信号与系统公式和常用的连续傅里叶变换

信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

信号与系统傅里叶变换对照表
傅里叶变换是信号与系统领域中非常重要的数学工具，它将一个时域信号转换为频域信号，可以帮助我们理解信号的频谱特性。

下面是一份傅里叶变换的对照表，列出了一些常见的信号和它们的傅里叶变换形式：
1. 单位冲激函数（单位脉冲）：
时域表示，δ(t)。

频域表示，1。

2. 正弦函数：
时域表示，sin(2πft)。

频域表示，jπ[δ(f-f0) δ(f+f0)]
3. 余弦函数：
时域表示，cos(2πft)。

频域表示，1/2[δ(f-f0) + δ(f+f0)] 4. 矩形脉冲信号：
时域表示，rect(t/T)。

频域表示，T sinc(fT)。

5. 三角脉冲信号：
时域表示，tri(t/T)。

频域表示，T^2 sinc^2(fT)。

6. 高斯脉冲信号：
时域表示，exp(-πt^2/σ^2)。

频域表示，exp(-π^2f^2σ^2)。

7. 指数衰减信号：
时域表示，exp(-at)。

频域表示，1/(a+j2πf)。

8. 阶跃函数（单位阶跃函数）：
时域表示，u(t)。

频域表示，1/(j2πf) + 1/2。

9. 周期方波信号：
时域表示，square(t/T)。

频域表示，(1/T)[δ(f-nf0) + δ(f+nf0)], n为整数。

以上仅列举了一些常见的信号及其傅里叶变换形式。

傅里叶变换对照表可以帮助我们在信号分析和系统设计中快速理解信号的频域特性，从而更好地理解信号与系统的行为和特性。

傅里叶变换公式总结
傅里叶变换是一种在信号处理和频谱分析中广泛应用的数学工具，用于将一个时域信号转换为频域表示。

傅里叶变换公式描述了信号在时域和频域之间的转换关系。

以下是傅里叶变换的基本公式总结：
时域信号表示：
一个连续时间域的信号函数 f(t) 可以通过傅里叶变换转换为
连续频域的信号函数 F(ω)。

傅里叶变换的时域表示公式为：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt
其中，F(ω) 表示频域信号的复数函数，ω是频率变量，e 是自然对数的底，j 是虚数单位。

频域信号表示：
一个连续频域的信号函数 F(ω) 可以通过傅里叶逆变换转换回连续时间域的信号函数 f(t)。

傅里叶逆变换的频域表示公式为：f(t) = (1/2π) ∫[F(ω) * e^(jωt)] dω
其中，f(t) 表示时域信号的复数函数，t 是时间变量，e 是自然对数的底，j 是虚数单位。

这两个公式是傅里叶变换中的核心公式，它们描述了信号在时域和频域之间的双向转换关系。

通过傅里叶变换，我们可以将
信号从时域的波形表示转换为频域的频谱表示，以便对信号的频率特性和谱分布进行分析和处理。

需要注意的是，上述公式是连续傅里叶变换的表示形式，适用于连续时间和频率的信号。

对于离散时间和频率的信号，我们可以使用离散傅里叶变换（DFT）和离散傅里叶逆变换（IDFT）来进行相应的转换。

傅里叶变换常用公式1. 简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。

它常被应用于信号处理、图像处理、通信等领域。

本文将介绍傅里叶变换的基本概念和常用公式。

2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它用于将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。

傅里叶级数的公式如下：傅里叶级数公式傅里叶级数公式在上述公式中，f(t)表示周期为T的函数，a0是直流成分，ak和bk是傅里叶系数。

3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期信号表示为一组连续的频谱的过程。

傅里叶变换的公式如下：傅里叶变换公式傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号，j是虚数单位。

4. 反傅里叶变换反傅里叶变换是将频域信号恢复为时域信号的过程。

反傅里叶变换的公式如下：反傅里叶变换公式反傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号。

5. 常见傅里叶变换公式下面列举了一些常见的傅里叶变换公式：5.1 正弦函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换的公式如下：正弦函数的傅里叶变换公式正弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是正弦函数，F(w)是其频域信号。

5.2 余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换的公式如下：余弦函数的傅里叶变换公式余弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是余弦函数，F(w)是其频域信号。

