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1.5.1 有理数的乘方《151 有理数的乘方》在数学的广袤天地中，有理数的乘方就像是一座神秘而有趣的城堡，等待着我们去探索和理解。
当我们踏入这个领域，会发现它有着独特的规律和奇妙的应用。
首先，让我们来弄清楚什么是有理数的乘方。
简单来说，乘方就是同一个数的连乘。
比如 2 的 3 次方，表示 3 个 2 相乘，即 2×2×2 ＝ 8。
这里的 2 被称为底数，3 被称为指数，而 8 则是乘方的结果，也叫做幂。
有理数的乘方有着一些重要的性质和规律。
比如正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
这就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们快速判断乘方结果的正负性。
那有理数的乘方在实际生活中有什么用处呢？其实，它的应用非常广泛。
假设你在银行存钱，年利率是 5%，如果存了 2 年，那么最终得到的本息和就可以用乘方来计算。
第一年本金乘以（1 ＋ 5%），第二年本金乘以（1 ＋ 5%）的平方，这样就能清楚地算出最终能拿到多少钱。
再比如，在研究细胞分裂时，一个细胞每过一小时分裂一次，经过n 小时后，细胞的总数就是 2 的 n 次方个。
通过乘方，我们能够很直观地了解到细胞数量的增长速度。
有理数乘方的计算也有一些小技巧。
比如当指数较大时，可以先将底数进行分解，再利用乘方的性质进行计算。
比如计算 16 的 4 次方，可以先把 16 写成 2 的 4 次方，那么 16 的 4 次方就等于 2 的 16 次方，这样计算起来会更加简便。
在解决与有理数乘方相关的问题时，我们需要特别注意指数和底数的关系，以及符号的变化。
有时候，一个小小的疏忽可能就会导致结果的错误。
例如，计算（－2）的 3 次方和－2 的 3 次方，这两个式子看起来相似，但结果却不同。
（－2）的 3 次方等于－8，而－2 的 3 次方等于－8。
所以，在计算时一定要仔细分辨。
有理数的乘方还与科学记数法有着密切的联系。
当一个数特别大或特别小时，用科学记数法表示会更加方便。
《有理数的乘方》教学设计教材分析：《乘方》是在学生学完有理数加、减、乘、除运算后的又一种新的运算，是有理数乘法中相同因数相乘的简单表示方法，他既是乘法的推广与延续，又是后面继续学习有理数混合运算、科学记数法的根底，起到承上启下的作用。
学情分析：学生刚进初中，在前面已学过有理数的加、减、乘、除四种运算，这四种运算在小学就已熟悉了，而乘方是到初中学的第一种全新的运算，因此本课引入时要让学生觉得本课内容虽是新知识但其实也很简单，只是旧知识的引伸得来的。
从思想方法上说，可以通过学生动脑来培养学生探索精神和观察、分析、辩别、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
通过实际有趣的问题的分析培养学生的数感。
教学目标：〔1〕认知目标在现实背景中理解有理数乘方的意义，正确理解乘方、幂、指数、底数等概念，会进行有理数乘方的运算。
〔2〕能力目标1.使学生能够灵活地进行乘方运算。
2. 通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，渗透转化的数学思想。
〔3〕情感目标1.通过对实例的讲解，让学生体会数学与生活的密切联系。
2.学会数学的转化思想，培养学生灵活处理现实问题的能力。
〔4〕过程与方法：1.通过对乘方义意义的引入及幂的符号法那么的探索培养学生积极探索和观察分析的能力2.通过对乘方的运算及实际问题的运用培养学生的逻辑思维能力教学重点：正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法那么。
教学难点：正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算。
教学关键：弄清底数、指数、幂等概念，区分n-与na(-的意义。
a)教学方法：考虑到七年级学生的认知水平和知识结构以及思维活动特点，本节课采用多媒体直观教学法，联想比较、发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交流相结合的方法。
教学过程设计〔一〕体验感受，激发兴趣做游戏：拿出课前让学生准备好的纸，让学生动手折纸。
对折1次后，纸变成了几层？对折2次后变成几层？按照刚刚折纸的规律，将一张足够长的纸连续20次，应该是多少层？第1次对折的层数是：2第2次对折的层数是：2×2第3次对折的层数是：2×2×2第20次对折的层数是：2×2×2×2……×220个220个2相乘的结果是多少？如果这张纸的厚度为0.1毫米，那么折纸的高度比我们学校的教学楼要高得多，你相信吗？学了今天的内容你们就会明白了。
1.5.1 有理数的乘方有理数的乘方是数学中一个重要的概念。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
有理数的乘方是指一个有理数自乘多次的运算。
1. 乘方的定义有理数的乘方可以用数学公式表示为：乘方公式乘方公式其中，a表示底数，n表示指数。
2. 有理数的乘方的性质有理数的乘方具有以下性质：2.1 同底数相乘方的性质当底数相同时，指数相加，即：同底数相乘方的性质公式同底数相乘方的性质公式2.2 同底数相除方的性质当底数相同时，指数相减，即：同底数相除方的性质公式同底数相除方的性质公式2.3 幂的乘方性质一个数的乘方再乘方，指数相乘，即：幂的乘方性质公式幂的乘方性质公式2.4 积的乘方性质积的乘方，可以拆成各因子的乘方，即：积的乘方性质公式积的乘方性质公式2.5 商的乘方性质商的乘方，可以拆成被除数和除数的乘方，即：商的乘方性质公式商的乘方性质公式3. 有理数的乘方的计算方法3.1 正整数次幂的计算对于正整数次幂，可以通过连乘的方法进行计算。
例如：计算计算例子1：计算例子1过程计算例子1过程3.2 0次幂的计算任何非零数的0次幂都等于1，即：计算例子2计算例子23.3 负整数次幂的计算对于负整数次幂，可以通过倒数和正整数次幂的计算来求解。
例如：计算计算例子3：计算例子3过程计算例子3过程3.4 分数次幂的计算对于分数次幂，可以通过取底数的分数根来进行计算。
例如：计算计算例子4：计算例子4过程计算例子4过程4. 有理数乘方的应用有理数乘方在实际应用中有着广泛的应用，特别是在科学和工程领域。
一些常见的应用场景包括：4.1 几何问题有理数乘方可以用来计算几何图形的面积、体积等。
例如，计算正方形的面积可以使用正方形面积计算公式，其中a表示正方形的边长。
4.2 物理问题有理数乘方可以用来描述物理量之间的关系。
例如，牛顿第二定律可以表示为：牛顿第二定律公式，其中F表示力，m表示质量，a表示加速度。
