中学数学基础知识的教学什么是事物的本质属性本质属性

教师资格《初中数学学科知识与教学能力》真题试卷1 [单选题]（江南博哥）设函数列x=0为f(x)的( )A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.震荡间断点正确答案：B参考解析：因为，且f(x)在x=0处有定义，故x=0是f(x)的跳跃间断点。

2 [单选题]A.0B.1C.eD.e2正确答案：D参考解析：3 [单选题] 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A.3x3!B.3X(3!)3C.(3!)4D.9!正确答案：C参考解析：此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有31种排法，三个家庭共有3!x3!x3!=(3!)3种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法，因此不同的坐法种数为(3!)4，故选C。

4 [单选题]A.0B.C.1D.正确答案：C参考解析：5 [单选题]A.B.C.D.正确答案：D参考解析：6 [单选题] 若级数收敛，则级数( )A.一定绝对收敛B.可能收敛也可能发散C.一定条件收敛D.一定发散正确答案：B参考解析：如收敛，级数可能收敛，也可能发散。

7 [单选题] 课题学习属于初中数学课程标准界定的四个内容领域中的( )A.数与代数B.图形与几何C.统计与概率D.综合与实践正确答案：D参考解析：课题学习属于综合与实践。

8 [单选题]A.B.C.D.正确答案：D参考解析：9 [简答题]设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，且a≠1，求a。

参考解析：10 [简答题]什么是数学概念形成?数学概念形成的学习过程可以分为哪几个阶段? 参考解析：所谓数学概念形成，是指在教学条件下，从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，然后再通过具体的例子对所发现的属性进行检验，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。

这种获得数学概念的方式叫做数学概念形成。

数学概念形成的过程可以分为以下阶段：观察实例、分析共同属性、抽象本质属性、确认本质属性、概括定义、具体运用。

高中数学的教学设计5篇高中数学的教学设计5篇作为一位杰出的教职工，常常要根据教学需要编写教学设计，教学设计是连接基础理论与实践的桥梁，对于教学理论与实践的紧密结合具有沟通作用。

教学设计应该怎么写才好呢？下面是小编帮大家整理的高中数学的教学设计5篇，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

高中数学的教学设计5篇1教学目标1.明确等差数列的定义.2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3.培养学生观察、归纳能力.教学重点1.等差数列的概念;2.等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程(I)复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。

这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。

(放投影片)(Ⅱ)讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点?1，2，3，4，5，6; ①10，8，6，4，2，…; ②生：积极思考，找上述数列共同特点。

对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)对于数列②-2n(n≥1)(n≥2)对于数列③(n≥1)(n≥2)共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。

具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2 。

二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n-1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

