中学数学基础知识的教学什么是事物的本质属性本质属性

新课标初中数学概念的教学策略设计数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式。

要获取得系统的数学知识，“使学生学好基础知识和基本技能，首先要使学生正确理解概念”。

因此，概念教学是数学教学的核心，应引起教师的充分重视，在概念教学中加强学法指导，不仅能使学生真正理解数学概念，而且能够提高学生的归纳和创造能力。

下面，我结合自己的教学实践，就有关新课标初中数学中的概念教学谈谈自己的看法：一、数学概念的分类学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握事物的共同本质特征的过程。

按概念关键特征获得方式可分为以下二类:第一类，是一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的抽象，具有明显的直观意义，但通常以形式化语言来描述，如代数式、平行、全等和轴对称等概念，不妨称之为具体概念。

具体概念的关键特征可以通过直接观察概念正反例证而获得，如在教相似的图形这一概念时，我们可以展示缩小放大的照片，大小不同的地图……等相似的图形的正例，同时也呈现一些不相似的图形，以利于学生进行深入观察、分析、比较。

第二类，是由一些具体概念引出的概念，这些概念的关键特征不能通过直接观察获得，而必须用下言语式的定义向学生直接揭示其关键特征，从而学生可利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，不妨称为定义性概念，如“二次函数”这一概念，就必须通过下定义的方式来揭示其关键特征。

二、具体概念教学策略设计（一）新旧联系，正反对照数学概念教学首先要解决的是让学生理解概念的关键特征，而理解又总是利用头脑中的原有知识来理解的，这里相关原有知识主要就是学生所接触过的该概念的例子。

这些例子和所要学习的新概念的关键特征相比，是比较具体的，而关键特征则比较概括，涵盖范围比较广，是相对于关键特征下的例子。

在教学时，教师首先要激活学生头脑中贮存的这些例子。

如在教平移概念时，可用课件展示大楼电梯上上下下地迎送来客，火车在笔直的铁轨上飞驰而过飞机起飞前在跑道上加速滑行，这些学生日常生活中所接触平移的例子激活学生原有知识。

导言：数学教育在现代社会中是非常重要的一环，它作为一种基础科学，不仅有助于学生的数理思维能力的培养，也为后续的学科打下了坚实的基础。

在初中阶段，数学作为一门主干课程，拥有着非常重要的作用。

本文将深入分析初中七上数学教案，从教案中理解教学本质，探索教学方法，以期为初中教学提供一些借鉴与帮助。

一、初中七上数学教案相关内容总览初中七上数学教案是一份系统教师教学参考文件，其主要内容包括课程目标、教材分析、知识结构、学情分析、教学步骤、反思建议等。

教案中所包含的知识点具有较强的针对性和时效性，可以帮助教师提高授课效果，从而,更好地完成教学任务。

具体来说，初中七上数学教案的主要内容包括以下几个方面：1. 课程目标：这部分主要介绍了本课程的教学目标和培养目标，教师可以从中了解到学生应该掌握的基本技能和知识点。

这是一份让教师、学生和家长都能够理解的文档。

2. 教材分析：本部分主要是对学习人群、时间分配、学习方式等方面进行了分析，同时介绍了相关的教材内容与方法，帮助教师更好地指导学生掌握知识点。

3. 知识结构：本部分从课程的内涵和外延出发，对知识点进行分类和分析，便于教师进行教学重点和难点的把握，同时也有助于教师形成对其所教学科知识的更加深入的理解。

4. 学情分析：本部分对官方统计的数据进行了概述，包括学生在不同时期学习的频率、水平分布，可以为教师把握学生现在的学习状态提供指导，进一步指导教师在教学上做出相应的调整。

5. 教学步骤：本部分是初中七年级上册数学的教学步骤，以及对每一步骤教学的详细解释。

这部分的内容十分实用，可以给教师们提供丰富的教学经验和实例。

二、初中七上数学教案的优缺点分析初中七上数学教案可以说是一份相对完善的教学参考文件，在教学帮助方面做得已经相当到位。

同时，其依旧存在许多特点不足之处。

优点：1. 严谨、科学：初中七上数学教案的编写是基于大量的教学数据分析得出，是一份比较严谨和科学的教学文件。

教案中所包含的知识点具有很强的针对性和时效性，有利于教师对学生掌握程度的有效把握。

中学数学教学概论第一章中学数学教学的目的与任务1.1 确定中学数学教学目的的依据* 一、确定中学数学教学目的的依据①教育方针②普通中学的性质和任务③数学学科的特点④学生的年龄特征* 二、普通中学的性质和任务性质：普通中学进行的是基础教育而不是职业（专业）教育任务：要交给学生为继续升学或参加生产劳动所必需的、较系统的科学文化知识；必须联系生产、生活实际，注意培养学生的实践能力和生产劳动的技能技巧，培养学生进入社会后的必要的生存和发展能力。

二、数学学科的特点①数学的抽象性与严谨性②数学的广泛应用性③数学的思辨性和结论的确定性1.2 中学数学教学目的一、“标准”中规定的教学目的1.2011年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》总目标：①获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能②初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识③体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心④具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展新课程标准的四个方面：①知识技能②数学思考③解决问题④情感态度* 2. 2003年《普通高中课程标准（实验）》总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要具体目标：①获得必要的数学基础知识和基本技能②提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力③提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力④发展数学应用意识和创新意识⑤提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成契而不舍的钻研精神和科研态度⑥具有一定的数学视野三维目标：①知识与技能②过程与方法③情感、态度与价值观二、关于基础知识和基本技能基础知识：指“大纲”或“标准”中规定的代数、几何、统计与概率、微积分初步等的概念、法则、性质、公式、定理、公理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法基本技能：指按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据（包括使用计算器、计算机等信息技术工具）、简单的推理、画图以及绘制图表等基础知识教学中要注意的问题：①要有整体观念②要过程与结论并重③要注意循序渐进、螺旋上升④要注意训练的适度性第二章中学数学教学改革2.1 20世纪中学数学教育改革综述一、克莱因——贝利运动1.克莱因（F.Klein）——主张“以函数为中心”2. 贝利——主张“数学教育应该面向大众”二、新数运动20世纪50年代后期，“数学教育现代化运动”开始（“新数”——新的数学课程）1.新数运动产生的重要原因①社会发展对人的数学素养提出高要求②数学教育中存在着一些亟待解决的问题③20世纪数学的飞速发展④心理学理论的发展⑤高等学校数学教育的发展2.对“新数”的反对意见的体现①升学和就业②具体和抽象③归纳与演绎④理论与实际⑤传统与现代3.新数运动受到挫折的根本原因脱离实际，急于求成。

