九年级下数学第四章相似图形单元测试试卷(新人教版)

八年级下学期单元测试四（相似图形B 卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 如图，下列条件中不能判定ACD ABC △∽△的是（ ）(A)AB ADBC CD= (B)ADC ACB ∠=∠ (C)ACD B ∠=∠(D)2AC AD AB =2. 下列两个图形一定相似的是 ． Ａ．三角形与四边形 Ｂ．两个正五边形 Ｃ．两个六边形 Ｄ．两个四边形3. 若a cb d =，则下列式子中正确的是 Ａ．ac n bd c +=+ Ｂ．ac bd = Ｃ．c n n nb d++=Ｄ．a a cb b d+=+ 4. 若32xx y=+，则y x 的值为(A)12 (B)23 (C)13(D)255. 如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过P 点作直线截ABC △，使截得的三角形与ABC △相似，满足这样条件的直线共有（ ）条Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46. 已知532x y y x -=-，则xy=Ａ．87Ｂ．78-Ｃ．78Ｄ．87-7. 如图，D 为ABC △的边BC 上的一点，连接AD ，要使ABD CBA △∽△，应具备下列条件中的（ ）Ａ．AC ABCD BD = Ｂ．2AB BD BC =Ｃ．AB BCCD AD=Ｄ．2AC CD CB =8. 下列各组线段中，能成比例的是Ａ．3679，，， Ｂ．2568，，， Ｃ．36918，，， Ｄ．11121314，，，9. 如图，将DEF △缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P ，连接DP ，取DP 的中点A ，再连接EP FP 、，取它们的中点B C 、，得到ABC △，则下列说法正确的有（ ） ①ABC △与DEF △是位似图形； ②ABC △与DEF △是相似图形；班级______________________________________ 姓名____________________ 考场号________________ 考号_______________----------------------------------------------------密---------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ＡＣＤ Ｂ ACＡ Ｂ Ｄ③ABC △与DEF △的周长比是1：2； ④ABC △与DEF △的面积比是1：2． (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个10. 如果两个等腰直角三角形斜边的比是1:2，那么它们面积的比为（ ） (A)1:1(B)(C)1:2(D)1:4二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中横线上．11. 两个矩形相似，它们的对角线之比为1:3，那么它们的相似比为 ，周长比为 ，面积比为 ． 12. 若65x y =，则x y y += ．13. 两个相似五边形的相似比为1:2，则它们的周长的比为 ．14. 如图，在ABC △中，点D E 、分别在边AC AB 、上，且23AE AD AC AB ==，若4DE =cm ，则BC = cm ．15. 已知250x y -=，则:x y = ；x y y -= ；yx y=+ ．三、运算题：本大题共3小题，共15分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 16.(本小题5分) 如图，如果AD AE AB AC =，那么AD BD 与AECE的比值是否相等？请说明理由．17.(本小题5分) 小胖和小瘦去公园玩标准的．．．跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我 就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明． 解：ＡＥＢＣＤＡＥＤ Ｂ Ｃ地面 第23题图18.(本小题5分) 解答题．（1）在平面直角坐标系描出点(42)(24)(04)(02)(20)A B C D E ，，，，，，，，，，顺次连结点A B C D E A ，，，，，得到一个五边形ABCDE ．（2）将点A B C D E ，，，，的横坐标和纵坐标都除以2，得到五个新的点，顺次连结这五个点，得到一个新的五边形，这两个五边形相似吗？是位似图形吗？为什么？ 如果将点A B C D E ，，，，的横坐标和纵坐标都乘以3呢？四、画图题：本大题共2小题，共10分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 19.(本小题5分) 如图，在大小为44×的正方形网格上，有一ABC △，现要求在网格上再画A B C '''△，使ABC A B C '''△∽△（相似比不为1），且点A B C '''都在单位正方形的顶点上．20.(本小题5分) 如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2：1．五、合情推理题：本大题共2小题，共16分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．21.(本小题8分) 如下图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下面图形并回答有关问题：（1）在第n 上图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖行共有 块瓷砖．（均用含n 的代数式表示）（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数关系式．（不要求写自变量n 的取值范围）（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值．（4）若黑瓷砖每块4块，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共须花多少元钱购买瓷砖？ （5）通过计算说明，是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．22.(本小题8分) 你能用4个全等的正三角形拼出一个大正三角形吗？这个大正三角形与每一个小正三角形相似吗？为什么？Ａ Ｂ1n = 2n = 3n =六、证明题：本大题共2小题，共14分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 23.(本小题7分) 已知：如图，等腰ABC △中，AB AC AD BC =，⊥交于D ，CG AB ∥，BG 分别交AD AC ，于E F ，． 求证：2BE EF EG =24.(本小题7分) 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB DC =∥，，P 为梯形ABCD 外一点，PA 、PD 分别交线段BC 于点E 、F ，且PA PD =．（１） 写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（２） 选择你在（１）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. (A)2. Ｂ3. Ｄ4. A5. C6. Ａ7. Ｂ8. Ｃ9. (C)10. (D)二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中横线上． 11. 1:3 1:3 1:9 12.11513. 1:2 14. 615. 325:227，，三、运算题：本大题共3小题，共15分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 16.(本小题5分) 相等．理由略．17.(本小题5分) 解：（1）小胖的话不对．ＡＢ Ｄ Ｇ Ｆ ＥC B 班级______________________________________ 姓名____________________ 考场号________________ 考号_______________----------------------------------------------------密---------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1 米高”，情形如图（1）所示，OP 是标准跷跷 板支架的高度，AC 是跷跷板一端能翘到的最 高高度1米，BC 是地面．.OP BC AC BC OBP ABC OBP ABC ∠=∠∴ ⊥，⊥，，△∽△.BO OPBA AC∴= 又 此跷跷板是标准跷跷板，BO OA =， 12BO BA ∴=，而1AC =米，得0.5OP =米． 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a 米(0)a >． 如图（2）所示，BD a =米，AE a =米 BO OA BO a OA a =∴+=+ ，，即DO OE =．12DO DE ∴=，同理可得DOP DEF △∽△． DO OP DE EF ∴=，由0.5OP =米，得1EF =米．综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度， 跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP 高度的两倍， 所以不可能翘得更高．（2）方案一：如图（3）所示，保持BO 长度不变．将 OA 延长一半至E ，即只将小瘦一边伸长一半．使12AE OA =，则25BO BE =． 由BOP BEF △∽△，得.BO OPBE EF= 1.25EF ∴=米．方案二：如图（4）所示，只将支架升高0.125米．12B O B O P B AC B A ''''''''='' ，△∽△， 又0.50.1250.625O P ''=+=米．B O O P B A AC ''''∴=''''． 1.25A C ''∴=米．（注：其它方案正确，可参照上述方案评分！）18.(本小题5分) 略四、画图题：本大题共2小题，共10分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 19.(本小题5分) 略20.(本小题5分) 略五、合情推理题：本大题共2小题，共16分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．21.(本小题8分) （1）3n +，2n +．（2）(3)(2)y n n =++，即256y n n =++．（3）当506y =时，256506n n ++=，即255000n n +-=，120n =，225n =-（舍去）．（4）白瓷砖的块数是(1)20(201)420n n +=⨯+=，黑瓷砖的块数是50642086-=（块），故共须花86442031604⨯+⨯=（元）．（5）由2(1)(56)(1)n n n n n n +=++-+得2360n n --=，得13n =，2302n -=<（舍去），n 的值不是正整数，∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．本小题8分) 解：能并出一个大正三角形，如图所示：ABC AFE FBD EDC DEF △∽△∽△∽△∽△． 下面以ABC AFE △∽△为例说明： 由于正三角形每个角都等于60，所以6060BAC FAEABC AFE BCA FEA ∠=∠=∠=∠=∠=∠，，60.=Ｃ （3）F'（4）PB 'Ｃ由于正三角形三边相等，所以AF FE AEAB BC AC ==． 所以ABC AFE △∽△．六、证明题：本大题共2小题，共14分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 23.(本小题7分) 证明：连接EC ． 证明ECF △与ECG △相似．2.EC EGEF EC EC EF EG ∴=∴= 又EC BE = ， 2BE EF EG ∴= ．24.(本小题7分) （１）以下四对．①ABP DCP △≌△；②ABE DCF △≌△；③BEP CFP △≌△； ④BFP CEP △≌△．（２）下面就ABP DCP △≌△给出参考答案．证明：AD BC AB DC = ∥，， ∴梯形ABCD 为等腰梯形， BAD CDA ∴∠=∠． 又PA PD = ，..PAD PDA BAD PAD CDA PDA ∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠即.BAP CDP ∠=∠在ABP △和DCP △中，.PA PD BAP CDP AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，，.ABP DCP ∴△≌△Ａ ＦＥ Ｄ ＢCB。

C 图12014-2015九年级（上）数学第四章单元测验制卷学校：文汇中学 出题人：苏洁 审题人：刘祥云一、选择题（每小题3分，共36分）1、.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲、乙两地的距离为25cm,则甲、乙两地的实际距离是( )A.1250kmB.125kmC.12.5kmD.1.25km2、若5x =7y ,则yx的值为( )A ．75 B ．57C ．3：5D ．2 3、下列说法正确的是（ ）A.两个等腰三角形相似B.两个直角三角形相似C.两个等腰直角三角形相似D.有一个角相等的两个等腰三角形相似 4.△ABC ∽△A /B /C /，如果BC = 3，B /C / = 1.8，那么△A /B /C /与△ABC 相似比为 A. 5：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：55、如图1：DE∥BC，则下列不成立的是（ ） A EC AE BD AD = B AE AC AD AB = C DBEC AB AC = D BC DEBD AD =6、如图，点P 是△ABC 的AB 边上一点，下列条件不一定保证△ACP ∽△ABC 的是（ ） A. ∠ACP=∠B B. ∠APC=∠ACB C.ACAPAB AC= D.ABAC BCPC=7、如图，△ABC 中,DE ∥BC,且△ADE 和四边形BCDE 的面积比为9∶16,则AE ∶EC=( )A.3:5B.3:2C.3:4D.9:16 8、下列命题中，假命题是（ ）A 、如图所示，若AB 2=AC·BC ，那么点B 是线段AC 的黄金分割点 B 、位似图形一定是相似图形 C 、两个全等三角形的相似比是1D 、各角对应相等的两个多边形是相似多边形A B CP 第6题B D E 9．如图4是小明设计用手电来测量某楼房高度的示意图.点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到楼房CD 的顶端C 处，已知 AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB =1.2米，BP =1.8米，PD =12米,那么该楼房的高度是 A . 24米 B . 18米 C . 8米 D . 6米10、如图，为测量铁塔AB 的高度，测量员在距铁塔9米处竖立一根长3米的标杆CD ，再在距标杆3米处用仪器EF 测得铁塔顶端A 、标杆上端C 和观测点 E 在一条直线上，已知仪器EF 的高度为2.1米，求铁塔的高度AB 为（ ）A 、8.4B 、7.2C 、5.4D 、6.611．如图，某天阳光灿烂，上体育课时甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置，乙头顶的影子恰好与甲头顶的影子重合在A 处，已知甲，乙同学相距1米.甲的影长6米，乙身高1.5米，则甲的身高是 A ．1.25米 B ．1.6米 C ．1.8米 D ．2.8米12．如图，∠ABD=∠BCD=90°，AD=10，BD=6．如果△ABD 与△BCD 相似， 则CD 的长为（ ）A ．3.6B ．4.8C ．4.8或3.6D ．无法确定 二、填空题（每小题3分，共12分）13、已知a,b,c,d 是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,则d=___________cm.。

第四章相似图形单元测试题时间120分钟，满分120分一.选择题(每小题3分,共30分)1、如图，在Rt ABC △内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a ，b ，c 满足的关系式是（ ）A ．b a c =+B ．b ac =C ．222b ac =+ D ．22b a c ==2、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( )3、如下左图，五边形ABCDE和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形，且PA 1=32PA ，则AB ׃A 1B 1等于( ) A ．32 B ．23 C ． 53 D ．354、如上中图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）.Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．①和③ Ｄ．②和④5、厨房角柜的台面是三角形，如上右图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ）A ．14B ．41C ．13D ．346、在△MBN 中，BM =6,点A ,C,D 分别在MB 、NB 、MN 上，四边形ABCD 为平行四边形，∠NDC =∠MDA 则□ABCD 的周长是( )A ．24B ．18C ．16D ．127、下列说法“①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1∶2；④两个相似多边形的面积比为4∶9，则周长的比为16∶81.”中,正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM=CN ，CMBMAN AM =，下列结论正确的是（ ） A ．∆ABM ∽∆ACB B ．∆ANC ∽∆AMB C ．∆ANC ∽∆ACM D ．∆CMN ∽∆BCA9、已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过而且落在离网5米的位置上（网球运行轨迹为直线），则球拍击球的高度h 应为（ ）.Ａ．0.9m Ｂ．1.8m Ｃ．2.7m Ｄ．6m10、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度A ．增大1.5米B ．减小1.5米C ．增大3.5米D ．减小3.5米BA C第8题图ABCN ME 1D1C 1B 1A 1BDACEP二、填空题：（30分）11、如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= .12、如图，将①∠BAD = ∠C ；②∠ADB = ∠CAB ； ③BC BD AB ⋅=2；④DBABAD CA =；⑤DA AC BA BC =； ⑥ACDABA BC =中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是__________，结论是_______.（注：填序号）13、如图，Rt ∆ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AC=8，BC=6，则AD=_________。

