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2020年高考模拟试卷高考数学模拟试卷（文科）（二）一、选择题1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．4．某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是（）A．125B．45C．5D．35．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数7．小赵和小王约定在早上7：00至7：15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7：05，7：15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．B．C．D．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上. 13．若复数z＝1+i，则＝．14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是．16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是．三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．已知正项数列满足4S n＝a n2+2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在185cm 以上（含185cm）的两人作为队长，求这两人在同一组的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为P，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若三棱锥B﹣PED的体积v，求a的取值范围．20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx，（1）若a＝0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）【分析】通过绝对值不等式求解集合A，指数不等式的求解求出集合B，然后求解交集．解：因为集合A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}∩{x|﹣1＜x＜2}＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：B．2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等差数列的求和公式表示出S n，整理后，得到等差数列的S n为关于n的二次函数，利用配方法，即可确定数列的最大项．根据d小于0，可得此函数图象为开口向下的抛物线，函数有最大值，从而利用二次函数求最值的方法即可得出S n的最大值，即为{S n}中的最大项；反之也然．解：由等差数列的求和公式得：S n＝na1+d，整理得：S n＝0.5dn2+（a1﹣d）n，当d＜0，∴等差数列的S n为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，∴S n有最大值；反之，当数列{S n}有最大项时，则S n为二次函数，且图象是开口向下的抛物线，从而d ＜0．故选：A．3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．【分析】利用数量积和三角形的内角和定理、诱导公式即可化简，再利用三角形内特殊角的三角函数值即可得出．解：∵＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），∴＝cos A cos B﹣sin A sin B＝cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C，∴，得cos C＝﹣．∵0＜C＜π．∴．故选：B．4．某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是（）A．125B．45C．5D．3【分析】已知茎叶图，读出数据114，126，128，132，代入方差计算公式，可得答案．解：已知某同学进入高二后，四次月考的数学成绩的茎叶图可得该同学四次考试成绩分别为114，126，128，132，则该同学数学成绩的平均数为＝125，方差＝[（114﹣125）2+（126﹣125）2+（128﹣125）2+（132﹣125）2]＝45．故选：B．5．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．解：如图所示，分别取BC、B1C1的中点O、O1，由正三棱柱的性质可得AO、BO、OO1令两垂直，建立空间直角坐标系．∵所有棱长都为2，∴A，B（0，1，0），B1（0，1，2），C1（0，﹣1，2）．∴，∴＝＝＝．∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：B．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为f（x）＝2sin（ωx﹣），由题意可得＝，解得ω的值，即可确定函数的解析式为f（x）＝2sin（2x﹣），由此求得周期，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间，从而得出结论．解：∵函数＝2[sin（ωx﹣cosωx]＝2sin（ωx ﹣），∴函数的周期为．再由函数图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，可得＝，解得ω＝2，故f（x）＝2sin（2x﹣）．故f（x）＝2sin（2x﹣）的周期为＝π．由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故函数在上为单调递增函数，故选：C．7．小赵和小王约定在早上7：00至7：15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7：05，7：15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出图形，由几何概型能求出小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率．解：小赵和小王约定在早上7：00至7：15之间到某公交站搭乘公交车去上学，在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7：05，7：15，他们约定见车就搭乘，作出图形，由几何概型得：小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为：P＝＝．故选：C．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．【分析】设抛物线的准线与x轴的交点为D，F为线段AB的中点，进而可知|AF|和|AB|，推断出AF|＝|AB|，求得∠ABC，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，∴∠ABC＝30°，||＝2p，＝4p×2p cos30°＝36，解得p＝，∴抛物线的方程为y2＝2x．故选：D．9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得＝2（λ﹣μ）+μ，由E、M、C三点共线，可得2λ﹣μ＝1，①同理可得＝，由D、M、F三点共线，可得λ+μ＝1，②，综合①②可得数值，作乘积即可．解：由题意可知：E为AB的中点，F为BC的三等分点（靠近B）故＝＝＝（λ﹣μ）+μ＝2（λ﹣μ）+μ，因为E、M、C三点共线，故有2（λ﹣μ）+μ＝1，即2λ﹣μ＝1，①同理可得＝＝＝，因为D、M、F三点共线，故有λ+（μ）＝1，即λ+μ＝1，②综合①②可解得λ＝，，故实数λ与μ的乘积＝故选：B．10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元【分析】根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，由等比数列的通项公式可得，进而计算可得m与a4的值，即可得答案．解：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，则有，则有a2+a4＝32580，则有1﹣m＝0.9，则m＝0.1＝10%，则有+a4＝32580，解可得a4＝14580，即“衰分比”为10%，丁所获得的奖金14580，故选：B．11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）【分析】依题意，可得m，n满足的约束条件，进而作出图形，利用图象即可得解．解：y′＝x2+mx+m+n，依题意，y′＝0的两个根为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），∴，平面区域D表示的图形如下图所示，注意到直线m+n＝0与直线2m+n+1＝0的交点P（﹣1，1），当函数y＝log a（x+4）过点P时，即log a3＝1，解得a＝3，要使函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，由图可知，a＜3，又a ＞1，故实数a的取值范围为（1，3）．