9.3用正多边形铺设地面

9.3用正多边形铺设地面课时训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板相交于一点且各边完全吻合，其中两块木板的边数都是5，则第三块木板的边数应是（）A．5 B．6 C．8 D．102．某市对人行道路翻新，准备选用—种正多边形铺设地面，下列地砖中，不能在平面镶嵌中铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3．如图，下列关于正六边形ABCDEF的说法中，正确的是（）A．内角和为1080︒B．共有六个外角，且外角和为360︒C．共有12条对角线D．它能与等边三角形进行平面镶嵌4．下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（）A．三角形B．四边形C．正五边形D．正六边形5．小育到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A．正八边形B．正六边形C．正方形D．正三角形6．下列正多边形地砖中，单独选用一种地砖不能铺满地面的是（）A．正三角形地砖B．正方形地砖C．正六边形地砖D．正八边形地砖7．小漩希望在装修她的新房时铺上有正八边形的地砖，那么密铺她的房间地面还应选择以下哪种形状的地砖（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形8．某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是（）A．1、2 B．2、1 C．2、2 D．2、39．现有若干边长相同的正方形和正三角形，在一个顶点周围用m个这种正方形和n个正三角形恰好铺满地面（,m n为正整数），则m n的值为（）A．6 B．5 C．4 D．310．用同样大小的多边形地砖不能镶嵌成一个平面的是()A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正三角形二、填空题11．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m块正三角形，n块正六边形，则m+n＝______．12．在正五边形和正八边形、正六边形和正方形、正八边形和正方形、正十边形和正方形，这几种组合中，能铺满地面的正多边形的组合是____13．把边长为1的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点,E F分别为,AD CD 的中点，四边形AHGE是菱形，用这四块纸片拼成四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是________．14．若一个正多边形的每个外角都等于45°，则用这种多边形能铺满地面吗？（填“能”或“不能”）答：________．15．将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板分别为正方形和正六边形，则第三块正多边形木板的边数为______.16．形状、大小完全相同的三角形________(填“能”或“不能”)铺满地面；形状、大小完全相同的四边形________(填“能”或“不能”)铺满地面．三、解答题17．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的32．（1）试分别确定A，B是什么正多边形？（2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）．18．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）（2）请画出你的镶嵌图．19．如图所示，有一边长为米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的正方形方砖密铺而成．（1）图中黑白方砖共有块；（2）求一块方砖的边长．20．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．（1）小明一共走了多少米？（2）这个多边形的内角和是多少度？参考答案1．D2．C3．D4．C5．A6．D7．B8．D9．B10．C11．4或512．正八边形和正方形．13．2+或3+或414．不能15．1216．能能17．（1）A为正四边形，B为正三边形；（2）见解析【详解】解：（1）设B的内角为x，则A的内角为32x，∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），∴3x+2×32x=360°，解得：x=60°，∴32x=90°∴可确定A为正四边形，B为正三边形．（2）所画图形如下：18．（1）3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；（2）如图所示见解析.【详解】解：（1）正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，因为3×60+2×90=360°，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；（2）如图所示：19．（1）黑白方砖共有32块；（2）一块方砖的边长为2米．【详解】（1）观察图象可知黑白方砖共有16+9+7＝32（块），故答案为32；（2）设一块方砖的边长为a．由题意：a＝，∴a＝2，∴一块方砖的边长为2米．20．（1）小明一共走了120米（2）这个多边形的内角和是3960度【详解】（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形，∴360÷15=24，24×5=120m答：小明一共走了120米；（2）（24﹣2）×180°=3960°，答：这个多边形的内角和是3960度．。

9.3用正多边形铺设地面学习目的：1、理解用相同的正多边形和两种以上的正多边拼拼成一个不留空隙、又不重叠的平面图形的关键，体会某些平面图形的性质及其位置关系， 认识图形在日常生活中的应用。

2、提高观察、分析、概括、抽象等能力，认识图形在日常生活中的应用，能欣赏现实世界中的美丽图案。

一、问题导学1、瓷砖是生活中常见的装饰材料（演示图片），瓷砖的铺设，使到相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙。

