151有理数的乘方(2)

151有理数的乘方教案教学目标：1.了解有理数的乘方运算；2.掌握有理数的乘方的性质；3.能够灵活运用有理数的乘方进行计算及解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

教学重点：1.有理数的乘方运算；2.有理数的乘方的性质；3.有理数乘方的应用。

教学难点：1.解决实际问题时如何有效地运用有理数的乘方。

教学准备：1.教师准备白板、彩色粉笔和教具如计算器等；2.学生准备课本、笔记本和笔。

教学过程：第一步、导入新知识（5分钟）1.让学生回顾与有理数相关的知识，引出今天的学习内容；2.学生重温乘法的运算法则，回忆乘方运算的定义和性质。

第二步、讲解有理数的乘方（25分钟）1.通过例题和讲解，引出有理数的乘方的定义；2.讲解有理数的乘方的性质，包括指数为0、1的情况，指数为负数的情况；3.引导学生理解以下公式：-a⁰=1(a≠0)-a¹=a-aʳ·aˢ=aʳ⁺ˢ(其中r,s为任意整数)-aʳ⁺ˢ=aʳ·aˢ(其中r,s为任意有理数)第三步、练习习题（20分钟）1.点拨学生解题思路，鼓励学生积极参与；2.基础题型练习，如：2⁴、5²、(-3)³等；3.拓展题型练习，如：(2/3)²、(-4/5)³等；4.实际问题练习，如：一个物体从10米高的地方落下，每次弹起的高度是原来的一半，问第n次弹起后物体的总的下落距离是多少？第四步、解答问题和总结（10分钟）1.解答学生的问题，澄清有关有理数的乘方的疑惑；2.总结有理数乘方的性质和应用；3.鼓励学生独立思考和总结，提高学生的综合运用能力。

第五步、课堂小结和布置作业（5分钟）1.小结本节课的内容和要点；2.布置相关的课后习题，巩固所学知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生对有理数的乘方有了更深的理解，掌握了有理数乘方的性质和应用方法。

在教学过程中，通过灵活运用不同的题型和实际问题的练习，激发了学生学习的兴趣。

1.5.2 有理数的乘方乘方（2）1.5.有理数的乘方（第二课时）学习目标:1、能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序；2、会进行有理数的混合运算；3、培养并提高正确迅速的运算能力. 学习重点：运算顺序的确定和性质符号的处理 学习难点：有理数的混合运算 教学方法：合作交流、讨论、练习 教学过程 一、学前准备1、在2+23×（－6）这个式子中，存在着 种运算.2、请你们以4人一个小组讨论、交流，上面这个式子应该先算 、再算 、最后算 . 二、交流反馈1、由上可以知道，在有理数的混合运算中，运算顺序是： 1）、先算 ，再算 ，最后算 ； 2）、同级运算，从 进行；3）、如有括号，先做 内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

例1 计算：（1）（－2）3+（－3）×[（－4）2+2]－（－3）2÷（－2）； （2）1－21×[3×（－32）2－（－1）4]+41÷（－21）3．例2 观察下面三行数：－2，4，－8，16，－32，64，…；① 0，6，－6，18，－30，66，…；② －1，2，－4， 8，－16，32，…．③ （1）第①行数按什么规律排列？（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．三、巩固练习 1、P45练习2、计算()2253[]39⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭四、回顾、思考1、以后遇到有理数的混合运算，应该按怎样的顺序计算？2、对于你来说，学习中遇到的问题是什么？五、当堂清计算： 1、（—1）10×2+（—2）3÷42、( 32)÷323―(―3)―(―3)3、(－41)×(―4)×(―1)20144、（—1）4+［（—4）2—（3+32）×2］参考答案：1.0，2.91， 3. －414.－7六、学习反思。

