第8讲抽象函数7种导函数构造【题型目录】题型一：具体函数抽象化解不等式题型二：构造幂函数型解不等式题型三：构造指数函数型解不等式题型四：构造对数函数型解不等式题型五：构造三角函数型解不等式题型六：构造()kx x f +型函数解不等式题型七：复杂型：二次构造【典例例题】题型一：具体函数抽象化解不等式【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知()2cos ,R f x x x x =+∈，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()20,,03⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B 【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,∞+上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围.【详解】解：函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=Q ，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t -≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B.【题型专练】1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数()ln e xxf x x =-，设()3log 2a f =，()0.2log 0.5b f =，()ln 4c f =，则a ，b ，c 的大小为（）A ．c a b >>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a ，b ，c 的大小即可.【详解】解：因为()ln e x x f x x =-，则,()0x ∈+∞，所以()2211e 11e e e (4e 2x x x x x xf x x x x x x x +--+-'==-=-又,()0x ∈+∞时，21111,(24e 4xx >--≥-，所以()0f x '>恒成立所以()ln e xxf x x =-在,()0x ∈+∞上单调递增；又30log 21<<，0.215351log 0.5log log 2log 22==<，ln 41>所以30.2ln 4log 2log 0.5>>，则c a b >>.故选：A.2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设()2sin f x x x =+，若()()20221120210f x f x ++-≥，则x 的取值范围是___________.【答案】2x ≥-【解析】【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性，利用导数研究()f x 的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围.【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈，易知：()f x 为奇函数，所以(20221)(20211)f x f x +≥-，又()2cos 0f x x =+>'，故()f x 在R x ∈上递增，所以2022120211x x +≥-，可得2x ≥-.故答案为：2x ≥-题型二：构造幂函数型解不等式【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()202220221f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（）A ．（0，2022）B ．（2022，+∞）C ．（2023，+∞）D ．（2022，2023）【答案】D 【解析】【分析】构造函数()g x ，使得()()2()0xf x f x g x x'-=<，然后根据函数()g x 的单调性解不等式即可.【详解】由题设()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x'-'=⇒=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又()()()()()2022120222022120221f m f f m m f m -->-⇒>-，即(2022)(1)202212023g m g m m ->⇒-<⇒<，又函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以202202022m m ->⇒>，综上可得：20222023m <<.故选：D.【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数()()0f x x ≠的导函数是()f x '，且()20f -=，当0x >时，()()20xf x f x '-<，则不等式()0f x <的解集为______．【答案】()()2,02,-+∞ 【解析】【分析】设()()2f x g x x=，利用导数求得()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，进而得到函数()g x 为奇函数，且()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】设()()2f x g x x =，可得()()()32xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()20xf x f x '-<，可得()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，又因为函数()f x 为奇函数，且()20f -=，可得()20f =，则满足()()()()22()f x f x g x g x x x --==-=--，所以函数()g x 也为奇函数，所以()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，且()()220g g -==，当0x >时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <，可得2x >；当0x <时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <-，可得20x -<<；所以不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞ .故答案为：()()2,02,-+∞ .【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（）A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．()[),01,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x x =-，由题意可知()g x 在R 上单调递增，再对x 分情况讨论，利用函数()g x 的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由2(1)(1)(1)x f x f x x +->-+，（1）当1x <时，可得2(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x f x x f x x x -+->--+-，即222(1)(1)(1)(1)x f x x f x x x -->--+-，即222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ---->----，构造函数()(),()()()10g x xf x x g x f x xf x ''=-=+->，所以函数()g x 单调递增，则211x x ->-，此时01x <<，即01x <<满足；（2）当1x >时，可得222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ----<----，由函数()g x 递增，则211x x -<-，此时0x <或1x >，即1x >满足；（3）当1x =时，2(0)(0)1f f >+，即(0)1f >满足()()1f x x f x '+⋅>.综上，,()0x ∈+∞.故选：A.【例4】已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >-故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.【例5】函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+的解集为A ．{}|2017x x >-B ．{}|2017x x <-C ．{}|20200x x -<<D ．