如数列①(1≤n≤6)数列②：(n≥1)数列③：(n≥1)由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项?如果是，是第几项?解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在“课程基本理念”中指出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”这实质上是向广大数学教师提出的宏观教学要求.人们不禁要问，在数学课堂教学中应重点关注哪些核心要素，才能符合这一要求？笔者认为在数学课堂教学中教师应关注的问题很多，但下面四个问题是最重要的：中国论文网1激发学生的学习兴趣古人云：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”爱因斯坦有句至理名言：“兴趣是最好的老师.”兴趣是学习的原动力、是学习的催化剂，它对学生的学习有着神奇的内驱动作用，能变无效为有效，化低效为高效.可见，数学教学必须把培养学生的学习兴趣放在首位.学生原本对客观世界就有浓厚的好奇心，数学教学应该努力把学生的这种好奇心引导到探索事物的数量关系上来，把这种好奇心转化为学习数学的兴趣上来.关于激发学习兴趣的话题是一个古老但又“长青”的问题.许多心理学家、教育专家、教学名师等对此都有自己的见解，提出了很多激发学习兴趣有效的方法.例如，可以通过列举应用数学的实例，让学生了解数学的价值，知道数学具有广泛的应用性，与我们的日常生活、学习、工作息息相关.特别是在今天，随着信息科学技术的飞速发展，人们几乎可以把任何信息数字化，包括文字信息、行为信息、情感信息和图像信息.如网络查询、电视图像、手机信息、心理测量、身体扫描等.这样可以让学生看到数学内在的本质和自身的魅力，从而引起学生学习数学的兴趣.笔者认为，引发兴趣最主要的在于教师的教学方法.从这个角度讲，教师要在教学设计上狠下功夫，如选择新颖有趣的学习材料，采用启发式的教学方式，创设引人入胜的教学情境，采用讲故事、做游戏的方法，带领学生解决某些带有挑战性的问题等等都是很有效的.实践证明无论采用怎样的方法，只要能引发学生持久的乐学，课堂教学的效率就会不断得到提高.有的教师在学习列方程组解应用题前，用下面的问题作为引例来激发学生的学习兴趣：案例1自行车轮胎报废问题.一个自行车轮胎，若安装在前轮上，则行驶5000千米后报废；若安装在后轮上，则行驶3000千米后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮，使一对新轮胎同时报废，那么最多可行驶多少千米.学生甲：最多可行驶8000千米；学生乙：最多可行驶4000千米.还有很多学生无从入手.教师要抓住时机，告诉同学们学生甲、乙的答案都不对.为什么呢？只要学习了列方程组解应用题的知识后你们就知道答案了.这样学生学习的积极性就高了，学习注意力也集中起来了，教师开始了新课的学习.事实上，本题应该这样来解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为k5000，安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为k3000；又设一对新轮胎交换位置前走了x千米、交换位置后走了y千米，分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，得kx5000+ky3000=kky5000+kx3000=k方程组的两边相加，得k（x+y）5000+k（x+y）3000=2k，从而可得（x+y）=215000+13000=3750（千米）.故，自行车的一对新（前后）轮胎最多可行驶3750千米便能同时报废.事实上，成功的数学教育无不是建立在学生对数学极大的兴趣基础之上的.有兴趣的学习活动，一定会大大提高学生学习数学的效率.我们在与一些教师的座谈中，经常听到老师抱怨学生不“喜欢”数学、学习效率低的“声音”.其根源或许就是因为学生没有学习数学的兴趣，从这个角度讲学生不“喜欢”数学、学习效率低的原因在教师而不在学生.因此，教师应在研究教材与学生的基础上，对教学内容进行“二次加工”，结合具体内容创设必要的教学情境，利用有效的学习机制和教学手段，营造高效的学习氛围，彻底改变学生的学习状态，激发学生的学习欲望，实现学生由“苦学”、“厌学”到“乐学”的转变.2引发学生进行数学思考对于数学思考，《标准》分以下四点进行了详细的描述：（1）建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维.（2）体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象.（3）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法.（4）学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.上述四点是数学课程在“数学思考”方面应达到的目标.前三点是从数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域来阐述的，后一点是概括的阐述.它向我们指出了“数学思考”这一方面课程目标希望达到的三个目的：让学生学会独立思考，体会数学思想，体会数学思维方式.事实上，数学思考是数学教学中最有价值的行为.这就要求我们在数学教学中要引导学生在学会知识的过程中也要学会思考，学会思考远比学会知识本身更重要.这种思考是“运用数学的思维方式进行”的思考，也就是“数学方式的理性思维”.它有丰富的内涵，包括形象思维、逻辑思维和辩证思维，包括合情推理和演绎推理，等等.教学中让学生学会思考，就能形成用数学的眼光看世界，从数学的角度去分析问题的素养，能使学生终生受益.我国历来十分重视对基础知识的教学，但存在着“重结果、轻过程”的现象，如果长期采用这种教法，学生就难以学会独立思考，无法体会到一些数学基本思想的作用，形成不了正确的思维方式.例如，数学概念是重要的数学基础知识，许多老师对概念的教学采取的是“定义+例题”的方式，实质上是在“满堂灌”，最后只能导致学生是“知其然，但不知其所以然”.事实上，一个概念的形成往往与学生的思考、探索等活动融合在一起，密不可分.所以，在数学概念的教学中，教师一定要引导学生经历这个概念的建立过程，不可错失培养学生数学思考的良机. 图1案例2圆的有关概念的建立.圆是生活中常见的几何图形，从集合的观点定义圆是同学们学习的一个难点，为了克服难点，我们可以设计下面的问题，引导学生进行思考、探索等活动：画一个半径为5厘米的⊙O，在⊙O上任取A，B两点，连接OA，OB.（1）OA与OB的长分别是多少？（2）如果OC=5厘米，你能说出点C的位置吗？（3）如果M，N是平面内的两点，且OM=7厘米，ON=3厘米，你能分别说出点M，N与圆的位置关系吗？（4）观察图1，A，B，C三点与⊙O具有什么样的关系？由此可知，平面内的点与圆有几种位置关系？分别用这个点到圆心的距离与圆的半径的大小关系加以说明.（5）如果我们把“圆看成是平面内到定点的距离等于定长的点的集合”，那么请你用集合的语言描述圆的内部和外部：①圆的内部是点的集合；②圆的外部是点的集合.学生在上述五个问题的引导下，通过对点与圆的位置关系的思考与探究，经历了圆的集合定义的形成过程，进一步增强了学生对圆的本质属性的认识.圆是点的集合，而这个集合是由平面内所有“到定点的距离等于定长”的点组成的.这里的定点就是圆心，定长就是半径.把一个集合图形看成是满足某些条件的点的集合的思想，在数学学习中十分重要.这样的导学设计能让学生初步感受这种思想，符合《标准》强化对数学思想要求的精神.3使学生掌握恰当的学习方法国务院总理温家宝曾就如何制定《国家中长期教育改革和发展规划纲要》时强调指出：现在，在学习中我们比较注重认知，认知是学习的一部分，就是学习.在认知方法上我们还有缺陷，主要是灌输.其实，认知应该是启发，学生学会如何学习，掌握认知的手段，而不仅在知识的本身.学生不仅要学会知识，还要学会动手，学会动脑，学会做事，学会生存，学会与别人共同生活，这是整个教育和学习改革的内容.我们知道，学习方式是指学生在完成学习任务过程中基本的行为和认知的取向，它的基本纬度是自主性、探究性和合作性.《标准》论述学习方式时指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”20世纪末，世界一批最优秀的科学家特别是一批诺贝尔奖获得者倡导在儿童和学校教育中开展“做中学”活动，以提高幼儿园和学生的科学教育水平，培育科学的思维方式.“做中学”是让儿童和学生参与一些“科学活动”.学生在参与这些活动的过程中不仅能获得对数学的理解，还能体会到数学的研究方法，并且在活动中不断优化自己的数学认知结构.为了让学生主动的进行数学学习活动，并且在这个活动中使其个性得到充分的发展.教师应结合具体的教学内容创设有助于学生自主学习的问题情境，以此引导学生进行观察、操作、探究、归纳、猜想、讨论、交流等一系列的活动.在活动中获得数学的基础知识和基本技能，经历数学基本思想的形成过程，并且不断积累基本的数学活动经验.案例3“垂线段最短的性质”的发现过程.对于“垂线段最短的性质”，可以创设如下的问题情境，激发学生进行探索、发现、交流等活动.问题1：如图2，怎样测量跳远的成绩？图2图3问题2：在图3中，如果要从人行横道线点P处过马路，怎样走线路最短？你能把最短的线路画出来吗？图4（问题1、问题2是引导学生经历观察、操作、探索的过程，引导学生运用生活经验感知：直线外一点与直线上各点连接所得的所有线段中，垂线段最短）.问题3：如图4，点P在直线l外，点O1、O2、O3…在直线l上，其中PO⊥l，量出线段PO、PO1、PO2、PO3…的长度.在这些线段中，哪一条最短？（问题3是从数学内部提出的问题，引导学生通过数学活动感知：直线外一点与直线上各点连接所得的所有线段中，垂线段最短）.图5问题4：如图5，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为点O，O1、O2是l上任意两点.（1）画出所给图形沿直线l翻折后的图形；（2）你能说PO。