1.5.1 有理数的乘方《151 有理数的乘方》在数学的广袤天地中，有理数的乘方就像是一座神秘而有趣的城堡，等待着我们去探索和理解。

当我们踏入这个领域，会发现它有着独特的规律和奇妙的应用。

首先，让我们来弄清楚什么是有理数的乘方。

简单来说，乘方就是同一个数的连乘。

比如 2 的 3 次方，表示 3 个 2 相乘，即 2×2×2 ＝ 8。

这里的 2 被称为底数，3 被称为指数，而 8 则是乘方的结果，也叫做幂。

有理数的乘方有着一些重要的性质和规律。

比如正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

这就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们快速判断乘方结果的正负性。

那有理数的乘方在实际生活中有什么用处呢？其实，它的应用非常广泛。

假设你在银行存钱，年利率是 5%，如果存了 2 年，那么最终得到的本息和就可以用乘方来计算。

第一年本金乘以（1 ＋ 5%），第二年本金乘以（1 ＋ 5%）的平方，这样就能清楚地算出最终能拿到多少钱。

再比如，在研究细胞分裂时，一个细胞每过一小时分裂一次，经过n 小时后，细胞的总数就是 2 的 n 次方个。

通过乘方，我们能够很直观地了解到细胞数量的增长速度。

有理数乘方的计算也有一些小技巧。

比如当指数较大时，可以先将底数进行分解，再利用乘方的性质进行计算。

比如计算 16 的 4 次方，可以先把 16 写成 2 的 4 次方，那么 16 的 4 次方就等于 2 的 16 次方，这样计算起来会更加简便。

在解决与有理数乘方相关的问题时，我们需要特别注意指数和底数的关系，以及符号的变化。

有时候，一个小小的疏忽可能就会导致结果的错误。

例如，计算（－2）的 3 次方和－2 的 3 次方，这两个式子看起来相似，但结果却不同。

（－2）的 3 次方等于－8，而－2 的 3 次方等于－8。

所以，在计算时一定要仔细分辨。

有理数的乘方还与科学记数法有着密切的联系。

当一个数特别大或特别小时，用科学记数法表示会更加方便。

1．5.1 乘方(二)1．能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序； 2．会进行有理数的混合运算；3．培养并提高正确迅速的运算能力．重点：运算顺序的确定和符号的处理； 难点：有理数的混合运算．一、温故知新1．在2＋32×(－6)这个式子中，存在着__三__种运算．2．以4人一个小组讨论、交流，上面这个式子应该先算乘方，再算乘除，最后算加减．二、自主学习1．由上可以知道，在有理数的混合运算中，运算顺序是： (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．P43例题3，学生试练，教师指导． 3．师生共同探讨P43例题4.1．P44练习． 2．计算：(1)(－1)10×2＋(－2)3÷4； 解：原式＝2－8÷4 ＝2－2 ＝0；(2)(－5)3－3×(－12)4；解：原式＝－125－3×116＝－125316；(3)115×(13－12)×311÷45；解：原式＝115×(－16)×311×54＝－115×16×311×45＝－225；(4)(－10)4＋[(－4)2－(3＋32)×2]． 解：原式＝10000＋[16－(3＋9)×2] ＝10000＋(16－12×2) ＝10000＋(16－24)＝10000－8 ＝9992.有理数的混合运算顺序．1．计算：(1)(－3)2×[－23＋(－59)]；解：原式＝9×(－23－59)＝9×(－23)－9×59＝－6－5＝－11；(2)－23÷49÷(－23)3；解：原式＝－8×94×(－278)＝2434；(3)(0.25)29×430. 解：原式＝0.2529×429×4 ＝1×4 ＝4.2．观察下面三行数：①－3，9，－27，81，－243，729，…； ②0，12，－24，84，－240，732，…； ③－1，3，－9，27，－81，243，…. (1)第①行数有什么规律？第①行是(－3)1，(－3)2，(－3)3，(－3)4，…(－3)n. (2)第②行数与第①行数有什么关系？ 第②行数是第①行相应的数加3.(3)第③行数与第①行数有什么关系？ 第③行数是第①行相应数乘以13.(4)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． (－3)10＋[(－3)10＋3]＋(－3)10×13＝59049＋59049＋3＋59049×13＝59049＋59049＋19683＋3 ＝137784.3．x ，y 为有理数，且|x －1|＋2(y ＋3)2＝0，求x 2－3xy ＋2y 2的值． 解：由题意知x －1＝0，y ＋3＝0. ∴x ＝1，y ＝－3. ∴x 2－3xy ＋2y 2＝28.4．一根1米长的绳子，第一次剪去12，第二次剪去剩下的12，如此剪下去，第六次后剩下的绳子还有1厘米长吗？为什么？解：(12)6＝164≈0.016(米)∵0.016米＞1厘米∴第六次后剩下的绳子还有1厘米长．《由立体图形到视图》一、教材分析1.教材所处的地位与作用《由立体图形到视图》是华师大版七年级数学教材第四章第二节第一课时。

