失掉与的三角函数值之间的关系：sin〔－〕＝sincos〔－〕＝－costan〔－〕＝－tancot〔－〕＝－cot公式五：应用公式一和公式三可以失掉2与的三角函数值之间的关系：sin〔2－〕＝－sincos〔2－〕＝costan〔2－〕＝－tancot〔2－〕＝－cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin〔/2＋〕＝coscos〔/2＋〕＝－sintan〔/2＋〕＝－cotcot〔/2＋〕＝－tansin〔/2－〕＝coscos〔/2－〕＝sintan〔/2－〕＝cotcot〔/2－〕＝tansin〔3/2＋〕＝－coscos〔3/2＋〕＝sintan〔3/2＋〕＝－cotcot〔3/2＋〕＝－tansin〔3/2－〕＝－coscos〔3/2－〕＝－sintan〔3/2－〕＝cotcot〔3/2－〕＝tan(以上kZ)留意：在做题时，将a看成锐角来做会比拟好做。

诱导公式记忆口诀※规律总结※下面这些诱导公式可以概括为：关于/2*k (kZ)的三角函数值，①当k是偶数时，失掉的同名函数值，即函数名不改动；②当k是奇数时，失掉相应的余函数值，即sincos；cossin；tancot，cottan.〔奇变偶不变〕然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。

新高考数学（理）三角函数与平面向量03 诱导公式一、具本目标：（1）能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±，2的正弦、余弦、正切的诱导公式. （2）由于诱导公式涉及的公式比较多，记忆时要分清诱导的方向与角的象限. 二、知识概述：1.诱导公式()角 函 数正弦余弦 正切记忆口诀αsinαcosαtan函数名不变 符号看象限-αsinαcos-αtan-αsin -αcosαtanαsin-αcos-αtanαcos αsin-函数名改变 符号看象限αcos-αsin-2.事实上，对于角()2k k Z πα±∈g的正弦、余弦值有当k 为偶数时，函数名不变，符号看象限； 当k 为奇数时，函数名改变，符号看象限.z k ∈απ+k 2α-απ+απ-απ-2απ+2【考点讲解】总的来说就是“奇变偶不变，符号看象限” 3.诱导公式的作用： 任意角→)2,0(π的角； 原则：负化正，大化小.4.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=（ ）A ．−2−3B ．−2+3C ．2−3D ．2+3【解析】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒3132 3.313+==+-故选D. 【答案】D【变式】=ο330cos （ ）A ．21B ．21- C ．23 D ．23-【解析】()2330cos 30360cos 330cos ==-=οοοο.【答案】23 2．【2019优选题】若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α＝( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12【真题分析】【解析】本题考查的是三角函数的概念及诱导公式，由题意可得sin 5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12， cos5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝ －32，所以点⎝⎛⎭⎫12，－32在角α的终边上，且该点到角α顶点的距离 r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1，所以sin α＝321y r-=－32.【答案】C3.【2019优选题】“32πθ=”是“⎪⎭⎫⎝⎛+=θπθ2cos 2tan ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意可知：当32πθ=时，332sin 2322cos 2-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+πππ，332tan -=π. 而3tan -=θ时，z k k ∈+=,32ππθ.因此前者是后者的充分不必要条件.【答案】A 【变式】""6a π=是().21sin =-απ的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【解析】().21sin 656=-=-=αππαππα，，得由().621sin πααπ==-不一定能得到但由""6a π=是()21sin =-απ 的充分不必要条件. 【答案】A4．【2019优选题】设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin πx x f ，R x ∈，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【解析】由()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin πx x f 可得：()x x f 2cos -=，所以此函数是最小正周期为π的偶函数.【答案】B【变式】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛+=22cos πx y B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin πx y C ．x x y 2cos 2sin += D ．x x y cos sin += 【解析】由题意可知x x y 2sin 22cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π，所以符合最小正周期为π的奇函数.【答案】A5.【2018优选题】设函数()()R x x f ∈满足()()x x f x f sin +=+π．当π<≤x 0时，()0=x f ，则=⎪⎭⎫⎝⎛623πf （ ）A ．21 B ．23 C ．0 D ．21-【解析】由题意可得：617sin 611sin 611617sin 617623ππππππ++⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f617sin611sin 65sin 65ππππ+++⎪⎭⎫⎝⎛=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=62sin 62sin 6sin 0πππππππ=212121210=+-+. 【答案】A6.若13cos(),2,22+=-<<ππααπ则sin(2)-=πα（ ） A.12B.32±C.32D.32-【解析】由13cos(),2,22+=-<<ππααπ可得：1cos()cos ,2παα+=-=-1cos ,2α= 所以sin(2)sin παα-=-.而23sin 1cos 2αα=--=-所以.3sin(2)2πα-=.【答案】 C7.【2017年高考北京卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________． 