5.3 矩形脉冲的傅里叶变换矩形脉冲的傅里叶变换的公式如下：矩形脉冲的傅里叶变换公式矩形脉冲的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是矩形脉冲，F(w)是其频域信号。

5.4 高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换的公式如下：高斯函数的傅里叶变换公式高斯函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是高斯函数，F(w)是其频域信号。

6. 结论傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。

本文介绍了傅里叶级数、傅里叶变换和反傅里叶变换的基本公式，并列举了一些常见的傅里叶变换公式。

傅里叶变换常用公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。

在信号处理、图像处理和通信领域广泛应用。

本文将介绍一些傅里叶变换中常用的公式，以帮助读者更好地理解和应用傅里叶变换。

1. 傅里叶变换的定义公式傅里叶变换的定义公式如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)]dt其中F(ω)表示信号f(t)在频率ω处的傅里叶变换。

2. 傅里叶变换的逆变换公式傅里叶变换的逆变换公式如下：f(t) = ∫[F(ω) * e^(jωt)]dω其中f(t)表示频域信号F(ω)的逆变换。

3. 傅里叶级数展开公式傅里叶级数展开公式将一个周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。

公式如下：f(t) = a₀ + Σ[aₙ * cos(nω₀t) + bₙ * sin(nω₀t)]其中a₀, aₙ, bₙ为系数，n为正整数，ω₀为基本角频率。

4. 傅里叶级数系数计算公式傅里叶级数系数的计算公式如下：a₀ = 1/T₀ * ∫[f(t)]dtaₙ = 2/T₀ * ∫[f(t) * cos(nω₀t)]dtbₙ = 2/T₀ * ∫[f(t) * sin(nω₀t)]dt其中T₀为周期。

5. 傅里叶变换的线性性质公式傅里叶变换具有线性性质，公式如下：F(a * f(t) + b * g(t)) = a * F(f(t)) + b * F(g(t))其中a和b为常数。

6. 傅里叶变换的频移性质公式傅里叶变换具有频移性质，公式如下：F(f(t - t₀)) = e^(-jωt₀) * F(f(t))其中t₀为时间偏移量。

7. 傅里叶变换的频率缩放公式傅里叶变换具有频率缩放性质，公式如下：F(f(a * t)) = (1/|a|) * F(f(t/a))其中a为常数。

8. 傅里叶变换的频域微分公式傅里叶变换的频域微分公式如下：F(d/dt[f(t)]) = jωF(f(t))其中d/dt表示对时间t的导数。

《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。

（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。

2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。

例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。

正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。

信号三大变换公式信号处理领域中，常用的三大变换公式分别为傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。

这些变换公式在信号处理中起到了重要的作用，能够帮助我们分析和处理各种类型的信号。

下面将详细介绍这三大变换公式。

一、傅里叶变换：傅里叶变换是一种将一个信号从时域转换到频域的方法。

它可以将一个信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的叠加。

傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫[f(t) ⨉ e^(-jωt)] dt其中，F(ω)是信号在频域的表示，f(t)是信号在时域的表示，ω是角频率，e^(-jωt)是复指数函数。

傅里叶变换可以用于信号的频谱分析，可以将信号分解成频率分量，从而帮助我们了解信号的频率分布情况。

此外，傅里叶变换还可以用于滤波、编码和解码等方面的应用。

二、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种将一个信号从时域转换到复平面的变换方法。

它将时域中的信号转换为复平面上的点，可以将信号的幅度和相位信息进行分析。

拉普拉斯变换的数学表达式为：F(s) = ∫[f(t) ⨉ e^(-st)] dt其中，F(s)是信号在复平面上的表示，f(t)是信号在时域的表示，s 是复平面上的变量，e^(-st)是复指数函数。

拉普拉斯变换可以用来解决时域中的微分方程和差分方程问题，以及处理电路和控制系统等方面的信号分析和系统设计问题。

三、Z变换：Z变换是一种将离散信号从时域转换到复平面的方法。

它是离散时间傅里叶变换的离散形式，可以将离散信号的频谱和相位信息进行分析。

Z 变换的数学表达式为：F(z)=Σ[f[n]⨉z^(-n)]其中，F(z)是信号在复平面上的表示，f[n]是信号在时域的表示，z 是复平面上的变量，z^(-n)是复数的幂。