福建省宁化城东中学八年级数学下册《相似图形》测试题 新人教版班级 姓名 座号 考点一：线段的比思考：什么是线段的比？什么是成比例线段？比例的基本性质有哪些？ 1.已知黑板的长4米，宽120厘米，则a ∶b =___________ 2.边长是2cm 的正方形的边长与对角线的比是____________.3.等边三角形的边长是2 cm, 它的高与边长的比是____________.4.请写出一组成比例的线段____________________.5、若a b ＝35 ，则a ＋b b 的值是( )A 、85B 、35C 、32D 、58 6.已知21=y x ，则y x yx +-的值为（ ）(A)31 (B)31- (C)3 (D)-3考点二：黄金分割思考：你是怎样理解黄金分割的？7．如图，已知线段AB ＝1，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则BC 的长是（ ） （A ）215－ （B ）225－ （C ）253－ （D ）5－28．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，AB=2，则BC= . 考点三：形状相同的图形 、 相似多边形 9．下列图形中，形状一定相同的是{ }A. 两个等腰三角形B. 两个等腰梯形C. 两个菱形D. 两个正六边形10．ΔABC 中，DE ∥BC ，且AD ∶DB=2∶1，那么DE ∶BC 等于（ ）(A)2∶1 (B)1∶2 (C)2∶3 (D)3∶2考点四：判定三角形相似的方法思考：你有哪些判定两个三角形相似的方法？11． 已知：如图2，在△ABC 中，∠A DE ＝∠C ，则下列等式成立的是 A. AD AB ＝AE AC B. AE BC ＝AD BD C. DE BC ＝AE AB D. DE BC ＝ADAB12. 如图，D 、E 两点分别在AC 、AB 上，且DE 与BC 不平行，E 图 2D CBA AA BCD CBA（第14题） 请填上一个你认为合适的条件： ， 使得△ADE ∽△ABC.13．如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使 △ADE ∽△ABC 成立，则这个条件可以是 .14．如图, 在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,CD⊥AB 于D ，若AD=1，BD=4，则CD= . （A ）2 （B ）4 （C ）2 （D ）315．已知，如图所示，图①和图②中的每个小正方形的边长都为1个单位长度．（1）将图①中的格点ABC △（顶点都在网络线交点处的三角形叫做格点三角形）向上平移2个单位长度得到111A B C △，请你在图中画出111A B C △；（2）在图②中画一个与格点ABC △相似的格点222A B C △，且222A B C △与ABC △的相似比为2:1．16．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC= °，BC= ； （2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.17．如图，请作出⊿ACB 的位似图形⊿DEF ，O 是位似中心，使位似比为2：1（两种情况都要画出来）。

第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。

新北师大九年级数学相似图形单元测试一、选择题 1．若875cb a ==，且3a －2b+c=3，则2a+4b －3c 的值是（ ） A.14 B.42 C.7 D.314 2．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP>BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1， •以PB 、AB 为边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）．A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1=S 2D ．S 1≥S 23．把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为（ ）A ．2：1B ．4：1C ：1D ．32：14．把△ABC 的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A ′B ′C ′，下列结论不能成立的是（ ）A.△ABC ∽△A ′B ′C ′B.△ABC 与△A ′B ′C ′的各对应角相等C.△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为41D.△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为31 5．若△ABC 与△A ′B ′C ′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C ′的度数是（ ）A.55°B.100°C.25°D.不能确定 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，CD=2，BD=1，则AD 的长是（ ）A.1B.2C.2D.46题 8题 9题 11题 12题7．在□ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶5，则BF∶FD等于（）A.4∶5B.5∶4C.5∶9D.4∶98．如图，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将（）A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断9．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A.AE⊥AFB.EF∶AF=2∶1C.AF2=FH·FED.FB∶FC=HB∶EC10．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF的面积之比为【】A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：1611．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30 cm，AB=50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形彩条a1、a2、a3…….若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条总数是（ ）A.24B.25C.26D.2712．如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，延长边BC 到点P ，使得△PAB 与△PCA 相似.则PC 的长是( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)10二、填空题（题型注释）13．四边形ABCD∽四边形D C B A ''''，他们的面积之比为36∶25，若四边形D C B A ''''的周长为15cm ，则四边形ABCD 的周长为 cm 。

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，:2:1AE BE=，F是AD的中点，射线EF与AC交于点G，与CD的延长线交于点P，则AGGC的值为（）．A．5:8B．3:8C．3:5D．2:52．如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D，若52BCBD=，则△ABC的面积为（）A．12 B．10 C．9 D．83．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，EF AE⊥交CD边于点F，已知4AB=，则CF的长为（）A．1 B．5 5C．3 D．24．如图，直线////a b c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若23=ABBC，则DEDF的值为（）A．13B．23C．25D．355．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么ADAB等于（）A．2B．2C．51-D．26．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：9，则S△BDE：S△CDE的值是（）．A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：57．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．5：7 B．10：4 C．25：4 D．25：498．已知如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE、AF交于点O．现有以下结论：①DE ∥BC ；②OD ＝14BC ；③AO ＝FO ；④AODS ＝14ABCS．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①AED B ∠=∠；②//DE BC ；③AD AEAC AB=；④AD BC DE AC ⋅=⋅，能满足ADE ACB 的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且,AE EB >若1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，则32:S S 的值为（ ）A 51- B 51+ C 35D 35+11．如图，要使ABC ACD ∆∆，需补充的条件不能是（ ）A ．ADC ACB ∠=∠ B ．ABC ACD ∠=∠ C ．AD ACAC AB= D ．AD BC AC DC ⋅=⋅12．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为（ ）A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1-二、填空题13．如图，点О是正方形ABCD 的中心，DE 与О相切于点E ，连接,BE 若10,DE =102BE =，则О的面积是________________．14．如图，点P 是ABC 的重心，过P 作BC 的平行线，分别交AC ，AB 于点D ，E ，作//DF EB ，交CB 于点F ，若ABC 的面积为227cm ，则DFC △的面积为______2cm ．15．已知5a=6b （a≠0），那么-aa b的值为_______． 16．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，AD=AC ，以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 于点E ，连接DE 、BE ，并延长BE 交CD 于点F ，下列结论：①△BAC ≌ △EAD ，②BC+CF=DE+EF ，③∠ABE+∠ADE=∠BCD ，其中正确的有____（填序号）17．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D 在x 轴上，(2,0)D ，点D 的上方为点(2,1)C ，以原点O 为位似中心，相似比为1:3，在第一象限内把线段CD 扩大后得到线段AB ，则点A 的坐标为___________．19．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点P Q 、在DC 边上，且14PQ DC =．若8,10AB BC ＝＝，则图中阴影部分的面积是_____________20．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC 与ADE 相似，则AD=__________．三、解答题21．如图，AB 是ABC 的内接圆O 的直径，点D 在半圆上，DC 与AB 交于点E ，12∠=∠，过点C 作CF DC ⊥交DB 的延长线于点F ，交圆O 于点G ．（1）当105DF =，:1:2AE EC =时，求圆O 的半径．（2）在（2）的条件下，连接DG 交BC 于点M ，则:OMB DGF S S =△△______．（直接写出答案）22．平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()2,2A -，()3,4B -，()6,3C -．（1）画出将ABC 向上平移6个单位后得到的111A B C △，并写出点1A 的坐标． （2）以点()1,2M 为位似中心，在网格中画出．．．．．．与111A B C △位似的图形222A B C △，且使得222A B C △与111A B C △的相似比为2：1，并写出点2A 的坐标．23．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点()0,0O ，()1,3A -，()4,0B ，连接OA ，OB ，AB ．（1）若将OAB 向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到111O A B △，点O ，A ，B 的对应点分别为1O ，1A ，1B ，画出111O A B △并写出顶点1A 的坐标；（2）画出22OA B △，使22OA B △与OAB 关于原点对称，点A ，B 的对应点分别为2A ，2B ；（3）以点O 为位似中心，在给定的网格中将OAB 放大2倍得到33OA B ，点A ，B 的对应点分别为3A ，3B ，画出33OA B 并直接写出33A B 的长度．24．已知平行四边形ABCD 中6AB =，AE 与BC 延长线相交于E 、与CD 相交于F ，2EF AF =， 求FD 的长度．25．如图，ABC 内接于⊙O ，AB AC =，过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为点E ，交O 于点F ，连接AD ，并使AD BC ∥．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若5AC =，2BE =，求AD 的长．26．如图，直线2y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线2y x bx c α=++的顶点为A ，且经过点B ．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点C 是抛物线上的点，ABC ∆是以AB 为直角边的直角三角形，请直接写出点C 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】证明AFE △≌△()DFP AAS ，推出=AE DP ，由:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，推出3AB CD k ==，5PC k =，由//AE BC ，可得AG AEGC CP=的值． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//AB PC ，AB CD =， ∴AEF P ∠=∠，∵AFE DFP ∠=∠，AF DF =， ∴AFE △≌△()DFP AAS ， ∴=AE DP ，∵:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =， ∴3AB CD k ==，5PC k =， ∵//AE BC ，∴2255AG AE k GC CP k ===， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考题型．2．B解析：B 【分析】过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，则//BM CN ，可证得23BMBC CN CD ==，设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由已知可求得A 、B 、C 的坐标，则可求得直线BC 的解析式，进而求得点D 、F 的坐标，由ABD ADF BDF S S S -=△△△及:2:5ABD ABC S S =△△可求得ABCS．【详解】过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，如图，则有//BM CN ， ∴BMD CND ∽，又52BC BD = ∴23BM BD CN CD ==， 设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．∵点A ，B 在直线AB 上，∴2210223103kx x k x x⎧=-⨯+⎪⎪⎨⎪=-⨯+⎪⎩∴解得：112x k =⎧⎨=⎩， ∴点()3,4A ，点()2,6B 、点()3,4C --． 设直线BC 的解析式为y=mx+n ，则有：2634m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，解得：22m n =⎧⎨=⎩，∴直线BC 解析式为22y x =+， ∴点()0,2D ，∵点F 是直线AB 与y 轴的交点， ∴点()0,10F∴()()10232102224ABD ADF BDF S S S -==-⨯÷--⨯÷=△△△ 又∵:2:5ABD ABC S S =△△，∴55S 41022ABCABDS==⨯=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象交点问题、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线上点的坐标特征、等高三角形的面积比等于底的比等知识，求出点A 、B 的坐标和作辅助线借助相似三角形解决问题是解答的关键．3．A解析：A 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：2BE CE ==， ∵90AEF B C ∠=∠=∠=︒， ∴BAE AEB AEB CEF ∠+∠=∠+∠， ∴BAE CEF ∠=∠， ∴AEB EFC ∆∆∽， ∴AB BECE CF=， ∴422CF =， ∴1CF =， 故选：A ． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．