9.3.1用正多边形铺设地面

9.3用正多边形铺设地面学习目的：1、理解用相同的正多边形和两种以上的正多边拼拼成一个不留空隙、又不重叠的平面图形的关键，体会某些平面图形的性质及其位置关系， 认识图形在日常生活中的应用。

2、提高观察、分析、概括、抽象等能力，认识图形在日常生活中的应用，能欣赏现实世界中的美丽图案。

一、问题导学1、瓷砖是生活中常见的装饰材料（演示图片），瓷砖的铺设，使到相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙。

你知道瓷砖能铺满地面的奥秘吗？这就是我们今天要研究的问题。

2、观察思考：展示所收集的瓷砖铺设的有关资料（相片、画、网上资料等），观察图中用于瓷砖铺设的是什么图形？二、依标再学展示学习目标，引导学生再读课本三、自学展示1、问题：哪些正多边形可以铺满地面？在所有的正多边形中，用一种正多边形铺地板，只有才能铺满地板，理由是： 正多边形个数×正多边形内角度数=360º 五、课堂练习1、用 个正三角形瓷砖就可以铺满地面， 用 个正方形瓷砖就可以铺满地面，用 个正六边形瓷砖就可以铺满地面。

2、某人到瓷砖商店去购买一种．．正多边形形状的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不．可以（ ） A 、正三角形 B 、正四边形 C 、正六边形 D 、正八边形 3、你能用正三角形、正方形、正十二边形拼成不留空隙，不重叠的平面图形吗?4、一种四边形瓷砖的4条边的长度分别为4㎝，6㎝，8㎝，10㎝，如图，请你用12块这样的瓷砖铺一块地面，使它们排3行，每行4块，并使相邻的瓷砖边与边之间既无空隙，又不重叠，请画出图来。

5、 在日常生活中观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形。

用正多边形铺设地面一、教学目的：1、学问目的（1）、在试验探究学习活动中，使学生驾驭两种以上正多边形可以铺满地面。

（2）、在探究过程中，使学生理解正多边形可以铺满地面道理。

2、实力目的（1）、进一步进步学生视察、分析、概括、抽象等实力。

（2）、培育学生动手操作、自主探究、合作学习实力。

3、情感看法价值观（1）、通过视察、试验、归纳、推断等学习活动，使学生体验数学活动充溢着探究性和创建性，进而培育学生学习数学爱好，增加学好数学自信念。

（2）、使学生体会到数学与现实生活亲密联络，相识到数学应用价值。

4、重点、难点重点：通过用两种以上正多边形拼地板，进步学生视察、分析、概括、抽象实力。

难点：找寻用哪几种正多边形能铺满地板。

二、过程与方法：1、课堂上充分发挥学生主体作用，让学生在活动中试验、在试验中探究、在探究中领悟、在领悟中理解，从而可以很好地突出重点、打破难点。

2、通过对“用正多边形铺地板问题”探究，让学生在参加中去体验、去感受、去领悟、去创建。

激发学生探究精神、培育创建实力。

三、教学打算：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形纸片四、教学过程：二、理论探究我们已经讨论了用同种正多边形是可以铺满地面，那么用多种正多边形是否也能铺满地面呢？1、首先，讨论两种正多边形状况：从打算材料中任取两种正多边形进展组合，讨论是否也能铺满地面。

学生活动时适当指导，赐予扶植。

提问：正五边形与正十边形围绕一点能拼成360º，学问打算：正多边形各内角度数；（正多边形、多边形内角和、外角和学问运用）学生分组试验探究，归纳总结。

1、哪些正多边形两两组合可以铺满地板？_________________________________2、铺满地板关键是什么？______________________________总结：正方形与正三角形；正六边形与正三角形；正十二边形与正三角形；正八边形与正方形3、学生讨论、试验，推断正五边形与正十边形是否能扩展到整个平面。

呆鹰岭中学七年级数学导学案主备人：唐雪林9.3用正多边形铺设地面用相同的正多边形课型：预+展班级小组小主人姓名编号9-08【目标要求】1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式。