有理数的乘方（2）教学设计一、教材分析：本节课是学生在已经掌握有理数加法、减法、乘法、除法、乘方以后进行学习的。

它是建立在有理数的有关概念和各种运算的意义及法则的基础上进行的综合性运算。

它是本章的重点之一，是以上各种运算的继续和发展，对学生运算能力和数学学习能力的培养，有着十分重要的意义，同时也是初中数学运算的重要内容之一，是后续学习的基础。

二、学情分析：学生在小学已经学习并掌握了非负有理数的四则运算及运算律，能规范条理的表达出运算过程，初步具有了有条理地思考和书面表达的能力，这些都为本节的学习奠定了基础。

另一方面，七年级学生的思维能力有限，估计学生对运算符号的处理会出错，所以教学中应尽可能多地让学生动手，在运算前重点关注算式中的加减运算符号，先将算式分割成若干部分，在每一部分中先决定符号，再按正常顺序进行运算，以提高运算的准确率。

三、教学目标：1、知识目标：（1）熟练掌握有理数混合运算的法则并运用有理数的混合运算法则进行运算。

（2）运算过程中合理使用运算律。

2、能力目标：（1）培养学生的观察能力和运算能力。

（2）培养学生在计算前认真审题，确定运算顺序，计算中按步骤审慎进行，并养成验算的良好的学习习惯。

3、情感目标：在独立思考的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。

四、教学重点：能熟练地按照有理数的运算顺序进行混合运算。

五、教学难点：1.运算过程中的符号处理；2.在正确运算的基础上，适当地应用运算律简化运算。

六、课型：新授课七、教学方法：引导学生，激励学生参与，师生互动。

八、教学准备：多媒体课件九、教学过程：（一）、复习导入，探求新知教师提出问题：我们学习了哪些运算？学生作答后，教师给出有理数混合运算的概念：一个运算中，含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算，称为有理数混合运算。

设计意图：利用问题中出现的运算类型，有利于学生对运算顺序的掌握。

探究：3+50÷×（-1/5)-1，算式含有哪几种运算？学生观察思考，辨析式子所含运算，尝试计算，自我总结运算顺序，交流谈论并发言.教师深入到学生的讨论中，进行指导，并提问它们属于几级运算？归纳：1.加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；已学过的第三级运算是乘22方.2.同一级运算按照从左往右的顺序进行。

1.5.1有理数的乘方有理数乘方的概念题型一：有理数乘方的概念【例题1】（2021·河北唐山市·九年级二模）对于16n 叙述正确的是（ ） A ．n 个15n 相加 B ．16个n 相加 C ．n 个16相乘 D ．n 个16相加【答案】A 【分析】结合有理数的乘方把每一个选项都用含n 的代数式表示出来，即可选择． 【详解】选项A 可表示为1516n n n =； 选项B 可表示为1616n n =； 选项C 可表示为16n ； 选项D 可表示为1616n n =；知识点管理 归类探究 乘方概念：一般地，n 个相同的因数a 相乘，即a ×a ×a ⋯×a ⏟ n 个，记作na ，读作a 的n 次方。