4．C解析：C 【分析】先由23AB BC =得出25AB AC =，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】 ∵23AB BC =， ∴25AB AC =， ∵a ∥b ∥c ， ∴25DE AB DF AC ==， 故选：C ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．5．A解析：A【分析】 首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为AD AB AB BF =，又根据12BF AD =，可得出2212AD AB =，据此进行求解即可． 【详解】∵各种开本的矩形都相似，∴矩形ABCD 与矩形BFEA 相似， ∴AD AB AB BF=， ∴AD•BF=AB•AB ，又∵12BF AD =， ∴2212AD AB =，∴AD AB=， 故选A ．【点睛】本题考查了相似多边形的的性质，相似多边形对应边之比等于相似比，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．6．A解析：A根据DE ∥AC 可得到△DOE ∽△COA 和△DBE ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质即可得出12BE EC =，再根据同高三角形的面积比等于底之比即可求出． 【详解】∵DE ∥AC∴△DOE ∽△COA ，△DBE ∽△ABC∵S △DOE ：S △COA =1：9 ∴13DE AC = ∴13DE BE AC BC == ∴12BE EC = ∴S △BDE ：S △CDE =1：2故答案选A ．【点睛】本题主要考察了相似三角形的性质，准确记住面积比等于相似比平方是解题关键． 7．D解析：D【分析】 根据题意证明DEFBAF ，再利用相似比得到面积比． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//CD AB ，CD AB =，∵:5:2DE EC =，∴:5:7DE DC =，∴:5:7DE AB =， ∵DEF BAF ， ∴22::25:49DEF BAF S S DE AB ==．故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形相似比和面积比的关系． 8．C解析：C【分析】①根据三角形中位线定理进行判断；②根据三角形中位线定理进行判断；③根据三角形中位线定理进行判断；④由相似三角形△ADO ∽△ABF 的面积之比等于相似比的平方进行判断．∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，故①正确；∴DE=12BC ， ∴OD=12BF ， ∵AF 是BC 边上的中线，∴BF=12BC ， ∴OD=12BF=14BC ，故②正确； ∵DE 是△ABC 的中位线，∴AD=DB ，DE ∥BC ，∴AO ＝FO ，故③正确；④∵DE ∥BC ，即DO ∥BF ，∴△ADO ∽△ABF ， ∴22ADO ABF 1124S AD S AB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵AF 是BC 边上的中线，∴ABF ABC 12SS =， ∴ADO ABC18S S =，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③，共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质．本题利用了“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的性质．正确的识别图形是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据相似三角形的判定逐个判断即可得．【详解】①在ADE 和ACB △中，AED B A A ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADEACB ∴，则条件①能满足； ②//DE BC ，ADE ABC ∴，则条件②不能满足；③在ADE 和ACB △中，AD AE AC AB A A⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADE ACB ∴，则条件③能满足；④由AD BC DE AC ⋅=⋅得：AD DE AC BC=， 对应的夹角ADE ∠与C ∠不一定相等，∴此时ADE 和ACB △不一定相似，则条件④不能满足；综上，能满足的条件有2个，故选：B ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．10．A解析：A【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，关键黄金分割点的性质得到51AE AB和BE AE =，用a 表示出1S 、2S 和3S 的面积，再求比例．【详解】解：设正方形ABCD 的边长为a ，∵点E 是AB 上的黄金分割点， ∴51AEAB ，则12AE a =，∴12BE AE =，则2BE a ==⎝⎭，∵2221S AE ⎫===⎪⎪⎝⎭，22S BE BC =⋅=，∴)222232S a a =-=，∴)2232:2S S a a ==． 故选：A ．【点睛】本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．11．D解析：D【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．【详解】∵∠DAC=∠CAB∴当∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定方法的开放性的题，相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．12．B解析：B【分析】根据位似变换的概念得到△A1OB1∽△A2OB2，△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△A1OB1与△A2OB2位似，∴△A1OB1∽△A2OB2，∵△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，∴△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，∵A1的坐标为（-1，2），△A1OB1与△A2OB2在原点O的两侧，∴点A1的对应点A2的坐标为（2，-4），故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．二、填空题13．25【分析】连接EO可知EO⊥ED延长DE到点F作BF⊥DF根据题意可知△DEO∽△DFB在△EFB中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO可知EO⊥ED解析：25【分析】连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，根据题意可知△DEO ∽△DFB ，在△EFB 中，222EB EF FB =+，根据勾股定理求解得出半径的长，然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，∵∠FDB=∠EDO ，∠DEO=∠DFB ，∴△DEO ∽△DFB ，∵EO=r ，ED=10，EB=102， ∵DO=OB ，∴12DO EO DE DB FB DF===， ∴EF=10，FB=2r ， 在△EFB 中，222EB EF FB =+，()22102=1004r +，∴ r=5，∴ 圆的面积为225r ππ=，故答案为：25π【点睛】本题考查了圆的面积公式、相似三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握这些公式是解题的关键；14．3【分析】连接AP 并延长交BC 于G 由重心的性质得AP ：PG=2：1由DE//BC 根据平行线分线段成比例定理可得AD ：DC=AP ：PG=2：1于是CD ：AC=1：3再由DF//AB 得出△DFC ∽△AB解析：3【分析】连接AP 并延长交BC 于G ．由重心的性质得，AP ：PG=2：1．由DE//BC ，根据平行线分线段成比例定理可得AD ：DC=AP ：PG=2：1，于是CD ：AC=1：3．再由DF//AB ，得出△DFC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得出S △DFC ：S △ABC =1：9．【详解】解：连接AP 并延长交BC 于G ．由重心的性质得，AP：PG=2：1．∵DE//BC，∴AD：DC=AP：PG=2：1，∴CD：AC=1：3．∵DF//AB，∴△DFC∽△ABC，∴S△DFC：S△ABC=1：9，∴S△DFC=19×S△ABC=3cm2．故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．15．6【分析】由等式可用a表示出b代入求值即可【详解】解：∵5a=6b（a≠0）∴b=a∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a 表示出b是解题的关键解析：6【分析】由等式可用a表示出b，代入求值即可．【详解】解：∵5a=6b（a≠0），∴b=56a，∴1651--66aa b a aa===，故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a表示出b是解题的关键．16．①②③【分析】先由已知条件利用SAS证明△BAC≌△EAD得到①；由全等得到BC=DE然后再通过证明△ABE∽△ACD得到∠ABE=∠ACD=∠AEB进而再得到CF=EF得到BC+CF=DE+EF即解析：①②③【分析】先由已知条件利用SAS 证明△BAC ≌ △EAD ，得到①；由全等得到BC=DE ，然后再通过证明△ABE ∽△ACD ，得到∠ABE=∠ACD=∠AEB ，进而再得到CF=EF ，得到BC+CF=DE+EF ，即②正确；由∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，可得到∠ABE+∠ADE=∠BCD ，即③正确．【详解】解：由题意可知，∠BAC=∠CAD ，AB=AE ，在△BAC 和△EAD 中，AB AE BAC CAD AC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△BAC ≌ △EAD ，故①正确；∵△BAC ≌ △EAD ，∴BC=ED ，∠BCA=∠EDA ，由于AB=AE ，AC=AD ，∠BAC=∠CAD ， ∴AB AE AC AD=， ∴△ABE ∽△ACD ，且△ABE 和△ACD 都为等腰三角形，∴∠ABE=∠ACD=∠AEB ，∵∠AEB=∠CEF ，∴∠ECF=∠CEF ，∴CF=EF ，∴BC+CF=DE+EF ，故②正确；由以上过程知道∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，∴∠ABE+∠ADE=∠ACD+∠BCA=∠BCD ，故③正确．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确找到全等三角形是解题的关键．17．（）cm 【分析】利用黄金分割的定义计算出AP 【详解】为的黄金分割点故答案为：（）cm 【点睛】此题考查黄金分割的定义黄金分割物体的较大部分等于与整体的解析：（4）cm【分析】利用黄金分割的定义计算出AP .【详解】 P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，()118422AP AB cm ∴==⨯=故答案为：（4）cm.【点睛】. 18．（63）【分析】根据位似变换的性质可知△ODC ∽△OBA 相似比是根据已知数据可以求出点A 的坐标【详解】解：由题意得△ODC ∽△OBA 相似比是∴又∵∴OD=2CD=1∴OB=6AB=3∴点A 的坐标为：解析：（6，3）【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC ∽△OBA ，相似比是1:3，根据已知数据可以求出点A 的坐标．【详解】解：由题意得，△ODC ∽△OBA ，相似比是1:3， ∴13OD DC OB AB ==， 又∵(2,0)D ，(2,1)C ∴OD=2，CD=1，∴OB=6，AB=3，∴点A 的坐标为：（6，3），故答案为：（6，3）．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．19．【分析】连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F 先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积【详解】解：如图连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F ∵四边形ABC 解析：23【分析】连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，先证明OMN PQO ，得到相似比是4:1，然后求出OMN 和PQO 的面积，用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积．【详解】解：如图，连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，AD BC =，∵M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，∴DM CN =，∴四边形MNCD 是平行四边形，∴//MN CD ，∴OMN PQO ，相似比是:4:1MN PQ =，∴:4:1OE OF =， ∵152EF BC ==， ∴4OE =，1OF =， ∴184162MNO S =⨯⨯=，12112PQOS =⨯⨯=，8540MNCD S =⨯=， ∴4016123S =--=阴影．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 20．或【分析】分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC 根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC ∴当△ADE ∽△ABC ∴即解得：AD=3∴当△AED ∽△ABC ∴ 解析：163或3 【分析】 分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC ，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【详解】如图∵∠DAE=∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴AB ADAC AE=，即12164AD=，解得：AD=3，∴当△AED∽△ABC，∴AB AE AC AD=，即12416AD=，解得：AD=163，故答案为：163或3【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．三、解答题21．（1）254；（2）544【分析】（1）连接AD，利用“HL”证明Rt△ADB≅Rt△ACB，推出AB⊥DC，DE=CE，再证明BE为△DCF的中位线，利用锐角三角函数的定义得到AD1BD2=，再利用勾股定理即可求得⊙O的半径；（2）同理先求得DE=5， DC=10，利用勾股定理可求得CG=152，证明△OBM~△GCM，推出56OMMG=，推出OBMGBM56SS=，设OBM5S a=，则GBM6S a=，利用三角形的中线平分此三角形的面积，即可推出DGF44S a=，即可求得答案．【详解】（1）连接AD，∵∠1=∠2，∴AD=AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90︒，∴Rt△ADB≅Rt△ACB(HL)，∴DB=CB，∠1=∠3，∴AB⊥DC，∴DE=CE，∵CF⊥DC，∴BE∥FC，∴BE为△DCF的中位线，∴DB=12DF=5∵AE：EC=1：2，∴AE AD1tan3tan1EC BD2∠∠====，∴552∴()222252555522AD BD⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，∴⊙O的半径为254；（2）连接BG，∵CF ⊥DC ，∴∠ACG=90︒，∴DG 为⊙O 的直径， ∵DE 1tan 3EB 2∠==， ∴EB=2DE ，∵222DE EB BD +=，即(222455DE DE +=， ∴DE=5，则DC=2DE=10，∵222DC CG GD +=，即22225102CG ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴CG=152， ∵BO ∥GC ，∴△OBM ~△GCM ， ∴OM OB MG CG=， 则25541562OM OB MG CG ===， ∴OBM GBM 56S S =， 设OBM 5Sa =，则GBM 6S a =， ∴GBO 5611Sa a a =+=， ∵点O 为直径DG 的中点， ∴DBO GBO 11SS a ==， ∴DBG GBO 222S S a ==， ∵点B 为线段DF 的中点，DGF DBG 244S S a ==，∴OBM DGF 554444S a S a ==．故答案为：544． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形中位线的判定和性质，三角形的中线的性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22．（1）画图见解析，()12,4A ；（2）画图见解析，()23,6A． 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点，再写出点A 1的坐标即可；（2）延长MA 1到A 2使MA 2=2MA 1，延长MB 1到B 2使MB 2=2MB 1，延长MC 1到C 2使MC 2=2MC 1，从而得到△A 2B 2C 2，再写出点A 2的坐标．【详解】（1）∵()2,2A -，()3,4B -，()6,3C -，∴()12,26A -+，()13,46B -+，()16,36C -+，即()12,4A ，()13,2B ，()16,3C ，描点、顺次连接点1A ，1B ，1C 即可得111A B C △，如图所示：（2）由题意得：()2221,422A ⨯-⨯-，()2321,222B ⨯-⨯-，()2621,321C ⨯-⨯-，即()23,6A ，()25,2B ，()211,4C ，描点、顺次连接点2A ，2B ，2C 即可得222A B C △，如图所示．【点睛】本题考查了作图-位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．