{}|20202017x x -<<-【答案】D 【解析】设函数()()()2,0g x x f x x =>，根据导数的运算和题设条件，求得函数()g x 在()0,∞+上为增函数，把不等式转化为22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，利用单调性，即可求解.【详解】由题意，设函数()()()20g x x f x x =>，则()()()()()222()2g x x f x x f x x f x xf x ''''=⋅+⋅=+，因为()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，且满足()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数，又由(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+，即22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，所以020203x <+<，解得20202017x -<<-，即不等式的解集为{}|20202017x x -<<-.故选：D .【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数()()()20g x x f x x =>是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.【题型专练】1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当0x >时，()()20xf x f x '+<.则（）A ．()()2e 24ef f >B ．()()931f f >C ．()()2e 39ef f -<D ．()()2e 39ef f ->【答案】D 【解析】【分析】由题构造函数()()2g x x f x =，利用导函数可得函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得.【详解】设()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，又当0x >时，()()20xf x f x '+<，∴()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，则函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==，即g (x )为偶函数，所以()()e 2g g <，即()()2e 24ef f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()e 3g g >，即()()2e 39ef f >因为()f x 为偶函数，所以()()33f f -=，所以()()2e 39ef f ->，故C 错误，D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()2g x x f x =，结合条件可判断函数的单调性及奇偶性，即得.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>且()122f =，则不等式()1f x x>的解集是______．【答案】()()2,02,-+∞ 【解析】【分析】根据已知条件构造函数()()g x xf x =并得出函数()g x 为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数()g x 的单调性进而可以即可求解.【详解】设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是()(),00,∞-+∞U 上的偶函数，当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，所以()g x 在(),0-∞上单调递减．因为()122f =，所以()()1222212g f ==⨯=，所以()()221g g -==．对于不等式()1f x x>，当0x >时，()1xf x >，即()()2g x g >，解得2x >；当0x <时，()1xf x <，即()()2g x g <-，解得20x -<<，所以不等式()1f x x>的解集是()()2,02,-+∞ ．故答案为：()()2,02,-+∞ 【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>则不等式()()()220192019420x f x f ++--<的解集为（）A ．()20192017--，B ． 20211()209--，C ．()20192018--，D ．(2020,2019)--【答案】B 【解析】【分析】令()()2F x x f x =，确定()F x 在(,0)-∞上是减函数，不等式等价为()()201920F x F +--<，根据单调性解得答案.【详解】由()()()22',0f x xf x x x +><，得()()23 2'xf x x f x x +<，即()23'0x f x x ⎡⎤⎣⎦<<，令()()2F x x f x =，则当0x <时，得()F'0x <，即()F x 在(,0)-∞上是减函数，()()()2201920192019f F x x x +∴+=+，()() 242F f -=-，即不等式等价为()()201920F x F +--<，()F x Q 在(),0-∞是减函数，∴由()()20192F x F +<-得20192x +>-，即2021x >-，又20190x +<，解得2019x <-，故 20212019x -<<-.故选:：B .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()()2F x x f x =，确定其单调性是解题的关键.4.已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，且0x >时，()()20f x f x x'+<，又()10f =，则()0f x >的解集为（）A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】令2()()g x x f x =，则()[()2()]g x x xf x f x ''=+，由题设易知0x >上()2()0xf x f x '+<，且()g x 在()(),00,-∞+∞ 上是奇函数，即()g x 在0x >、0x <都单调递减，同时可知(1)(1)0=-=g g ，利用单调性求()0>g x 的解集，即为()0f x >的解集.【详解】令2()()g x x f x =，则2()()2()[()2()]g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+，由0x >时，()()20f x f x x'+<知：()2()0xf x f x '+<，∴在0x >上，()0g x '<，()g x 单调递减，又()(),00,-∞+∞ 上()f x 为奇函数，∴22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 也是奇函数，∴()g x 在0x <上单调递减，又()10f =，即有(1)(1)0=-=g g ，∴()0f x >的解集，即()0>g x 的解集为(,1)(0,1)-∞- .故选：C5.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),11,0-∞--UD ．()()0,11,+∞ 【答案】B 【解析】【分析】设()()f x F x x=，求其导数结合条件得出()F x 单调性，再结合()F x 的奇偶性，得出()F x 的函数值的符号情况，从而得出答案.【详解】设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x'-'=，∵当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减.由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x；当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>.所以当10x -<<或1x >时，()0f x <.故选：B.题型三：构造指数函数型解不等式【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()(),41f x f x f '>=，则不等式()224e xf x ->的解集为___________.【答案】()2,2-【解析】【分析】令()()xf xg x =e，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于()()24g xg >，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：令()()xf xg x =e ，R x ∈，则()()()e xf x f xg x '-'=，因为()()f x f x '>，即()()0f x f x '-<，所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又()41f =，所以()()4444e e f g -==，所以不等式()224ex f x->，即()242eexf x ->，即()()24g xg >，即24x <，解得22x -<<，所以原不等式的解集为()2,2-.