求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

na读作a 的n 次方，也可以读作a 的n 次幂。

要点诠释：当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。

故选A．【点睛】本题考查有理数的乘方，理解有理数幂的概念是解答本题的关键．变式训练【变式1-1】（2021·河北邯郸·九年级二模）313⎛⎫-⎪⎝⎭表示的意义是（）A．111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．()()()1113-⨯-⨯-D．()1333-⨯⨯【答案】A【分析】直接根据乘方的意义解答即可．【详解】解：313⎛⎫-⎪⎝⎭表示的意义是111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A．【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作a n，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n中，a叫做底数，n叫做指数．【变式1-2】（2020·浙江七年级单元测试）下列说法正确的是（）A．32-的底数是2-B．32读作：2的3次方C．27的指数是0D．负数的任何次幂都是负数【答案】B【分析】根据有理数乘方的定义解答．【详解】解：A、-23的底数是2，故本选项错误；B、23读作：2的3次方，故本选项正确；C、27的指数是1，故本选项错误；D 、负数的偶数次幂是正数，故本选项错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，要知道，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数． 【变式1-3】（2019·浙江温州市·七年级期中）()43-底数是____，运算结果是____． 【答案】-3 81 【分析】根据有理数的乘方的定义和法则解答即可． 【详解】解：()43-的底数是3-， 运算结果是()43-=81， 故答案为：-3，81． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记概念是解题的关键．有理数乘方的符合问题题型二：有理数乘方的符合问题【例题2】（2021·陕西西安市·高新一中九年级其他模拟）()20211-=（ ）A ．-1B ．1C ．-2021D ．2021【答案】A 【分析】由负数的奇次方是负数即可得出结果． 【详解】 解：()202111-=-，故选A ． 【点睛】负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

1.5有理数的乘方（2）：1.乘方：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。

2.幂：乘方的结果叫做幂。

3.在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

4.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，负数时将底数用“（ ）”括起来。

5.正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.扩充：任何一个不等于0的数的0次幂都是1.做有理数的混合运算时：1.先乘方再乘除，最后加减；2.同级运算，从左向右进行（加减，乘除）3.如果括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

知识回顾：1.在（—7）3中，底数是 ，指数是 。

幂是 。

在（—8）10中，—10叫做 ，8叫做 ，（—8）10是正数还是负数？2.计算：（—1）10 （—1）7 83 （—5）3 0.13 （—10）4 （—10）5 412（—）自主学习一：1.看书p43页，总结计算题的运算顺序。

例3. 2×（—3）3—4×（—3）+15 （—2）3+（—3）×[（—4）2+2]—（—3）2÷(—2)练一练： 1.（—1）10×2+（—2）3÷43412⨯（—5）—3（—）111135532114⨯⨯÷（—） （—10）4+[（—4）2—（3+32）×2]自主探究：（针对性练习）1.若|a—2|与（b+3）2互为相反数，则ab的值为（）A. —6B. 8C. 9D. —92.（1）若x，y互为倒数，则（xy）2013= ；若x，y互为负倒数，则（xy）2013= 。

（2）若p，q互为相反数，则（p+q）2013=（3）比较大小，（—2）2012—22012（4）3 3= 4（—）3.平方是9的数是几？立方等于27的数是几？4.21=64（）31=125—（）5已知x2=（—2）2，y3=—1 （1）求x•y2012的值。