学习数学知识的三阶段发表时间：2012-01-05T13:07:14.350Z 来源：《科学教育前沿》2011年第11期供稿作者：谭晓云[导读] 数学知识的领会过程，就是学生对数学教材的内容从形成直观表象达到抽象概念的过程。

谭晓云（四川省若尔盖县中学校四川阿坝 624500）中图分类号：Ｇ63 文献标识码：Ａ文章编号：ISSN1004-1621（2011）11-028-02学生学习数学知识的心理过程包含着各种复杂的心理现象。

数学教学必须以学生掌握数学知识的心理过程的客观规律为重要依据，才能取得良好的教学效果。

学生掌握数学知识的心理过程，概括而言，是通过知识的领会、知识的巩固、知识的应用这三个阶段来完成的．下边仅就这三个阶段谈谈粗浅看法。

一、数学知识的领会过程数学知识的领会过程，就是学生对数学教材的内容从形成直观表象达到抽象概念的过程。

知识的领会对整个认识过程而言，是初步的认识阶段，有待于加深巩固和在实践中应用。

1.1辩证唯物主义的认识论指出，反映个别事物的知觉和表象是形成科学概念的基础．因此在教学中使学生领会数学知识首先是形成感性知识．这种感性知识主要是在直观的基础上，通过对数量的大小关系和图形的大小、位置的感知而形成的，这种感性知识是关于数与形的一些具体的认识，是反映数、形对象的具体事物的感觉、知觉与表象。

例如有理数的教学，说明在现实世界中常常遇到一些具有相反意义的量：温度、仓库货物的进出等。

形成正数与负数的感性知识．在这些感性知识中，对象的本质与非本质属性是混在一起的，学生还不能分清什么是事物的本质属性，什么是事物的非本质属性。

这种认识仅是一些特殊事物的属性与关系在学生头脑中的具体反映．1.2 形成理性知识是领会过程的高级阶段知识的领会过程有两个阶段。

低级阶段表现为形成感性知识，高级阶段表现为形成理性知识。

理性知识与感性知识具有质的区别．例如，学生在小学中学习四则运算时知道当已知数确定后，运算结果所得的和、差、积、商是唯一的，当已知数发生变化时，所引起的和、差、积、商有一定的变化规律，这些变化规律虽然只限于某些具体的数量之间的关系，但是，对今后进一步学习函数概念则是必要的基础。

数学教学论总结第一章绪论本门课程的研究对象，广义地来说，数学教学论研究与数学教育有关的一切问题(数学与社会、教师培训、比较数学教育等)。

狭义地来说，以课程论、教学论、学习论——三论为核心，研究有关教授与学习的全部过程，是揭示数学教育现象及其规律的学科。

数学教学论的学科特点: 1.数学教学论是一门综合性很强的边缘性学科2.是一门实践性很强的理论学科 3.是一门不断发展的学科本门课在高师数学系开设的意义（一）科学的数学教学过程是数学教学论基本原理的具体表现。

（二）数学教学论对新教师具有特殊的意义。

1．我国社会、经济等的发展对中学数学教育提出了新的任务和要求2．数学教学工作是多层次、多因素的工作。

总之，一个新教师要想胜任如此复杂的、高度艺术的数学教学工作，成为一个合格的数学教师，不仅要努力学习数学专业知识，提高数学能力，还必须学习和研究数学教学论，提高教学能力和理论水平。

国际数学教育改革的足迹：1.数学教育改革的近代化运动(20世纪初—1958年)—培利·克莱因运动2.数学教育改革的现代化运动-新数运动3.回到基础5.大众数学的思想。

国内数学教育改革的足迹：五四运动之前主要学习日本，20年代以后则学习欧美，之后又学习前苏联。

1．我国社会主义中学数学教育创设的阶段(1949—1957年) 2．我国中学数学教育改革的阶段(1958—1960年) 3．我国社会主义中学数学教育调整、巩固、发展的阶段(1961—1966年) 4．我国社会主义中学数学教育遭到严重破坏的阶段(1966—1976年) 5．我国中学数学教育恢复，进一步改革、发展的阶段(1976年—)第二章中学数学课程研究大纲共分五部分1.教学目的2.教学内容的确定和安排3.教学内容和教学目标4.教学中应该注意的几个问题5.教学测试和评估义务教育数学课程标准的基本结构：第一部分：前言 1.基本理念2.设计思路第二部分:课程目标 1.总体目标2.学段目标第三部分:内容标准 1.数与代数 2.空间与图形3.统计与概率4.课题学习第四部分:课程实施建议 1.教学建议 2.评价建议 3.教材编写建议高中数学课程标准基本结构：第一部分前言体现基础性、多样性和选择性1.课程的性质 2.课程的基本理念3.课程的设计思路第二部分课程目标第三部分内容标准必修课程(数学1—5)选修课程(系列1—4) 数学探究、数学建模、数学文化第四部分实施建议（同上）高中教学三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。

初中数学课程_第六章数学抽象第六章数学抽象抽象是人类认识世界的一种科学的方法和思维活动，而数学的抽象是一种特殊的思维活动，除了具有抽象的一般共性外，数学的抽象又具有自己特殊的性质。

抽象性通常被认为是数学的一个基本特征，一切数学对象都是抽象思维的产物。

抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象能力，才可能从感性认识中获得事物的本质特征，从而上升到理性认识。

本章将就一般的抽象、科学的抽象和数学的抽象其含义进行说明，并阐述数学抽象的层次性、数学概念的抽象存在性、数学抽象的方法等问题，同时阐述在中小学数学教学中尤为重要的数量关系的抽象、空间形式的抽象、模型模式的抽象。