故答案为：()2,2-【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】设函数()()2e xf xg x -=，根据题意可判断()g x 在R上单调递减，再求出()01202e g =，不等式()12020e 2x f x --<整理得()22020e ex f x -<，所以()()1g x g <，利用()g x 单调性解抽象不等式即可.【详解】设函数()()2e xf xg x -=，所以()()()()()2e 2e2e ex xxxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==，因为()()2f x f x >'+，所以()()20f x f x '-+<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()12022f =，所以()()122020e 1e f g -==，因为()12020e 2x f x --<，整理得()22020e ex f x -<，所以()()1g x g <，因为()g x 在R 上单调递减，所以1x >.故选：C.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，若(9)(8)1f f +=，则不等式()e x f x <的解集为（）A ．()3,-+∞B ．()1,+∞C ．(0,)+∞D ．()6,+∞【答案】C【解析】【分析】先证明出()f x 为周期为8的周期函数，把(9)(8)1f f +=转化为(0)1f =.记()()xf xg x =e ，利用导数判断出()g x 在R 上单调递减，把原不等式转化为()()0g x g <，即可求解.【详解】因为()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，所以()()33f x f x +=-+，(1)(1)0f x f x ++-+=.所以()()6f x f x =-+，()(2)0f x f x +-+=，所以(6)(2)0f x f x -++-+=.令2t x =-+，则(4)()0f t f t ++=.令上式中t 取t -4，则()(4)0f t f t +-=，所以(4)(4)f t f t +=-.令t 取t +4，则()(8)f t f t =+，所以()(8)f x f x =+.所以()f x 为周期为8的周期函数.因为(1)f x +为奇函数，所以(1)(1)0f x f x ++-+=，令0x =，得：(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，所以(9)(8)1f f +=，即为(1)(0)1f f +=，所以(0)1f =.记()()xf xg x =e，所以()()()exf x f xg x '-'=.因为()()f x f x '<，所以()0g x '<，所以()()xf xg x =e在R 上单调递减.不等式()xf x e <可化为()1exf x <，即为()()0g x g <.所以0x >.故选：C 【点睛】解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性.【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f （x ）的导函数为()'f x ，f （0）=2022，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2022e xf x <的解集为（）A ．()0,∞+B ．22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),0∞-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，构造函数()()xf xg x =e ，求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增，利用单调性求解即可.【详解】令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ，都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>'，()g x ∴在x ∈R 上单调递增，又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<，0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-，故选：D.【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞【解析】【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时,()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞.故答案为:()(2,02,)-⋃+∞.【题型专练】1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<e eB ．1(2)f +<e eC ．12(2)f +>eeD ．1(2)f +>e e【答案】D 【解析】【分析】构造()()e e x xg x f x =-利用导数研究其单调性，即可得()()21g g >，进而可得答案.【详解】令()()e e x x g x f x =-，则()()()e 10xg x f x f x ⎡⎤=+->⎣⎦''，则()g x 是增函数，故()()21g g >，即22e (2)e e (1)e e f f >--=，可得()1e2ef +>.故选：D2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()e 0x f x f x '-+<（e 为自然对数的底数），其中()'f x 为()f x 的导函数，若3(3)3e f =，则()e x f x x >的解集为（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(3),-∞D ．(3,)+∞【答案】D 【解析】【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式()e x f x x >转化为整式不等式即可解决.【详解】设()()e x f x g x x =-，则3(3)(3)30ef g =-=，所以()e x f x x >等价于()0(3)g x g >=，由()()e 0x f x f x '-+<，可得()()e 0x f x f x '->>则()()()10e xf x f xg x '-'=->，所以()g x 在R 上单调递增，所以由()(3)g x g >，得3x >．故选：D3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x '-<，且()02021f =，则不等式()12022e xf x +>的解集为（）A ．(),0∞-B ．()0,∞+C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()1e x f x F x +=，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式.【详解】构造函数()()1e xf x F x +=，则()()()()()2e 1e1e ex xx xf x f x f x f x F x '⋅-+⋅⎡⎤'--⎣⎦'==，因为()()1f x f x '-<，所以()0F x '<恒成立，故()()1e x f x F x +=单调递减，()12022e xf x +>变形为()12022exf x +>，又()02021f =，所以()()00102022ef F +==，所以()()0F x F >，解得：0x <，故答案为：(),0∞-.故选：A4.若()f x 在R 上可导且()00f =，其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<，则()0f x <的解集是_________________【答案】()0,∞+【解析】【分析】由题意构造函数()()e xg x f x =，利用导数判断出()g x 单调递减，利用单调性解不等式.【详解】设()()e xg x f x =，则()()()()()()e e e x x x g x f x f x f x f x '''=+=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<在R 上恒成立，所以()g x 单调递减，又()00f =得()00g =，由()0f x <等价于()0g x <，所以0x >，即()0f x <的解集是()0,∞+.