也考查了平移变换．23．（1）作图见解析，()16,1A ；（2）作图见解析；（3）作图见解析，33A B 的长度为62．【分析】（1）先根据平移作图画出点111,,O A B ，再顺次连接即可得111O A B △，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点1A 的坐标；（2）先根据关于原点对称的点坐标变换规律得出点22,A B 的坐标，再画出点22,A B ，然后顺次连接点22,,O A B 即可得；（3）先根据位似的性质得出33,A B 的坐标，再画出点33,A B ，然后顺次连接点33,,O A B 即可得33OA B ，最后利用两点之间的距离公式即可得33A B 的长度．【详解】（1）先画出点111,,O A B ，再顺次连接即可得111O A B △，如图所示：由点坐标的平移变换规律得：()115,34A +-+，即()16,1A ；（2）关于原点对称的点坐标变换规律：横、纵坐标均互为相反数，()()1,3,4,0A B -，()()221,3,4,0A B ∴--，先画出点22,A B ，再顺次连接点22,,O A B 即可得22OA B △，如图所示：（3）()()1,3,4,0A B -，()()3312,32,42,02A B ⨯-⨯⨯⨯∴，即()()332,6,8,0A B -，2332(82)(06)62A B ∴=-++=，先画出点33,A B ，再顺次连接点33,,O A B 即可得33OA B ，如图所示：【点睛】本题考查了平移作图、关于原点对称的点坐标变换规律、位似画图等知识点，熟练掌握各画图方法和点坐标的变换规律是解题关键．24．2FD =【分析】先根据平行四边形的性质得出AD ∥BE ，AB=CD=6，再根据平行线的性质得出∠DAE=∠AEB ，∠D=∠ECF ，根据相似三角形的判定定理可知△AFD ∽△EFC ，进而得到FD 的长．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BE ，6AB CD ==，∴DAE AEB ∠=∠，DCE D ∠=∠，∴ADF ECF ， ∴12AF DF FE FC ==， ∴2FD =．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．25．（1）证明见解析；（2）35【分析】（1）连接AO 后交DC 于点H ，交BC 于点G ，由垂径定理可知AG ⊥BC ，然后根据互余关系得到∠HAE=∠HCG ，然后利用平行关系得到∠ADE=∠HCG=∠HAE ，等量代换后可得∠HAE +∠EAD=90°；（2）根据AC 和BE 可算出AE ，然后在Rt △AEC 中算出EC ，然后证明△AED ∽△BEC ，然后利用比例关系算出DE ，在Rt △AED 中计算AD 即可．【详解】解：（1）如图，连接AO 交DC 于点H ，交BC 于点G ，则AG ⊥BC∵AG ⊥BC ，AB ⊥DC ，∠AHE=∠CHG∴∠HAE=∠HCG∵AB ⊥DC∴∠ADE+∠EAD=90°∵AD ∥BC∴∠ADE=∠HCG=∠HAE∴∠HAE +∠EAD=90°∴AD 为O 的切线 （2）∵AC=AB ，AC=5，BE=2∴AE=3在Rt △AEC 由勾股定理可得：4EC =∵AD ∥BC∴△AED ∽△BEC ∴BE EC AE DE= ∴DE=6在Rt △AED 由勾股定理可得：=【点睛】本题主要考查圆的相关定理，掌握切线的证明方法，灵活转化角关系是证明切线的关键，在圆中计算线段长度，找准相似三角形，结合勾股定理，是解题的关键．26．（1）22212y x x =---；（2）（-4，0）或（-6，-8）． 【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A 、B 点的坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）分情况讨论：点A 是直角顶点或B 是直角顶点，根据题意设出点C 的坐标，再将点C 代入到函数解析式，最后，解一元二次方程即可求解．【详解】解：（1）当y=0时，-x-2=0，解得x=-2，则A （-2，0），当x=0时，y=-x-2=-2，则B （0，-2），设抛物线解析式为()22y a x =+，把B （0，-2）代入得()2022a +=-，解得12a =-， 所以抛物线解析式为()2122y x =-+ 即22212y x x =---； （2）如图，当∠BAC=90︒时∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=45︒，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则∠ADC=90︒，∴∠DAC=∠DCA=45︒，令点C 的坐标为（-2-a ，-a ）将点C 代入到()2122y x =-+， ()21222a a -=---+ ， 解得，10a =（不合题意，舍去），22a =∴点C 的坐标为（-4，-2）若∠ABC=90︒，如图，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，易证△CBF ∽△ABO ，∵OA=OB ，∴BF=CF ，设点F （0，-2-a ），则点C （-a ，-2-a ），将点C 的坐标代入得，()21222a a --=--+ 解得， 10a =（不合题意，舍去），26a =，∴点C 的坐标为（-6，-8）；综上，点C 的坐标为（-4，0）或（-6，-8）；【点睛】本题是二次函数的综合题，考察了点的坐标，一次函数，二次函数，解一元二次方程，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用待定系数法求二次函数的解析式及分类讨论思想．。

人教版九年级数学下册第二十七章-相似单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（）A．2：3 B．4：9 C D．16：812、如图，已知直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则DF 的长是（）A．92B．4 C．6 D．23、一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（）cmA．B．26 C．D．134、某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点AB ，AC ，ACB ∠的平分线交边AB 于点D ，则点D 就是线段AB 的一个黄金分割点，即0.618AD AB≈，已知10cm AC =，那么该正五边形的周长为（ ）A ．19．1cmB ．25cmC ．30．9cmD ．40cm5、如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝4，CD ＝12，那么EF 的长是（ ）A ．2B ．2.5C ．2.8D ．36、在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个点，并且DE ∥BC ，AD ：BD ＝3：2，则ADE 与四边形BCED 的面积之比为（ ）A ．3：5B ．4：25C ．9：16D ．9：257、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ．BC ＝8，则AC ＝（ ）A ． 4B ． 4C ．16D ．128、如图, 点 E 是线段 BC 的中点, B C AED ∠∠∠==, 下列结论中, 说法错误的是（ ）A ．ABE △ 与 ECD 相似B ．ABE △ 与 AED 相似C ．AB AE AE AD = D ．BAE ADE ∠=∠9、如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(6,6)A ，(8,2)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（ ）A ．(3,3)B ．(4,3)C ．(3,1)D ．(4,1) 10、如图，H 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且12AH DH =，BH 与AC 相交于点K ，那么AK ：KC 等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知O是坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上，OA=1，OB=2，若点D在x轴下方，且使得△AOB和△OAD相似（不包括全等），则点D的坐标为__________．2、如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点；下列结论：①∠AMD=45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3;④S△ACD＝2S△DNE．其中正确的结论有 _____．（填写序号即可）3、如图，在ABC中，D为AB边上的一点，要使BAC EAD△∽△成立，还需要添加一个条件，你添加的条件是__________4、如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 为AB 上一点，4BD AD =，连接CD ，45BCD ︒∠=，132AC =，则BC 的长为________．5、若3x ＝7y ，则x y＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小豪为了测量某塔高度，把镜子放在离塔（AB ）50m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到塔尖A ，再测得DE ＝2.4m ，小豪目高CD ＝1.68m ，求塔的高度AB ．2、阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P 是线段AB 上一点（AP ＞BP ），若满足BP AP AP AB=，则称点P 是AB 的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．（1）理解：如图（1），请将内角分别36°，36°，108°的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数；（2）运用：如图（2），已知等腰三角形ABC 为“黄金三角形”，AB=AC ，∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线．求证：点D 是AC 的黄金分割点．3、如图，在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过点C 作射线CP AB ∥，D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与,B C 重合）且45DAE ∠=︒，AC 与DE 交于点O ．（1）求证：ADC AEB △△；（2）求证：ADE ACB ；（3）如果CD CE =，求证：2CD CO CA =．4、如图，在ABCD 中，BE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，且:1:2AE EB =．（1）求证：AEF CDF∽△△；（2）求AEF与AFD的面积比．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC BC＝DF＝CE的长．---------参考答案-----------一、单选题1、B【解析】【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴这两个相似多边形的相似比是2：3，∴它们的面积比是4：9，故选B．【点睛】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．2、A【解析】【分析】由直线////a b c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BDCE DF=，又由4AC=，6CE=，3BD=，即可求得DF的长即可．【详解】解：////a b c，∴AC BDCE DF=，4AC=，6CE=，3BD=，∴436DF=， 解得：92DF =，故选择A ．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．3、D【解析】【分析】根据一种数学课本的宽与长之比为黄金比，即可得到宽：长:1=⎝⎭，由此求解即可． 【详解】解：∵一种数学课本的宽与长之比为黄金比，∴宽：长:1=⎝⎭， ∵长是26cm ，∴宽2613==，故选D ．【点睛】本题主要考查了黄金比，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例．4、C【解析】【分析】根据正五边形各边相等，各内角相等，得到ADC AEC ≅△△ ，得到AE AD = ，再根据0.618AD AB≈求出AD 即可求解 ．【详解】解：∵正五边形每个内角＝540=1085︒︒ ，每条边相等，AB AC = ， ∴108AEC ECB ∠=∠=︒ ，∵AE EC = ， ∴180108362EAC ECA ︒-︒∠=∠==︒ ， ∴1083672ACB ECB ECA ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ，∵DC 为∠ACB 的平分线，∴1362ACD ACB ∠=∠=︒ ， ∵AB AC = ，∴72ABC ACB ∠=∠=︒ ， ∴36BAC ∠=︒ ， ∵AC AC = ，∴()ADC AEC ASA ≅ ， ∴AE AD = ， ∵0.618ADAB≈，10cm AB AC ==， ∴100.618 6.18cm AE AD ==⨯= ， ∴该五边形周长=6.185=30.9cm ⨯ ， 故选：C ． 【点睛】本题考查正多边形的性质，三角形全等的判定与性质，黄金比例，通过全等求出正五边形边长是解题关键． 5、D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定得出△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ，根据相似得出比例式，求出1EF EFAB DC+=，代入求出即可． 【详解】解：∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥EF ∥CD ，∴△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ， ∴EF DF AB BD =，EF BFDC BD =， ∴1EF EFAB DC+=， ∵AB =4，CD =12， ∴EF =3， 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能根据相似三角形的性质得出比例式是解此题的关键． 6、C 【解析】 【分析】根据题意先判断△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得到结论． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∵AD ：BD ＝3：2， ∴:3:5AD AB =， ∴22:3:59:25ADE ABCSS==，∴ADE 与四边形BCED 的面积之比为9：16.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方．7、A【解析】【分析】根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出AC的长．【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=180362︒-︒=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠BDC=∠ABD+∠A=72°，∴∠BDC=∠C=72°，∴AD=BD=BC=8．∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共角，∴△ABC∽△BDC，∴BC ACCD BC=，即888ACAC=-，整理得：AC2-8AC-64=0，解方程得：AC AC舍去)，故选：A．本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出AC 的长． 8、D 【解析】 【分析】根据外角的性质可得BAE DEC ∠=∠，结合已知条件即可证明ABE ECD ∽△△，从而判断A ，进而可得AB AEEC ED=，根据E 是中点，代换BE CE =，进而根据两边成比例夹角相等可证ABE △∽AED ，进而判断B ，C ，对于D 选项，利用反证法证明即可． 【详解】解：AEC BAE B AED DEC ∠=∠+∠=∠+∠，AED B ∠=∠BAE DEC ∴∠=∠又B C ∠=∠ABE ECD ∴∽故A 选项正确ABE ECD ∽△△AB AEEC ED∴= E 为BE 的中点∴BE CE =AB AEBE ED∴= 又B AED ∠=∠∴ABE △∽AED故B 、C 选项正确ABE △∽AEDDAE BAE ∴∠=∠若BAE ADE ∠=∠ 则DAE ADE ∠=∠AE DE ∴=根据现有条件无法判断AE DE =，故BAE ADE ∠∠≠ 故D 选项不正确 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9、A 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C 点坐标． 【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半， ∴端点C 的坐标为：（3，3）． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．10、C【解析】【分析】根据AH=12DH求出AH：AD即AH：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值．【详解】解：∵AH=12DH，∴AH：AD=13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴AH：BC=1 3∴△AHK∽△CBK，∴13 AK AHKC BC==故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．二、填空题1、（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）．