第一节数学抽象一、如何理解抽象的一般含义？抽象和具体是一对哲学范畴，是在实践过程中正确认识事物的部分与整体的处理具体和抽象的辩证关系的科学思维方法。

具体是指对客观存在着的各种事物或在认识中的整体的反映，是特定事物多方面属性、特点、联系和关系的统一。

而抽象则是指从具体事物中被抽象出来的相对独立的各个属性、特征、联系和关系。

抽象是正确反映客观事物本质，形成概念、范畴的一种思维方法。

它是在对事物的属性进行分析、综合、比较的基础上，抽取出事物的本质属性，撇开非本质属性，从而形成对某一事物的概念。

例如，“人”这个概念，就是在对千差万别的人进行分析、综合、比较的基础上，撇开了他们的非本质属性（肤色、语言、国别、性别、年龄、职业等等），抽取出他们的本质属性（都是能够进行高级思维活动、能够按照一定目的制造和使用工具的动物）而形成的，这就是抽象。

抽象和具体是人们认识过程中的两个不同的方面，也是两种不同的方法，二者即是对立又是统一的，并在一定条件下相互转化。

人类认识发展的历史证明，由感性具体进到理性抽象和再由理性抽象进到理性具体相结合的认识方法，既体现了认识过程的辩证法，又是人类认识世界的科学方法。

二、如何理解科学抽象？科学的抽象必须具备客观性、实在性和可检验性，都是客观事物所具有的某种属性、关系的反映，不是空洞的、荒谬的、神秘的虚构。

数学概念教学的意义与价值松原市教育学院赫晓玲众所周知，客观事物都有各自的诸多性质，亦可称之为属性。

人们在实践活动中，逐渐认识了所接触对象的各种属性。

在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，称为这种事物的本质属性。

数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。

反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念。

中学数学课程标准要求：“要使学生掌握基础知识和基本技能，首先要使学生正确理解数学概念”。

数学概念是数学基础知识中的核心，有不定义概念和定义概念两大类。

不定义概念用描述法叙述事物的本质属性，如点、线、面、集合、平面等；定义概念不是用描述法叙述，而是反映事物的本质属性，定义不包括一般性质，而一般性质可由本质属性导出。

要使学生正确掌握并灵活应用数学基础知识，就必须首先搞好数学概念的教学，使学生学好数学概念。

笔者现就数学概念教学问题谈谈自己的思考。

一、为什么要加强数学概念的教学研究任何一门科学，首先都要对它所研究的对象建立起明确的概念，围绕这些概念将该门科学的知识体系有逻辑地展布开来。

这一特点对于数学这门学科来说，尤为重要。

数学教学之所以应首先搞好概念教学，是由数学学科本身的特点所决定的，具体地说，这是由数学教学的目的和任务所决定的。

数学教学的目的和任务是：通过数学教学对学生进行思想教育，培养学生的科学态度和辩证唯物主义观点；通过数学教学以一定的数学基础知识武装学生，培养并发展学生的能力和智力。

学生对数学概念的掌握，也是逐步地深入和发展起来的。

对一些具体的对象，进行分析、综合、归纳、抽象、类比等，概括出它们的一般的与本质的特征。

这样也就建立了某个数学概念。

因此，为了使学生正确地掌握数学的基础知识，并在实际中应用这些知识，就要使学生形成正确的数学概念。

从数学概念与数学基本技能之间的关系来看，数学概念是基本技能的基础，而基本技能的培养和实际问题的解决，却又反过来促使所学数学概念进一步深入巩固。

圆的专题教学建议-----数与代数与图形与空间的结合初中数学的教学内容主要分为四个部分，它们是数与代数、图形与空间、概率与统计、综合与实践。

其中数与代数、图形与空间是最主要的两大块，这两大块看似互不影响、是泾渭分明的河流，其实它们是在互相影响。

圆这一章的学习就体现了数与代数、图形与空间的综合思想。

在初中几何的教学中，《圆》章节为最大章节，而且是北师大版教材最后一章节，这一章内容所体现的各种数学思想是非常丰富的，它不仅在平面几何占重要的地位，还在整个中学数学中起承上启下的作用。

毕达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆。

”圆从笔画上说是最简单的图形，它是初中学习的唯一的一种曲线形知识,它具有与直线型完全不同的图形、性质，它的内容却相当丰富。

任何教学内容从总体上可以分为两个层次，一个是表层知识，另一个是深层知识。

表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本的知识，深层知识主要是数学思想与数学方法。

表层知识是深层知识的基础，是课标中明确规定的，教材中明确给出的，具有操作性的知识。

教师必须在传授表层知识的过程中不断渗透相关的深层知识，让学生掌握表层知识的同时，领悟到深层知识的，才能使学生的表层知识达到一个质的飞跃，从而使数学教学脱离题海的苦海，使其具有朝气和创造性。

学生只有通过对教材的学习掌握了一定的的表层知识之后，才能更进一步学习和领悟相关的深层知识。

《圆》章节相对其它章节来说，教授难度较高。

为了提高教师的上课效率，将《圆》章节教好，本人进行了一点探索，现抛砖引玉，希望能让更多的教师参与进来，能将圆这一章的教学质量进一步提高。

一、表层知识《圆》这章教材的表层知识主要分为四大节。

第一大节是圆的概念与性质，给出圆的定义，点与圆的位置关系，研究圆很重要的性质：（垂径定理，圆周角与圆心角关系，确定圆的条件）。

第二大节主要是直线与圆的位置关系，研究了直线与圆的三种位置关系、切线长定理，重点研究了直线与圆相切的位置关系以及切线的性质和判定。

单选题1.影响中学数学课程因素：（）A.社会因素、数学因素、学生因素、教师因素、教育理论因素、课程的历史因素B.课程因素C.教育因素D.学生因素答案:A2.说课是指教师在备课的基础上结合有关的教育、教学理论，以讲述的形式向听的对象，就一节课或一个单元（章节）或一个知识点（）程序然后由听的教师评议，以达到互相交流共同提高的一种教研活动形式。