故选：B．12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】求两个曲线上不同两点的距离的最小值，显然没法利用两点间的距离公式计算，可结合函数y＝e x上的点关于y＝x的对称点在其反函数的图象上把问题转化为求曲线y ＝lnx上的点与上的点到直线y＝x的距离之和最小问题，而与y＝x平行的直线同时与曲线y＝lnx和切于同一点（1，0），所以PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍．解：如图，因为y＝e x的反函数是y＝lnx，两个函数的图象关于直线y＝x对称，所以曲线y＝e x上的点P到直线y＝x的距离等于在曲线y＝lnx上的对称点P′到直线y ＝x的距离．设函数f（x）＝lnx﹣1+，＝，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）＝0，则当x＞0时，除（1，0）点外函数y＝lnx的图象恒在y＝1﹣的上方，在（1，0）处两曲线相切．求曲线y＝e x上的点P与曲线y＝1﹣上的点Q的距离的最小值，可看作是求曲线y＝lnx 上的点P′与Q点到直线y＝x的距离的最小值的和，而函数y＝lnx与y＝1﹣在x＝1时的导数都是1，说明与直线y＝x平行的直线与两曲线切于同一点（1，0）则PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍，所以|PQ|的最小值为．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.13．若复数z＝1+i，则＝﹣1．【分析】利用共轭复数和复数的运算法则即可得出．解：∵复数z＝1+i，∴，∴＝＝﹣1．故答案为﹣1．14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．【分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知PF的斜率，设出P的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则P的坐标可知，进而求得中点的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．解：由题意设F（c，0）相应的渐近线：y＝x，则根据直线PF的斜率为﹣，设P（x，x），代入双曲线渐近线方程求出x＝，则P（，），则PF的中点（），把中点坐标代入双曲线方程＝1中，整理求得＝，即离心率为故答案为：．15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是（2，3]．【分析】由余弦定理求得cos C，代入已知等式可得（b+c）2﹣1＝3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．解：△ABC中，由余弦定理可得2cos C＝，∵a＝1，2cos C+c＝2b，∴+c＝2b，化简可得（b+c）2﹣1＝3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b＝c时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a＝1，故有a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故答案为：（2，3]．16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是[0，1]．【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）＝，当直线与x轴重合时，P（M）＝1；直线的斜率范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．已知正项数列满足4S n＝a n2+2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由，可知当n≥2时，，两式作差可得a n﹣a n﹣1＝2（n≥2），再求出首项，代入等差数列的通项公式可得数列{a n}的通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n＝，再由裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由，可知当n≥2时，，两式作差得a n﹣a n﹣1＝2（n≥2），又，得a1＝1，∴a n＝2n﹣1；（2）由（1）知，，∴T n＝b1+b2+…+b n＝＝．18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在185cm 以上（含185cm）的两人作为队长，求这两人在同一组的概率．【分析】（1）根据已知中的频率分布直方图，我们分别求出180cm以上各组矩形的高度和，乘以组距即可得到高在180cm以上（含180cm）的频率，再乘以样本容量即可得到高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）设[185，190]组中三人为a，b，c；[190，195]组中两人为m，n．列举出所有的可能性及其中满足条件的事件数，代入古典概型概率公式，可得答案．解：（1）前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5＝0.82∴后三组频率为1﹣0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9∴这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）人数1000×0.18＝180人（2）设[185，190]组中三人为a，b，c；[190，195]组中两人为m，n则所有的可能性为（a，b），（a，c），（b，c），（m，n），（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n）…其中满足条件的为（a，b），（a，c），（b，c），（m，n）…故p＝，即为这两人在同一组的概率…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为P，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若三棱锥B﹣PED的体积v，求a的取值范围．【分析】（1）通过证明AE⊥平面BEF，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABE ⊥平面BEF；（2）设PA＝a，利用三棱锥B﹣PED的体积V＝V B﹣CED＝V E﹣BCD，求出三棱锥B﹣PED 的体积，结合V，即可求a的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）因为AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，F分别为CD的中点，DE＝EC．∴ABCD为矩形，AB⊥BF…∵DE＝EC∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF，∵BF∩EF＝F，∴AE⊥平面BEF，AE⊂面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF…（Ⅱ）∵DE＝EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD，又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA，PA⊥面ABCD…三棱锥B﹣PED的体积V＝V B﹣CED＝V E﹣BCD，S△BCD＝＝2，E到面BCD的距离h＝V B﹣CED＝V E﹣BCD＝×∈…可得a．…12 分20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx，（1）若a＝0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（2）由已知，求得f（x）＝x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x恒成立转化为恒成立．构造函数，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．解：（1）当a＝0时，f（x）＝x﹣xlnx，函数定义域为（0，+∞）．f'（x）＝﹣lnx，由﹣lnx＝0，得x＝1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由f（1）＝2，得a+1＝2，∴a＝1，∴f（x）＝x2+x﹣xlnx，由f（x）≥bx2+2x，得（1﹣b）x﹣1≥lnx，又∵x＞0，∴恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令，可得，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．