你知道瓷砖能铺满地面的奥秘吗？这就是我们今天要研究的问题。

2、观察思考：展示所收集的瓷砖铺设的有关资料（相片、画、网上资料等），观察图中用于瓷砖铺设的是什么图形？二、依标再学展示学习目标，引导学生再读课本三、自学展示1、问题：哪些正多边形可以铺满地面？在所有的正多边形中，用一种正多边形铺地板，只有才能铺满地板，理由是： 正多边形个数×正多边形内角度数=360º 五、课堂练习1、用 个正三角形瓷砖就可以铺满地面， 用 个正方形瓷砖就可以铺满地面，用 个正六边形瓷砖就可以铺满地面。

2、某人到瓷砖商店去购买一种．．正多边形形状的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不．可以（ ） A 、正三角形 B 、正四边形 C 、正六边形 D 、正八边形 3、你能用正三角形、正方形、正十二边形拼成不留空隙，不重叠的平面图形吗?4、一种四边形瓷砖的4条边的长度分别为4㎝，6㎝，8㎝，10㎝，如图，请你用12块这样的瓷砖铺一块地面，使它们排3行，每行4块，并使相邻的瓷砖边与边之间既无空隙，又不重叠，请画出图来。

5、 在日常生活中观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形。

用正多边形铺设地面一、教学目的：1、学问目的（1）、在试验探究学习活动中，使学生驾驭两种以上正多边形可以铺满地面。

（2）、在探究过程中，使学生理解正多边形可以铺满地面道理。

2、实力目的（1）、进一步进步学生视察、分析、概括、抽象等实力。

（2）、培育学生动手操作、自主探究、合作学习实力。

3、情感看法价值观（1）、通过视察、试验、归纳、推断等学习活动，使学生体验数学活动充溢着探究性和创建性，进而培育学生学习数学爱好，增加学好数学自信念。

（2）、使学生体会到数学与现实生活亲密联络，相识到数学应用价值。

4、重点、难点重点：通过用两种以上正多边形拼地板，进步学生视察、分析、概括、抽象实力。

难点：找寻用哪几种正多边形能铺满地板。

二、过程与方法：1、课堂上充分发挥学生主体作用，让学生在活动中试验、在试验中探究、在探究中领悟、在领悟中理解，从而可以很好地突出重点、打破难点。

2、通过对“用正多边形铺地板问题”探究，让学生在参加中去体验、去感受、去领悟、去创建。

激发学生探究精神、培育创建实力。

三、教学打算：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形纸片四、教学过程：二、理论探究我们已经讨论了用同种正多边形是可以铺满地面，那么用多种正多边形是否也能铺满地面呢？1、首先，讨论两种正多边形状况：从打算材料中任取两种正多边形进展组合，讨论是否也能铺满地面。

学生活动时适当指导，赐予扶植。

提问：正五边形与正十边形围绕一点能拼成360º，学问打算：正多边形各内角度数；（正多边形、多边形内角和、外角和学问运用）学生分组试验探究，归纳总结。

1、哪些正多边形两两组合可以铺满地板？_________________________________2、铺满地板关键是什么？______________________________总结：正方形与正三角形；正六边形与正三角形；正十二边形与正三角形；正八边形与正方形3、学生讨论、试验，推断正五边形与正十边形是否能扩展到整个平面。