初中数学课堂教学的基本课型模式一、新知课（一）概念新知课1、教学目的任务该课型通过各种教学形式、手段，揭示和概括研究对象的本质属性，引导学生把握准某类事物共同属性的关键特征，解决好概念的“内涵”与“外延”的认识和理解。

概念课教学还承担着对学生进行辩证唯物主义教育的重任。

突出数学源于客观存在，源于人类改造世界的劳动实践的思想。

要通过概念课的教学，帮助学生逐步形成正确的世界观和方法论。

2、课型特征该课型体现学生的学习活动是在进行“代表学习”和“概念学习”。

通过“概念学习”，把作为新知识中的概念，正确地初步地转化为学生自身认知结构的概念体系里的概念。

通过“代表学习”，对概念的文字、语言叙述或概念的定义能初步理解，掌握这些数学概念所对应的数学符号及这些符号的书写、使用方法。

初步了解由这些数学符号组成的语言含义，并能初步把它转译成一般语言。

3、教学策略原则1）概念课应注意直观教学。

让学生了解研究对象，多采用语言直观、教具直观、情境直观、电化直观等教学手段，引导学生从具体到抽象，经概括和整理之后形成新的概念，或从旧概念的发展中形成新概念。

2）概念课应解决学生“概念学习”中的几个问题：①对每一个数学概念，都应该准确地给它下定义。

对一些基本（原始）概念，不宜定义的也应给予清晰准确的“描述”。

通过给概念下定义的教学，让学生从定义的表达形式及逻辑思维中去领会该事物与其它事物的根本区别。

并注意对同一概念的下定义的不同方案，从而深化对概念的理解。

②对概念（定义）的理解必须克服形式主义。

课内应通过大量的正、反实例，变式等，反复地让学生进行分析、比较、鉴别、归纳，使之与邻近概念不至混淆，并要解决好新旧概念的相互干扰。

③概念教学还必须认真解决“语言文字”与“数学符号、式子”之间的互译问题，为以后在数、式运算中应用数学概念指导运算打下基础。

使学生把代表某一概念的数学符号与概念内涵直接挂钩。

④克服学生普遍存在的“学数学只管计算，何必花时间学概念”之类的错误认识。

在中小学，分析教材是教师进行教学设计的基础，是教师上课的前奏；对教材分析是否到位，不仅关系到能否真正发挥教材的作用，也会直接影响教师的课堂教学质量。

教师应该坚定地树立一个信念：教材怎样研读都不过分。

在教材分析过程中，采取合适恰当的策略尤为重要。

本文中，笔者就教材分析策略问题作探讨。

一、目标化策略有效的教学始于准确地知道所期望达到的目标。

因此，中学数学教师阅读分析教材的首要任务就是确定教学目标。

教学目标既是教师进行数学课堂教学活动的出发点，也是课堂教学活动的归宿点，指引着教师教和学生学的方向。

同时，对于同一个内容，目标不同，其设计也就不同。

例如导数概念，在中学是不讲极限的，而导数本是特殊的极限，那么导数教学目标在大学与在中学就有很大的不同。

《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》从知识技能、数学思考、问题解决、情感与态度四个方面规定了数学课程目标。