1.5.1有理数的乘方（一）教学目标：知识与技能：1、理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算.2、培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及学生的探索精神. 过程与方法：教法主要采用启发式教学；学法引导学生自主探索去观察、交流、归纳。
情感、态度、价值观：渗透分类讨论思想.教学重点：有理数乘方的运算教学难点：有理数乘方运算的符号法则教学过程：（一）、提出问题在小学我们已经学习过a ·a ，记作a 2，读作a 的平方(或a 的二次方)；a ·a ·a 作a 3，读作a 的立方(或a 的三次方)；那么，a ·a ·a ·a 可以记作什么?读作什么?a ·a ·a ·a ·a 呢?(n 是正整数)呢?（二）、试一试在小学对于字母a 我们只能取正数，进入中学后，我们学习了有理数，那么a 还可以取哪些数呢?请举例说明（三）、探索1、求n 个相同因数的积的运算叫做乘方2、乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数一般地，在a n 中，a 取任意有理数，n 取正整数应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂。
一个数可以看作这个数本身的一次方。
例如，5就是51.指数1通常省略不写。
3、我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，a n 就是表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算例1 计算：a a a an a ⋅⋅个(1)24 (2)3（-2） （3）()24- （4）323⎛⎫- ⎪⎝⎭ 引导学生观察、比较、分析这些计算题中，幂的符号有什么规律?(1)正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零(2)互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等(3)任何一个数的偶次幂都是非负数你能把上述的结论用数学符号语言表示吗? （板书）当a>0时，a n >0(n 是正整数)；当a<0时, ⎧⎨⎩ ； 当a=0时，a n =0(n 是正整数)(以上为有理数乘方运算的符号法则)例2 计算：(1)(-2)4 (2)-24 (3) 223⎛⎫ ⎪⎝⎭ (4) 223 教师引导学生纵向观察第(1)题和第(2)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，(-a)n 的底数是-a ，表示n 个(-a)相乘，-a n 是a n 的相反数，这是(-a)n 与-a n 的区别观察第(3)题和第(4)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种运算了课堂练习: P42：1（四）、小结让学生回忆，做出小结：1、 乘方的有关概念；2、乘方的符号法则；3、括号的作用；（五）、作业设计课本P47：1、2a n >0(n 是正偶数) a n <0(n 是正奇数)。
1.5.1有理数的乘方有理数乘方的概念题型一：有理数乘方的概念【例题1】（2021·河北唐山市·九年级二模）对于16n 叙述正确的是（ ） A ．n 个15n 相加 B ．16个n 相加 C ．n 个16相乘 D ．n 个16相加【答案】A 【分析】结合有理数的乘方把每一个选项都用含n 的代数式表示出来，即可选择． 【详解】选项A 可表示为1516n n n =； 选项B 可表示为1616n n =； 选项C 可表示为16n ； 选项D 可表示为1616n n =；知识点管理 归类探究 乘方概念：一般地，n 个相同的因数a 相乘，即a ×a ×a ⋯×a ⏟ n 个，记作na ，读作a 的n 次方。
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
na读作a 的n 次方，也可以读作a 的n 次幂。
要点诠释：当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
故选A．【点睛】本题考查有理数的乘方，理解有理数幂的概念是解答本题的关键．变式训练【变式1-1】（2021·河北邯郸·九年级二模）313⎛⎫-⎪⎝⎭表示的意义是（）A．111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．()()()1113-⨯-⨯-D．()1333-⨯⨯【答案】A【分析】直接根据乘方的意义解答即可．【详解】解：313⎛⎫-⎪⎝⎭表示的意义是111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A．【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作a n，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n中，a叫做底数，n叫做指数．【变式1-2】（2020·浙江七年级单元测试）下列说法正确的是（）A．32-的底数是2-B．32读作：2的3次方C．27的指数是0D．负数的任何次幂都是负数【答案】B【分析】根据有理数乘方的定义解答．【详解】解：A、-23的底数是2，故本选项错误；B、23读作：2的3次方，故本选项正确；C、27的指数是1，故本选项错误；D 、负数的偶数次幂是正数，故本选项错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，要知道，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数． 【变式1-3】（2019·浙江温州市·七年级期中）()43-底数是____，运算结果是____． 【答案】-3 81 【分析】根据有理数的乘方的定义和法则解答即可． 【详解】解：()43-的底数是3-， 运算结果是()43-=81， 故答案为：-3，81． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记概念是解题的关键．有理数乘方的符合问题题型二：有理数乘方的符合问题【例题2】（2021·陕西西安市·高新一中九年级其他模拟）()20211-=（ ）A ．-1B ．1C ．-2021D ．2021【答案】A 【分析】由负数的奇次方是负数即可得出结果． 【详解】 解：()202111-=-，故选A ． 【点睛】负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
