第13章 动量矩定理-2012.4

式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动

(e)
FOy O FOx u
va u v LO mva r mvr 0 LO m(u v)r mvr 0 u u va v 2 2
由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等 于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A 位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人 与重物A将始终保持相同的高度。
12 动量矩定理
• • • • • • 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
引言
•
由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 • 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。 • 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
A
mg mg
u
va
ve＝v
12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程
设刚体绕定轴 z 以角速 度 转动，则 Lz＝ Jz。
刚体受有主动力和轴承 约束反力，如不计摩擦，则 由质点系动量矩定理得 d ( J z ) M z ( F ) dt d 或 Jz M z (F ) dt J z M z ( F ) F1 z
质点对某 固定轴的动量 矩对时间的一 阶导数等于质 点所受的力对 同一轴的矩。
质点的动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点 的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。

Lz mz (mi vi ) mi ri J z
2
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。
其中，J z mi ri 2 , 称为刚体对z轴的转动惯量。
5
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3
21
证明：设质量为m的刚体，质心为C， O'z'//Cz
J zC mi ri mi ( xi yi )
2 2 2
J z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi xi ' , yi ' yi d J z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
分别代入质点系对固定点O动量矩表达式中，就有
rC mi υC rC mi υiC riC mi υiC riC mi υC rC mi υC rC mi υiC mi riC υC riC mi υiC
12
求 [例3] 已知: PA PB ; P ; r 。 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
P 将J O r 代入, 得 LO ( PA PB ) 2 g g 2 d r 2 P 由动量矩定理： [ ( PA PB )]( PA PB )r dt g 2
3 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
23
例: 已知滑轮A的质量为m1，半径为R1，对转轴O的转动惯量为J1 ；滑轮B的

的动量矩为常矢量（或常量）。这就是质点系的动 量矩守恒定理。 内力不影响动量矩的变化。例：人坐在转椅上， 双脚离地，则人自己不能将椅子转动。
例：均质鼓轮质量为m1，对中心轴的转动惯量为J，置 于摩擦系数为f的粗糙水平面上，并与光滑的铅垂墙接 触，重物A的质量为m2，不计绳质量。求：重物A下 落的加速度和鼓轮所受的约束力。
Lz
即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等 于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。
二、质点系的动量矩定理
13.2
动 若 m ( F ) 0 ，则 量 L z 常量 矩 定 即：若作用在质点系上的作用力对某固定点（或固 理 定轴）之矩恒等于零，则质点系对该点（或该轴）
z
在特殊情况下，若 m O ( F ) 0 ，则 L O 常矢量
y
手法则来确定。动量矩是瞬时量。在国际单位制中， 动量矩的单位是 kg m 2 / s
二、质点系的动量矩
1、质点系对固定点的动量矩 13.1 设质点系由 n 个质点组成，其中第 i 个质点的 动量为 m i v i ，对任一固定点的动量矩为r m i v i ， 质 则质点系对固定点 O 的动量矩为 点
2
动 a 2 J m2R 量 若M m 2 g sin R ，则 a 0 ，小车的加速度沿轨道 矩 向上。 定 必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正 理
负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完 全一致。
sin
二、质点系的动量矩定理
13.2 例4 水平杆AB长为 2 a ，可绕铅垂轴 z 转 动，其两端各用铰链与长为 l 的杆AC及 a A BD相连，杆端各联结重为 P 的小球C和D。 起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均 l 为铅垂时，这系统绕 z 轴的角速度为 0 C （如图）。如某时此细线拉断后，杆AC 和BD各与铅垂线成 角。不计各杆的质 量，求这时系统的角速度 。 a A 解：以系统为研究对象，系统所 受的外力有小球的重力和轴承处的反 l 力，这些力对转轴之矩都等于零。所 C 以系统对转轴的动量矩守恒，即