第9章多边形 9.3 用正多边形铺设地面1．下列正多边形中，不能铺满地面的是( )A．正三角形 B．正四边形C．正五边形 D．正六边形2．学校科技馆的地面准备铺设一些边长相同的正六边形地砖，那么在每一个顶点处，应铺设( )A．2块 B．3块 C．4块 D．5块3．用两种正多边形地砖镶嵌地面，不能与正三角形匹配的是( )A．正方形 B．正六边形 C．正十二边形 D．正十八边形4．现有正三角形、正方形、正六边形、正八边形形状的地砖，如果选择其中的两种铺满平整的地面，那么选择的两种地砖的形状不能是( )A．正三角形与正方形B．正三角形与正六边形C．正方形与正六边形D．正方形与正八边形5．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是( )A．3 B．4 C．5 D．66．某同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是( )A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③7．小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是( )8．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种9. 现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能铺满地面成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形10．正八边形不能铺满地面的原因是 .11．用完全相同的任意三角形、任意四边形、任意五边形，选一种一定能铺满地面的是．12．设在一个顶点周围有a个正三角形、b个正十二边形铺满地面，则a＋b ＝ .13．如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1＝ .14．一个正m边形恰好被正n边形围住(无重叠、无间隙，如图所示的是m＝4，n＝8的情况)，若m＝10，则n＝ .15．铺设一间长6m，宽3.5m的客厅地面需要同样规格的正方形地板砖，现有“40cm ×40cm”“30cm×30cm”“50cm×50cm”和“60cm×60cm”的地板砖，请你设计一下，要想全部铺满，不锯破且不留一点空隙，选哪一种规格？为什么？需要多少块？16．已知2个正多边形A 和3个正多边形B 可绕一点周围镶嵌(密铺)，A 的一个内角的度数是B 的一个内角的度数的32. (1)试分别确定A 、B 是什么正多边形？(2)画出这5个正多边形在平面镶嵌(密铺)的图形(画一种即可)．17．用边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的两种正多边形拼地板，哪两种能铺满地面？说明理由，并设计出符合条件的图案．答案：1-9 CBDCA ACBA10. 它的内角不能整除360°11. 任意三角形和任意四边形12. 313. 67.5°14. 515. 解：选“50cm ×50cm ”的地砖．理由如下：因为地砖不可能是半个，所以选的规格要同时是长6m ，宽3.5m 的公约数．因为6m ＝600cm,3.5m ＝350cm ，60050＝12，35050＝7，所以需选“50cm ×50cm ”规格的地板砖，总共需要12×7＝84(块)地板砖．16. 解：(1)设B 的一个内角是x °，则A 的一个内角是1.5x °，根据题意得方程：2×1.5x ＋3×x ＝360，所以x ＝60，所以1.5x ＝90，所以A 为正方形，B 为正三角形；(2)共有两种情形(正方形相邻；正方形不相邻)．17. 解：因为正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角分别是60°、90°、108°、120°，所以(1)正三角形和正方形能铺满平面．因为3×60°＋2×90°＝360°，所以用三个正三角形和两个正方形能覆盖平面，图案如图①所示；(2)正三角形和正六边形能铺满平面．因为2×60°＋2×120°＝360°，所以用两个正三角形和两个正六边形能覆盖平面，图案如图②所示．因为4×60°＋120°＝360°，所以用四个正三角形和一个正六边形也能覆盖平面，图案如图③所示．。

用多种正多边形学前温故1．使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满平面．2．能够铺满平面的正多边形有正三角形、正四边形、正六边形．新课早知1．用多种正多边形铺设地面用多种正多边形铺设地面：指同时用两种或两种以上的不同的正多边形围绕一点，既不能留空隙，又不互相重叠铺成平面．2．用两种正多边形铺满地面的常见种类有：(1)正三角形和正方形；(2)正三角形和正六边形；(3)正三角形和正十二边形；(4)正方形和正八边形．用多种正多边形铺设地面【例题】用三个正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，如果其中两块木板的边数为5，则第三块木板的边数为多少？分析：我们知道铺地面的要点是公共点处是一个周角，即360°，只要求出第三块木板的一个内角的度数，就可以求出该多边形的边数了．解：因为正五边形的每个内角的度数为108°，三块木板拼在一起完全吻合，则第三块木板的一个内角为360°－108°－108°＝144°.设第三块木板的边数为n，依题意得(n－2)×180°＝144°×n，解得n＝10.另外，我们也可以利用多边形外角和来求边数：360°÷(180°－144°)＝10.所以第三块木板的边数为10，即第三块木板为正十边形．点拨：用给定的多种正多边形铺设地面和用一种正多边形铺地板的原理是相同的，都是要求围绕一点拼在一起的正多边形的几个内角和能够组成360°的周角．所不同的是只用一种正多边形时，能够密铺的很少，只有正三角形、正方形和正六边形三种，而用多种正多边形时，可以有多种情形能够铺满地面．1．下列多边形的组合中，能够铺满地面的是( )．A．正方形与正六边形B．正八边形和正方形C．正五边形和正八边形D．正五边形和正六边形答案：B2．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )．A．正方形和正六边形B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形D．正三角形、正方形和正六边形答案：A3．用正三角形和正四边形铺设平面时，在一个顶点周围，可以有______个正三角形和____个正四边形．答案：3 24．设在一个顶点周围有a个正三角形，b个正十二边形铺满地面，则a＝____，b＝____.解析：正三角形和正十二边形的个数满足2a＋5b＝12，所以a＝1，b ＝2.答案：1 2。