多数教师按照“三维目标”来制订教学目标。

“三维目标”是新一轮基础教育课程改革出台的关于课程目标即“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的简称。

“三维目标”不是相互孤立的，而是相互统一的整体，是基于人的完整性提出的一体三面，不能把它们分割开来，必须从整体上思考。

数学教学一定要使学生在掌握数学知识与技能的同时，亲身经历、体验学习和探究的过程，并且在情感态度与价值观方面得到培养，即以“知识与技能目标”为主线，渗透“情感、态度与价值观”，并充分体现在学习探究的“过程”之中，紧紧咬住显性目标“知识与技能”，密切关注隐性目标“过程与方法、情感态度价值观”，力避“过程与方法”“情感态度价值观”目标的泛化。

教学目标的确定需要明确五个基本要素：主体、方式、对象、条件、程度［１］，即明确谁来做，怎么做、做什么、在什么条件下做、做到什么程度。

分析教材确定目标时，要明确区分出教材中哪些是数学事实性知识、原理性知识、策略性知识。

教学目标的制订可按照学段、年级、单元与课时来进行，教师教学目标的确定需要遵从“下要保底，上不封顶”的原则，使目标具有一定的弹性，兼顾学生之间的差异。

“五何”问题支架在数学教学中的应用作者：骆文娟来源：《江西教育B》2019年第03期作者简介骆文娟，中学数学高级教师，江西省初中数学学科带头人，江西省名师工作站领衔人，江西省初中数学教学能手，中国数学奥林匹克一级教练员。

主持并结题国家级、省级、市级课题多项，在省级以上期刊上发表文章30余篇。

导读：“五何”问题支架是由“由何、是何、为何、如何、若何”问题组成，能给予学生跨越“已知区”到“最近发展区”“未知区”的支持。

在初中数学教学中设计合理的“五何”问题支架能落实数学核心素养，引导学生在课堂中深度学习，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

数学核心素养是适应个人终身发展和社会发展需要的、具有数学基本特征的思维品质和关键能力，体现了数学的本质和数学基本思想，是数学知识、能力和情感态度价值观的综合体。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出十个发展数学核心素养的“核心概念”：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。

2018年教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提出了六个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。

数学核心素养需要在数学学习的过程中形成，能够使学生从数学的角度认识问题，以数学的态度思考问题，用数学的方法解决问题。

数学问题支架是指对解决数学学习困惑能起建构意义和辅助作用的问题框架，设计精心有效的数学问题支架来进行教学，能培养学生解决问题的能力，促进高阶思维能力的发展，促进学生对教学内容持久深入的理解。

“五何”问题支架是一种在教学中能落实数学核心素养、提高问题甄选效度的设计支架，有简单扼要、直入思维主题的特点，本文界定了其在数学教学中的特定含义，探讨了这一问题支架在初中数学教学中的应用与价值。

一、“五何”问题支架的数学内涵“五何”问题支架是华南师范大学祝智庭教授在四何问题分类法的基础上拓展形成的。

高中数学教案教学设计10篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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教学的本质（一）教与学统一的实质是什么我们认为，教与学统一的实质不是交往，而是学生在教师指导下主动地参与学习，从而在知识水平、情感态度、创新精神等方面得到主动的发展。

唯物辩证法是我们理解教师教与学生学相统一的锐利武器。

在我国社会主义条件下，教师的教与学生的学是既相适合又相矛盾的。

现阶段我国社会主义社会的发展要求中小学生成为有知识、有水平、有良好思想品德、有创新精神的一代。

教师愿以此为目标而执教，学生愿以此为目标而学习，这就是教师的教与学生的学相一致、相适合的根本点。

同时，教与学作为教学活动不可分割的两个方面必然具有相互依存的关系。

这就是说，教应为学生的学而施，它应以学生的需要为依据；而学生的学则有赖教的导引，它不能脱离教师的教。

这也表明两者具有相互适合性。

但是，教师的教与学生的学又是有矛盾的。

一方面，教师的教往往不同水准地脱离学生的实际需要，以及学生原有知识经验和学生的心理特点；另一方面，学生在学习的心理准备、自主学习的自觉水准、克服学习困难的毅力与自控水平以及原有知识基础等方面同教师的合理要求之间也存有这样或那样的差别。