（2）求32012xy的值。

6.已知x=a1+a2+a3+…a2012（1）当a=1时，求1x2的值。

初中数学《有理数的乘方》教学设计肖剑一、指导思想：根据《新课标》要求，联系实际使学生明确乘方的意义及表示方法.会根据定义进行有理数的乘方运算.引导学生用数学的眼光观察分析生活中的实际问题.培养学生通过类比、联想、归纳，加强对乘方意义的理解，发展学生的思维能力.二、教学分析.教学内容分析有理数的乘方是初中七年级上学期第一章第五节的教学内容，是有理数的一种基本运算，从教材编排的结构上看，共需要个课时，此课为第一课时，是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的推广和延续，又是后继学习有理数的混合运算、科学记数法、整式乘方以及开方的基础，起到承前启后、铺路架桥的作用.在这一课的教学过程中，可以培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，以及转化的数学思想，通过这一课的学习，对培养学生的这些能力和转化的数学思想起到很重要的作用.完成本课的教学，需要课时的时间，教学时以学生自己为主，教师起组织、引导作用..教学方法分析本节课的教学是以学生为主体，教师为主导.通过创造情境，通过动手操作调动学生学习积极性，让学生在课堂上多活动，多观察、主动参与到整个教学的全过程，通过自己的努力，发现规律，总结出法则.它符合教学论中的自觉性和积极性.并有利于培养学生勇于探索新知的创新精神.．学情分析初中七年级的学生，已具备了进行有理数的加减乘除四则运算的能力，对于一个具体的数，能用身边熟悉的、具体的事物来描述刻画它的大小.我主要通过一张纸对折次后有多高来加深学生对乘方意义的理解，从而进行一些较为复杂的乘方运算.在这样的情景中，学生的许多个人知识和直接经验都能用的上，不同的学生会从中获得不同的心得.因此以这种内容设置作为培养学生数感的载体，恰当且顺应了中学生身心发展的需要.研究表明，这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维仍属于经验性的逻辑思维，很大程度上仍需依赖具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系，故本节课老师在第一环节尽力通过学生的切身感受和体验发展他们的数感，提倡“做中学”，引导学生先进行猜想，再动手操作，后探索规律，再思考验证，帮助学生发展抽象思维能力.同时据初中七年级学生好动、好问、好奇的心理特征，课堂上创设情境，让每个学生都动口、动脑、动手，积极思考，参与讨论，自己归纳出运算法则.学会自主探究、合作交流的学习方式，在合作交流中培养学生学习的积极性和主动性，使学习方式由“学会”变为“会学”，培养学生良好的学习品质.教学环境分析学习地点：多媒体教室硬件条件：投影机和投影屏幕，教师用机台软件条件：系统，，新课标、新理念要求学生充分发挥自身的主体性，通过实际操作，亲身体验得到新知.而多媒体教学具有信息容量大、直观、鲜明、省时等特点，恰好符合我想通过精讲多练让学生牢固掌握本节知识的要求，故做成幻灯片进行本节课的教学. 将实际问题直观化，以图片的形式展示出来，便于理解三、设计理念：、数学教学的重要目的是发展智力，提高能力，而发展智力、提高能力的核心是发展学生的思维能力，教学中既要注重逻辑推理能力的培养，又要注重观察、归纳以及合情推理能力的培养,因此，根据教学内容和学生的认知水平，我们再一次把培养学生的观察、归纳、推理等能力列入了教学目标.、学生是学习的“主人”，教学应以学生为中心.从学生已有的生活经验出发，创设有助于学生自主学习的的情境，让学生在老师的指导下主动地学习.学生必须通过自己的探索才能学会数学和会学数学，本人认为学习数学，不如说体验数学,始终给学生以创造发挥的机会，让学生自己在学习中扮演主动角色，教师不代替学生思考，把重点放在教学情境的设计上.、把学生做巩固性练习和总结运算规律放在一起进行，其效果就远远超出了巩固性练习的初衷.四、教学目标教学目标（）知识技能：理解乘方的意义,理解底数、指数、幂的意义及相互关系，会进行有理数的乘方运算，会用计算器求有理数乘方.() 数学思考：培养学生通过类比、联想、归纳，加强对乘方意义的理解，发展学生的思维能力.使学生初步具备类比，特殊到一般，化归及分类讨论的数学思想，并培养学生的逆向思维.()解决问题：会进行简单的有理数乘方运算和解答简单的实际问题。