【解析】【分析】点D 在y 轴上，根据△AOB ∽△DOA ，可得BO OA AO OD=，即211OD =；当点D 在过点A 平行y 轴的直线上，根据△AOB ∽△D 1AO ，1BO OA OA D A =，即1211D A =；当点D 2在AD 上，作D 2E ⊥x 轴于E ，OD 2⊥AD 于D 2，在Rt △AOB 中，ABOD 2A ∽△AOB ，2BO ABAD OA =，即22AD △D 2EA ∽△DOA ，22AD D E AE AD AO OD ==2112D E AE ==，求出AE =45，D 2E =25，当点D 3在0D 1上，作D 3F ⊥x 轴于F ，AD 3⊥OD 1于D 3，根据△OD 3A ∽△BOA ，3BO ABOD AO =，即32OD，3OD =△D 3FO ∽△D 1AO ，3311OD D F OF OD OA AD ==3112D F OF ==，求出OE =45，D 3F =25即可． 【详解】解：点D 在y 轴上，△AOB ∽△DOA ， ∴BO OA AO OD=，即211OD =，解得OD =12， 点D （0，-12）；当点D 在过点A 平行y 轴的直线上，△AOB ∽△D 1AO ，∴1BO OA OA D A =，即1211D A =， 解得D 1A =12， 点D 1（1，-12）；当点D 2在AD 上，作D 2E ⊥x 轴于E ，OD 2⊥AD 于D 2，在Rt △AOB 中，AB= ∵△OD 2A ∽△AOB ，∴2BO AB AD OA =，即22AD =∴2AD =在Rt △OAD 中，AD= ∵D 2E ⊥x 轴于E ，，OD ⊥x 轴， ∴D 2E∥OD ，∴∠AD 2E =∠ADO ，∠D 2EA =∠DOA =90°， ∴△D 2EA ∽△DOA ，∴22AD D EAE AD AO OD ==2112D E AE ==， ∴AE =45，D 2E =25，∴OE =OA -AE =1-45=15，∴D 2（15，25-）当点D 3在OD 1上，作D 3F ⊥x 轴于F ，AD 3⊥OD 1于D 3， ∵△OD 3A ∽△BOA ，∴3BO AB OD AO =，即32OD ，∴3OD =在Rt △OAD 1中，0D 1=， ∵D 3F ⊥x 轴于F ，OD ⊥x 轴， ∴D 3F∥OD ，∴∠OD 3F =∠QD 1A ，∠D 3FO =∠D 1AO =90°， ∴△D 3FO ∽△D 1AO ，∴3311OD D F OF OD OA AD ==3112D FOF ==， ∴OE =45，D 3F =25，∴D 3（45，25-）；△AOB 和△OAD 相似（不包括全等），则点D 的坐标为（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）． 故答案为（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）．【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，掌握三角形相似判定与性质是解题关键．2、①②③【解析】【分析】①利用ASA证明△BDN≌△CDM，再证明△DMN是等腰直角三角形，即可判断结论①正确；②过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE＝90°＝∠CME，可利用AAS证明△DEF≌△CEM，即可判断结论②正确；③先证明△BDE∽△CME，可得出CMEM＝BDDE＝2，进而可得CM＝2EM，NE＝3EM，即可判断结论③正确；④先证明△BED≌△CAD（ASA），可得S△BED＝S△CAD，再证明BN＜NE，可得S△BDN＜S△DEN，进而得出S△BED＜2S△DNE，即可判断结论④不正确．【详解】解：①∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴BD=CD，∵BM⊥AC，∴∠AMB=∠ADC=90°，∴∠A+∠DBN=90°，∠A+∠DCM=90°，∴∠DBN=∠DCM，∵DN⊥MD，∴∠CDM+∠CDN=90°，∵∠CDN+∠BDN=90°，∴∠CDM=∠BDN，∴△BDN≌△CDM（ASA），∴DN =DM ，∵∠MDN =90°，∴△DMN 是等腰直角三角形，∴∠DMN =45°，∴∠AMD =90°-45°=45°，故①正确；②如图1，由（1）知，DN =DM ，过点D 作DF ⊥MN 于点F ，则∠DFE =90°=∠CME ，∵DN ⊥MD ，∴DF =FN ，∵点E 是CD 的中点，∴DE =CE ，在△DEF 和△CEM 中，DEF CEM DFE CME DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DEF ≌△CEM （AAS ），∴ME =EF ，CM =DF ，∴FN =CM ，∵NE-EF=FN，∴NE-EM=MC，故②正确；③由①知，∠DBN=∠DCM，又∵∠BED=∠CEM，∴△BDE∽△CME，∴CMEM＝BDDE＝2，∴CM=2EM，NE=3EM，∴EM：MC：NE=1：2：3，故③正确；④如图2，∵CD⊥AB，∴∠BDE=∠CDA=90°，由①知：∠DBN=∠DCM，BD=CD，∴△BED≌△CAD（ASA），∴S△BED=S△CAD，由①知，△BDN≌△CDM，∴BN=CM，∴BN=FN，∴BN＜NE，∴S△BDN＜S△DEN，∴S△BED＜2S△DNE．∴S△ACD＜2S△DNE．故④不正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．3、AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB【解析】【分析】根据图形可以看出两个三角形有一个公共角A∠，相似证明中，有两个角对应相等即可证明两三角形相似，即添加对应角相等即可．【详解】解：由图可知，在BAC EAD∠=∠△与△中，BAC EAD∴添加的条件为：AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB故答案为：AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，掌握判定相似的条件是解题的关键．4、【分析】过A点作AH⊥BC，过D点作DE⊥BC，得到BH=CH，△ABH∽△DBE，设BC=10a，求出BE=4a、DE=6a，根据Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，求出a，故可求解．【详解】过A点作AH⊥BC，过D点作DE⊥BC∵AB AC=∴BH=CH，设BC=10a∴BH=CH=5a∵132AC==AB，4BD AD=∴BD=426 55 AB=∵AH⊥BC，DE⊥BC ∴DE∥AH∴△ABH∽△DBE∴AB HBDB EB=∵4BD AD=∴5=4 AB HB DB EB=∴BE=4a∴CE=10a-4a=6a∵45BCD︒∠=，DE⊥BC∴∠CDE=180°-45°-90°=45°∴△ADE是等腰直角三角形∴DE=CE=6a在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2即（265）2=（6a）2+（4a）2解得a∴BC=10a=故答案为：【点睛】此题主要考查三角形内线段求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理的运用．5、7 3【解析】【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行解答．【详解】解：若3x＝7y，则73 xy故答案为：7 3【点睛】此题主要考查比例的基本性质，掌握比例的性质是解题的关键．三、解答题1、35m【解析】【分析】根据题意得：∠ABE=∠CDE=90°，BB=50m BE=50m，由光的反射定律得：∠AEB=∠CED，从而得到△ABE∽△CDE，再由相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠ABE=∠CDE=90°，BE=50m，由光的反射定律得：∠AEB=∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴BBBB=BBBB，∴BB1.68=502.4，解得：BB=35m，即塔的高度为35m．【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，明确题意，准确得到相似三角形是解题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据“黄金三角形”的定义进行分割即可；（2）证明△CBD∽△CAB，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．【详解】解：（1）如图，（2）∴∠ABC=∠C=72°又∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°∴∠BDC=180°－∠C－∠CBD＝72°∴AD＝BD，BC＝BD即AD＝BC＝BD·又∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠A∴△CBD∽△CAB∴BBBB=BBBB∴BBBB=BBBB·即D点是AC的黄金分割点【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB 和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB；（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证．【详解】解：（1）证明：∵ABC是等腰直角三角形，∴∠BBB=∠B=45°，∵∠BBB=45°，BB∥BB，∴∠BBB=∠BBB，∠BBB=∠BBB=∠B=45°，∴ΔBBB∼ΔBBB；（2）证明：∵ΔBBB∼ΔBBB∴BBBB=BBBB，即BBBB=BBBB，∵∠BBB=∠BBB=45°，∴ΔBBB∼ΔBBB；（3）∵∠BBB=45°,∠BBB=90°，∴∠BBB+∠BBB=180°−90°−45°=45°，∵CD CE=，∴∠BBB=∠BBB=22.5°，∵ΔBBB∼ΔBBB，∴∠BBB=∠BBB=90°，∴∠BBB=180°−∠BBB−∠BBB−∠BBB=180°−90°−22.5°−45°=22.5°∴∠BBB=∠BBB，又∵∠BBB=∠BBB，∴ΔBBB∼ΔBBB，∴BBBB=BBBB，∴2CD CO CA=【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似．4、（1）见解析；（2）1:3【解析】【分析】（1）由ABCD得出BB∥BB，由平行线的性质得∠BBB=∠BBB，∠BBB=∠BBB，即可证明△BBB∼△BBB；（2）由:1:2AE EB=得出BB:BB=1:3，由相似三角形的性质得BBBB =BBBB=13由BE AB⊥得∠BBB=90°，由三角形的面积公式得B△BBB=12×BB×BB，B△BBB=12×BB×BB，即可求出B△BBB:B△BBB．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BB ∥BB ，∴∠BBB =∠BBB ，∠BBB =∠BBB ，∴△BBB ∼△BBB ；（2）∵BB :BB =1:2，∴BB :BB =BB :BB =1:3，∵△BBB ∼△BBB ，∴BB BB =BB BB =13，∵BB ⊥BB ，∴∠BBB =90°，∵B △BBB =12×BB ×BB ，B △BBB =12×BB ×BB ，∴B △BBB :B △BBB =BB :BB =1:3．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题的关键．5、（1）1；n m ；（2）①n m ；②n m ；（3）CE =CE =【解析】【分析】（1）先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB △即可；（2）方法和()1一样，先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB △即可；（3）由()2的结论得出ADE ∽CDF ，判断出2CF AE =，求出DE ，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：()1当m n =时，即：BC AC =，90ACB ∠=，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，1AD AC DC BC ∴==，1DE DF∴= ()290ACB ∠=①，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，AD AC n DC BC m ∴==，DE n DF m∴= ②成立.如图3，90ACB ∠=，90A ABC ∴∠+∠=，又CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠+∠=∠+∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，AD AC n DC BC m∴==， DE n DF m∴=． ()3由()2有，ADE ∽CDF ， 12DE AC DF BC ==， 12AD AE DE CD CF DF ∴===， 2CF AE ∴=，如图4图5图6，连接EF ．在Rt DEF △中，DE =DF =EF ∴= ①如图4，当E 在线段AC 上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==-=，EF =根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=CE ∴=CE =舍) ②如图5，当E 在AC 延长线上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==+=，EF = 根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=，CE ∴CE =-舍)，③如图6，当E 在CA 延长线上时，在Rt CEF 中，()(222CF AE CE AC CE ==-=，EF =根据勾股定理得，222CE CF EF +=，(22[2]40CE CE ∴+=，CE ∴=CE =，综上：CE =CE =【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE 是本题的难点．。

专题27.2.3相似三角形的性质及应用典例体系(本专题共85题67页)一、知识点相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．二、考点点拨与训练考点1：高度(距离)测量典例1：影长测高问题(2020·无锡市东北塘中学初三月考)阅读以下文字并解答问题：在“物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米(如图1)．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2)，墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图3)，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米(如图4)．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．(1)在横线上直接填写甲树的高度为米．(2)求出乙树的高度(画出示意图)．(3)请选择丙树的高度为()A 、6.5米B 、5.75米C 、6.05米D 、7.25米(4)你能计算出丁树的高度吗？试试看．方法或规律点拨本题考查了同一时刻的阳光下，树高与其影长的比实际上就是相似比，正确画出图形，将实际问题转化为数学问题是解题关键．巩固练习1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为()A ．五丈B ．四丈五尺C ．一丈D ．五尺2．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树AB 的高度，他沿着树影CB 由C 向B 走，当走到点D 时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合．此时A E C 、、三点恰好在一条直线上．经测得1CD =米，3BD =米，则树的高度AB 为()A ．3米B ．4米C ．4.5米D ．6米3．某数学课外活动小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5m 的同学的影长为1.35m ，由于大树靠近一幢建筑物，因此树影的一部分落在建筑物上，如图，他们测得地面部分的影长为3.6m ，建筑物上的影长为1.8m ，则树的高度为()A ．5.4mB ．5.8mC ．5.22mD ．6.4m4．(2020·湖北巴东·初三其他)如图，路边有一根电线杆AB 和一块正方形广告牌(不考虑牌子的厚度)．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A 的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G 处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点E 处，已知BC=6米，正方形边长为3米，DE=5米．则电线杆AB 的高度是()米．A ．92B ．13C ．152D ．1855．(2020·山东莱州·初二期末)兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为()A ．11.5米B ．11.75米C ．11.8米D ．12.25米6．(2019·全国初三课时练习)如图，阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE ，已知亮区DE 到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高 ꑠொ飰米，那么窗口底部离地面的高度BC 为()A．2米B．2.5米C．3米D．4米7．(2020·广东南海·初三月考)如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为()A．6m B．8.8m C．12m D．15m8．(2020·河南舞钢·初三期末)如图，有一张直径(BC)为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A距地面2米，圆桌的影子是DE，AD和AE是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D的坐标是(2，0)．那么点E的坐标是____．9．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．(1)求路灯A的高度；(2)当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？10．(2019·河南平舆·初三期中)如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，1.2m长的竹竿垂直地面，影长为2m ，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m ，那么这棵树高约有多少米？