子击出，遭田子方于道，下车伏谒。

子方不为礼。

子击怒，谓子方曰：“荣华者骄人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；医生而骄人则失掉家。

失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。

9.3用正多边形铺设地面【知识与技术】1.经过用同样的正多边形拼地板活动，稳固多边形的内角和与外角和公式.2.研究用多种正多边形拼地板的过程和原理.【过程与方法】联合现实世界中的漂亮图案，充足感觉用正多边形拼地板的意义，领会用多种正多边形拼地板与一种正多边形拼地板的互相关系 .【感情态度】联系多边形的内角和与外角和公式，研究用正多边形拼地板的道理.【教课要点】经过用两种以上正多边形拼地板，提升学生察看、剖析、归纳、抽象等能力.【教课难点】经过操作使学生发现能拼成一个平面图形的要点.一、情境导入，初步认识小明家刚买了新房，准备装饰，小明想把新房的地面铺上地板砖，因此他这段时间特别留意已铺了地板砖的地面 .看了一些地板砖的铺设后，小明打算用同一种正多边形的地砖来铺满新房的地面 .请你帮小明想一想，他能够买哪一种形状的地板砖？为何？【教课说明】发掘生活资料，使讲堂教课尽量联合学生的生活实质，以实物图形加深对地板（地砖）铺设的认识 .提出问题，导出本节要研究的课题 .二、思虑研究，获得新知研究 1用同样的正多边形1.使用给定的某种正多边形，它可否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠？（请同学们取出早先准备好的若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形）【教课说明】经过学生着手拼图，使他们发现能拼成既不留缝隙，又不重叠的平面图形的要点是环绕一点拼在一同的几个正多边形的内角相加恰巧等于360° .2.下边再经过计算，看看哪些正多边形能拼成切合以上条件的图形.达成下表：每个内角为多少度时能拼成切合以上条件的平面图形呢？由于 60°× 6=360°，用 6 个正三角形瓷砖就能够铺满地面；90°× 4=360°，用 4 个正方形瓷砖就能够铺满地面.为何用正五边形瓷砖不可以铺满地面呢？正八边形也不可以？由于 360°÷ 108°， 360°÷ 135°得数都不是整数 .【归纳结论】当环绕一点拼在一同的几个多边形的内角加在一同恰巧构成一个周角时，就能够拼成一个平面图形 .研究 2用多种正多边形用正三角形和正六边形能铺满地面吗？为何？由正六边形和正三角形构成由于正六边形的内角为120°，正三角形的内角为60°，这样用 2 块正六边形和 2 块正三角形，它们内角之和为一个周角360°，因此能铺满地面 .（即： 2×120°+2× 60°=360°）能不可以用其余两种或两种以上的正多边形铺地板呢？如图①：是用正八边形和正方形拼成的 .由于正八边形的内角为 135°，正方形的内角为 90°，那么用 2 个正八边形和 1 个正方形各一内角之和正好等于360°，因此能够铺满地板 .（即： 2× 135°+90°=360°）如图②：是用正六边形、正方形、正三角形拼成的 .由于正六边形的内角为120°，正方形的内角为 90°，正三角形的内角为 60°，那么用 1 个正六边形，2 个正方形和 1 个正三角形各一个内角之和为360°，因此能够铺满地面 .（即：120° +2×90°+60°=360°）【归纳结论】若几个正多边形的一个内角的和等于360°，那么这几个正多边形可铺满地面 .【教课说明】借助着手操作，计算考证，将难点分解，让学生在活动过程中掌握数学知识，经过合作研究，培育他们的学习能力.三、运用新知，深入理解1.用以下的同样多边形不可以铺满地面的是（）A.平行四边形B.正十边形C.直角梯形子击出，遭田子方于道，下车伏谒。

