4连续时间信号的傅里叶变换

实验四 非周期信号频域分析1 实验目的(1) 掌握傅里叶变换的分析方法及其物理意义。

(2) 掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质。

(3) 学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 的若干重要性质。

2 实验原理及方法2.1连续时间信号傅里叶变换——CTFT傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。

傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt e t x j X t j ωω)()( 4-1 ⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 4-2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。

任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。

X(j ω)通常为关于ω的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱， ∠X(j ω)称为x(t)的相位谱。

给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱是连续且非周期的。

对于连续时间周期信号，也可以用傅里叶变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换是由冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。

2.2 用MA TLAB 实现CTFT 及其逆变换2.2.1 用MATLAB 实现CTFT 的计算MA TLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算，本实验采用数值计算的方法。

严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号，也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。

连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。

本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。

2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。

傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。

具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。

3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。

频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。

通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。

系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。

4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。

通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。

常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。

5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。

通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。

6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。

通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。

进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。

7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。

频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。

总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。

频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。

连续时间周期信号傅里叶级数：⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换：()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换：⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换：()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换：()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换：∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换： ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。

附 录 A 常 用 数 学 公 式A.1 三角函数公式j e cos jsin t t t ωωω=+ j e e (cos jsin )t t t σωσωω+=+j j 1cos (e e )2t t t ωωω-=+j j 1sin (e e )2jt t t ωωω-=-sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=sin22sin cos ααα=2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++双曲正弦：e e sh 2x xx --=双曲余弦：e e ch 2x xx -+=A.2 微积分公式d()d Cu C u =，C 为常数（下同）d()d d u v u v ±=±，u 、v 为t 的函数（下同） d()d d uv v u u v =+ 2d d d u v u u v v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭d d Cu t C u t =⎰⎰()d d d u v t u t v t ±=±⎰⎰⎰信号与系统288d d u v uv v u =-⎰⎰()d ()()()()d ()bb baaau t v t u t v t v t u t =-⎰⎰A.3 数列求和公式（1）等比数列123,,,,N a a a a 的通项为11n n a a q -=，q 为公比，前n 项的和为 111(1)11NN N N n n a a q a q S a q q =--===--∑（2）等差数列123,,,,N a a a a 的通项为1(1)n a a n d =+-，d 为公差，前n 项的和为111()(1)22NN N n n N a a N N dS a Na =+-===+∑附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式B.1 连续时间信号的卷积121221()()()()d ()()d x t x t x x t x x t ττττττ∞∞-∞-∞*=-=-⎰⎰B.2 离散时间信号的卷积121221()()()()()()m m x n x n x m x n m x m x n m ∞∞=-∞=-∞*=-=-∑∑B.3 连续时间三角形式的傅里叶级数0000011()[cos()sin()]cos()kk kkk k x t a ak t b k t A A k t ωωωϕ∞∞===++=++∑∑0000001()d t T t a A x t t T +==⎰000002()cos()d 1,2,t T k t a x t k t t k T ω+==⎰， 000002()sin()d 1,2,t T k t b x t k t t k T ω+==⎰，1,2,k A k = arctan 1,2,k k k b k a ϕ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，B.4 连续时间指数形式的傅里叶级数FS000j 01()e d t T k t k t X x t t T ω+-=⎰0j 0()()ek tk x t X k ωω∞=-∞=∑信号与系统290B.5 连续时间傅里叶变换FTj (j )()e d t X x t t ωω∞--∞=⎰j 1()(j )e d 2πt x t X ωωω∞-∞=⎰B.6 双边拉普拉斯变换()()e d st X s x t t ∞--∞=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰B.7 单边拉普拉斯变换0()()e d st X s x t t ∞--=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰，0t ≥B.8 离散时间傅里叶级数DFS2πj 1()()ekn NN N n N X k x n N -=<>=∑，0,1,2,k =±±2πj()()ekn NN N k N x n X k =<>=∑，0,1,2,n =±±B.9 离散时间傅里叶变换DTFTj j (e )()enn X x n ΩΩ∞-=-∞=∑j j 2π1()(e )e d 2πn x n X ΩΩΩ=⎰B.10 离散傅里叶变换DFT1()()01N knNn X k x n Wk N -==-∑≤≤，附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式29111()()01N kn Nk x n X k Wn N N--==-∑≤≤，B.11 双边Z 变换b ()()nn X z x n z∞-=-∞=∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰B.12 单边Z 变换s 0()()nn X z x n z∞-==∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰习题参考答案第1章1.1（a）确定信号、连续时间信号、非周期信号、能量信号、非因果信号。

信号与系统实验报告—连续时间信号实验名称：连续时间信号一、实验目的1、熟悉Matlab编程工具的应用；2、掌握利用Matlab进行连续时间信号的绘制、分析和处理。

二、实验原理连续时间信号是指在时间轴上连续存在的信号。

连续时间信号可以用数学函数来描述，并且它们是时间变量t的函数，其幅度可以是任意实数或复数。

连续时间信号可以由物理系统中的物理量得到，比如声音信号、图像信号等。

对于一个连续时间信号x(t)，可以对它进行各种变换，如平移、伸缩、反转等，这些操作可以用函数来表示。

其中，平移信号可以用x(t - a)表示，伸缩信号可以用x(at)表示，反转信号可以用x(-t)表示。

另外，通过利用傅里叶变换可以分析连续时间信号的频率构成，了解信号的频域特性，其傅里叶变换公式为：F(jω) = ∫[ -∞ , ∞ ] f(t) · e^(-jωt) · dt其中，F(jω)为信号在频域上的变换值，因此，我们可以通过傅里叶变换来分析信号在频域上的性质。

