4.2简单线性规划必备知识·自主学习导思1.什么是二元线性规划问题?2.如何确定二元线性规划问题的最值?1.基本概念名称意义约束条件变量x,y满足的二元一次不等式组目标函数欲求关于x,y的一个线性函数的最大值或最小值的函数可行解满足约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解二元线性规划问题在约束条件下,求关于两个变量的目标函数的最大值或最小值问题二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的几次不等式或方程的限制条件?提示:二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的一次不等式或方程的限制条件.2.最值问题(1)最值位置:目标函数的最大值与最小值总是在可行域的边界交点或顶点处取得.(2)实际应用:求解实际应用问题时,只需要求出区域边界的交点,再比较目标函数在交点处的函数值大小,根据问题需求选择所需结论.目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时,z的意义是什么?提示:z=2x-y可变形为y=2x-z,所以z的几何意义是该直线在y轴上截距的相反数.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)线性目标函数z=ax+by表示经过可行域的一组平行线. ( )(2)求线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解都是唯一的. ( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上. ( )提示:(1)√.因为线性目标函数z=ax+by即y=-x+,斜率k=-为常数,截距是变量,所以二元一次方程z=ax+by表示经过可行域的一组平行线.(2)×.如果线性目标函数z=ax+by表示的直线与可行域的某一条边界直线平行,则线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解不是唯一的.(3)×.线性目标函数取得最值的点可能在可行域的边界上,不一定非在顶点上.2.若x≥0,y≥0,且x+y≤1,则z=x-y的最大值为( )A.-1B.1C.2D.-2【解析】选B.直线x+y=1与坐标轴的交点坐标为A(1,0),B(0,1).则z=x-y即y=x-z,表示经过可行域的平行线组,-z是直线在y轴上的截距,当直线z=x-y经过点A(1,0)时,-z最小,z最大,最大值为z=x-y=1. 3.(教材二次开发:例题改编)已知实数x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为( )A.-1B.2C.7D.8【解析】选C.画出实数x,y满足约束条件,表示的平面区域如图:目标函数变形为-2x+z=y,则z表示直线在y轴上截距,截距越大,z越大,作出目标函数对应的直线L:y=-2x,由可得A(2,3).目标函数z=2x+y过A(2,3)时,直线的截距最大,z取得最大值为z=7.关键能力·合作学习类型一求线性目标函数的最值(直观想象)1.(2020·三明高一检测)已知实数x,y满足,则z=x+2y的最大值为( )A.2B.C.1D.02.(2020·西安高一检测)已知实数x,y满足,则关于目标函数z=3x-y的描述正确的是 ( )A.无最大值也无最小值B.最小值为-2C.最大值为2D.最大值为33.(2020·南昌高一检测)设x,y满足,则z=x+y的取值范围是( )A.[-5,3]B.[2,3]C.[2,+∞)D.(-∞,3]【解析】1.选B.作出实数x,y满足约束条件,对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知,当直线y=-x+z经过点A时直线y=-x+z的截距最大,此时z最大. 由,得A,此时z的最大值为z=+2×=.2.选B.作出不等式组对应的平面区域如图,由z=3x-y,得y=3x-z,平移直线y=3x-z,由图象可知当直线y=3x-z,经过点A时,直线y=3x-z 的截距最大,此时z最小.联立,解得A(0,2),故z min=3×0-2=-2.无最大值.3.选C.先根据约束条件画出可行域,z=x+y,则y=-x+z,由可得A(2,0),当直线y=-x+z经过点A(2,0)时,z最小,最小值为:2+0=2.没有最大值,故z=x+y的取值范围为[2,+∞).求目标函数z=ax+by最值的思路(1)化:把目标函数z=ax+by化为斜截式y=-x+.(2)定:z=ax+by中表示直线y=-x+在y轴上的截距.(3)找:把线性目标函数看成直线系,把目标函数表示的直线y=-x+平行移动,越向上平移越大,若b>0,则对应z越大,若b<0,则对应z越小. 特别提醒:当目标函数所在的直线与边界平行时最优解有无数个.【补偿训练】设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知当z=2x+3y-5经过点A(-1,-1)时,z取得最小值,z min=2×(-1)+3×(-1)-5=-10.答案:-10类型二求非线性目标函数的最值(数学抽象、直观想象)角度1 可化为斜率最值的问题【典例】已知实数x,y满足不等式组(1)求不等式组表示的平面区域的面积;(2)试确定的取值范围.【思路导引】(1)依据线性约束条件,作出可行域,然后求出面积. (2)因为是分式形式,所以可联想其几何意义,求斜率的取值范围即可.【解析】(1)由实数x,y满足不等式组作出可行域,可知不等式组表示的平面区域是△ABC及其内部,如图,解方程组得A(1,1),同理,得B(3,3),C(2,6),记a==(2,2),b==(1,5),则S△ABC=|a||b|sin∠BAC=|a||b|=|a||b|===4(面积单位).(2)由(1)可知,1≤x≤3.令=k,则y=k(x+1)表示斜率为k且过点D(-1,0)与可行域有公共点的相交线族,由于k=tan α,α∈是增函数,其中α是相交线族的倾斜角,结合可行域知,k AD=,k CD=2,从而k∈,故∈.(2020·泉州高一检测)已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为 ( )A.2B.C.1D.【解析】选D.令z=,由实数x,y满足约束条件,作出可行域如图,联立,解得A,z=的几何意义为可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率,当过A时,斜率最大,即z==,所以z=的最大值为.角度2 可化为距离最值的问题【典例】已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.