∴g（x）min＝g（1）＝0即b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．【分析】（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R，由已知条件推导出|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6，从而圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C 的方程．（II）设直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3，由，能求出|OQ|2，由，能求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|2的比值为常数．（III）由△QF2M的面积＝△OF2M的面积，能求出S＝S1+S2的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R由于动圆P与圆相切，且与圆相内切，所以动圆P与圆只能内切∴，∴|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6…∴圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝8，2c＝6，∴a＝4，c＝3，b2＝a2﹣c2＝7故圆心P的轨迹C：．…（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3由，得：，∴，∴…由，得：（7m2+16）y2+42my﹣49＝0，∴，∴＝＝＝…∴，∴|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为…（III）∵MN∥OQ，∴△QF2M的面积＝△OF2M的面积，∴S＝S1+S2＝S△OMN∵O到直线MN：x＝my+3的距离，∴…令，则m2＝t2﹣1（t≥1），∵（当且仅当，即，亦即时取等号）∴当时，S取最大值…（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标，和圆的标准方程，即可求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）分别求出直线的标准方程，利用直线和圆的位置关系即可求直线l被圆C所截得的弦长．解：（Ⅰ）∵圆C的圆心是，∴x＝ρcosθ＝＝1，y＝ρsinθ＝＝1，即圆心坐标为（1，1），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，x2﹣2x+y2﹣2y＝0圆C的极坐标方程为：；（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为，∴ρsinθ+ρcosθ＝1+，即，圆心到直线距离为，圆半径为．故弦长为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）＞0的解集；（2）构造函数g（x）＝f（x）﹣3，关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立⇔a＜f（x）﹣3恒成立⇔a＜g（x）min，先求得f（x）min，再求g（x）min即可．解：（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|＝，∵f（x）＞0，∴①当x＜﹣时，﹣x﹣4＞0，∴x＜﹣4；②当﹣≤x≤3时，3x﹣2＞0，∴＜x≤3；③当x＞3时，x+4＞0，∴x＞3．综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（，+∞）…（2）由（1）知，f（x）＝，∴当x≤﹣时，﹣x﹣4≥﹣；当﹣＜x＜3时，﹣＜3x﹣2＜7；当x≥3时，x+4≥7，综上所述，f（x）≥﹣．∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，∴a＜f（x）﹣3恒成立，令g（x）＝f（x）﹣3，则g（x）≥﹣．∴g（x）min＝﹣．∴a＜g（x）min＝﹣。
2020届黑龙江省哈尔滨三中高三三模考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合A ={y|y =2x }，B ={x|x+1x−1>0}，则A ∩B =( )A ．(0,1)B ．(1,+∞)C ．(−1,1)D ．(−∞,−1)∪(1,+∞)2．已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 7+a 13=2π，则tana 7=（ ）A ．−√3B ．√3C ．±√3D ．−√333．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,3)的圆的方程为( )A ．x 2+(y −3)2=1B ．x 2+(y +3)2=1C ．(x −3)2+y 2=1D ．(x +3)2+y 2=14．设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0，则目标函数z =−3x +2y 的最小值为( )A ．4B ．−2C ．−6D ．−85．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是( )A ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 6．已知ΔABC 中，AB =10,AC =6,BC =8 ,M 为AB 边上的中点，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．0 B ．25 C ．50 D ．100 7．记函数f(x)=√12−x −x 2的定义域为D ，在区间[−5,5]上随机取一个实数x ，则x ∈D 的概率是( ) A ．710 B ．35 C ．110 D ．15 8．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N≡n （modm ），例如10≡2（mod4）．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） A ．13 B ．11 C ．15 D ．8 9．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．9+√36πB ．6+√36πC ．3+√36πD ．12+√36π11．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x | (ω>0,0<φ<π,a ∈R)，在[−3,3]的大致图象如图所示，则ωa可取（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12．已知f(x)={|log 2(x −1)|,1<x ≤312x 2−5x +232,x >3 ，若f(x)=m 有四个不同的实根x 1,x 2,x 3,x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则(m x 1+mx 2)⋅(x 3+x 4)的取值范围( )A ．(0,10)B ．[0,10]C ．(0,4)D ．[0,4]二、填空题13．已知tana =−2，则tan2a =______．14．已知f(x)是定义在R 上的周期为4的偶函数，当x ∈[−2,0]时，f(x)=−2x ，则f(5)=______．15．已知点P 为中心在坐标原点的椭圆C 上的一点，且椭圆的右焦点为F 2(√5,0)，线段PF 2的垂直平分线为y =2x ，则椭圆C 的方程为______．16．数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =6a n −2n −3，设b n =log 3(a n +12)，则数列{1b n ⋅b n+1}的前10项和为______． 三、解答题 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足asinB +√3bcos(B +C)=0，a =√19． (1)求A ； (2)若b =2，求△ABC 的面积． 18．为了解某冷饮店的经营状况，随机记录了该店1∼5月的月营业额y （单位：万元）与月份x 的数据，如下表：（1）求y 关于x 的回归直线方程y ̂=a +bx ； （2）若在这些样本点中任取两点，求恰有一点在回归直线上的概率. 附：回归直线方程y ̂=a +bx 中， b ̂=∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1 =∑x i y i −nx̅y ̅n i=1∑x i 2−nx̅2n i=1，a ̂=y ̅−b ̂x̅.19．矩形ABCD 中，AB =2AD =2，P 为线段DC 中点，将△ADP 沿AP 折起，使得平面ADP ⊥平面ABCP ． (Ⅰ)求证：AD ⊥BP ； (Ⅱ)求点P 到平面ADB 的距离． 20．