11．(2020·贵州贵阳·初三开学考试)如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD ，用长为1m 的竹竿AB 作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E ，且点E ，A ，C 在同一直线上．已知3m EA =，9m AC =，求这棵树的高度CD ．12．(2019·全国初三课时练习)某中学平整的操场上有一根旗杆(如图)，一数学兴趣小组欲测量其高度，现在测量工具有皮尺、标杆，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案.(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据.(长度用a ，b ，c…表示)13．(2020·上海市金山初级中学初三月考)据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度BO ．14．(2020·江苏淮安·初三一模)如图，花丛中有一路灯AB .在灯光下，小明在点D 处的影长3m DE =，沿BD 方向行走到达点G ，5m DG =，这时小明的影长5m GH =.如果小明的身高为1.7m ，求路灯AB 的高度.(精确到0.lm)15．(2020·全国初三课时练习)小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在点'C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ．已知小军的眼睛距地面1.7m ，量得'12CC =m ， 1.8CF =m ，'' 3.84C F =m.求这棵古松树的高度.16．(2020·陕西师大附中初三其他)小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度,AB 但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同．小明测出离路灯较近的网杆在路灯AB 下的影长DF 为2步，离路灯较远的网杆在路灯AB 下的影长EC 为5步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高 1.55DM NE ==米，网长 6.1MN =米，同时测得1步1≈米，求路灯的高度(结果保留一位小数)17．(2020·无锡市钱桥中学初三月考)如图，一路灯AB 与墙OP 相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D 处时，影长DG 为1米；当小亮站在点F 时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O 处．(1)求路灯AB 的高度．(2)请在图中画出小亮EF 的位置；并求出此时的影长．(3)如果小亮继续往前走，在距离墙2米的N 处停下，那么小亮MN 在墙上的影子有多高？典例2：镜面测高问题为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B(树底)8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度．方法或规律点拨本题考查了相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．巩固练习1．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部A同一水平线上的E处放置一块镜子，然后推到C处站立，使得刚好可以从镜子E看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.6m，她离镜子的水平距离CE＝1.2m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE ＝3.6m，且A、C、E三点在同一水平直线你上，则旗杆AB的高度为()A．2.7m B．3.6m C．4.8m D．6.4m3．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.6米，求A、B、C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝12米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝2米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为()A．9米B．9.6米C．10米D．10.2米4．(2020·北京海淀·人大附中初三其他)如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面的距离为1.6m，则旗杆的高度为(单位：m)()A．12.4B．12.5C．12.8D．165．(2020·全国初三课时练习)如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C 处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB 的高度为()A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6m7．小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角＝反射角)8．星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．9．(2019·全国初三课时练习)如图，雨后初晴，小明在运动场上玩，当他在E 点时发现前面2米处有一处积水C ，从积水中看到旗杆顶端的倒影，若旗杆底部B 距积水处40米，此时眼睛距地面1.5米.求旗杆AB 的高度.典例3：其他测量问题(2018·全国初三单元测试)如图，一条东西走向的笔直公路，点A 、B 表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C 表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ 南侧直线行走，当他到达点P 的位置时，观察树A 恰好挡住电视塔，即点P 、A 、C 在一条直线上，当他继续走180米到达点Q 的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B 也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB ∥PQ ，且公路的宽为60米，求电视塔C 到公路南侧PQ 的距离．方法或规律点拨本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.巩固练习1．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B ，D ，4m AO =， 1.6m AB =，1m CO =，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为()A ．0.2mB ．0.3mC ．0.4mD ．0.5m2．(2019·河南南阳·初三期中)据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB位于树的西面.山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高AB的长为(结果保留到整数，1丈=10尺)()A．162丈B．163丈C．164丈D．165丈3．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=30cm，EF=15cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=7m，则树高AB=()m．A．3.5B．4C．4.5D．54．(2019·陕西初三专题练习)中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF，观测者的眼睛(图中用点C表示)与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是()A．EF CFAB FB=B．EF CFAB CB=C．CE CFCA FB=D．CE CFEA CB=5．(2019·北京市十一学校初三月考)如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.6．(2020·陕西交大附中分校初三月考)如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米7．(2019·全国初三课时练习)我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.8．(2020·上海浦东新·初三月考)如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处(DE//AB)，那么小管口径DE的长是__________mm．9．(2020·重庆南开(融侨)中学校初二期末)我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD 高度为28米，则对方与我军距离d约为____________米．10．(2020·福州·福建师范大学附属中学初中部初三月考)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图，井径5BE =尺，立木高5AB =尺，4BD =寸0.4=尺，则井深x 为__________尺．11．(2019·山东青岛·初三期中)如图，为了测量一棵树CD 的高度，测量者在B 处立了一根高为2.5m 的标杆，观测者从E 处可以看到杆顶A ，树顶C 在同一条直线上，若测得BD ＝7m ，FB ＝3m ，EF ＝1.6m ，则树高为_____m ．12．(2020·陕西交大附中分校初三月考)如图有一块直角边AB ＝4cm ，BC ＝3cm 的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为()A ．67B ．3037C ．127D ．603713．(2020·上海中考真题)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB =1.6米，BD =1米，BE =0.2米，那么井深AC 为____米．14．(2019·安徽初三月考)如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为_____m．15．(2018·北京房山·初三期中)为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是_____．16．(2020·山东莱州·初二期末)小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？18．如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2(CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF)，甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差(结果精确到0.1米)19．某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．20．(2020·陕西初三其他)20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C 处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．考点2：利用相似三角形的性质解决纯数学问题典例：(2020·广东三水·初三一模)如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止，设运动时间为t秒.(1)t为何值时，△PBQ的面积为12cm2；(2)若PQ⊥DQ，求t的值.方法或规律点拨此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质；解题的关键是根据三角形相似的性质列出方程．巩固练习1．(2020·上海市金山初级中学初三月考)已知''',8,''6ABC A B C AB A B ∆∆==:，则''BC B C =()A ．2B ．43C ．3D ．1692．(2020·无锡市东北塘中学初三月考)已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1：2，则△ABC 与△DEF 的面积比为()A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：13．(2020·河南卧龙·初三期末)如图，平行四边形ABCD 中，M 为BC 边的中点，DM 交AC 于点E ，则图中阴影部分面积与平行四边形ABCD 的面积之比为()A ．1:2B ．2:5C ．5:12D ．6:134．(2020·广西初三其他)已知ABC 与ADE 是位似图形，且相似比为3:2，若ABC 的面积为27，则ADE 的面积为()A ．7B ．12C ．10D ．185．(2020·广东顺德·)如图，△ABC 与△DEF 形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE 的长度为()A ．1.2B ．1.8C ．3D ．7.26．(2020·江苏姜堰·初三期末)如图，P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点，P 在OA 上，Q 在OB 上，PC ⊥AB 交⊙O 于C ，QD ⊥AB 交⊙O 于D ，弦CD 交AB 于点E ，若AB=20，PC=OQ=6，则OE 的长为()A ．1B ．1.5C ．2D ．2.57．(2020·上海宝山·月考)如图，AB 、CD 都是BD 的垂线，4AB =，6CD =，14BD =，P 是BD 上一点，联结AP 、CP ，所得两个三角形相似，则BP 的长是_______．9．(2020·上海宝山·月考)如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，//AB CD ，2AB cm =，5CD cm =，点P 到CD 的距离是3cm ，则点P 到AB 的距离是_______．10．(2020·上海宝山·月考)两个相似三角形对应高的比为2:3，且已知这两个三角形的周长差为4，则较小的三角形的周长为_______．11．(2020·射阳县第二初级中学月考)△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，点D 在AC 上，且AD ＝3，若要在AB 上找一个点E ，使△ADE 与△ABC 相似，则AE ＝__________．12．(2020·上海浦东新·初三月考)有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．13．(2019·泉州市第六中学初三期中)△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的面积的比为________．14．(2020·上海市南汇第四中学初三月考)如果Rt Rt ABC DEF ∽△△，90C F ∠=∠=︒，5AB =，3BC =，15DE =，则DF =________．15．(2020·上海宝山·月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC上，已知ABC ∆的边15BC =，高10AH =，求：正方形DEFG 的边长和面积．16．(2020·聊城市茌平区振兴街道中学月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 上的一点，AE 交BD 于O ，△AOB ∽△EOD ，若DE ＝23AB ，AB ＝9，AO ＝6，求DE 和AE 的长．17．(2020·上海浦东新·初三月考)两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．18．(2019·陕西初三专题练习)如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD ＝260cm ，AB ＝130cm ，球目前在E 点位置，AE ＝60cm ．如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．求BF 的长．19．(2019·江苏海陵·泰州中学附属初中初三期末)证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，．求证．(先填空，再证明)证明：20．(2020·酒泉市第二中学期中)如图，如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上．(1)求证：APQ ∽ABC(2)若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？考点3：相似三角形性质的综合应用典例：(2020·山东安丘·东埠初中初三月考)如图，已知矩形ABCD 的边长3AB cm =，6BC cm =，某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1/cm s 的速度向B 点匀速运动；同时动点N 从D 点出发沿DA 方向以2/cm s 的速度向A 点匀速运动，问：(1)经过多少时间，AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的19(2)当点M 到达B 时，两点同时停止运动，经过多长时间，MN 长(3)是否存在时刻ts ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．方法或规律点拨此题考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x ，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．巩固练习1．(2020·安徽包河·初三二模)如图，在矩形ABCD 中，点H 为边BC 的中点，点G 为线段DH 上一点，且∠BGC=90°，延长BG 交CD 于点E ，延长CG 交AD 于点F ，当CD=4，DE=1时，则DF 的长为()A ．2B ．32C D ．952．(2020·深圳市罗湖外语学校初中部初三月考)如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB ＝2：3，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF ＝______．3．