2．通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是几个多边形的内角相加要等于 360°。

（重点）3．使学生进一步认识图形在日常生活中的应用。

【课前准备】：每组用硬纸准备好的若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形【自主探究】自学教材第88--89页情境引入：小明家刚买了新房，准备装修，小明想把地面铺上地板砖，所以他这段时间特别留心铺了地板砖的地面.小明来到建材市场，看到有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形等状的地板砖. 请你帮小明想想，他可以买哪种形状的地板砖？为什么？知识点：用相同正多边形铺满地面的条件1.填表：2做一做活动1:让学生分别用一些边长相等的正三角形,正方形,正五边形,正六边形.如果用其中一种正多边形铺满地面,哪几种正多边形能铺满地面成一个平面图形.(1)________、__________、___________都可以,_____________不可以.①由正三角形拼成的图案中,每个拼接点有_____个角,每个角都等于正三角形的内角为________°,六个角等于________°.②在正四边形拼接点处有____个角.每个角都等于_ ___°,四个角的和等于_ __°③在由正六边形拼成的图案中,每个拼接点处有____个角,每个角都等于___°,三个角的和等于______°.(2)规律:在用同一种正多边形进行覆盖时,关键是看正多边形的一个内角,当周角360是一个内角的______倍时,即一个内角的正整数倍是360时,这种正多边形可以覆盖平面,否则不可以.从做一做中发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是【小试牛刀】1、只用下列图形不能铺满地面的是（）A．三角形 B．四边形C．正五边形D．正六边形2、用下列的一样多边形不能铺满地面的是（）A．平行四边形 B．正十边形 C．直角梯形 D．任意三角形【当堂反馈】1某商店出售下列五种形状的地砖:⑴等腰三角形、⑵四边形、⑶正五边形、⑷正六边形、⑸正八边形，如果只选用其中一种地砖铺满地面地面，可供选择的地砖共有种2．围绕一个顶点，有三个这样角：120°，90°，60°，这三样角能否密铺平面_____（填“能”或“不能”）3．日常生活中常用的铺设地板的多边形有_____（举一个）。

9.3.1用相同的正多边形时间：45分钟总分：100分考点导航：1.体会用某些正多边形可以拼地板；2.理解某些正多边形能够拼地板的原理;3.本节课是中考考查的热点.一耐心选一选，你会开心（每题4分，共20分）1.李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）2.使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是----------------（）A、正六边形地砖B、正五边形地砖C、正方形地砖D、正三角形地砖3.如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（）Ａ．18Ｂ．16Ｃ．12Ｄ．84.如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中α∠的度数是（）Ａ．60oＢ．55oＣ．50oＤ．45o5.如图是用若干个全等的等腰梯形拼成的图形，下列说法错误的是（）Ａ．梯形的下底是上底的两倍Ｂ．梯形最大角是120oＣ．梯形的腰与上底相等Ｄ．梯形的底角是60o二精心填一填，你会轻松（每题4分，共24分）6.用同一种正多边形地板砖密铺地面，为铺满地面而不重叠，那么这种正多边形的地板砖可以是正_____边形．（只需写出一种即可）7.右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是___________．（A）①②④（B）②③④（D）①②③(C)①③④α①②③④⑤8.用边长为1的正方形材料制作的七巧板拼成一幅土家摆手舞图案，其中舞者头部占整个身体面积的___________．9.如果正n边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么这个多边形_______进行密铺.(填“能”或“不能”)10．用正三角形作平面镶嵌，同一顶点周围，正三角形的个数为个．11．公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的。

右图是拼铺图案的一部分．如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于．三细心做一做，你会成功12.我们知道用正三角形、正方形、正六边形合在一起可以铺满平面，若用正十边形、正八边形、正九边形合在一起，能不能铺满地面，为什么？13.用正三角形、正方形、正六边形中至少一种铺满地面，有几种不同的选法？请写出来.14.现有一批边长相等的正多边形瓷砖（如图所示），设计能铺满地面的瓷砖图案.（1）能用相同的正多边形铺满地面的有 .（2）从中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合是 .（3）从中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合是 .（4）你能说出其中的数学道理吗？15．小明家准备用地砖铺设客厅，客厅的长为6.4米，宽为4.8米．装修工人提出两种铺设方案：一是铺设80cm 80cm ⨯的地板砖，每块40元；二是铺设60cm 60cm ⨯的地板砖，每块25元．你能从中帮他选一种材料费又少铺得又整齐的方案吗？（18分）16．一种四边形瓷砖的4条边的长度分别为4㎝，6㎝，8㎝，10㎝，如图（12），请你用12块这样的瓷砖铺一块地面，使它们排3行，每行4块，并使相邻的瓷砖边与边之间既无空隙，又不重叠，请画出图来。