这个矛盾的解决，首先要求确立准确的指导原则，主要是:现阶段我国社会发展对教学的要求与学生发展对教学的根本需要的统一；教师的主导作用与学生的能动作用的统一。

其次，要分析矛盾产生的背景和主客观原因。

第三，从教与学两方面采取解决矛盾的有效策略和措施。

基于上述指导原则，这个矛盾的解决取决于充分调动学生参与学习的主动性，使学生在知识水平、情感态度和创新精神等方面得到主动发展。

这正是教与学达到统一的根本尺度。

理应指出，教与学的统一是在教与学的矛盾运动中逐步实现的。

实际情形是:只要教学活动一展开，教与学之间就会产生矛盾；在一个教学周期内（如一学期，或一学年，或一学段），矛盾一步一步地得到解决都仅仅暂时的。

从教与学产生矛盾到矛盾暂时解决，教与学只达到了相对的统一；随着教学活动的继续，矛盾又产生，再解决，教与学便再一次达到相对统一，如此循环往复，教与学的运行便不断得到深化，学生学习的主动性随之不断提高，他们的整体素质因而能不断地得到发展。

一、内容和内容解析1.内容“解直角三角形中的数形结合”专题复习课包括图1本节课为第1课时，以解直角三角形及其应用为载体，在综合运用相关知识解决问题的过程中，提炼运用数形结合思想方法解题的操作步骤、作用、注意要点等.2.内容解析（1）地位和作用.代数和几何是初中数学的主要研究对象.数形结合是通过数与形的相互转化达到认识和解决问题的一种思想和方法.通过“以形助数”和“以数解形”，准确把握数与形的关联点，可以使抽象的问题形象化、直观的问题精细化，从而快速获取解题思路，逻辑清晰地解决问题.运用数形结合思想解决问题的过程也是学生发展直观想象、数学运算、数学抽象、逻辑推理、数学建模等素养的过程.数形结合在数学学习和研究中占有重要地位，它不仅是一种重要思想，也是一种常用的解题策略与方法.本节课是运用数形结合思想解决相关问题的专题复习课，从具体的锐角三角函数问题的解决开始，总结提炼数形结合思想方法的作用、操作步骤和注意要点，并用于解决综合性问题.锐角三角函数是数形结合的产物，它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系，在历年中考试题中都占有一定的比重.因此，学好本节课的内容对中考备考有重要作用.（2）概念的解析.运用数形结合思想方法解决问题的操作步骤、注收稿日期：2021-01-16基金项目：河南省教育科学规划2020年度一般课题——基于“互联网+信息技术”的初中数学解题教学实践研究（2020YB0980）.作者简介：赵智勇（1963—），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.——“解直角三角形中的数形结合”专题复习教学及反思赵智勇摘要：文章以锐角三角函数知识内容为载体，着眼于数形结合思想方法的深层感悟，实现数与形的双向沟通.通过“解直角三角形中的数形结合”专题复习课的教学，引导学生概括数形结合解决问题的基本思路，体会其作用，归纳其注意要点；引导学生应用概括出的数形结合思想的基本思路解决问题，实现数形结合思想的巩固和迁移；引导学生融合不同的思想方法解决综合性问题，实现思想方法的融合.关键词：数形结合；锐角三角函数；专题复习；教学研究感悟数形结合思想发展数学核心素养··47意要点、作用如下.操作步骤：分析问题结构—构想数形关联—实施数形转换—获得问题答案.注意要点：考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性；解决几何证明题需要几何直观分析、代数抽象分析对应进行；代数性质与几何图形的对应互换.作用：运用数形结合思想方法解决问题能够使抽象的问题形象化，使复杂的关系得到直观、具体的表示，对理解题意、挖掘题目中的各种信息、发现蕴含的条件和关系、获得解题的灵感和方法等都具有重要意义.（3）思想方法.数形结合的实质是把抽象的数量关系与直观的图形表示结合起来，或把几何中的定性结论转化为可计算的定量结果，或以直观图形辅助抽象的代数运算与推理.（4）知识类型.本专题内容属于程序性知识，还是策略性知识，由知识类型所决定.在教学中，教师要注重以问题为引导，以学生活动为主，在独立思考、合作交流中，师生共同提炼数形结合思想方法的操作步骤和核心要点，进一步体会数形结合思想方法的作用；在应用中注重引导学生用数形结合思想方法去分析问题和解决问题.（5）教学重点.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：提炼数形结合思想解题的一般步骤和注意要点.二、目标和目标解析1.目标（1）通过解直角三角形及其应用问题，了解数形结合思想的内涵和作用.（2）经历问题解决过程，能抽象概括出用数形结合思想解决问题的操作步骤、注意要点和作用.（3）能正确进行数形互化，运用数形结合思想解决有一定综合性的问题，形成解题策略.2.目标解析达成目标（1）的标志：知道数形结合研究数的精确与形的直观之间的转化，可使解题思路变得简单明了，从而化繁为简、化难为易.达成目标（2）的标志：明确运用数形结合解决问题一般需要经历“分析、构想、建立、求解”四个步骤.数与形的对应转换是运用数形结合解决问题的关键，明确以形助数、以数解形的具体操作步骤.知道在运用数形结合解决问题时，要考虑可行性等，不能用形的显然替代推理论证，既需要进行几何直观分析，又需要通过符号抽象、运算和推理进行量化研究.