Z变换可以用来分析和设计数字滤波器、解离散时间系统的差分方程和处理离散序列的频谱分析等问题。

总结：傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是信号处理中常用的三大变换公式。

它们分别将信号从时域、时频域和到频域进行转换，可以帮助我们理解和分析各种类型的信号，并在信号处理、滤波和系统设计等方面提供重要的工具。

信号与系统常用公式汇总_1.傅里叶级数公式：信号x(t)的周期为T时，它的傅里叶级数展开式为：x(t) = a0 + Σ(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))，其中n为整数，ω0 = 2π/T，an和bn为傅里叶系数。

2.傅里叶变换公式：连续时间信号x(t)的傅里叶变换为：X(ω) = ∫( -∞到+∞ ) x(t)*e^(-jωt)dt。

3.逆傅里叶变换公式：连续频率信号X(ω)的逆傅里叶变换为：x(t)=(1/2π)*∫(-∞到+∞)X(ω)*e^(jωt)dω。

4.傅里叶变换对称性：X(-ω)=X(ω)*，即傅里叶变换对称于原点。

5.卷积定理：连续时间卷积的傅里叶变换等于信号的傅里叶变换之积，即：x(t)*h(t)的傅里叶变换为X(ω)*H(ω)。

6.系统频率响应：系统的频率响应H(ω)是指系统对频率为ω的输入信号的增益和相位的影响。

7.系统单位冲激响应：系统对单位冲激信号δ(t)的响应称为系统的单位冲激响应h(t)。

8.系统的冲激响应和频率响应的关系：系统的冲激响应h(t)和频率响应H(ω)满足傅里叶变换的关系：H(ω) = ∫( -∞到+∞ ) h(t)*e^(-jωt)dt。

9.系统的传递函数：系统的传递函数H(ω)是频率响应H(ω)的傅里叶变换。

10.系统的单位阶跃响应：系统对单位阶跃信号u(t)的响应称为系统的单位阶跃响应s(t)。

11.傅里叶变换的线性性质：对于信号x(t)和y(t)和常数a和b，有以下性质：a*x(t)+b*y(t)的傅里叶变换为a*X(ω)+b*Y(ω)。

12.傅里叶变换的时移性质：对于信号x(t)，有以下性质：x(t-t0)的傅里叶变换为e^(-jωt0)*X(ω)。

13.周期信号的傅里叶变换：周期信号x(t)的傅里叶变换可以通过傅里叶级数的频谱乘以δ函数的序列得到。

14.采样定理：若连续时间信号x(t)的带宽为BHz，则它的采样频率应大于2BHz，以避免采样失真。

信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wtj wt ejwtsin cos +=（前加-，后变减）第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：ni K dt t f ji dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dtt x，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