A.说教材、说教法、说学法、说教学B.说教育、说教法、说学法、说教学C.说教材、说教研、说学法、说教学D.说教材、说教法、说学术、说教学答案:A3.心智活动技能是指:（）A.数学活动的心智活动方式B.新旧知识相互作用阶段C.操作阶段D.心智活动技能答案:A4.任何事物的运动都有（）形式。

A.相对的静止B.绝对的运动C.绝对的静止D.相对的静止和绝对的运动答案:D5.心智活动技能是指顺利完成:（）A.数学活动的心智活动方式B.新旧知识相互作用阶段C.操作阶段D.心智活动技能答案:A6.数学的德育价值是指数学在形成和发展人的（）道德色彩和个性品质所具有的教育作用和意义。

A.科学世界观B.社会世界观C.审美世界观D.人类世界观答案:A7.刺激输入的过滤或改变:（）A.评价主体B.顺应C.同化D.评价方式答案:C8.数学教育的价：（）A.实践价值、认识价值、美育价值、德育价值B.实践价值、认识价值、美育价值C.实践价值、认识价值D.实践价值答案:A9.影响学习迁移因素:（）A.积极因素和主观因素B.客观因素和消极因素C.客观因素和主观因素D.消极因素和主观因素答案:C10.发现学习是学生独立地获得知识有：（）A.学术思想B.学识方式C.学习方式D.学习方法答案:C11.数学问题是运用已有的（）经过积极的探索、思考才能解决的问题。

A.数学概念、语言或评价B.数学内容、语言或评价C.数学概念、理论或方法D.数学内容、理论或评价答案:C12.课程教材直接服务对象（）。

A.师生B.学员C.教师D.学生答案:D13.学习的迁移：（）A.学习者所习得的学习形式对其他学习的影响B.学习者所习得的学习结果对其他学习的影响C.学习者所习得的学习内容对其他学习的影响D.学习者所习得的学习过程对其他学习的影响答案:B14.理解数学问题、符号、方法和证明的本质的能力是:（）A.文学能力B.数学能力C.理解能力D.认知能力答案:B15.根据数学的特点，考虑数学知识结构时，应遵循的原则是：A.逻辑性原则、应用的广泛性原则、统一性原则B.逻辑性原则、应用原则、统一性原则C.逻辑性原则、广泛性原则、统一性原则D.逻辑性原则、应用的广泛性原则、唯一性原则答案:A16.学习中已获得的（）对其他学习的影响可能是积极的，也可能是消极的。

浅谈“概念教学”概念是客观事物的本质属性在人们头脑中的反映，概念教学的过程是理解从感性上升到理性的过程。

数学概念是数学基础知识的重要组成部份，是构成抽象的教学知识的“细胞”，是实行逻辑思维的第一要素。

小学生年龄小，生活经验缺乏，知识面窄，构成了概念教学中的障碍。

对于这些概念如何实行教学呢？一般要经过引入、形成、巩固和发展四个环节。

在每一个教学环节中，为了达到一定的教学目的，我根据概念的不同情况及学生的具体实际，在教学中采用了一下相对应的教学方法。

一、概念的引入在数学概念教学过程中概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。

概念引入得当，就能够紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。

引出新概念的过程，是揭示概念的发生和形成过程，而各个数学概念的发生形成过程又不尽相同，有的是现实模型的直接反映；有的是在已有概念的基础上经过一次或多次抽象后得到的；有的是从数学理论发展的需要中产生的；有的是为解决实际问题的需要而产生的；有的是将思维对象理想化，经过推理而得；有的则是从理论上的存有性或从数学对象的结构中构造产生的。

所以，教学中必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况，适当地选择不同的方式去引入概念。

一般来说，数学概念的引入能够采用如下几种方法。

1．在原有概念的基础上引入数学中的很多概念，都与旧知识有着内在的联系，教师就要引导学生充分使用旧知识，从学生已有的概念知识基础上加以引伸，导出新概念。

这样既概括了旧知识，又学了新概念，有利于精讲多练。

例如在对“比的基本性质”这个概念教学时，首先将以前学过的除法的基本性质、分数的基本性质实行一次复习和巩固。

让学生理解“被除数和除数同时扩大或同时缩小相同的数（零除外），以及分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（零除外），得出的商（分数值）不变。

”这两个性质，让学生自己从这两个性质中得出“比的基本性质即比的前项和比的后项都同时扩大（或缩小）相同的倍数（零除外）比值不变。

教师资格证-（高中）数学-章节练习题-第三章教学知识-第三节数学学习及中学数学学习方式[单选题]1.()是在数（江南博哥）学教学实施过程中为了查明学生在某一阶段的数学学习活动达到学习目标的程度，包括所取得的进步和存在的问题而使用的一种评价。

A.诊断性评价B.形成性评价C.终结性评价D.相对评价参考答案：B参考解析：题干所述为形成性评价的定义。

诊断性评价一般在学习某一部分新知识之前进行，形成性评价是一种过程性评价，终结性评价是一种结果性评价。

[单选题]2.在学习数学和应用数学的过程中逐步形成和发展的数学学科核心素养包括：()、直观想象、数学运算、数据分析等。

A.分类讨论B.数学建模C.数形结合D.分离变量参考答案：B参考解析：《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中明确指出，数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

[问答题]1.在高中的教学中，教师应帮助学生打好基础、发展能力，请简述具体的做法。

参考答案：无参考解析：教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，发展能力。

具体来说：(1)强调对基本概念和基本思想的理解和掌握教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想(如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等)要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。

由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉。

在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程.在初步运用中逐步理解概念的本质。

(2)重视基本技能的训练熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的。

在高中数学课程中，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。

但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。

(3)与时俱进地审视基础知识与基本技能随着时代和数学的发展，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化，教学中要与时俱进地审视基础知识和基本技能。

1.数学概念是反映事物本质属性的思维形式。

它反映的是一类具有共同属性的
事物（能区别于其他事物）的全体。

思考：什么是属性？什么是本质属性？
客观事物都有各自的许多性质，称为属性．
一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，便称其为这种事物的本质属性．一个数学对象的某个属性，可以是其它数学对象也具有的，但是本质属性是它区别于其它数学对象的属性．
2.任何一个数学概念都有它确定的含义以及所确定的对象范围，这就是说数学
概念是由它的内涵和外延组成。