(2020·中国科技大学附属中学初三月考)如图，△OAB 是等腰直角三角形，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝4．折叠该纸片，使点A 落在线段OB 上，折痕与边OA 交于点C ，与边AB 交于点D ．(1)若折叠后使点A 与点O 重合，此时OC ＝；(2)若折叠后使点A 与边OB 的中点重合，求OC 的长度；(3)若折叠后点A 落在边OB 上的点为E ，且使DE ∥OA ，求此时OC 的长度．4．(2020·无锡市钱桥中学初三月考)如图，平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的角平分线，且交AB 于点E ，DB 与CE 相交于点O ，(1)求证：△EBC 是等腰三角形；(2)已知：AB=7，BC=5，求OB OD 的值．5．(2020·聊城市茌平区振兴街道中学月考)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝10cm ，AD ＝20cm ，两只小虫P 和Q 同时分别从A ，B 出发沿AB ，BC 向终点B ，C 方向前进，小虫P 每秒走1cm ，小虫Q 每秒走2cm ，请问它们同时出发多少秒时，以P 、B 、Q 为顶点的三角形与以A 、C 、D 为顶点的三角形相似？7．(2021·山西初三月考)在平面直角坐标系中，四边形OABC 的边OC 在x 轴上，OA 在y 轴上，O 为坐标AB//OC ，线段OA ，AB 的长分别是方程29200x x -+=的两个根(OA<AB)．(1)求点B 的坐标；(2)P 为OA 上一点，Q 为OC 上一点，OQ=5，将△POQ 翻折，使点O 落在AB 上的点O '处，求线段AO '的长；(3)在(2)的条件下，M 为x 轴上一点，在平面内是否存在点N ，使以O '，Q ，M ，N 为顶点四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．(2020·无锡市钱桥中学初三月考)如图1，Rt ABC 中，∠C=90°，BC ＝8cm ，AC ＝6cm ，点D 是BC 上的一个定点．动点P 从点C 出发，以每秒2厘米的速度沿C-A-B 方向运动，动点Q 从D 出发，以1cm/s 的速度沿D→B 方向运动．点P 出发5s 后，点Q 才开始出发，且当一个点达到B 时，另一个点随之停止．图2是当0≤t≤5时△BPQ 的面积S(cm2)与点P 的运动时间t(s)的函数图象．(1)CD=，S=cm 2；(2)当点P 在边AB 上时，t 为何值时，使得BPQ 与ABC 为相似？(3)运动过程中，求出当BPQ 是以BP 为腰的等腰三角形时t 的值．9．(2019·河南南阳·初三期中)如图，在ABC 中，5cm AB AC ==，6cm BC =，点P 从点A 出发，沿AB 边以1cm /s 的速度向点B 匀速运动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以2cm /s 的速度向点C 匀速运动，如果P 、Q 同时出发，当Q 点到达C 点时，P 点随之停止运动．当PBQ △中有一个内角等于12BAC ∠时，求运动时间()t s 的值．。

专题22.5图形的位似变换【十大题型】【沪科版】【题型1辨别位似图形】【题型2确定位似中心】【题型3由位似图形的性质判断结论正误】【题型4求位似图形的相似比】【题型5画位似图形】【题型6求位似图形的线段长度】【题型7求位似图形的周长】【题型8求位似图形的面积】【题型9求位似图形的坐标】【题型10 与位似图形相关的规律】知识点：图形的位似变换1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k．注意：a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；b．两个位似图形的位似中心只有一个；c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比．位似多边形的对应边平行或共线．位似可以将一个图形放大或缩小．位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变．f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形，这两个图形分布在位似中心的两侧，并且关于位似中心对称．【题型1辨别位似图形】【例1】（2024·河北廊坊·三模）1．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．嘉嘉对，淇淇不对D．嘉嘉不对，淇淇对【变式1-1】（2024·宁夏·中考真题）2．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）A．平移B．轴对称C．旋转D．位似【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）3．视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是（）A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．②和④【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）4．已知：ABC A B C ¢¢¢∽△△，下列图形中，ABC V 与A B C ¢¢¢V 不存在位似关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【题型2 确定位似中心】【例2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）5．如图，正方形网格图中的ABC V 与A B C ¢¢¢V 位似，则位似中心是（ ）A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）6．用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）A ．原图形的外部B ．原图形的内部C ．原图形的边上D ．任意位置【变式2-2】（2024·四川乐山·二模）7．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为．【变式2-3】（2024九年级·浙江·专题练习）8．下列图形中位似中心在图形上的是（ ）A．B．C．D．【题型3由位似图形的性质判断结论正误】【例3】（2024·浙江金华·一模）9．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）A．△ABC与△DEF是位似图形B．△ABC与△DEF是相似图形C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1【变式3-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）10．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（）A．②③B．③④C．②③⑤D．②③④【变式3-2】（23-24九年级·全国·课后作业）11．如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（）A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心C．AE︰AD是位似比D．点B与点E、点C与点D是对应位似点【变式3-3】（23-24九年级·安徽·期中）12．如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC 扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是()A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周长为6+C．△A1B1C1的面积为3D．点B1的坐标可能是(6，6)【题型4求位似图形的相似比】【例4】（23-24九年级·全国·课后作业）13．如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x、y轴的正半轴上，¢¢¢¢与正方形ABCD是以AC的中点O¢为中心的位似图形，已知AC=正方形A B C D¢¢¢¢与正方形ABCD的相似比是（）点A¢的坐标为(1,2)，则正方形A B C DA ．16B ．13C ．12D ．23【变式4-1】（2024九年级·全国·专题练习）14．如图，在正方形网格中，以点O 为位似中心，ABC V 的位似图形是 （用图中字母表示），ABC V 与该三角形的位似比为 ．【变式4-2】（23-24九年级·山西临汾·期中）15．ABC V 三个顶点(3,6)A 、(6,2)B 、(2,1)C -，以原点为位似中心，得到的位似图形A B C ¢¢¢V 三个顶点分别为(1,2)A ¢，22,3B æö¢ç÷èø，21,33C æö¢-ç÷èø，则A B C ¢¢¢V 与ABC V 的位似比是 ．【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）16．如图，点O 是等边三角形PQR 的中心，P Q R ¢¢¢，，分别是OP ，OQ ，OR 的中点，则P Q R ¢¢¢△与PQR V 是位似三角形．此时，P Q R ¢¢¢△与PQR V 的位似比为 ．【题型5 画位似图形】【例5】（23-24九年级·江苏盐城·期末）17．如图，在平面直角坐标系中，ABC D 的顶点坐标分别为(2,2)A -，(4,0)B -，(4,4)C --，在y 轴右侧，以原点O 为位似中心画一个A B C ¢¢¢V ，使它与ABC V 位似，且相似比是1:2．(1)请画出A B C ¢¢¢V ；(2)请直接写出A B C ¢¢¢V 各顶点的坐标；(3)若ABC V 内部一点M 的坐标为,a b （），则点M 的对应点M ¢的坐标是___________．【变式5-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）18．如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）(1)在图1中，以C 为位似中心，位似比为1:2；请画出放大后的111A B C △．(2)在图2中，线段AB 上作点M ，利用格点作图使得32AM BM =．(3)在图3中，利用格点在AC 边上作－个点D ，使得ABD ACB V ∽．【变式5-2】（23-24九年级·陕西渭南·期末）19．如图，在1010´的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O 和点1A 在格点上，ABC V 是格点三角形（顶点在网格线交点上）．(1)画出ABC V 以点O 为位似中心的位似图形111A B C △，点、、A B C 的对应点分别为点1A 、1B 和1C ；(2)111A B C △与ABC V 的周长之比为______．【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）20．如图是由小正方形组成的88´网格，每个小正方形的顶点叫做格点．,,A B C 都是格点，点P 在BC 上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图1中，将线段AB 沿BC 的方向平移，使点B 与点C 重合，画出平移后的线段CD ，再将PC 绕AC 的中点顺时针旋转180°，得到GA ，画出线段GA ；(2)在图2中，将APC △以点C 为位似中心缩小为原来的12得到EFC V ，画出EFC V ；(3)在图3中，在AC 上画一点M ，在AB 上画一点N ，使得PM MN +最小．【题型6 求位似图形的线段长度】【例6】（2024·浙江温州·三模）21．如图，矩形ABCD 与矩形EFGH 位似，点O 是位似中心，已知:1:2OH HD =，2EH =，则AD 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式6-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）22．如图，以点O 为位似中心，把ABC V 放大为原图形的2倍得到A B C ¢¢¢V ，则:AO AA ¢的值为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．3:2【变式6-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）23．如图，DE 是ABC V 的中位线，D E ¢¢是A B C ¢¢¢V 的中位线，连接AA ¢、BB ¢、CC ¢．已知4BC =，2OA OA ¢=，2OB OB ¢=，2OC OC ¢=．则D E ¢¢的长度为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式6-3】（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）24．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =．若矩形AEFG 与矩形ABCD 位似，点F 在矩形ABCD 的内部，且相似比为3:4，则点C 、F 之间的距离为 ．【题型7 求位似图形的周长】【例7】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）25．如图，以点O 为位似中心，将ABC V 放大得到DEF V ．若AD OA =，则ABC V 与DEF V 的周长之比为（ ）A ．1:6B ．1:5C ．1:4D ．1:2【变式7-1】（2024·重庆·三模）26．如图，ABC V 与DEF V 位似，点O 为位似中心，若2OC OF=，ABC V 的周长为8，则DEF V 的周长为（ ）A ．1.5B ．2C ．3D ．4【变式7-2】（23-24九年级·重庆南岸·期末）27．如图，已知△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，OA ：OD ＝1：3，且△ABC 的周长为2，则△DEF 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．18【变式7-3】（2024·四川成都·二模）28．如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A B C D ¢¢¢¢，已知25OA A A =¢，若四边形ABCD 的周长为8，则四边形A B C D ¢¢¢¢的周长为 ．【题型8 求位似图形的面积】【例8】（23-24九年级·浙江·期末）29．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 是位似图形，点O 是位似中心．若23OE EA =，四边形ABCD 的面积是25，则四边形EFGH 的面积是（ ）A ．4B ．10C ．1009D ．503【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）30．如图，在平行四边形ABCD 中，以C 为位似中心，作平行四边形ABCD 的位似平行四边形PECF ，且与原图形的位似比为2∶3，连接,BP DP ，若平行四边形PECF 的面积为20，则PBE △与PDF △的面积之和为 ．【变式8-2】（2024·重庆九龙坡·一模）31．如图，V ABC 与V DEF 位似，点O 为位似中心，已知OA ：AD ＝1：2，则V ABC 与V DEF 的面积比为（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：9【变式8-3】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）32．如图1，正方形ABCD 绕中心O 逆时针旋转45°得到正方形A B C D ¢¢¢¢，现将整个图形的外围以O 为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为12，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）A ．2B ．4+C ．6+D ．8+【题型9 求位似图形的坐标】【例9】（23-24九年级·四川成都·期末）33．如图， Rt ABC △与Rt EFG △是关于y 轴上一点的位似图形，若()4,4B -，()2,1F 则位似中心的坐标为（ ）A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．30,2æöç÷èø【变式9-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）34．如图，在直角坐标系中，点 E (-4, 2), F (-2, -2 )，以 O 为位似中心，按 2：1 的相似比把D EFO 缩小为D E ¢F ¢O ，则点 E 的对应点 E ¢ 的坐标为 .【变式9-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）35．如图，矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，点P 是位似中心．若点B 的坐标为()23，，点E 的横坐标为1-，则点P 的坐标为 ．【变式9-3】（2024·山东青岛·二模）36．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的顶点()0,0O ，()2,0B ，已知OA B ¢¢△与OAB △位似，位似中心是原点O ，且OA B ¢¢△的面积是OAB △面积的4倍，则点A 对应点A ¢的坐标为（ ）A ．12æççèB ．()2或()2--C ．(4,D ．(2,或(2,--【题型10 与位似图形相关的规律】【例10】（23-24九年级·全国·单元测试）37．如图，在平面直角标系xOy 中，以O 为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB 作n 次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA 1B 1，其边长OA 1缩小为OA 的12，经第二次变换后得到等边三角形OA 2B 2，其边长OA 2缩小为OA 1的12，经第三次变换后得到等边三角形OA 3B 3，其边长OA 3缩小为OA 2的12，…按此规律，经第n 次变换后，所得等边出角形OA n B n ．的顶点A n 的坐标为（812，0），则n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【变式10-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）38．如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456PA A A ……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为()3,0P -，()12,1A -，()21,0A -，()32,1A --，则顶点2024A 的坐标为（ ）A ．