三、实验内容2、使用Matlab对信号进行平移、伸缩、反转等处理；3、使用Matlab对信号进行傅里叶变换，分析信号的频域特性。

四、实验步骤1、绘制信号首先，我们需要确定信号的形式和表示方法，根据实验要求选择不同的信号进行绘制。

在此以正弦信号为例，使用Matlab中的plot函数绘制正弦函数图形：t = 0: 0.01: 10;x = sin (2* pi* t);plot(t, x);xlabel('Time / s');title('Continuous sinusoidal signal');对信号进行平移、伸缩、反转处理也是十分简单的，只需要在信号函数上添加对应的变换操作即可。

以下是对信号进行平移、伸缩、反转处理的Matlab代码：3、进行傅里叶变换及频域分析Y = fft (x);P2 = abs (Y/L);P1(2:end-1) = 2* P1(2:end-1);title ('Single-Sided Amplitude Spectrum of x(t)');ylabel ('|P1(f)|');根据得到的频域分析结果，我们可以得出连续时间信号的功率、频率等特性。

知识文库 第20期238信号与系统四种重要变换的联系和区别林晓伟1 四种重要变换的概念联系信号的主要作用为传播信息，因此人们对信号的关注重点为该信号所携带的信息。

而信号所携带的信息存在于其各个频率分量中。

所以我们在第三章中讨论了周期信号的傅里叶级数分析，以傅里叶级数的方式分析了周期信号各频率分量所占的比重。

然而，在自然界中，我们所遇到的信号不可能是理想的周期信号，而是有限能量的信号。

因此，我们将周期信号的傅里叶级数推广到了非周期的有限能量信号的傅里叶变换。

随着时代的发展，我们对信号的需求由连续时间的模拟信号转移到了离散时间的数字信号中（模拟信号刚干扰能力较差，取样频率大于二倍的奈奎斯特频率信号就不会失真）。

所以我们的研究方向从连续时间信号（模拟信号）傅里叶变换转移到了离散时间信号（数字信号）傅里叶变换中。

傅里叶分析可以解决信号分析中的许多问题，然而傅里叶分析也有其局限之处。

例如，傅里叶分析并不能适用于不稳定信号的分析。

因此我们需要将傅里叶分析进一步推广。

相应的，连续时间傅里叶分析推广到了拉普拉斯变换；离散时间傅里叶变换推广到了z 变换。

这两种变换与傅里叶变换共有的代数性质组合在一起，就形成了一整套重要的系统分析工具。

以上是DTFT、CTFT、LT 与ZT 的简要概述及其概念上的联系。

可以简述为：将CTFT 推广可得到LT，将DTFT 推广可得到ZT，而将CTFT 离散化可得到DTFT，将LT 离散化可得到ZT。

2 四种重要变换的具体联系四种变换都具有相似的性质，具体为线性、时移、频移、共轭、时间反转、时间尺度变换、时域微分，积分（离散形式为差分）、频域微分，积分等。

以综合等式及分析等式为基础，运用这些性质可以获得一系列基本变换对，并由这些基本变换对得到一系列变换对从而对信号进行高效的分析。

可以简要的说明：拉普拉斯变换将频域从实数推广到了复数，频域也从实轴推广到了复平面，因此连续时间傅里叶变换成为了拉普拉斯变换的一种特例。

连续时间信号的傅里叶变换的对称傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。

在信号处理和通信系统中，傅里叶变换广泛应用于信号的分析与处理。

对于连续时间信号而言，傅里叶变换可以用于将信号从时域表示转换到频域表示，并且在频域中可以观察到信号的频谱特性。

连续时间信号的傅里叶变换的对称性是指在频域中存在一些特殊的对称关系。

具体来说，连续时间信号的傅里叶变换具有以下几种对称性：偶对称、奇对称和周期性对称。

偶对称性是指当信号在时域中关于原点对称时，在频域中的傅里叶变换具有偶对称性。

换句话说，如果一个信号在时域中满足x(t) = x(-t)，那么它的傅里叶变换X(jω)具有偶对称性，即X(jω) = X(-jω)。

具体来说，对于偶对称信号，其频谱在负频率部分与正频率部分是镜像对称的。

奇对称性是指当信号在时域中关于原点对称时，在频域中的傅里叶变换具有奇对称性。

换句话说，如果一个信号在时域中满足x(t) = -x(-t)，那么它的傅里叶变换X(jω)具有奇对称性，即X(jω) = -X(-jω)。

具体来说，对于奇对称信号，其频谱在负频率部分与正频率部分是关于坐标轴对称的。

周期性对称性是指当信号在时域中具有周期性时，在频域中的傅里叶变换也具有周期性。

具体来说，如果一个信号在时域中具有周期性，那么它的傅里叶变换在频域中也具有相应的周期性。

周期性对称性在信号处理中有着重要的应用，可以用于分析周期性信号的频谱特性。

这些对称性的存在使得我们可以通过观察傅里叶变换的对称性来判断信号在时域中的对称性或周期性。

通过对信号的傅里叶变换进行分析，我们可以得到信号的频谱信息，进而了解信号的频率成分和特征。

而傅里叶变换的对称性则为我们提供了一种便捷的方法来判断信号的对称性或周期性，从而更好地理解信号的特性。

总结起来，连续时间信号的傅里叶变换具有偶对称性、奇对称性和周期性对称性。

这些对称性的存在使得我们可以通过观察傅里叶变换的对称性来判断信号在时域中的对称性或周期性。