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点． (Ⅰ)若点T(−1,0)，且直线AT ，BT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1+k 2为定值；(Ⅱ)设A 、B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P 、Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：AR//FQ ．21．已知e 为自然对数的底．(Ⅰ)求函数J 1(x)=e x −(1+x)，J 2(x)=e x −(1+x +12x 2)的单调区间； (Ⅱ)若e x −(1+12x 2+16x 3)≥ax 恒成立，求实数a 的值． 22．已知圆锥曲线C ：{x =2√2cosαy =√6sinα(α为参数)和定点A(0,√6)，F 1，F 2是此圆锥曲线的左、右焦点．(Ⅰ)以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程； (Ⅱ)经过点(−1,0)且与直线AF 2垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求|MF 1|−|NF 1|的值．23．设函数f (x )=|2x −a |+|2x +1|(a >0)，g (x )=x +2.（1）当a =1时，求不等式f (x )≤g (x )的解集；（2）若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围.2020届黑龙江省哈尔滨三中高三三模考试数学（文科）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】求出集合A，再求解不等式化简集合B，然后由交集运算性质得答案．【详解】：A={y|y=2x}=(0,+∞)，B={x|x+1x−1>0}=(−∞,−1)∪(1,+∞)，∴A∩B=(0,+∞)∩[(−∞,−1)∪(1,+∞)]=(1，+∞)．故选：B．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算和不等式的解法，是基础题．2．A【解析】分析：先化简a1+a7+a13=2π，再求tana7.详解：由题得(a1+a13)+a7=2a7+a7=3a7=2π,∴a7=23π.所以tana7=tan23π=−√3.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查等差中项和简单三角函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2) 等差数列{a n}中，如果m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q,特殊地，2m=p+q时，则2a m=a p+a q，a m是a p、a q的等差中项.3．A【解析】【分析】由题意设圆的标准方程为x2+（y﹣a）2=1，把点（1，3）代入求得a的值即可．【详解】设圆心坐标为(0,a)，∵圆的半径为1，且过点(1,3)，∴(0−1)2+(a−3)2=1，解得a=3，∴所求圆的方程为x2+(y−3)2=1，故选：A．【点睛】本题考查了圆的标准方程应用问题，属于基础题．4．C【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最小值．【详解】画出约束条件{3x−y−6≤0x−y+2≥0x≥0,y≥0表示的平面区域，如图所示；由z=−3x+2y得y=32x+12z，平移直线y=32x+12z，由图象可知当直线y=32x+12z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小；由{y=03x−y−6=0，解得A(2,0)，此时z min=−3×2+0=−6，∴z=−3x+2y的最小值为−6．故选：C．【点睛】本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题．5．D【解析】从茎叶图的数据可以看出甲种树苗的平均高度为27，乙种树苗的平均高度为30，因此乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．又从茎叶图分析知道，甲种树苗的高度集中在20到30之间，因此长势更集中．6．C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM 为斜边上的中线，所以|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，原式=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×25=50.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.7．A【解析】【分析】求出函数f （x ）的定义域，再利用几何概型的概率公式计算即可．【详解】函数f(x)=√12−x −x 2的定义域为：D ={x|12−x −x 2≥0}={x|x 2+x −12≤0}={x|−4≤x ≤3}，则在区间[−5,5]上随机取一个实数x ，x ∈D 的概率是P =3−(−4)5−(−5)=710．故选：A ．【点睛】本题考查了求函数的定义域与几何概型的概率计算问题，是基础题．8．A【解析】【分析】：按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果。
2020届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.以下命题：①任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立；②存在复数z，有z2=|z|2成立；③若y=sin(x+π3)是奇函数且最小正周期为2π；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是真命题．其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为()A. 2B. −2C. 2或−2D. ±2或03.若集合A={x|x2≤4}，B={x|x≥0}.则A∩B=()A. {x|0≤x≤2}B. {x|x≥−2}C. {0,1，2}D. {1,2}4.设随机变量X服从B(6,12)，则P(X=3)的值是()A. 316B. 516C. 38D. 585.有3个学习兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. 34B. 23C. 12D. 136.已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log m(ab)<1，则m的取值范围是()A. m>1B. 1<m<8C. m>8D. 0<m<1或m>87.若函数f(x)=sin(ωx+π3)的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是()A. 12B. 1C. 2D. 38.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，则a⃗=2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 与b⃗ =−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ 的夹角的正弦值是()A. √32B. −12C. 12D. −√329.已知函数f(x)=|lgx|，若f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则b所在区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)10.过双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，线段OP的垂直平分线交y轴于点Q(其中O为坐标原点).若△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511.某四面体的三视图均为直角三角形，如图，则该四面体的表面积为()A. 72+24√2B. 96+24√2C. 126D. 6412.已知等差数列{a n}的前9项的和为27，则2a2+a8=()A. 16B. 2C. 64D. 128二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对任何有限集S，记p(S)为S的子集个数．设M={1,2，3，4}，则对所有满足A⊆B⊆M的有序集合对(A,B)，p(A)p(B)的和为______．14.若x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+y≤0y≥0则z=2x−y的最小值为______15.在平面直角坐标系中，动点P满足到x轴的距离与到原点O的距离之和等于2.记动点P的轨迹为曲线C，下面对于曲线C的描述正确的是______.(把所有正确的命题的序号填在横线上)①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③若点P(x,y)在曲线C上，则|y|≤1；④若点P(x,y)在曲线C上，则1≤|PO|≤2．