()1347,0B ．()672,675-C ．()672,675D ．()1350,0【变式10-2】（23-24九年级·山东青岛·课后作业）39．如图，正方形1111A B C D 可看成是分别以A 、B 、C 、D 为位似中心将正方形ABCD 放大一倍得到的图形（正方形ABCD 的边长放大到原来的3倍），由正方形ABCD 到正方形1111A B C D ，我们称之作了一次变换，再将正方形1111A B C D 作一次变换就得到正方形2222A B C D ，…，依此下去，作了2005次变换后得到正方形2005200520052005A B C D ，若正方形ABCD 的面积是1，那么正方形2005200520052005A B C D 的面积是多少（ ）A ．20053B ．20043C ．40103D ．40093【变式10-3】（23-24九年级·湖南永州·期末）40．如图，在平面直角坐标系中，正方形1112A B C A 与正方形2223A B C A 是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点1A ，2A ，3A 在x 轴上，延长32A C 交射线1OB 与点3B ，以33A B 为边作正方形3334A B C A ；延长43A C ，交射线1OB 与点4B ，以44A B 为边作正方形4445A B C A ；…按照这样的规律继续作下去，若11OA =，则正方形2022202220222023A B C A 的面积为 ．1．A【分析】根据相似与位似的定义进行判断即可．【详解】解：由题意知，嘉嘉向外扩张得到的新的正方形的边长为3，且仍为正方形，故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．1，且仍为正方形，故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．故两人说法正确，故选：A ．【点睛】本题考查了相似与位似．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．D【分析】根据位似的定义，即可解决问题．【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．故选：D ．【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．3．B【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．【详解】解：A 、①和②是位似图形，则此项不符合题意；B 、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；C 、①和④是位似图形，则此项不符合题意；D 、②和④是位似图形，则此项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．4．D【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．【详解】解：A 、ABC V 与'''A B C V 是位似关系，故此选项不合题意；B 、ABC V 与'''A B C V 是位似关系，故此选项不合题意；C 、ABC V 与'''A B C V 是位似关系，故此选项不合题意；D 、ABC V 与'''A B C V 对应边BC 和''B C 不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．5．A【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可．【详解】根据题意，得位似中心为点D ，故选A ．6．D【分析】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．【详解】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的.故选D.【点睛】本题考查图形的位似，解题的关键是掌握位似图形的性质和画法.7．()21，【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P ，则P 点为位似中心，然后写出P 点坐标即可．【详解】解：如图，点P 为位似中心，()21P ，．故答案为：()21，．【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．8．B【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．【详解】A 、 ，位似中点在图形内部，不合题意；B、，位似中点在图形上，符合题意；C、，位似中点在图形外部，不合题意；D、，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．9．D【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意；△ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意；∵将△ABC的三边缩小到原来的12，∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故D选项不正确，符合题意；∵面积比等于相似比的平方，∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故C选项正确，不符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．10．A【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．【详解】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意；位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③正确，符合题意；位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意．位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意．故选：A．11．C【详解】∵BC∥DE，且CD与BE相交于点A，∴A、两个三角形是位似图形，正确，不合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，正确，不合题意；C、AE：AC是位似比，故此选项错误，符合题意；D、点B与点E，点C与点D是对应位似点，正确，不合题意，故选C．12．C【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可.【详解】A. △ABC∽△A1B1C1，故A正确；B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，△ABC的周长为于位似比可得△A1B1C1的周长为△ABC周长的3倍，即6+B正确；C. S△ABC=1111=22´´,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面积为△ABC周长的9倍，即19=4.52´，故C错误；D. 在第一象限内作△A1B1C1时，B1点的横纵坐标均为B的3倍，此时B1的坐标为（6,6），故D正确；故选C.【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.13．B【分析】延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．【详解】解：延长A′B′交BC于点E，如图．∵在正方形ABCD 中，AC ＝，∴BC ＝AB ＝3，∵点A ′的坐标为（1，2），∴OE ＝1，EC ＝A ′E ＝3﹣1＝2，∴CE ：BC ＝2：3，∵A ′E ∥AB ，∴△A ′CE ∽△ACB ，∴CA ′：AC ＝2：3，∵正方形A B C D ¢¢¢¢与正方形ABCD 是以AC 的中点O ¢为中心的位似图形，∴AA ′＝CC ′，∴AA ′＝CC ′＝A ′C ′，∴A ′C ′：AC ＝1：3，∴正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是13．故选：B ．【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．14． GEH △ 12##0.5【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断ABC V 的位似图形是GEH △，然后计算OB 与OE 的比得到位似比．【详解】解：以点O 为位似中心，ABC V 的位似图形是GEH △，ABC V 与GEH △的位似比为12OB OE =．故答案为：GEH △，12．【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．15．13：##13【分析】本题考查了位似图形的性质．由ABC V 三个顶点(3,6)A 、(6,2)B 、(2,1)C -，以原点为位似中心，得到的位似图形A B C ¢¢¢V 三个顶点分别为(1,2)A ¢，22,3B æö¢ç÷èø，21,33C æö¢-ç÷èø，根据位似图形的性质，即可求得A B C ¢¢¢V 与ABC V 的位似比．【详解】解：∵ABC V 三个顶点(3,6)A 、(6,2)B 、(2,1)C -，以原点为位似中心，得到的位似图形A B C ¢¢¢V 三个顶点分别为(1,2)A ¢，22,3B æö¢ç÷，21,33C æö¢-ç÷ø，∴5,AB ==5,BC ==AC ==53A B ¢¢==，53B C ¢¢==，A C ¢¢=∴13A B B C A C AB BC AC ¢¢¢¢¢¢===，∴A B C ABC ¢¢¢△△∽，∴A B C ¢¢¢V 与ABC V 的位似比是：13：．故答案为：13：．16．1:2##12【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得P Q PQ ¢¢∥，P R PR ¢¢∥，Q R QR ¢¢∥，12P Q P R Q R PQ PR QR ¢¢¢¢¢¢===，得出P Q R PQR ¢¢¢V V ∽，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，从而即可求解．【详解】解：∵P Q R ¢¢¢，，分别是OP ，OQ ，OR 的中点，∴P Q PQ ¢¢∥，P R PR ¢¢∥，Q R QR ¢¢∥，12P Q P R Q R PQ PR QR ¢¢¢¢¢¢===，∴P Q R PQR ¢¢¢V V ∽，又∵P Q R ¢¢¢，，分别是OP ，OQ ，OR 的中点，∴点P ¢与点P ，点Q ¢与点Q ，点R ¢与点R 的连线都经过点O ，∴P Q R ¢¢¢△与PQR V 是位似三角形，其位似中心是点O ，∵12P Q P R Q R PQ PR QR ¢¢¢¢¢¢===，∴P Q R ¢¢¢△与PQR V 的位似比为1:2，故答案为：1:2．17．(1)见解析(2)1()1,A ¢-，(2,0)B ¢，(2,2)C ¢(3)(,22a b --【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．（1）根据位似的性质作图即可．（2）由图可得答案．（3）由位似变换可得，点M 的横纵坐标分别除以2-，即可得点M ¢的横纵坐标．【详解】（1）解：如图，A B C ¢¢¢V 即为所求．（2）解：由图可得，1()1,A ¢-，(2,0)B ¢，(2,2)C ¢．（3）解：由题意可得，点M ¢的坐标为(,22a b --．故答案为：(,)22a b --．18．(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）根据位似图形的定义，延长CA 到点1A ，使得12CA CA =，延长CB 到点1B ，使得12CB CB =，连结11A B ，可证明ABC V 与111A B C △位似，位似比为1:2，所以111A B C △即为所求；（2）在点C 的左侧作水平线段=5BC 个单位长度，连结AC ，在BC 上取点N ，使2BN =个单位长度，过点N 沿格点线作NM AC ∥，交AB 于点M ，根据平行线分线段成比例定理，可得32AM BM =，所以点M 就是所求的点；（3）过点A 作AE AC ^，使得AE AC =，点E 恰为格点，过点B 作BF AE ∥，使得BF AE =，点F 恰为格点，BF 与AC 交于点D ，则AC BF ^，同时可证得90ABC Ð=°，由此即可证明ABD ACB ∽△△，所以点D 就是所求的点．【详解】（1）如图，111A B C △即为所求作的三角形；（2）如图，点M 就是所求的点；（3）如图，点D 就是所求的点．19．(1)作图见解析；(2)31∶【分析】（1）由点1A A 、可得ABC V 与111A B C △的位似比为13∶，再根据位似图形的性质作图即可；（2）根据位似图形的性质即可求解；本题考查了作位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】（1）解：如图，111A B C △即为所求；（2）解：∵131OA OA =∶∶，∴111A B C △与ABC V 的位似比为31∶，∴111A B C △与ABC V 的周长之比为31∶，故答案为：31∶．20．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）利用平移性质可画出CD ，利用平行四边形的性质，连接P 和AC 的中点并延长交AD 于点G ，即可得到答案；（2）根据位似图形的性质得到12CE AC =，12CF CP =，取AC 中点E 和AP 上一点G ，连接EG 并确定其中点Q ，取AP 上一点H ，连接HQ 并延长，根据“对角线相互平分的四边形为平行四边形”可作平行四边形EHGM ，连接EM 并延长交BC 于点F ，根据平行线分线段成比例得到点F 为CP 的中点，则EFC V 即为所求作；（3）首先确定点P 关于AC 的对称点P ¢：取格点B ¢，连接CB ¢，B P ¢，B P ¢交AC 于点K ，连接BK 并延长交CB ¢于点P ¢，根据全等三角形的性质以及垂直平分线的判定，可知点P P ¢、关于AC 对称；过点P ¢作AB 的垂线，确定点M N 、：取格点C ¢，使得B CC ¢¢V 为等腰三角形，连接C P ¢¢确定点J ，连接CJ 并延长确定点T ，连接P T ¢并延长，交AC 于点M ，交AB 于点N ，连接PM ，即可获得答案．【详解】（1）（2）（3）【点睛】本题考查基本作图，涉及平移性质、位似图形性质、中心对称图形性质、轴对称图形性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、垂线段最短等知识，熟知网格特点，熟练掌握基本作图所涉及到的知识点的运用是解答的关键．21．C【分析】先由:1:2OH HD =可得:1:2OH HD =，再由矩形ABCD 与矩形EFGH 位似可得13EH OH AD OD ==，最后代入计算即可．【详解】解：∵:1:2OH HD =，∴13OH OD =，∵矩形ABCD 与矩形EFGH 位似，∴13EH OH AD OD ==∵2EH =，∴6AD =．故选C ．【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到13EH OH AD OD ==是解答本题的关键．22．B【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，即可判断，正确掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】解：以点O 为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，∴ABC A B C ¢¢¢∽△△，点C 、点O 、点C ¢三点在同一直线上， :1:2AO OA ¢=，∴:1:3AO AA ¢=，故选：B ．23．B【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形中位线的性质证明12D E B C ¢¢¢¢=，再推导ABC A B C ¢¢¢∽△△，且相似比为12，进而可得28B C BC ¢¢==，然后计算D E ¢¢的长度即可．【详解】解：∵DE 是ABC V 的中位线，D E ¢¢是A B C ¢¢¢V 的中位线，∴12DE BC =，12D E B C ¢¢¢¢=，∵2OA OA ¢=，2OB OB ¢=，2OC OC ¢=，∴ABC A B C ¢¢¢∽△△，且相似比为12，∴12BC B C ¢¢=，∴2248B C BC ¢¢==´=，∴142D E B C ¢¢¢¢==．故选：B ．24【分析】连接AC ，先由勾股定理求得AC =4，再根据矩形AEFG 与矩形ABCD 位似，点F 在矩形ABCD 的内部，且相似比为3:4，得34AF AC =，即可求出AF 长，然后由CF =AC -A 即可求解．【详解】解：如图，连接AC ，∵矩形ABCD ，∴∠B =90°∴AC ==∵矩形AEFG 与矩形ABCD 位似，点F 在矩形ABCD 的内部，且相似比为3:4，∴点F 在AC 上，∴34AF AC =34=，∴AF ，∴CF =AC -AF ，．【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．25．D【分析】根据题意求出ABC V 与DEF V 的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比．【详解】解：以点O 为位似中心，将ABC V 放大得到DEF V ，∴AB DE ∥，∵AD OA =，∴::1:2AB DE OA OD ==，∴ABC V 与DEF V 的位似比为1:2，∴ABC V 与的周长之比为1:2．故选：D ．【点睛】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比．26．D【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得ABC DEF ∽△△，2AC OC DF OF==，然后根据相似三角形的性质解决问题，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．【详解】解：ABC QV 与DEF V 位似，点O 为位似中心．ABC DEF \V V ∽，2AC OC DF OF\==，ABC \V 的周长:DEF △的周长2:1=，ABC QV 的周长为8DEF \V 的周长为4．故选：D ．27．B【分析】由ABC V 与DEF V 是位似图形，且:1:3OA OD =知ABC V 与DEF V 的位似比是1:3，从而得出ABC V 周长：DEF V 周长1:3=，由此即可解答．【详解】解：∵ABC V 与DEF V 是位似图形，且:1:3OA OD =，ABC \V 与DEF V 的位似比是1:3．则ABC V 周长：DEF V 周长1:3=，。