达成目标（3）的标志：在解决相关问题的过程中，能有意识借助形的几何直观性来阐述数之间的普遍关系和一般规律，借助数的精确性阐述形的某些属性和一般规律；能运用数形结合思想方法解决一些有一定难度的中考试题.三、教学问题诊断分析1.已具备的认知基础学生已经学习了直角三角形的两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数等知识，并能运用直角三角形的性质解直角三角形；经历了数轴、坐标系、函数等概念的学习，对数形结合有一定的认识，对数与形的对应和转换有一定的模仿经验，具有一定的解决问题的能力，这为本节课的学习奠定了基础.2.与本课目标的差距分析（知识、能力）初中生运用数形结合解决问题，需要具备以下能力：敏锐的观察能力；准确的语言表达能力；灵活的思维能力；较强的综合应用能力.运用数形结合思想解决有一定难度的综合问题时，需要进一步培养学生敏锐的观察能力和灵活的思维能力.3.可能存在的问题运用数形结合思想解决综合性较强的题目时，纵横联系的知识点多，这对学生的数形结合能力提出了较高的要求.对于某些问题，学生有可能误用形的直观替代严谨的推理论证，也可能抓不住数的特征构建适当的形.4.应对策略本节课需要通过具体实例多次展现数形结合的具体操作步骤，使学生获取更多活动经验，提升学生对数形结合思想的认识和理解.首先，创设问题情境，引导学生利用数形结合思想解决问题；其次，引导学··48生对上述问题分解并进行反思总结，组织学生进行思想方法的交流和一般性思考；最后，通过对例题进行有针对性地指导，使学生经历数形结合解决问题的过程，既进行几何直观分析，又对应进行代数抽象探究，提升学生的认知加工水平和解题能力.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：进行数与形的等价转化，并运用数形结合思想解决有一定难度的综合问题.四、教学支持条件分析利用希沃白板制作课件、互动授课；借助希沃授课助手拍照上传、进行投屏等，灵活展示和点评学生的学习成果，呈现课堂细节；结合GeoGebra 软件辅助构图操作，提升课堂效率.五、教学过程设计1.课前检测——针对强化，提升实效检测题1：△ABC 在正方形网格中的位置如图2所示，则sin α的值为（）.（A ）34（B ）43（C ）35（D ）45A BCαACB图3图2补测题：△ABC 在正方形网格中的位置如图3所示，则sin B 的值为.检测题2：如图4，已知在Rt△ABC 中，∠C =90°，tan ∠DBC =13，AD =3，AB =5，则cos A 的值为.A C D B图4DA BC图5补测题：如图5，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，延长CA 至点D ，使AD =AB ，则tan D 的值为.【设计意图】通过课前检测题，了解学生对本节课的相关基础知识的掌握情况，可以根据检测的结果决定是否需要补测题，为后续提炼数形结合步骤和要点及进一步利用数形结合解决问题做好铺垫.2.解决问题——经历过程，感悟应用问题1：如图6，已知在△ABC中，AB =BC =5，tan∠ABC =43．（1）求AC 的长；（2）设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为点D ，求AD AB的值.师生活动：教师引导学生审清题意，从数与形两个方面的关联分析问题.第（1）小题中，作高构建数所对应的形，根据形所对应的数量关系确定求AC 的长的方法（设未知数，将求AC 的长转化为解方程问题求解）.第（2）小题中，从图形特征关联图形对应的数量关系，确定求比值的方法.在引导学生审题和分析问题的过程中，教师结合学生的回答给出如表1所示的数形关联表，然后通过追问使学生理解“图形的形状确定，则图形中对应的数量关系也随之确定”.因此，求图形中两条线段的比值时，不必关注具体的数量，而把目光聚焦到图形中元素间的数量关系上，则求解过程更为简捷．表1追问1：你是如何使用“tan∠ABC =43”这个条件的？AB C图6··49追问2：条件“边BC的垂直平分线与边AB的交点为点D”对应的图形和数量关系表达式是什么？追问3：若将“AB=BC=5”改为“AB=BC”，你还能求出ADAB的值吗？为什么？【设计意图】通过解决第（1）小题，使学生经历以数解形的思考与解决问题的过程，将图形信息转换为具体的数量关系，借助图形的直观性，增加问题解决的准确性，使问题求解更加简明.通过解决第（2）小题，使学生经历以形助数的思考与解决问题的过程，让学生感悟借助图形的几何直观来解决数的问题，常常可以避免复杂的推理计算，使问题化难为易，使抽象的问题具体化.解决问题后，借助数形关联表，通过问题串促进学生对解决问题的过程进行反思总结，提炼运用数形结合解决问题的一般步骤、注意要点和作用，提升学生的思维能力.3.交流提炼——合作交流，提炼方法问题2：结合课前检测和问题1，你能总结一下利用数形结合思想解决问题的一般步骤和作用吗？师生活动：引导学生回顾课前检测题2的问题解决过程，师生共同建立如表2所示的数形关联表.表2结合问题1的解决过程和如表1、表2所示的数形关联表，师生共同归纳上述问题的解题思路和方法，总结提炼数形结合的一般操作步骤、作用和转化策略.作用：实现数与形的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合，从而化繁为简、化难为易.一般操作步骤如下.