16.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数 i x10152025303540件数 i y471215202327其中 i=1，2，3，4，5，6，7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程；(结果四舍五入后保留到小数点后两位)(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)(参考公式：)参考数据：18.设A，B，C为△ABC的三个内角，向量m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC．(1)求角A的大小；(2)求sinB+sinC的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E为PC中点(Ⅰ)求证：平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)求证：BE//平面PAD(Ⅲ)假定PA=AD=CD，求二面角E−BD−C的正切值．20.在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到两个定点F1(−√2,0)，F2(√2,0)的距离的和为定值4．(1)求点P运动所成轨迹C的方程；(2)设O为坐标原点，若点A在轨迹C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．21. 已知函数f(x)=x 3+2x −sinx(x ∈R)．(Ⅰ)证明：函数f(x)是R 上单调递增函数； (Ⅱ)解关于x 的不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0．22. 在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数)． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)={2−3x ,x ≥012x 2+x +1,x <0．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)若函数ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点，求实数a 的取值范围；(3)若2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]，b ∈[−2,2]恒成立，求实数t 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，则任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立，故①正确；②当复数z为实数时，则必存在复数z，有z2=|z|2成立，故②正确；③由于sin(−x+π3)=−sin(x−π3)≠−sin(x+π3)，故y=sin(x+π3)不是奇函数，故③不正确；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是假命题，故④不正确，故选：B．①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，即可判断①正确；②当复数z为实数时，有z2=|z|2成立，即可判断②正确；③由于f(−x)=f(x)知③不正确；④由复合命题的真假判断④不正确．本题通过命题的判定考查了平面向量，复数，三角函数的性质，复合命题的真假判断等知识，是综合题．2.答案：C解析：解：z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，所以|z1|2=|z2|2，根据复数模的计算公式得出a2+1=22+(−1)2=5，整理a2=4，所以a=2或−2故选C根据复数模的计算公式|z|=√a2+b2，得出关于a的方程并解出即可．本题考查复数模的计算公式及应用．属于基础题．3.答案：A解析：解：集合A中的x2≤4解得：−2≤x≤2，则{x|−2≤x≤2}集合B={x|x≥0}，则A ∩B ={x|0≤x ≤2}， 故选：A ．先求出集合A 中的一元二次不等式的解集，然后求出公共解集即为两集合的交集． 本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．4.答案：B解析：解：∵随机变量X 服从(6,12)，∴P(X =3)=C 63(12)3(12)3=2026=516故选：B ．根据随机变量符合二项分布，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于3时的值． 本题考查二项分布，本题解题的关键是写出变量对应的概率的表示式，本题是一个基础题，若出现一定是一个送分题目．5.答案：D解析：解：总的可能性为3×3=9种， 两位同学参加同一个兴趣小组的情况为3种， ∴所求概率P =39=13， 故选：D ．由题意可得总的可能性为9种，符合题意的有3种，由概率公式可得． 本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．6.答案：C解析：解：∵a ，b ，a +b 成等差数列， ∴2b =2a +b ，即b =2a.① ∵a ，b ，ab 成等比数列，∴b 2=a 2b ，即b =a 2(a ≠0,b ≠0).② 由①②得a =2，b =4． ∵0<logm 8<1， ∴m >1．∵logm8<1，即logm8<logm m∴m>8故选C由已知可得b=2a，b2=a2b，联立可求a，b，代入已知不等式即可求解m的范围本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解，属于知识的简单应用．7.答案：D解析：解：根据函数的平移法则可得，把已知函数的图象向右平移π3个单位的函数y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称则有sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得，ω=6k+3，k∈Z，故当k=0时ω的最小值为：3．故选D．先根据函数的平移法则求出把已知函数的图象向右平移π3个单位所得的函数，然后由已知y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称可得sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得ω，进而求最小值三角函数的左右平移一定要注意x上的变化量是解题中容易出错的地方，要引起注意，而函数的图象变换也是函数的重要知识，要熟练掌握．8.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积，向量的模以及向量的夹角，属于基础题．先求得a⃗⋅b⃗ 以及|a⃗|、|b⃗ |，再根据向量的夹角公式求得a⃗,b⃗ 的夹角的余弦值，即可求得结果．解：∵e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，∴|e1⃗⃗⃗ |=|e2⃗⃗⃗ |=1，e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12．∴a⃗⋅b⃗ =(2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )·(−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )=−6e1⃗⃗⃗ 2+2e2⃗⃗⃗ 2+e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =−6+2+12=−72．|a⃗|=√4e1⃗⃗⃗ 2+e2⃗⃗⃗ 2+4e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =√4+1+2=√7，|b ⃗ |=√9e 1⃗⃗⃗ 2+4e 2⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =√9+4−6=√7， 设a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ | |b⃗ |=−72√7×√7=−12，∴sinθ=√1−cos 2θ=√32． 故选：A ．9.答案：D解析：解：画出函数f(x)=|lgx|的图象， ①设a+b 2≥1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =2lga+b 2，ab =1，可得a =1b ， 则b =(1b +b2)2，化为：f(b)=b 4−4b 3+2b 2+1=0，(b >1)． f′(b)=4b(b 2−3b +1)=4b(b −3+√52)(b −3−√52)，可知：当b ∈(1,3+√52)时，f′(b)<0，f(b)的单调递减；当b >3+√52时，f′(b)>0，f(b)的单调递增．