地砖上的数学随着人们生活水平的提高，家庭装修已成为一种时尚追求．在家庭装饰中，地砖的铺设就是一项非常重要的美化工作．当你看到地砖铺成的美丽图案时，你是否想到展铺这美丽图案的数学原理呢？请看下面的分析．相信通过对下文的阅读，你不仅能弄清楚本章有关瓷砖铺设问题中的数学道理，而且还可通过对丰富多彩的图案的欣赏，体验到数学的美，提高你的审美情趣．地砖展铺的图形，一般都是用几种完全相同的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化．但是作为根底还是用平面多边形展铺平面．有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的．例如，一个由正方形展铺的平面图案〔如图〔a〕〕，如果对正方形用圆弧做一些变化〔如图〔b〕〕，那么把两个以上图形结合起来设计，就可由比拟单调的正方形图案，变化曲线形成花纹图案了〔如图〔c〕〕．由于多边形是构成地砖展铺复杂图形的根底，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析．相信经过以下分析，同学们一定能轻而易举地解决本章第一节提出的问题，为什么有些图形能不留一点空隙的将地面铺满，而有些图形那么不能满足要求．同时一定会有一种恍然大悟的感觉．1．怎样以三角形为根底展铺平面图案？三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为根本图形来展铺平面图案，那么就要考虑三角形的特点．由于三角形的三个内角和为180°，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角．如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角．因此，假设把图中的三角形的三个内角集中在一起，并经过轴对称或中心对称，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为360°，刚好覆盖上这一点周围的平面．对称的方法见图：在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折．如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称，正、反两面就会明显地反映出来了．由上面的分析可知，用三角形为根本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图：2．怎样以四边形为根底展铺平面图案？由于四边形的内角和为360°，所以，任何四边形都可以作为根本图形来展铺平面图案．如图中的〔a〕、〔b〕、〔c〕、〔d〕分别是以矩形、菱形、梯形、一般四边形为根本图形的平面展铺图案．3．怎样以正多边形为根本图形展铺平面图案？用正多边形为根本图形展铺平面图案，集中于一点的周围的正多边形的各个内角的和应是360°．例如，正五边形一个内角为；正十边形一个内角为．如果把两个正五边形的内角与一个正十边形的内角加起来，那么其和为2×108＋144°＝360°．但是它们并不能用来展铺平面．如果用同种的正n边形来展铺平面图案，在一个顶点周围集中了m个正n边形的角．由于这些角的和应为360°，所以有：，即，即因为都是正整数，并且．所以也都必定是正整数．所以当，即时，；当，即时，；当，即时，；而当，即时，，即．这就证明了只用一种正多边形展铺平面图案，只存在三种情况：〔1〕由6个正三角形拼展，我们用符号〔3，3，3，3，3，3，〕来表示〔如图〕．〔2〕由4个正方形拼展，我们用符号〔4，4，4，4〕来表示〔如图〕．〔3〕由3个正六边形拼展，我们符号〔6，6，6〕来表示．如果用两种正多边形来拼展平面图案，那么就有以下五种情况：〔3，3，3，4，4〕，〔3，3，3，3，6〕，〔3，3，6，6〕，〔3，12，12〕以及〔4，8，8〕．这五种情况中，〔3，3，3，4，4，〕和〔3，3，6，6〕又各有两种不同的拼展方法，如图列出其中六种拼展图形．用三种正多边形展拼平面图形就比拟难设计了，如图举出两例供同学们思考．。