（1）分析问题结构——审题，得到数的关系和形的特征.（2）构想数形关联——从数的角度想象和表示图形特征，从形的角度想象和描述数量关系，找到数与形的关联点，如几何度量（如距离、角度等）或坐标.（3）实施数形转换——构建数所对应的形，对形所对应的数量或数量关系进行符号抽象、运算和推理.（4）获得问题答案——有逻辑地表达解题过程.转化策略：关注具有显著特征的对象，基于基本的几何度量（距离和角度）找出数量关系与几何图形的关联点.【设计意图】概括数学思想方法，需要把数形结合思想的操作过程模型化、程序化、一般化.组织学生相互讨论交流，进一步挖掘数形结合思想的本质内涵，使学生对数形结合思想的认识从内隐转化为外显，实现运用数形结合思想解决问题操作策略的明朗化. 4.迁移应用——知识迁移，能力拓展问题3：如图7，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航.某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向．已知A船的航速为30海里/时，B船的航速为25海里/时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，2≈1.41.）图7AB45°53°C师生活动：学生按以下步骤进行独立探索，并在学案上构建数形关联表，解决问题3.第一步：分析问题结构.过点C作AB所在直线的垂线，垂足为点D，由已知AD=DC，∠CBD=53°，··50AB=5.根据两艘船的速度，求等待时间，就要求AC 和BC的长.已知两角和一边，求另外两条边的长，这其实就是解直角三角形问题.第二步：构想数形关联.当已知角和边的条件时，利用锐角三角函数解决问题，通常要构建直角三角形.第三步：实施数形转换.设未知数，根据图形结构列出方程.第四步：获得问题答案.检验解的意义，得到实际问题的答案.教师在学生的分析、思考过程中，关注学生对数形结合解决问题一般步骤的操作表现，并利用希沃授课助手（手机APP结合电脑端）对学生完成的较规范的数形关联表和解题过程进行拍照上传、展示点评.结合学生的思考，师生共同构建如表3所示的数形关联表，解决问题3.表3【设计意图】通过对问题3的解决，进一步明确运用数形结合解决问题的思考步骤和注意要点，感知数与形之间的关联性，挖掘数与形之间的联系，促使学生自觉运用数形结合思想，提升分析问题和解决问题的能力.问题4：如图8，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高，E是AB的中点，F是边AC上一个动点，EF与AD相交于点G，AC=10，cos∠DAC=45.当△AGF为等腰三角形时，求EG的长．师生活动：首先，引导学生关注问题中的特殊元素，如两个中点E，D，连接ED构造△AGF∽△DGE；其次，解题需要关注主要构图对象，借助GeoGebra软件中的“复选框”功能简化图形，最终将问题转化为“在△DEG中，DE=5，cos∠EDG=45，当△DEG为等腰三角形时，求EG的长”.再运用GeoGebra软件中的“滑动条”控制动点F在边AC上移动，通过分类讨论，师生共同构建如表4所示的数形关联表，利用数形结合解决问题.代数关系式由BD=DC，BE=EA，得△AGF∽△DGE.由△AGF为等腰三角形，得△DGE为等腰三角形.得DE=5，cos∠EDG=45情况1：DE=EG；情况2：DE=DG；情况3：EG=DG对应的几何图形EDG（舍去）情况1EGDEGD（方法1）（方法2）情况2EGDEGD（方法1）（方法2）情况3AEFGDB CEGD5表4AEFGDB C图8··51追问1：此题还有其他解法吗？追问2：“EG=ED”这种情况不存在，我们还可以怎样说明？追问3：当EG=DG时，E G的长有限制吗？【设计意图】通过对问题4的解决，以数形结合、分类讨论思想为基础，引导学生在分析问题、规划思路时，将目光聚焦在特殊的视角和特殊的对象（等腰、中点、平行线）上，根据已有的数学活动经验合理寻求解决问题的突破口，体会利用数形结合进行推理得到的结论具有一般性，掌握目标导向的认知策略，使学生进一步感知数与形之间的关联性，挖掘数与形之间的必然联系，提升分析问题和解决问题的能力.追问4：结合以上问题，你能总结一下利用数形结合解决问题的注意要点和转化策略吗？注意要点如下.（1）代数性质与几何图形要对应互换.（2）考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性.（3）不能用图形的直观代替严密的逻辑推理，既需要几何直观分析，又需要进行对应的代数抽象分析.5.反思总结——回顾思考，深化思维（1）数形结合的作用是什么？（2）运用数形结合解决问题可以分为哪些步骤？（3）运用数形结合解决问题的过程中最关键是哪一步？需要注意什么？（4）你还有哪些收获？师生共同总结出如图9所示的框图.数形结合作用实现数与形的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合化繁为简，化难为易1.分析问题结构2.构想数形关联3.实施数形转换4.获得问题答案转化策略：找出数量关系与几何图形的关联点操作步骤注意要点1.考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性2.几何证明题需几何直观分析、代数抽象分析对应进行3.