故答案为：()0,∞+5.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()31xf x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为（）A ．(0,)+∞B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(3,)+∞【答案】A 【解析】【分析】把不等式()31x f x e>+化为()3x x e f x e >+，构造函数令()()3x xF x e f x e =--，利用导数求得函数()F x 的单调性，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，不等式()31x f x e>+，即()3x x e f x e >+，令()()3x x F x e f x e =--，可得()()()()()[1]x x x xF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，因为()()1f x f x '+>且0x e >，可知()0F x '>，所以()F x 在R 上单调递增，又因为()()()00003040F e f e f =--=-=，所以()0F x >的解集为(0,)+∞.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.题型四：构造对数函数型解不等式【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足()10xf x '-<，()10f =，则不等式()e 0x f x -<的解集为（）A ．（－∞，0）B ．（－∞，1）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据题干条件构造函数()()ln F x f x x =-，0x >，得到其单调递减，从而求解不等式.【详解】设()()ln F x f x x =-，0x >则()()()110xf x F x f x x x-=-=''<'，所以()()ln F x f x x =-在()0,∞+上单调递减，因为()10f =，所以()()11ln10F f =-=，且()()ee xxF f x =-，所以由()e 0x f x -<得：()()e 1xF F <结合单调性可得：e 1x >，解得：0x >，故选：C【例2】已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为______．【答案】()(),10,1-∞-⋃【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可.【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦，故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =，故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦，而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数，则当0x >时，当()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<，故当x ∈R 时，()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故答案为：()(),10,1-∞-⋃【例3】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(),1-∞D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据给定含导数的不等式构造函数()()ln g x f x x =，由此探求出()f x 在(0,)+∞上恒负，在(,0)-∞上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0>g x 得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞.故选：D 【题型专练】1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，则不等式()e 0xf x +>的解集为___________.【答案】(ln 2,)+∞【解析】【分析】令()()ln (0)g x f x x x =+>，根据题意得到函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，把不等式()e 0xf x +>，可得()()e 2x g g >，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，令()()ln (0)g x f x x x =+>，可得()()10g x f x x''=+>所以函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，且()()22ln 20g f =+=，又由不等式()e 0x f x +>，可得()()e 2xg g >，所以e 2x >，解得ln 2x >，即不等式()e 0xf x +>的解集为(ln 2,)+∞.故答案为：(ln 2,)+∞.2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()114f x f x ++-=，且当1x >时()0f x '≥，则不等式()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦的解集为（）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()22,e【答案】A 【解析】【分析】由条件得出()f x 关于()1,2成中心对称，进一步得出函数的单调性，然后再根据题意可得()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，从而可得出答案.【详解】由()()114f x f x ++-=得()f x 关于()1,2成中心对称．令0x =，可得()12f =当1x >时()0f x '≥，则()f x 在[)1,∞+上单调递增.由()f x 关于()1,2成中心对称且()12f =，故()f x 在R 上单调递增由()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦，则()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得21x x >⎧⎨>⎩，或121x x <<⎧⎨<⎩，故2x >故选：A3.（多选）已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数是()f x '，且满足()()1ln 0x f x f x x'⋅+⋅>，则下列说法正确的是（）A ．10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()e 0f >D ．()e 0f <【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，构造()()ln g x f x x =⋅，由题意，得到()g x 单调递增，进而利用()g x 的单调性，得到1(1)()eg g >，再整理即可求解【详解】设()()ln g x f x x =⋅，可得()()1'()ln 0g x x f x f x x'=⋅+⋅>，()g x 单调递增，又因为(e)(e)ln e (e)g f f =⋅=，1111(()ln ()e e e e g f f =⋅=-，(1)(1)ln10g f =⋅=，且 1e 1e >>，1(e)(1)()e g g g ∴>>，得(e)0f >，110()()e eg f >=-，整理得1(0e f >，AC 正确；故选：AC题型五：构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】由题意，设()()cosf xg xx=，利用导数求得()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数，再把不等式()cos4f x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭，转化为()(4g x gπ<，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设()()cosf xg xx=，则2()cos()sin()cosf x x f x xg xx'+'=，当02xπ<<时，因为()cos()sin0f x x f x x'+<，则有()0g x'<，所以()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又因为()f x在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是偶函数，可得()()()()cos()cosf x f xg x g xx x--===-，所以()g x是偶函数，由()cos4f x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得()()cos4f xxπ<，即()()4cos cos4ππ<ff xx，即()(4g x gπ<又由()g x为偶函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4xπ>，解得24xππ-<<-或42xππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.