常用公式第一章判断周期信号方法两个周期信号xt,yt 的周期分别为T1和T2,若其周期之比T1/T2为有理数,则其和信号xt+yt 仍然是周期信号,其周期为T1和T2的最小公倍数;2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβπβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时 正弦序列仍具有周期性， 其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时 正弦序列不具有周期性，1、连续正弦信号一定是周期信号,而正弦序列不一定是周期序列;2、两连续周期信号之和不一定是周期信号,而两周期序列之和一定是周期序列;信号的能量 def2()E f t dt +∞-∞=⎰信号的平均功率 def2/2/21lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰ 冲激函数的特性'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞-∞=⎰()()()f t t a dt f a δ∞-∞-=⎰()()11()()n n nat t a a δδ=001()()t at t t a aδδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞∞=-⎰- ''()()(0)t f t dt f δ∞∞=-⎰-动态系统是线性系统的条件可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x •=•+•=•+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=•+•⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦判断系统时不变、因果、稳定的方法;线性时不变的微分和积分特性;第二章微分方程的经典解：()()()()()()h p y t y t y t =+完全解齐次解特解 齐次解 ()(1)(1)110()()...()()0n n n yt a y t a y t a y t --++++＝特解的函数形式与激励函数的形式有关; 初始状态和初始值;零输入和零状态响应 ()()()x f y t y t y t =+()()()()()()(0)(0)(0)(0)(0)(0)j j j j j j x f x f y y y y y y -=-+-+=+++()()()(0)(0)(0)j j j x x y y y +=-=- ()(0)0j f y -=冲激响应 ()[{0},()]h t T t δ= 卷积 1212()()()()f t f t f f t d τττ∞-∞*=-⎰1221()()()()f t f t f t f t *=* 1231213()[()()]()()()()f t f t f t f t f t f t f t *+=*+* 123123[()()]()()[()()]f t f t f t f t f t f t **=**卷积积分特性1.()()()()()f t t t f t f t δδ *=*=2.()'()'()f t t f t δ *= ()()()()()n n f t t f t δ*= ()3.()(()())tf t d f d f t t τεττττε∞∞∞*-=⎰⎰－－＝卷积微分特性121221()()1.[()()]()()n n nn n n d f t d f t d f t f t f t f t dt dt dt *=*=* 1212122.()()[()]()()[()]t ttf f d f d f t f t f d τττττττ∞∞∞*=*=*⎰⎰⎰－－－(1)(1)1212123.()0()0()()'()()f f f t f t f t f t -- -∞=∞=*=*在或时，卷积的时移性质1212121212121212()()()()()()()()()()f t f t f t f t f t t t t t t t f t f t f t f t f t t t --- =**=----*=*=-若，则第四章周期信号ft 的傅立叶级数011()cos()sin()2n n n n a f t a n t b n t ∞∞===+Ω+Ω∑∑/2/22()cos()T n T a f t n t dt T -=Ω⎰ /2/22()sin()T n T b f t n t dt T -=Ω⎰a n 是n 的偶函数,b n 是n 的奇函数01()cos()2n n n A f t A n t ϕ∞==+Ω+∑00A a =n A =arctan nn nb a ϕ=- n n A n n ϕ是的偶函数，是的奇函数 cos sin ,1,2,...n n n n n n a A b A n ϕϕ =- ==波形的对称性与谐波特性1. ft 为偶函数－－对称纵坐标：b n =0,展开为余弦级数;2. ft 为奇函数－－对称原点：a n =0,展开为正弦级数;3. ft 为奇谐函数()(/2)f t f t T =-±：a 0=a 2=…=b 2=b 4=…=04. ft 为偶谐函数()(/2)f t f t T =±：a 1=a 3=…=b 1=b 3=…=0傅立叶级数的指数形式1()2n j jn t n n f t A e e ϕ∞Ω=-∞=∑ 000000j j t A A e e ϕϕΩ= =，12n nj j n n n A e F e F ϕϕ== ()jn t n n f t F e ∞Ω=-∞=∑ /2/21()T jn t n T F f t e dt T -Ω-=⎰F 0=A 0/2为直流分量周期信号的功率—Parseval 等式222200111()22T n n n n A f t dt A F T ∞∞==-∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰ 0,/2n n n F A ≥=时 幅度为1,脉冲宽度为τ,周期为T 的矩形脉冲频谱：()(),0,1,2,...2n n n F Sa Sa n TT TτττπτΩ===±± 傅立叶变换()lim ()j t n T F j F T f t e dt ωω∞--∞→∞==⎰1()()2j t f t F j e d ωωωπ∞-∞=⎰(0)()F f t dt ∞-∞=⎰1(0)()2f F j d ωωπ∞-∞=⎰常用函数的傅里叶变换傅立叶变换的性质见第五章奇偶性：()()()F j R jX ωωω=+()F j ω=()()arctan ()X R