一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．
概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物．
概念的内涵是概念在质的方面的反映。

一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延．
数学概念所反映的全部对象，是概念在量方面的反映，说明概念所反映事物的范围。

数学概念的内涵和外延相互联系、互相依赖，给定一个概念，意味着就确定了它的内涵和外延。

概念的内涵和外延之间遵循着反变关系，即当概念的外延集合缩小，就会得到概念内涵增多的新概念；反之，当概念的外延集合扩大就会得到概念内涵减小的新概念。

3.如果一个命题的条件和结论中所含的单纯事项不止一个，有时为了更深入地
研究这些事项间的逻辑联系，我们不把条件和结论整个换位，而只是把它们的部分事项换位，所得的命题称为原命题的偏逆命题．
4.例原命题：等腰三角形顶角的平分线是底边上的高和中线。

逆命题：等腰三角形底边上的高和中线是顶角的平分线。

偏逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角的平分线和底边上的中线。

这些不加证明而被承认其真实性的命题叫做公理．
5.经过证明为真实的命题叫做定理．。

第七章数学基础知识的教学§7．1 数学概念及其教学7．1．1 数学概念1、数学概念的意义客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性．人们在实践活动中，逐渐认识了所接触对象的各种属性．在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，于是，便称其为这种事物的本质属性．反映事物本质属性的思维形式叫做概念．数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系．反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念．数学概念通常用特有的名称或符号来表示．名称（或符号）和与此相关联的概念分属两个不同的范畴．概念反映名称（或符号）的内容，表达出人们认识事物的结果，而概念的名称（或符号）是表达概念的语言形式．有时同一个概念会有不同的名称（或符号），如“5”、“五”、“five”都表示同一个数.又如，等边三角形和正三角形表达同一个数学概念.因此，使用名称（或符号）时，重要的是它所表达的内容，即相关联的概念本身．有时同一个名称在不同的情况下会表达不同的概念，如“角”.必须注意“属性”与“本质属性”的不同．一个数学对象的某个属性，可以是其它数学对象也具有的，但是本质属性是它区别于其它数学对象的属性．例如，一组对边平行“是平行四边形的属性，但不是本质属性；“对角线相等”是正方形的属性，但不是本质属性．一般的，一个概念的本质属性完全刻画了这个概念，从这一点来说，它是不可分割的．它的一部分只是这个概念的属性，但不再是本质属性．2、概念的外延与内涵概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物．一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延．例如，“平行四边形”这一概念的外延是“所有平行四边形的集合”，“偶素数”这一概念的外延是“2”．一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．把这个概念的每一个本质属性都称为这个概念的内涵的一个表现形式，那么这些本质属性之间是相互等价的，它们的全体构成一个等价类．因此，一个概念的内涵实际是一个等价类，这个概念的内涵的每一个表现形式都是它的一个代表元(如正方形的定义)．我们约定，一般情况下，说出一个概念的内涵，只要说出它的任一个代表元．一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻画了这个概念，每个概念都是其内涵与外延的统一体．概念的内涵严格确定了概念的外延，反之，概念的外延完全确定了概念的内涵．概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性．例如角的概念，起初角是作为具有公共端点的两条射线所构成的图形．其外延在小学阶段为0o 到180o 的角，到初中发展为0o 到360o 的角．后来发展成，角是一条射线绕着端点旋转所形成的图形．其外延，在平面几何中为0o 到360o 的角，在三角中发展为任意角．在以上的发展变化过程中，角这一概念的外延与内涵都发生了变化，但是在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的，并且如前面已经说过的，概念的外延和内涵二者是相互确定的．当用集合(){}x x A Φ=表示一个概念的外延时，()x Φ就给出了这个概念的内涵．3、概念间的关系为了弄清数学概念，必须对互相联系着的概念进行比较，即比较它们的外延与内涵，研究相互间的关系．这里介绍中学数学中常见的一些关系，从比较概念的外延入手，并结合分析内涵之间的关系．（1）相容关系 如果两个概念的外延至少有一部分重合，则称它们之间的关系为相容关系．相容关系可分为以下三种情况：i ）同一关系 如果两个概念的外延完全相同，则称这两个概念间的关系为同一关系，这两个概念称为同一概念．同一关系可用图7-1表示．之所以提出同一关系，是因为虽然概念的外延完全确定了概念的内涵，但内涵的表现形式可以不同．研究同一关系可以对概念的本质属性有更深刻、更全面的认识，在推理证明中，这些等价的本质属性互相代换，可使问题易于解决．例1 下列各组概念是同一概念：（i ）偶素数；最小的正偶数．（ii ）有理数；形如q / p （p 、q 是整数，p ≠0）的数．（iii ）等腰三角形底边上的高、中线、顶角的平分线．ii ）从属关系如果一个概念A 的外延真包含于另一个概念B 的外延，A （B ）图7-1 图7-2那么称这两个概念之间的关系为从属关系．外延较小的概念A 叫做种概念，外延较大的概念B 叫做属概念．如图7-2所示．例2 下列各组概念间具有从属关系，前者是种概念，后者是属概念： （i ）有理数；实数．（ii ）一元二次方程；整式方程．（iii ）矩形；平行四边形．种概念和属概念是相对而言的．例如，“平行四边形”这一概念，相对于“矩形”概念来说是属概念，而相对于“四边形”概念来说却是种概念．从内涵方面看，显然种概念具有属概念的一切属性，而两者的本质属性又不相同，所以属概念的本质属性都是种概念的属性，种概念的内涵真包含属概念的内涵．即是说，具有从属关系的概念之间，就包含的意义上讲，外延愈小，内涵愈多；外延愈大，内涵愈少．反之，内涵愈多，外延愈小；内涵愈少，外延愈大．这称为外延与内涵的反变关系．例如：需要指出的是，如果在给定的一个概念的基础上，增多内涵或缩小外延，就得到原概念的一个种概念；减少内涵或扩大外延，就得到原概念的一个属概念．在数学中，为了对某一个概念加深认识，或者为了用较一般的概念来说明特殊概念，往往采取逐步增加概念的内涵，使概念的外延缩小的方法，从而得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫做概念的限定．例如，在平行四边形的内涵中增加“有一个角为直角”这一性质，就成为矩形的内涵了；同时，就从平行四边形的外延缩小到了矩形的外延．