代数性质与几何图形的对应互换图9【设计意图】回顾本节课的学习历程，并再次总结数形结合思想的解题思路、操作步骤、要点和作用，深化学生对数形结合思想的理解，强化目标导向的认知策略.六、目标检测——自我检测，巩固反馈1.新冠肺炎疫情期间，教育部号召各地各类学生居家学习.为支持小明学习，妈妈特意买了新台灯.图10（1）是放置在水平桌面上的台灯，图10（2）是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，AC 可以绕点A上下调节一定的角度，CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用时发现：当灯臂与底座构成的夹角∠CAB=53°，∠ACD=157°时，台灯光线最佳.求光线最佳时点D到桌面的距离为多少？（结果保留一位小数.参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35.）A BCD（2）（1）图102.如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，sin B=45，AC=4.D是BC的延长线上的一个动点，∠EDA=∠B，AE∥BC．当△ADE为等腰三角形时，求AE的长.AB C DE图11【设计意图】巩固利用数形结合思想解决问题的过程与方法，对应知应会的核心知识进行检测，为下节课的解题课奠定基础.通过解决问题，进一步体现数形结合思想应用的广泛性和有效性，提高学生对数学思想的感悟层次，提升学生分析问题和解决问题的能力，感受数形结合的育人价值.··52七、教学反思教学设计是静态的，而课堂生成是动态的.通过对数形结合的设计和实施教学，笔者认为，在教学中，教师引导学生感悟数形结合思想方法，发展数学学科核心素养应注意以下几点.1.进行单元整体教学从整体上把握教学内容，整体构思单元各课时的教学内容，注重知识的前后联系，以及对后续学习的重要作用，体现数学知识的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性和方法的一般性.在相互联系中引导学生感悟其中蕴涵的数学思想方法，发展学生的数学素养，有利于深化学生对数形结合思想的理解，培养理性精神和探究精神，提升中考数学备考能力.2.发挥一般观念的引领作用本节课的教学设计和实施是在一般观念的指导下，以数学知识的内在逻辑构建自然而然的研究过程.以解直角三角形内容为载体，根据题目条件和数学知识的内在逻辑关系设计系列问题串，自然引出数形关联表，利用问题串和数形关联表引导学生概括总结问题的解决思路和方法，提炼数形结合的作用、一般操作步骤、转化策略，形成基本套路，提升教学的整体性和思想性，帮助学生体会数形结合思想方法，使学生透过现象看本质，从复杂问题中抓住关键要素，从而化繁为简，形成数学的思维方式，提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力. 3.遵循数学思想方法教学的原理数学思想方法的学习要经历“解决问题—概括提炼—迁移应用—联系发展”这四个阶段.本节课以此为依据进行教学设计.首先，通过具体问题的解决，体会数形结合思想；其次，将如何分析问题结构、构想数形关联、实施数形转换这一操作过程显性化，明确其作用、操作步骤和要点，提炼和概括数形结合思想；最后，让学生用概括出来的数形结合思想解决新的问题，感悟利用数形结合解决问题的关键是从数的角度观察图形特征，从形的角度实现数量代换，找到数与形的关联点，使学生内化数形结合思想，形成数学活动的经验.例如，在回顾检测题2和问题1时，给表格加个题目“数形关联表”，在对照表格进行引导时用“数量关系关联的几何图形”和“几何图形关联的数量关系”等语言，可以促进学生使用“关联”进行概括.4.精选样例引导学生感悟数形结合思想方法，重要的是精选适当的题目，利用题目归纳操作流程.巩固操作流程可以利用相关的变式题目和拓展题目进行迁移训练，使学生在合作探究中内化数形结合的操作流程，在反思总结中形成有结构的知识经验.5.坚持以学为中心在以学生活动为主、以感悟数形结合思想为目标的复习教学中，教师需要注意鼓励学生积极思考、提出有价值的问题，关注学生是否能够用数学的思维方式观察、分析、解决问题，使学生感受数与形之间的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合；合理运用信息技术手段，有利于增强学生的学习兴趣，提高课堂学习效果.教学时，若教师不揭示方法的本质，学生只会看到简单的数学操作，看不到问题的本质.数学思想是对数学知识的更高层次的概括与提炼，是培养学生的数学能力、发展数学学科核心素养的重要环节.数学思想方法的教学对解题教学具有十分重要的指导作用，有助于提升学生的解题能力和应用能力，发展学生的理性思维和科学精神，有效发挥数学学科的育人价值.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.［3］吴增生.科学用脑高效复习：初中数学总复习教学设计［M］.杭州：浙江科技出版社，2018.［4］吴增生.整体建构核心素养导向下的总复习教学策略体系［J］.中国数学教育（初中版），2019（7/8）：3-11，37.［5］王华鹏.“四个理解”指导下的教学设计新思路：以“位似”教学设计为例［J］.中国数学教育（初中版），2019（9）：3-8，13.··53。