ωϕωω⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)()(),()()()(),()()R R X X F j F j ωωωωωωϕωϕω =- =--=- =--(2)()(),()0,()()()(),()0,()()f t f t X F j R f t f t R F j jX ωωωωωω=-= ==--= =若则若则周期信号的傅立叶变换2()()()()T n n t n n Tπδδωδωδω∞∞Ω=-∞=-∞↔-Ω=Ω-Ω=Ω∑∑普通周期信号的傅立叶变换：00()()()()()n F j F j F jn n ωδωωδω∞Ω=-∞=Ω=ΩΩ-Ω ∑无失真传输：yt=Kft-t d ()()dj t Y j KeF j ωωω-=实现无失真传输,对系统的要求：()()d h t K t t δ=-()()/()dj t H j Y j F K j e ωωωω-==取样定理取样信号f s t 的频谱为：()(1/2)()()s F j F j S j ωπωω=* 冲激取样：()()()()()ssT s s s s n n s t t t nT n ωδδωδωωδωω∞∞=-∞=-∞==-↔=-∑∑[]()(1/1()()2))(s sn s s s F j T F F n j j ωωωπωωδωω∞=-∞=*=-∑第五章双边拉普拉斯变换对()()stb F s f t e dt ∞--∞=⎰1()()2j st b j f t F s e ds j σσπ+∞-∞=⎰收敛域因果信号：[]Re s σα=> 反因果信号：[]Re s σβ=<双边信号：[]Re s βα>>收敛域的确定方法：lim()0t t f t e σ-→∞=单边拉氏变换0()()defstF s f t e dt ∞--=⎰1()()()2defj stj f t F s e ds t j σσεπ+∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 常见函数的拉氏变换单边单边拉氏变换与傅立叶变换的关系拉普拉斯变换性质与傅立叶变换性质对比：初值定理和终值定理0(0)lim ()lim ()t s f f t sF s →+→∞+== 0()lim ()s f sF s →∞=拉普拉斯逆变换:部分分式展开法 （1） F s 为单极点单根1212()()......()i ni nB s K K K K F s A s s p s p s p s p ==+++++----()()ii i s p K s p F s ==- 11()i p ti L e t s p ε-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1,2()()F s p j αβ=-±特例：包含时共轭复根[]1121()()j s j K s j F s K e A jB K K θαβαβ*=-+=+-==+=11121()()()()()j j K e K e K K F s s j s j s j s j θθαβαβαβαβ-=+=++-+++-++ 11()2cos()()t f t K e t t αβθε-=+ 或 []1()2cos()sin()()t f t e A t B t t αββε-=-2 Fs 有重极点重根1111111211111()(),(/)()()1()()(1)!rrs p s p r r r s p r k s p F s k d ds s p F s d k s p F s r ds===-=-⎡⎤⎡⎤-=-⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦-11111!11()()()!p t nn n n n L t t L t e t s s p n εε-++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎣⎦复频域分析 微分方程的变换解11()0000()(0)()n n i m i i p p j i i j i i p j a s Y s a s y b s F s ---====⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ ()()()()()()()()x f M s B s Y s F s Y s Y s A s A s =+=+ 系统函数()()()()()deff Y s B s H s F s A s ==电路的S 域框图电感 电容()()(0)L L U s sLI s Li =-- 1(0)()()CC u U s I s sC s-=+系统的信号流图表示－－梅森公式1()()()mi if i p Y s H s F s =∆==∆∑,,,1...j m n p q r jm np q rL L L L L L ∆=-+-+∑∑∑系统函数与系统特性Hs 的零、极点与时域响应ht 关系 1、极点在左半平面：在负实轴上：211122()()())t t tke t k s k e k te t αααεαεα---→+→+1k一阶极点：s+k 二阶极点：(s+ i L (t)L +u(t)-+-U(s)Li (0-)I LU(s)或u(t)+-U(s)U (0-)/sU C (s)或不在负实轴上：221122222cos()())()cos()())cos()()t t t ke t t B s k te t t k te t t αααβθεαββθεαββθε---→++→+⎡⎤+⎣⎦++B(s)一阶极点：(s+二阶极点：(s+ 2、极点在j ω轴上：在原点：()()k t kt t εε→→2k一阶极点：sk二阶极点：s不在原点：211222cos()()cos()()cos()()k t t k t t k t t t βθεββθεββθε→++→+⎡⎤+⎣⎦++222B(s)一阶极点：s B(s)二阶极点：s3、极点在右半平面在正实轴上：()()()t t e t kt e t ααεαεα→-→-2k一阶极点：s k二阶极点：s 不在实轴上：22211222222cos()())cos()())cos()()tt t ke t t k t e t t k e t t αααβθεαββθεαββθε→+-+→+⎡⎤-+⎣⎦++22B(s)一阶极点：(s B(s)二阶极点：(sHs 的零、极点与ht 的关系：1零点影响ht 的幅度、相位；（2） 极点决定ht 的形式a) 左半平面极点对应ht,随时间增加,是按指数函数规律衰减的；b) 虚轴上一阶极点对应ht 是阶跃函数或正弦函数,二阶及二阶以上极点对应ht 是随时间增加而增大的；c) 右半平面极点对应ht 都是随时间增加按指数函数规律增加的;。