【例2】已知函数()f x的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数是()'f x.有()cos()sin0f x x f x x'+<，则关于x的不()2cos6x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭B．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭C．,63ππ⎛⎫--⎪⎝⎭D．,26ππ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【分析】令()()cos f x F x x =，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<，令()()cos f x F x x =，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x +=<函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()6F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且6x π>，解得26x ππ>>，()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型.【题型专练】1.已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin xf x ，并依据函数()sin xf x 的单调性去求解不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则有ππ022x x >+>->，解之得π04x -<<故选：D2.已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，则不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()sin g x f x x =，则经变形后得[]'()()'()tan cos g x f x f x x x =+⋅，进而得到()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单增，结合()f x 单调性证出()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，再去“f ”，即可求解【详解】令()()sin g x f x x =，[]'()()cos '()sin ()'()tan cos g x f x x f x x f x f x x x =+=+⋅，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，'()0g x ∴>，即函数()g x 单调递增．又(0)0g =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴时，()()sin 0g x f x x =>，()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数．不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭，即sin sin ()22x f x xf x ππ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，||2x x π∴+>，4x π∴>-①，又222x πππ-<+<，故0x π-<<②，由①②得不等式的解集是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C 【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如()()()()0f a g a f b g b ±>的式子，先构造函数()()()h x f x g x =⋅，再设法证明()h x 的奇偶性与增减性，进而去“f ”解不等式3.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-U ，其导函数是()f x '，当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '->，则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为A ．(,0)(,)66πππ-B ．(,0)(0,)66ππ-⋃C ．(,)(,)66ππππ--⋃D ．(,)(0,)66πππ--⋃【答案】D 【解析】【详解】根据题意，可构造函数()f x g x sinx=（），其导数()()2f x sinx f x cosxg x sin x'-'=（）当0x π∈（，）时，有’0f x sinx f x x -（）（）＞，其导数0g x g x '（）＞，（）在0π（，）上为增函数，又由f x （）为奇函数，即f x f x -=-（）（），则()()()()f x f xg x g x sin x sin x --===-（）（），即函数g x （）为偶函数，当0x π∈（，）时，0sinx ＞，不等式()12()6626f x f x f sinx fg x g sinx πππ⇒⇒（）＜（）＜（）＜（），又由函数g x （）为偶函数且在0π（，）上激增，则66g x g x ππ⇒（）＜（）＜，解得 66x ππ-＜＜此时x 的取值范围为06（，）π；当0x π∈-（，）时，0sinx ＜，不等式()()62162f f x f x f sinx sinx ππ⇒（）＜（＞6g x g π⇒（）＞（），同理解得此时x 的取值范围为6ππ--（，）；综合可得：不等式的解集为,0,66πππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选D ．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数()f x g x sinx=（），，并利用导数分析g x （）的单调性．题型六：构造()kx x f +型函数解不等式【例1】设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()142f x x '+<.若()()3132f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,-+∞D ．[)2,-+∞【答案】A 【解析】【详解】构造函数法令2()()2F x f x x =-，则1()()402F x f x x ''=-<-<，函数()F x 在(,0)-∞上为减函数，因为2()()()()40F x F x f x f x x -+=-+-=，即()()F x F x -=-，故()F x 为奇函数，于是()F x 在(,)-∞+∞上为减函数，而不等式3(1)()32f m f m m +≤-++可化为(1)()F m F m +≤-，则1m m +≥-，即12m ≥-.选A.【例2】设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集是（）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>，故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增，∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭，∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.【例3】（2022·重庆八中高二期末）已知函数()f x 满足：R x ∀∈，()()2cos f x f x x +-=，且()sin 0f x x '+<．若角α满足不等式()()0f f παα++，则α的取值范围是（）A ．,2π⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B ．,2π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A。