由f(1)=0，可知：f(3+√52)<0，而f(3)=−8<0，f(4)=33>0，∴此时存在唯一零点b ∈(3,4)． ②设0<a+b 2<1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =−2lg a+b 2，∴ab =1，1b =(a+b 2)2， 化为：f(b)=b 4+2b 2−4b +1=0，(2>b >1)． f′(b)=2(2b 3+b −2)>0，可知：当b ∈(1,2)时，函数f(b)的单调递增． 由f(1)=0，f(b)>0，此时函数f(b)不存在零点． 综上可得：b 所在区间为(3,4)．画出函数f(x)=|lgx|的图象，①设a+b2≥1，由f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则−lga=lgb=2lg a+b2，可得b=(1b+b2)2，化为：f(b)=b4−4b3+2b2+1=0，(b>1).利用导数研究其单调性即可得出；②设0<a+b2<1，同理可得．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10.答案：B解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=bax，右焦点F(c,0)，由题意可得直线PF的方程为y=−ab(x−c)，联立渐近线方程y=ba x，可得P(a2c,abc)，可得OP的垂直平分线方程为y−ab2c =−ab(x−a22c)，令x=0，可得y=ac2b ，即Q(0,ac2b)，又|PF|=√a2+b2=b，|OP|=√|OF|2−|PF|2=√c2−b2=a，由△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，可得12c⋅abc=4⋅12⋅ac2b⋅a2c，即有b2=2a2，可得c2=a2+b2=3a2，e=ca=√3，故选：B．求出双曲线的渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得PF的方程，联立渐近线方程，解得交点P的坐标，运用中点坐标公式可得OP的垂直平分线方程，可得Q的坐标，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，以及三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为8，底面为直角三角形，直角边长分别为6、8，如图：SB=8√2，BC⊥SB，AC=10，SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC∴几何体的表面积S=12×8×8+12×8×6+12×10×8+12×8√2×6=96+24√2．故选：B．几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图判断各面的形状，根据三视图的数据求相关几何量的数据，把数据代入三角形面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．12.答案：C解析：由本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属于基础题．等差数列的求和公式和性质可得结论．解：∵等差数列{a n}的前9项的和为S9=27，∴S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27，解得a2+a8=6，∴2a2+a8=26=64故选：C13.答案：2401解析：解：当B为n(0≤n≤4)元集时，则p(B)=2n，且B集合的个数为C4n，又A⊆B则①A为n元集时，则p(A)=2n且A的个数为C n n②A为n−1元集时，则p(A)=2n−1且A的个数为C n n−1以此类推③A 为⌀时，p (A)=20且A 的个数为C n0 则p (A)P (B)=C 4n 2n (C n 020+C n 121+⋯+C n n 2n ) =C 4n 2n (1+2)n=C 4n 6n当n 依次取0，1，2，3，4时p (A)p (B)的和为C 4060+C 4161+⋯+C 4464=2041，故答案为：2401．先由B 为n(0≤n ≤4)元集时，则p (B)=2n ，且B 集合的个数为C 4n ，然后在这种情况下分别讨论集合A 的个数与集合A 的子集个数，推导出通项公式，再将n =0，1，2，3，4代入计算即可． 本题考查了集合间的关系，同时考查了二项式定理，知识间交汇较好．14.答案：−2解析：解：作出x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y ≤0y ≥0对应的平面区域(阴影部分)由z =2x −y ，得y =2x −z ，平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 经过点A时，直线y =2x −z 的截距最大，此时z 最小．由{y =0x −y +1=0， 解得A(−1,0)，此时z 的最小值为z =2x −y =−2，故答案为：−2．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.答案：①③④解析：解：设P(x,y)，由动点P 满足到x 轴的距离与到原点O 的距离之和等于2，可得|y|+√x 2+y 2=2，可得x 2+y 2=(2−|y|)2，化为x2+4|y|=4，将上式中的x换为−x，y换为−y，方程不变，可得曲线C关于原点对称，故①正确；由于将x换为y，y换为x，方程变为y2+4|x|=4和原方程不同，故②错误；若点P(x,y)在曲线C上，可得|y|≤1，故③正确；若点P(x,y)在曲线C上，可得|PO|2=x2+y2=4−4|y|+y2=(|y|−2)2，由0≤|y|≤1可得−2≤|y|−2≤−1，则1≤|PO|≤2，故④正确．故答案为：①③④．设P(x,y)，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，列方程化简方程可得曲线C的方程，再将x换为−x，y换为−y，可判断①；将x换为y，y换为x，可判断②；由x2≥0，即可判断③；运用两点的距离公式和0≤|y|≤1，结合二次函数的值域求法，可判断④．本题考查轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查曲线的性质，注意运用对称结论和二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．16.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100．17.答案：，，．解析：(1)根据所给的这一组数据，得到7个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到散点图，从散点图可以看出，这两个两之间是正相关．(2)根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．(3)利用上一问做出的线性回归方程，把x的值代入方程，预报出对应的y的值．18.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC，∴(sinB+sinC)2−sin2A=sinBsinC，∴sin2B+sin2C−sin2A=−sinBsinC由正弦定理可得b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3；(2)由(1)知，B+C=π3，∴sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，∵0<B<π3，∴π3<B+π3<2π3，∴√32<sin(B+π3)≤1，∴sinB+sinC的取值范围是(√32,1]．解析：(1)利用向量的模长公式，结合正弦定理、余弦定理，即可(1)求角A的大小；(2)由(1)知，B+C=π3，故sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，即可求sinB+sinC的取值范围．本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简与求值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD，∵DC⊂面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)证明：取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，∴在△PDC中：EF=//12DC，∴EF=//AB，∴四边形ABEF为平行四边形，即BE//AF，∵AF⊂面PAD且BE⊄面PAD，∴BE//平面PAD．(Ⅲ)解：连接AC，取AC中点O，连接EO．在△PAC中：EO=//12PA，∴EO⊥面ABC，得EO⊥BD，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．EO∩OG=O，∴BD⊥面EGO，∴BD⊥EG，∵BD为平面EBD与平面CBD的交线，EG⊂平面EBD，OG⊂平面CBD，∴∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′．∴OG=12B′G′=12BB′⋅sin∠B′BG′=12BB′⋅sin∠ABD=12a⋅ADBD=12a√(2a)2+a2=√5在△EOG中：tan∠EGO=EOOG=a1√5a=√5，故二面角E−BD−C的平面角的正切值为√5．