从二次根式到n 次根式，从（平面）四边形到空间四边形，都是概念的概括．iii ）交叉关系四边形 的外延 平行四边形 的 外 延 矩 形 的外延 正方形 的外延 四边形 的内涵 平行四边形 的 内 涵 矩 形 的内涵 正方形 的内涵 ⊃ ⊃我⊃ ⊂⊂ ⊂（ii）等腰三角形；直角三角形．（iii）矩形；菱形．两个交叉概念的外延重合部分所反映的对象，同时具有这两个概念的一切属性．另一方面，由这个外延的重合部分就给出了另一个概念，它相对于原来的两个概念来说都是种概念．如例3中的交叉概念“正数”和“整数”，其外延重合部分是正整数概念的外延，正整数同时包含了正数和整数的一切属性．交叉概念“矩形”和“菱形”，其外延重合部分是正方形的外延，正方形概念同时是矩形和菱形的种概念，它的内涵同时包含了矩形和菱形的内涵．（2）不相容关系如果两个概念的外延没有任何部分重合，即它们的交集是空集，那么称这两个概念间的关系为不相容关系或全异关系．不相容关系可分为下列两种情况．i）对立关系在同一属概念之下的两个种概念，如果它们的外延的Array交集是空集，而外延的并集小于这个属概念的外延，那么称这两个种概念之间的关系（相对于这一属概念而言）为对立关系，这两个种概念叫对立概念．（如图7-4如示）．例4 下列各组概念是对立概念：图7-4 （i）正有理数；负有理数（相对于属概念“有理数”而言）．（ii）等腰梯形，直角梯形（相对于属概念“梯形”而言）．（iii）整式方程；分式方程（相对于属概念“代数方程”而言）．对立概念虽然都具有给定属概念的属性，但是它们是相互排斥的，所反映的对象没有一个是相同的；另一方面，在给定的属概念所反映的对象中存在着不属于两个概念中任何一个的对象，即是有非此非彼的对象．如例4的（iii）中，无理方程既非整式方程又非分式方程．ii）矛盾关系（iii）整式方程；分式方程（相对于属概念“有理方程”而言）．矛盾概念也都具有给定属概念的属性，又是互相排斥的．同时，给定的属概念所反映的任一对象，对这两个种概念来说，有非此即彼的关系．如例5的（ii）中，任一个三角形，或是不等边三角形，或是等腰三角形，二者只有其一，同时二者必居其一．值得注意的是，如果说明两个概念是不相容概念，只要直接去比较二者的外延；但如果要进一步说明，是对立概念还是矛盾概念，则一定要相对于它们的一个给定的共同的属概念才能讨论．例如“正整数”和“负整数”两个概念，相对于属概念“整数”来说是对立概念；而相对于属概念“非零整数”来说，则是矛盾概念．概念的不相容关系在数学证明的反证法、穷举法中有所应用．任何两个联系着的可比较的概念之间，必具有相容关系和不相容关系中的一种．进而分析，必具有同一关系、从属关系、交叉关系、对立关系、矛盾关系之一种．具有全异关系的两个概念未必是对立关系、矛盾关系，但具有对立关系、矛盾关系的两个概念必是全异关系（“同一属概念”）．对具有相容关系的两个概念亦可作类似分析．4、概念的定义与原始概念（1）概念的定义定义是建立概念的逻辑方法．人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义．常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性．下定义的方式，可以是直接揭示对象的本质属性来给出定义，也可以是通过揭示概念的外延来给出定义，这是因为概念的外延完全确定了它的内涵．对于用前一类办法定义的概念，定义中揭示的这个概念所反映的对象的本质属性，称为基本本质属性，也称为这个概念的基本内涵．当要求说出一个概念的内涵时，通常只要说出它的基本内涵．一个概念，其对象的所有属性都可以由定义推出．由于和本质属性等价的属性也是本质属性，所以一个概念，其反映的对象的本质属性常常不止一个，由它的任意一个本质属性都可以得到这个概念的一个等价定义．例如，平行四边形的定义为：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”定义中直接揭示的“两组对边分别平行的四边形”就是平行四边形概念的基本内涵．而与之等价的，“两组对边分别相等的四边形”，“一组对边平行且相等的四边形”，“两组对角分别相等的四边形”，“对角线互相平分的四边形”等，都是平行四边形的本质属性，由其中任一个都可得到平行四边形的一个等价定义．不过，中学数学教学中，一般不提等价定义．概念的定义是一种约定，因此，任何定义都不能证明它是否正确，但是它应当选择得合理．在教学过程中，向学生说明一个概念定义的理由是有益的．（2）原始概念 在数学中总是力求对数学概念下定义，就是说用一些已知的概念来定义新概念，这样就构成了一个概念的体系，但是数学概念的个数是有限的，所以在这个概念的体系中总有一些概念不能再用别的概念来定义，而被作为概念体系的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，或不定义概念．在中学数学里，对原始概念采用直观描述的办法．如拉紧的线、纸的折痕给我们以直线的形象，平静的水面给我们以平面的形象．又如中学数学里对集合所作的描述，只是使用一些同义语让学生意会，不是集合的定义．再如“0，1，2，3，……叫自然数”，这是直观说明的方法，不是自然数的定义，这些概念都是不定义的概念．前面说过，对概念逐步进行概括，就可得到一系列具有从属关系的概念．不过，这个过程只能进行有限个步骤，就必然归结为原始概念．如图7-6所示，正方形是特殊的菱形，菱形是特殊的平行四边形，平行四边形是特殊的四边形，四边形是特殊的多边形，多边形是特殊的几何图形，几何图形是点集．这样，就追溯到了原始概念：点和集合．（3）常用的定义方法i ）属概念加种差定义法我们先看平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”这里，“平行四边形”是被定义的概念，“四边形”是已有定义的，它是属概念，“两组对边分别平行”是平行四边形与其它四边形的差别，称之为“种差”，这种定义方法就是属概念加种差定义法． 一般地，属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法．种差揭示了被定义概念相对于这个属概念来说特有的属性，它连同这个属概念的基本内涵一起，就构成了被定义概念的基本内涵．注意到被定义概念的属概念常常不止一个，显然，选择最邻近的属概念可使种差简单一些．属概念加种差定义法使概念间的关系很明了，有助于概念的系统化． ii ）发生式定义法不是直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法．发生式定义法是属概念加种差定义法的一个变异，这里的属概念不一定是被定义概念最邻近的属概念，种差也不是揭示被定义概念相对于属概念来说特 菱形 平行四边形 四边形 多边形 正方形点集—几何图形 图7-6有的属性，而是给出被定义概念所反映对象发生的过程．例如，“平面内一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角．”“把数和表示数的字母用代数运算符号联结起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式．”用的都是发生式定义法．iii）揭示外延定义法有些数学概念的外延是单一的对象或是几个简单明显的对象组成的集合，往往直接揭示概念的外延作为定义．例如，“有理数和无理数统称为实数”，“我们规定a0=1（a≠0）”等都是用的揭示外延定义法．iv）归纳定义法例如用递推公式an =an-1+d定义等差数列，就是归纳定义法．