9．3 用正多边形铺设地面原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！灵师不挂怀,冒涉道转延。

——韩愈《送灵师》9．3.1 用相同的正多边形教学目标一、基本目标1．通过用相同的正多边形拼地板的活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．2．通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加要等于360°.二、重难点目标【教学重点】正多边形进行密铺的原理．【教学难点】掌握用哪些正多边形可以进行密铺．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P88～P89的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．完成下表：n－2×180°n内角的大小2.当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形，即可以铺满地面．3．用一种正多边形铺地面时，需要的条件是这种正多边形的每个内角都能被360o整除．4．小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( D )A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．【互动探索】(引发学生思考)正方形大厅中共用方砖多少块？正方形大厅的面积与方砖有什么关系？【解答】根据题意可知，共有32块方砖，所以每块方砖的面积为8×8÷32＝2(平方米)，故一块方砖的边长为2米．【互动总结】(学生总结，老师点评)正方形大厅的四个角处的白方砖正好组成一块白方砖，各边上的残缺白瓷砖正好组成6块完整的白瓷砖，那么共有32块瓷砖．求出每块瓷砖的面积，进而求得边长即可．【例2】如图所示，已知等边三角形ABC的边长为，按图中所示的规律，用2019个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )A．2018 B．2019C．2020 D．2021【互动探索】(引发学生思考)观察图形可知，第一个三角形的周长是3，利用2个三角形成的第1个四边形的周长是3＋1＝4，利用3个三角形成的第2个四边形的周长是3＋2＝5，利用4个三角形成的第3个四边形的周长是3＋3＝6，…，利用n个三角形成的第n－1个四边形的周长就是3＋n－1＝n＋2，所以用2019这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是n＋2＝2019＋2＝2021.【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题关键是得出利用n个三角形进行镶嵌而成的四边形的周长规律．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是( B )A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形2．只用一种正六边形地砖密铺地板，则能围绕在正六边形的一个点处的正六边形地砖有( A )A．3块B．4块C．5块D．6块3．如果只用一种正多边形做平面密铺而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的每个内角度数为60°.4．在一个边长为10 m的正六边形地面，用边长为50 cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖2400块．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用一种正多边铺地面时，需要的条件这种正多边形的每个内角都能被360o 整除．练习设计请完成本课时对应练习！9．3.2 用多种正多边形教学目标一、基本目标通过用两种以上的正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力．二、重难点目标【教学重点】寻找用哪几种正多边形能铺满地面．【教学难点】用列举法根据铺满地面的条件，设计铺设地面的方案．教学过程环节1 自学提纲生成问题【5 min阅读】阅读教材P90～P91的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．下列图形中能单独进行镶嵌的是 ( B )A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形2．当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形，即可以铺满地面．3．一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形，正方形，正六边形，那么另外一个是 ( B ) A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第9层中含有正三角形个数是( )A．54个B．102个C．90个D．114个【互动探索】(引发学生思考)观察图形可知，第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，则每一层比上一层多12个，所以第9层中含有正三角形的个数是6＋12×8＝102(个)．【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了平面镶嵌(密铺)问题，此题要注意能够分别找到三角形和正方形的个数的规律．【例2】如图是小亮家里地面上铺设的正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成，小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少( )A．6块B．8块C．10块D．12块【互动探索】(引发学生思考)由正多边形铺满地面的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°.∵正方形的一个内角为90°，∴同一顶点处等腰梯形的一个内角为(360－90)÷2＝135°.又∵正八边形的内角为180°－360°÷8＝135°，∴小正方形的边长即为正八边形的边长，画图如下：则两个正八边形图案需要这样的地板砖至少8块．【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)解题时画出图形分析，并利用正八边形的性质得出答案．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是( B )A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2．阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点周围正方形、正三角形地砖的块数可以是( B ) A．正方形2块，正三角形2块B．正方形2块，正三角形3块C．正方形1块，正三角形2块D．正方形2块，正三角形1块3．下列四组多边形中，能铺满地面的是①②③④.①正六边形与正三角形；②正十二边形与正三角形；③正八边形与正方形；④正三角形与正方形．4．用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方形，n个正八边形，则m ＝1，n＝2.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)几种边长相等的正多边形能密铺要满足围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角和为360°.练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】不怕你不懂不会，旧怕你不学不干。