解析：(Ⅰ)证明PA⊥DC，DC⊥AD，然后证明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD；(Ⅱ)取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，证明四边形ABEF为平行四边形，推出BE//AF，然后证明BE//平面PAD；(Ⅲ)连接AC，取AC中点O，连接EO.过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG.则∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，连DO并延长交AB于B′，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E−BD−C的平面角的正切值．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：(1)∵动点P 到两点F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)的距离之和为4，∴由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)为焦点，以4为长轴的椭圆， ∵c =√2，a =2，∴b =√2，∴C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0．∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即tx 0+2y 0=0，解得t =−2y 0x 0． 当x 0=t 时，y 0=−t 22，代入椭圆C 的方程得t =±√2，故直线AB 的方程为x =±√2，圆心O 到直线AB 的距离d =√2．此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t)，即(y 0−2)x −(x 0−t)y +2x 0−ty 0=0．圆心O 到直线AB 的距离d =000202． 又x 02+2y 02=4，t =−2y 0x 0． 故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4y 0x 02+4=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2． 此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．综上所述，直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．解析：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，属于中档题．(1)由椭圆的离心率公式及椭圆的性质，根据已知离心率与四个顶点组成菱形面积求出a 2与b 2的值，即可确定出椭圆C 的方程；(2)设出点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0，由OA ⊥OB 得到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，用坐标表示后把t 用含有A 点的坐标表示，然后分A ，B 的横坐标相等和不相等写出直线AB 的方程，然后由圆x 2+y 2=2的圆心到AB 的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．21.答案：证明：(I)∵f(x)=x 3+2x −sinx ，∴f′(x)=3x 2+2−cosx =3x 2+(2−cosx)．∵3x 2≥0，2−cosx >0恒成立，故f′(x)>0，故函数f(x)是R 上单调递增函数；(Ⅱ)∵f(−x)=(−x)3+2(−x)−sin(−x)=−(x 3+2x −sinx)=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数．原不等式可化为f(x 2−a)<−f(x −ax)=f(ax −x)，由(1)可得x 2−a <ax −x ，即x 2+(1−a)x −a <0，即(x +1)(x −a)<0，当a <−1时，原不等式的解集为(a,−1)；当a =−1时，原不等式的解集为⌀；当a >−1时，原不等式的解集为(−1,a)．解析：(I)根据已知函数的解析式，求出函数的导函数，根据二次函数和余弦函数的性质，分析导函数的符号，即可判断出函数的单调性；(II)根据函数奇偶性的定义及函数解析式，可判断出函数为奇函数，结合(I)中函数的单调性和定义域，可将不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0化为(x +1)(x −a)<0，分别讨论对应方程两根a 与−1的大小，即可得到不同情况下原不等式的解集．本题考查的知识点是函数的单调性与奇偶性的证明及应用，熟练掌握导数法证明单调性及定义法证明奇偶性是解答的关键．22.答案：解(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数).转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2． (Ⅱ)线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．所以圆心(0,0)到直线x −y +1=0的距离d =√2=√22，所以|AB|=2√(√2)2−(√22)2=√6．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)作出函数f(x)的图象，如图所示，结合图象可知，f(x)的单调递增区间(−1,0)，单调递减区间(−∞,−1)，[0,+∞)，(2)由ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点可得f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象可知，当12<12a <1即1<a <2时，满足题意，(3)由(1)的图象可知，当x ∈[−2,2]时，2f(x)∈[−14,2]，因为2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]恒成立，所以2≤2t 2−bt +2对任意b ∈[−2,2]恒成立，即2t 2−bt ≥0对任意b ∈[−2,2]恒成立，令F(b)=2t 2−bt ，b ∈[−2,2]，则{F(−2)=2t +2t 2≥0F(2)=2t 2−2t ≥0， 解可得，t ≥1或t ≤−1或t =0，故实数t 的取值范围{t|t ≥1或t ≤−1或t =0}．解析：(1)先作出函数的图象，然后结合函数的图象即可求解函数单调区间，(2)由题意可转化为f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象即可求解，(3)结合函数的图象可Ian 求出2f(x)的最大值，然后变换主元，结合一次函数的性质可求．本题主要考查了利用函数的图象求解函数的单调区间，及函数的零点个数的求解，及不等式的恒成立与最值求解的相互转化，体现了数形结合及转化思想的应用．。
东北三省三校哈师大附中2020年高三第三次模拟考试文 科 数 学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则集合A∩B 的子集的个数为A ．2B ．4C ．8D ．162．小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为A ．4B ．3C ．2D ．13．已知复数i z )31(cos 323sin -+-=θθ为纯虚数，则θtan = A ．22 B ．22- C ．42 D ．42-4．事件的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．下图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增人数的折线图，根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是A ．2月7日到2月13日甲省的平均新增人数低于乙省B ．2月7日到2月13日甲省的单日新增人数最大值小于乙省C ．2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增人数的波动大D ．后四日（2月10日至13日）乙省每日新增人数均比甲省多5．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为A ．32B ．34C ．35D ．376．如图是关于秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 的值为A ．))((0320100x a a x a x a +++的值B ．))((0010203x a a x a x a +++的值C ．))((0200301x a a x a x a +++的值D ．))((0130002x a a x a x a +++的值7．