（4）定义的要求i）定义应当相称我们知道，常常是先形成概念，再用下定义这样的逻辑方法来明确和建立概念．因此，下定义时，必须使定义所确定的概念和人们已经形成的概念相一致．必须准确揭示要建立的概念的基本内涵，或者说必须使由所下定义确定的概念外延和人们已经形成的，已建立的概念的外延相同，这就是定义应当相称的意思．另外，学生学习、理解、掌握定义，必须与人们已经建立的概念、已经下的定义相一致，或者说相称．因为，定义虽然是一种约定，任何定义谈不上证明是否正确，但是，一经约定，就不能再下与此不一致的“定义”了，不能随便把与数学中已建立的概念不相一致的东西作为这个概念的“定义”．例如，不能把“两条不相交的直线”当作平行线的定义，因为在空间，不相交的直线还有异面直线的情形．应该是“在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线”．又如，不能把“无理数是开不尽的方根”当作无理数的定义，因为无理数概念外延中还包括了除此而外的许多其它数，象π、e、tan2、sin1o等等．ii）不能循环定义如果把甲概念作为已知概念来定义乙概念，又把乙概念作为已知概念来定义甲概念，就是循环定义，犯了逻辑错误．循环定义既不能揭示概念的基本内涵，又不能确定概念的外延．例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直，就是循环定义．（几何原本中的定义：当一条直线和另一条横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角.）（当两直线相交所组成的角为直角时，称它们互相垂直.）iii）一般不用否定形式作定义定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点．例如不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延．当然也有例外的情形，如平行线的定义．不过，这个定义表面上看，是否定形式，但它实际上揭示出了平行线“在同一平面内，没有公共点”的本质属性．iv）定义中应没有多余的条件定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的．所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出．凡是可由列举的其它属性推出的，对于定义来说都是多余的条件，应删去．例如，把“四个角都是直角的平行四边形叫做矩形”当作矩形定义，条件就多余了．5、概念的分类（1）概念分类的意义通过把一个属概念分成若干个种概念，来揭示概念外延的逻辑方法，叫做概念的分类．在数学中常用分类把概念系统化．例如，对复数可作如下的分类：（2）分类的基本要求正确的分类应符合下列条件：i）所分成的种概念之间应是全异关系，即是说任两个种概念的外延的交集应是空集．换言之，属概念反映的任一个对象只能属于一个种概念的外延，不能有重复．（不重）例如，把“平行四边形”作如下“分类”是错误的．平行四边形矩形菱形正方形不是矩形、菱形、正方形的平行四边形纯虚数bi （a=0）非纯虚数a+bi （a≠0）因为“矩形”和“菱形”的外延有重合部分，就是“正方形”的外延．又如，把“三角形”作如下“分类”也是错误的．因为等边三角形是特殊的等腰三角形． ii ）分类应是相称的．即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延．换言之，属概念反映的任一对象都应属于一个种概念的外延，没有遗漏．（不漏）例如，把“三角形”作如下“分类”是错误的．漏掉了“只有两边相等的三角形”，“不等边”并非是对“等边”的否定，而是“三边都不相等”．iii ）每次分类都应按照同一个根据进行．在一次分类中用不同的根据就造成了混乱．例如，在对三角形进行“分类”时，如果分出的种概念中，既有“等边三角形”，同时又有“直角三角形”，就是不正确的．iv ）分类不应越级应把属概念分为最邻近的种概念． 例如，把“实数”分为“有理数”和“无理数”两类是正确的．如果把“实数”分为“整数”、“分数”和“无理数”就越级了．越级分类会把概念的系统搞乱．（3）二分法例如，把“实数”分为“负实数”和“非负实数”，就是用的二分法． 二分法，集中注意了概念的某个属性，而且自然满足了上面关于正确分类的前三个条件，因此常常被采用．7．1．2 学生学习数学概念的心理分析数学概念是数学知识中最基本的内容，反映着人们对现实世界空间形式和数量关系的丰富和深刻的认识，一切数学思维都以数学概念为基础，凭借数学概念来进行，所以数学概念的学习在数学学习中占有极重要的地位． 三角形 不等边三角形等腰三角形等边三角形三角形不等边三角形等边三角形1、数学概念的特点数学的研究对象是现实世界的数量关系和空间形式，这种关系和形式是脱离了事物的具体物质属性的，因此，数学概念有与此相对应的特点.（1）数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式，它是排除一类对象物理属性以后的抽象，反映了一类对象在数与形方面内在的、固有的属性，因而它在这一类对象的范围内具有普遍意义.（2）数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，并且都由反映概念本质特征的符号来表示，这些符号使数学有比别的学科更加简明、清晰、准确的表述形式.数学概念的这种特性使学生在较短时间内掌握大量数学概念及其系统成为可能.例如，在数学发展史上，数系的建立经历了两千多年，如今，学生凭借现有的数的符号，可以在较短的时间内掌握数系的全部概念.而在中国数学的发展史上，由于没有发明简明的数学符号而使数学的发展受到极大阻碍的例子是非常多的（如以一、二、三、四、五……作为数的符号，在书写和运算上均不如用1、2、3、4、5……方便），这说明在数学的发展中引进恰当的符号来表示概念是非常重要的，这是数学概念的一个重要特点.（3）数学概念是具体性与抽象性的辨证统一.一些数学基本概念是一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的抽象，具有明显的直观意义，但通常以形式化语言来表述；数学中有许多概念是在抽象之上的抽象，是由概念所引出的概念（如1、2、3是对真实事物的直接抽象，而那些较大的数则是建立在已有概念的抽象分析之上：对于“已知x，则可得x+1”的理解使人们可以获得自然数的无限序列：1，2，3，…，n，n+1，…）；数学中还有许多概念是“思维的自由想象和创造的产物”，它们与真实世界的距离是非常遥远的，如“虚数”、“n维空间”等.所有这些都说明，数学是高度抽象的.但另一方面，数学概念又是非常具体的，任何一个数学概念的背后都有许多具体内容支撑着.学生只有掌握了数学概念的定义，同时又能够举出概念的具体事例，才算真正掌握了数学概念.（4）数学概念具有很强的系统性.前已指出，数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统.公理化体系就是这种系统性的最高反映.数学概念的这种特性，要求学生在数学学习时必须做到循序渐进，一步一个脚印，扎扎实实地打好基础.值得指出的是，数学概念的特点不能与个体所掌握的数学概念的特点相混淆.个体所掌握的数学概念是与他本人的数学认知结构水平相适应的，即同一个数学概念，由于认知结构水平的不同，存在着不同水平的理解.例如“函数”概念，初中学生只能作“对于给定区间上的每一个x值都有唯一的一个y值与之对应，则y就是x的函数”之类的直观理解，而高中学生就可以用集合的语言，。