地砖上的数学随着人们生活水平的提高，家庭装修已成为一种时尚追求．在家庭装饰中，地砖的铺设就是一项非常重要的美化工作．当你看到地砖铺成的美丽图案时，你是否想到展铺这美丽图案的数学原理呢？请看下面的分析．相信通过对下文的阅读，你不仅能弄清楚本章有关瓷砖铺设问题中的数学道理，而且还可通过对丰富多彩的图案的欣赏，体验到数学的美，提高你的审美情趣．地砖展铺的图形，一般都是用几种完全相同的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化．但是作为根底还是用平面多边形展铺平面．有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的．例如，一个由正方形展铺的平面图案〔如图〔a〕〕，如果对正方形用圆弧做一些变化〔如图〔b〕〕，那么把两个以上图形结合起来设计，就可由比拟单调的正方形图案，变化曲线形成花纹图案了〔如图〔c〕〕．由于多边形是构成地砖展铺复杂图形的根底，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析．相信经过以下分析，同学们一定能轻而易举地解决本章第一节提出的问题，为什么有些图形能不留一点空隙的将地面铺满，而有些图形那么不能满足要求．同时一定会有一种恍然大悟的感觉．1．怎样以三角形为根底展铺平面图案？三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为根本图形来展铺平面图案，那么就要考虑三角形的特点．由于三角形的三个内角和为180°，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角．如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角．因此，假设把图中的三角形的三个内角集中在一起，并经过轴对称或中心对称，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为360°，刚好覆盖上这一点周围的平面．对称的方法见图：在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折．如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称，正、反两面就会明显地反映出来了．由上面的分析可知，用三角形为根本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图：2．怎样以四边形为根底展铺平面图案？由于四边形的内角和为360°，所以，任何四边形都可以作为根本图形来展铺平面图案．如图中的〔a〕、〔b〕、〔c〕、〔d〕分别是以矩形、菱形、梯形、一般四边形为根本图形的平面展铺图案．3．怎样以正多边形为根本图形展铺平面图案？用正多边形为根本图形展铺平面图案，集中于一点的周围的正多边形的各个内角的和应是360°．例如，正五边形一个内角为；正十边形一个内角为．如果把两个正五边形的内角与一个正十边形的内角加起来，那么其和为2×108＋144°＝360°．但是它们并不能用来展铺平面．如果用同种的正n边形来展铺平面图案，在一个顶点周围集中了m个正n边形的角．由于这些角的和应为360°，所以有：，即，即因为都是正整数，并且．所以也都必定是正整数．所以当，即时，；当，即时，；当，即时，；而当，即时，，即．这就证明了只用一种正多边形展铺平面图案，只存在三种情况：〔1〕由6个正三角形拼展，我们用符号〔3，3，3，3，3，3，〕来表示〔如图〕．〔2〕由4个正方形拼展，我们用符号〔4，4，4，4〕来表示〔如图〕．〔3〕由3个正六边形拼展，我们符号〔6，6，6〕来表示．如果用两种正多边形来拼展平面图案，那么就有以下五种情况：〔3，3，3，4，4〕，〔3，3，3，3，6〕，〔3，3，6，6〕，〔3，12，12〕以及〔4，8，8〕．这五种情况中，〔3，3，3，4，4，〕和〔3，3，6，6〕又各有两种不同的拼展方法，如图列出其中六种拼展图形．用三种正多边形展拼平面图形就比拟难设计了，如图举出两例供同学们思考．。