【解析】因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，所以()1sin sin π2πsin 3k βαα=+-==.【答案】138.【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【答案】79-9.【2018优选题】已知712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且04πα<<，则sin α=_____，cos α=_____．【解析】()2512sin cos sin cos 27cos 2sin ==-⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--αααααπαπ .又04πα<< ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 2512cos sin 22αααα则 ，且0sin cos αα<<，可得34sin ,cos 55αα==【答案】35 4510.【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）． （1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-.1.已知31)22015sin(=+απ，则)2cos(a -π的值为（ ） A ．31 B ．31- C ．97 D ．97-【模拟考场】【解析】因为31)22015sin(=+απ，所以31cos =α， 所以97)192()1cos 2(2cos )2cos(2=--=--=-=-αααπ．选C ．【答案】C 2.已知232cos =⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ，且2πϕ<，则tanφ＝（ ） A ．33-B ．33C ．3-D ．3 【解析】根据诱导公式23sin 2cos ==⎪⎭⎫⎝⎛-ϕϕπ，又因为2πϕ<，所以20πϕ<<，所以3πϕ=，所以3tan =ϕ．【答案】D3.若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos22παπαπαπα++-=--- （ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【解析】由题意3sin 5α=-，因为α是第三象限的角，所以4cos 5α=-，因此222sincoscossin(cossin )1sin 1222222cos 2sin cos cos sin cos sin222222παπααααααπαπαααααα++-+++====------.【答案】B. 4.已知()()sin 2cos 30πθπθ-++-=，则cos sin cos sin θθθθ+=-（ ）A. 3B. 3-C.13 D. 13- 【解析】因为()()sin 2cos 30πθπθ-++-=，所以2cos 0sin θθ--= ，可得cos tan 1211tan 2,cos tan 1213sin sin θθθθθθθ++-+=-===---- ，故选C.【答案】C5. 已知3sin()35x π-=，则5cos()6x π-= ( )A.35 B. 45 C. 35- D. 45- 【解析】∵3sin()sin[()]cos()32665x x x ππππ-=-+=+=， ∴53cos()cos[()]cos()6665x x x ππππ-=-+=-+=- 【答案】C6.已知1sin ,(,)322ππθθ=∈-，则3sin()sin()2πθπθ--的值为（ ） （A ）922 （B ）922- （C ）91 （D ）91-【解析】2122,,cos 1sin 12293ππθθθ⎛⎫∈-∴=-=-=⎪⎝⎭Q , ()312222sin sin sin cos 2339ππθθθθ⎛⎫∴--=-=-⨯=-⎪⎝⎭.故B 正确. 【答案】B7.=ο750sin ．【解析】本题考查的是三角函数求值问题，所以要求将ο750转化为οοο303602750+⨯=再利用诱导公式求ο30角的正弦值即可.由题意可得()2130sin 303602sin 750sin ==+⨯=οοοο.【答案】21 8.若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________． 【解析】由题意得()1122sin sin ,,,cos 1.3293ππαααπα⎡⎤-==∈∴=--=-⎢⎥⎣⎦Q 【答案】223-9.已知31sin()lg10πθ+=，求cos(3)cos(2)3cos()[cos()1]cos sin()cos 2πθθπθπθθπθθ+-+----+【解析】由题有31sin lg 103θ-=-=-，1sin 3θ∴=， 原式cos cos cos [cos 1]cos (cos )cos θθθθθθθ-=+---+221122181cos 1cos 1cos sin θθθθ=+===+-- 【答案】1810.已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-)-3.(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性【解析】()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 34sin cos 333f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213=4sin cos sin 32sin cos 23sin 322x x x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭()()=sin 231-cos 23sin 23cos 2=2sin 23x x x x x π+-=--.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== ()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦I .所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.11.已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点)415,(m P ． （1）求实数m 的值；（2）求1)23sin()sin()2sin(+--+-απαππα的值． 【解析】（1）∵角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点)415,(m P ，∴m ＜0， 221514m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得14m =-； （2）由（1）可知151sin ,cos 44αα==-， ∴1sin()cos 315243sin cos 16151sin()sin()11244πααπααπαα--+===--+++--+--+。