中职数学学科核心素养与课程目标的关系一、填空题1.中学数学的“四能”是指发现问题的能力，提出问题的能力，分析问题的能力和解决问题的能力。

2.中学数学的核心素养是：数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算，直观想象，数据分析。

3.教案三要素是指明确教学目标，形成设计意图，制定教学过程。

4.数学教育学的具体研究对象有数学教学论，数学课程论，数学学习论。

5.高中课标提出了五种基本能力，包括空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力和数据处理能力。

6.为适应现代社会对人类发展需要，提出将数学“双基”发展为“四基”，即基础知识，基本技能基本思想，基本活动经验。

7.数学发展史分为四个高峰期，分别是：以欧几里得的《几何原本》为代表的公理化时期，以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法时期，以希尔伯特为代表的现代公理化时期，信息时代的计算机算法时期。

8.弗赖登塔尔是世界著名的数学家和数学教育家。

他的主要代表有作《作为教育任务的数学》，《除草与播种》，《数学教育再探》。

9.波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士。

他在数学教育方面的主要代表作有《怎样解题》，《数学的发现》，《数学与猜想》。

10.波利亚的解题理论主要有哪几大步骤：了解问题，拟定计划，实行计划，回顾。

11.波利亚认为，中学数学教育的根本目的是（教会学生思考）。

波利亚建议，要成为一名好的数学教师，必须具备两方面的知识，一是教学内容的知识，二是数学教学法的知识。

12.数学教学的基本功能是什么？实用性功能，思维训练功能，选拔性功能。

13.数学教学原则有哪四条？学习数学化原则，适度形式化原则，问题驱动原则，渗透数学思想方法原则。

14.基本的教学模式有哪几种：讲授式，讨论式，学生活动式，探究式，发现式。

（详情见书p103）15.数学学科德育的一个基点是：热爱数学，三个维度是：人文精神，科学素养，道德品质。

16.流芳百世最有影响的数学教育教材：《几何原本》，全书共分13卷，5条公里，5个公设，119个定义，465条命题，构成了人类文明史上第一个演绎数学的公理化体系。

第8章中学数学基础知识的教学1．什么是事物的本质属性？本质属性与属性有何区别？答：在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，则称其为这种事物的本质属性．一个对象的某个属性，可以是其他对象也具有的，但是本质属性是它区别于其他对象的属性．一般的，一个概念的本质属性完全刻划了这个概念，从这一点来说，它是不可分割的．它的一部分只是这个概念的属性，但不一定是本质属性．2．什么是数学概念？数学概念是怎样产生的？答：客观世界的许许多多事物都有各种各样的性质，事物之间存在各式各样的关系，这些性质和关系都是事物的属性．事物由于性质相同或不同，形成各种不同的类，属性相同的事物形成一类，性质不同的事物就形成不同的类．在人们在实践活动中，接受客观事物的各种各样信息，形成观念，这是感性认识阶段．在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，即本质属性和特征，从而形成了反映事物的本质属性的特征和各种各样的概念．而各门学科都有它自己研究的对象，各门学科的概念总是反映事物某方面的本质属性．数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系．数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式．数学概念的产生和发展的途径是不同的．有的数学概念是从它的现实模型直接反映得来的．例如，几何中的点、线、面、体等概念都是从物体的形状、位臵、大小关系等具体形象抽象概括得来的；有些数学概念是在一些相对具体的概念的基础上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成的．例如，复数的概念是在实数概念的基础上产生出来的，而实数的概念是在有理数概念的基础上产生出来的，有理数概念是在自然数概念的基础上产生出来的；另外，有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得到的．例如，直线的“笔直”、“可以无限延伸”等特征是从笔直的条形物体的形状理想化、纯粹化得来的；还有些数学概念是从数学的内部需要产生出来的．例如，为了数的乘法通行，规定一个数乘以0的积是0．又如，为了把正整数指数幂的运算法则扩充到有理数指数幂，以至实数指数幂，在数学中产生了零指数、分数指数、无理数指数等概念；还有一些数学概念是根据理论上有存在的可能而提出来的。