【思路导引】先画出可行域,再依据x2+y2的几何意义,求出最值即可得取值范围.【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部,如图所示.因为原点到直线2x+y-2=0的距离为,所以(x2+y2)min=,又当(x,y)取点(2,3)时,x2+y2取得最大值13,故x2+y2的取值范围是.答案:[,13]线性规划求目标函数的常见类型(1)整式是截距:形如ax+by型的线性目标函数,设为z=ax+by,表示平行线族,通过平行线扫描可行域,求线性目标函数的最值或取值范围.(2)分式是斜率:形如(ac≠0)型的非线性目标函数,设为k==·(ac≠0),将问题转化为过定点P以及可行域内的动点Q(x,y)的相交线族的斜率,通过相交线扫描可行域,求斜率的最值或取值范围.(3)根式是距离:形如型的非线性目标函数,将问题转化为d=,几何意义为连接定点A(a,b)与可行域内的动点Q(x,y)的距离,再求距离的最值或取值范围.(4)平方和是距离的平方:形如x2+y2-2ax-2by+a2+b2型的非线性目标函数,将问题转化为d2=()2,几何意义为连接定点A(a,b)与可行域内的动点Q(x,y)的距离的平方,求两点间的距离的最值或取值范围,再求平方即可.1.(2020·成都高一检测)设x,y满足约束条件则的最大值是( )A.-B.C.D.【解析】选C.设z=,画出满足条件的平面区域,如图,由z=的几何意义是可行域内的点与D(-2,0)连线的斜率,由图形可知AD的斜率取得最大值,代入A(3,4),即可得到z最大值,所以z的最大值是.2.(2020·邯郸高一检测)设变量x,y满足约束条件则z=(x-3)2+y2的最小值为( )A.2B.C.4D.【解析】选D.画出变量x,y满足约束条件的可行域,可发现z=(x-3)2+y2的最小值是(3,0)到2x-y-2=0距离的平方.取得最小值:=.3.实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:(1)点(a,b)对应的区域的面积;(2)的取值范围;(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.【解析】方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数y=f(x)=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,由此可得不等式组⇔由解得A(-3,1); 由解得B(-2,0);由解得C(-1,0).所以在如图所示的坐标平面aOb内,满足约束条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界).(1)△ABC的面积为S△ABC=×|BC|×h=(h为A到Oa轴的距离).(2)的几何意义是点(a,b)和点D(1,2)连线的斜率.k AD==,k CD==1.由图可知,k AD<<k CD.所以<<1,即∈.(3)因为(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方,所以(a-1)2+(b-2)2∈(8,17).类型三已知目标函数的最值求参数的取值范围(逻辑推理、数学运算)【典例】已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( )A. B. C.1 D.2【思路导引】先由前2个条件确定部分区域,再由z=2x+y的最小值为1,即可确定一个平面区域,再结合y≥a(x-3)的几何意义即可求出a的值.【解析】选B.作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分(含边界)所示.易知直线z=2x+y过交点B时,z取最小值,由得因为z min=2-2a=1,解得a=.由目标函数的最值求参数的解题思路已知目标函数的最值,求线性约束条件的参数问题,可以先画出线性约束条件中的已知部分,由于最值一般在可行域的顶点或边界处取得,常常利用数形结合的方法求解.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是 ( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.[3,+∞)【解析】选A.由线性约束条件画出平面区域D,图中阴影部分,观察图形可知当指数函数y=a x为增函数时,可能过区域D,又当底数越大,在第一象限它的图像越靠近y轴,所以当y=a x过x+y-11=0与3x-y+3=0的交点A(2,9)时,底数最大.即9=a2,所以a=3,因此1<a≤3.课堂检测·素养达标1.(2019·浙江高考)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是( )A.-1B.1C.10D.12【解析】选C.由线性约束条件可得可行域为图中阴影部分所示:由解得所以A(2,2),所以z max=3×2+2×2=10.2.(2020·德阳高一检测)已知实数x,y满足,则关于目标函数z=3x-y的描述正确的是( )A.最小值为-2B.最大值为3C.最大值为2D.无最大值也无最小值【解析】选A.由实数x,y满足,作出可行域,如图.目标函数z=3x-y可以化为y=3x-z.则z表示直线y=3x-z在y轴上的截距的相反数.由图可知,当直线y=3x-z过点B时,直线y=3x-z在y轴上的截距最大,无最小值.所以z有最小值-2,无最大值.3.(教材二次开发:习题改编)(2019·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为( )A.2B.3C.5D.6【解析】选C.已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线y=4x+z在y轴上的截距,故目标函数在点A处取得最大值.由得A(-1,1),所以z max=-4×(-1)+1=5.4.(2020·洛阳高一检测)若x,y满足约束条件则z=的最大值为 ( )A. B. C. D.3【解析】选C.由题意知,目标函数z=表示经过点A和可行域内的点(x,y)的直线的斜率,作出不等式组表示的可行域如图所示,根据目标函数z的几何意义,由图可知,当直线过A,C两点时,目标函数z=有最大值,联立方程解得所以点C,代入目标函数可得,z=的最大值为.5.若变量x,y满足则x2+y2的最大值是. 【解析】作出不等式组表示的平面区域,x2+y2表示平面区域内点到原点距离的平方,由得A(3,-1),易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.答案:10。