9．3 用正多边形铺设地面工欲善其事，必先利其器。

《论语·卫灵公》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！9．3.1 用相同的正多边形教学目标一、基本目标1．通过用相同的正多边形拼地板的活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．2．通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加要等于360°.二、重难点目标【教学重点】正多边形进行密铺的原理．【教学难点】掌握用哪些正多边形可以进行密铺．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P88～P89的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．完成下表：0°0°08°20°8.5°形每个内角的大小2.当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形，即可以铺满地面．3．用一种正多边形铺地面时，需要的条件是这种正多边形的每个内角都能被360o整除．4．小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( D )A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．【互动探索】(引发学生思考)正方形大厅中共用方砖多少块？正方形大厅的面积与方砖有什么关系？【解答】根据题意可知，共有32块方砖，所以每块方砖的面积为8×8÷32＝2(平方米)，故一块方砖的边长为2米．【互动总结】(学生总结，老师点评)正方形大厅的四个角处的白方砖正好组成一块白方砖，各边上的残缺白瓷砖正好组成6块完整的白瓷砖，那么共有32块瓷砖．求出每块瓷砖的面积，进而求得边长即可．【例2】如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用209个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )A．2018 B．2019C．2020 D．2021【互动探索】(引发学生思考)观察图形可知，第一个三角形的周长是3，利用2个三角形成的第1个四边形的周长是3＋1＝4，利用3个三角形成的第2个四边形的周长是3＋2＝5，利用4个三角形成的第3个四边形的周长是3＋3＝6，…，利用n个三角形成的第n－1个四边形的周长就是3＋n－1＝n＋2，所以用2019个这样的三角形镶嵌而成的四边的周长是n＋2＝2019＋2＝2021.【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题关键是得出利用n个三角形进行镶嵌而成的四边形的周长规律．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是( B )A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形2．只用一种正六边形地砖密铺地板，则能围绕在正六边形的一个顶点处的正六边形地砖有( A)A．3块B．4块C．5块D．6块3．如果只用一种正多边形做平面密铺，而且在每一个正多边形的每一顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的每个内角度数为60°.4．在一个边长为10m的正六边形地面，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖2400块．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用一种正多边形铺地面时，需要的条件是这种正多形的每个内角都能被30o 整除．练习设计请完成本课时对应练习！9．3.2 用多种正多边形教学目标一、基本目标通过用两种以上的正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力．二、重难点目标【教学重点】寻找用哪几种正多边形能铺满地面．【教学难点】用列举法根据铺满地面的条件，设计铺设地面的方案．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅教材P90～P91的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．下列图形中能单独进行镶嵌的是( B )A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形2．当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形，即可以铺满地面．3．一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形，正方形，正六边形，那么另外一个是( B ) A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第9层中含有正三角形个数是( )A．54个B．102个C．90个D．114个【互动探索】(引发学生思考)观察图形可知，第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，则每一层比上一层多12个，所以第9层中含有正三角形的个数是6＋12×8＝102(个)．【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了平面镶嵌(密铺)问题，此题要注意能够分别找到三角形和正方形的个数的规律．【例2】如图是小亮家里地面上铺设的正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成，小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少( )A．6块B．8块C．10块D．12块【互动探索】(引发学生思考)由正多边形铺满地面的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°.∵正方形的一个内角为90°，∴同一顶点处等腰梯形的一个内角为(360－90)÷2＝135°.又∵正八边形的内角为180°－360°÷8＝135°，∴小正方形的边长即为正八边形的边长，画图如下：则两个正八边形图案需要这样的地板砖至少8块．【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)解题时画出图形分析，并利用正八边形的性质得出答案．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是( B )A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2．阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点周围正方形、正三角形地砖的块数可以是( B ) A．正方形2块，正三角形2块B．正方形2块，正三角形3块C．正方形1块，正三角形2块D．正方形2块，正三角形1块3．下列四组多边形中，能铺满地面的是①②③④.①正六边形与正三角形；②正十二边形与正三角形；③正八边形与正方形；④正三角形与正方形．4．用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方形，n个正八边形，则m ＝1，n＝2.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)几种边长相等的正多边形能密铺要满足围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角和为360°.练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。