已知M 为△ABC 的边AB 的中点，N 为△ABC 内一点，13AN AM BC =+，则BCNAMN S S ∆∆= A ．61 B ．31 C ．21 D ．32 8．已知6π-=x 为函数()sin 3cos f x a x x =-的图象的一条对称轴，若0)()(21=+x f x f ，且()f x 在)(21x x ，单调，则)(21x x f +=A ．0B ．1C ．3D ．29．已知112=，32122-=-，6321222=+-，1043212222-=-+-，……照此规律=-++-+-+-22222222109654321A ．45B ．－45C ．55D ．－5510．已知F 为双曲线C ：122=-y x 的右焦点，M 为双曲线C 上一点，且MF 与x 轴垂直，点M 关于双曲线的渐近线的对称点为N ，则△MNP 的面积为A ．212+B ．212-或223-C ．212+或212-D ．212+或223- 11．已知A 、B 为半径为2的球O 表面上的两点，且2=AB ．平面⊥α平面β，βα =直线AB ，若平面βα、截球O 所得的截面分别为1OO 和2OO ，则21O O =A ．3B ．32C ．2D ．2212．已知函数)()(R a x ae x f x ∈-=有两个零点21x x ，，且21x x <则下列结论中不正确的是A ．ea 10<< B ．101<<x C ．221>+x x D ．2211ln ln x x x x -<-第Ⅱ卷（非选择题 共90 分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．随着国内形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1000元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中有大小质地均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是 ．14．设函数()xf x e =在x=0处的切线与x ，y 轴围成的区域为Ω，点P 是Ω内一动点，点Q是函数3y =上的动点，则线段｜PQ ｜的最小值为 ．15．已知函数3ln(),0()3,0x x f x x x x -<⎧=⎨-≥⎩，则不等式(1)(0)f x f +≤的解集为 ．16．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2tan (tan tan )c B b A B ⋅=⋅+，则A = ；若O 是△ABC 外接圆的圆心，则22cos cos 2sin 2sin B AB AO C AC AO C B AO AO ⋅⋅⋅+⋅= ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤3}，集合B ={x|1x <0}，则A ∪B =( )A. {x|−1<x <0}B. {x|−1≤x <0}C. {x|x <0}D. {x|x ≤3}2. 复数，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是( )A. y =(12)−xB. y =sinx 2C. y =x|x|D. y =ln|x|4. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. 函数f(x)=e x +x 2+x +cosx ，则f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. 2x −y +2=0B. 2x +y +2=0C. x +2y +2=0D. x −2y +2=06. 在[−√3,√3]内随机地取一个数，则事件“直线y =kx +k 与圆(x −1)2+y 2=1有公共点”发生的概率为( )A. 13B. 14C. 12D. √327. 有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是( )A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数R 2变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱8. “卡拉兹猜想”又称“3n +1猜想”，是德国数学家洛萨·卡拉兹在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 为偶数，就将它减半；如果n 为奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为 ( )A. 10B. 64C. 10或64D. 329. 执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 分别为4，2，则输出的n 的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,>0)的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，P 为左支上的一个动点，若△PBF 周长的最小值等于实轴长的3倍，则该双曲线的离心率为( )A. √102B. √105 C. √10D. √211. 已知数列{a n }为12，13+23，14+24+34，15+25+35+45，….，若b n =1an ·a n+2，则{b n }的前n 项和S n =( )A. 3n 2+5n(n+1)(n+2)B. 2n 2+5n(n+1)(n+3)C. 3n 2+2n(n+2)(n+3)D. 2n 2+3n(n+1)(n+2)12. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则y 等于( ) A. 23B. 13C. −13D. −23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若sin(θ−π4)=13，则sin2θ=________．14. 命题“存在x ∈R ，使x 2+x +2m ≤0”的假命题，则m 的取值范围是______．15. 已知点E(0,2)，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，线段EF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠EQF =90°，则p = ______ ． 16. 如图所示，已知在三棱锥P −ABC 中，PA =4，AC =2√7，PB =BC =2√3，PA ⊥平面PBC ，则三棱锥P −ABC 的内切球的表面积为_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）)的部分图象如图所示．17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间．18.如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，CF//DE，DE=3CF，BE与平面ABCD所成的角为45°．(1)求证：平面ACE⊥平面BDE；(2)求三棱锥F−BCE的体积．19.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表所示：零件的个数x(个)2345加工的时间y(ℎ) 2.534 4.5(â=y−−b̂x−,b̂=∑x ini=1y i−nx−y−∑x i2ni=1−n(x−)2)(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？20.已知函数f(x)=(x+1)lnx−ax+2.(1)若函数f(x)在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围；(2)求证：13+15+17+⋯+12n+1<12ln(n +1),n ∈N ∗21. 已知离心率为√22的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,−√22)，点F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，且S △ABF 2=4√35． (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：以AB 为直径的圆过坐标原点．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ+2acosθ(a >0)；直线l 的参数方程为{x =−2+√22t y =√22t (t 为参数).直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若点P 的极坐标为(2,π)，|PM |+|PN |=5√2，求a 的值．23.已知f(x)=|2x+3|−|2x−1|．(Ⅰ)求不等式f(x)<2的解集；(Ⅱ)若存在x∈R，使得f(x)>|3a−2|成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D<0得，x<0，则集合B={x|x<0}，解析：解：由1x又集合A={x|−1≤x≤3}，所以A∪B={x|x≤3}，故选：D．<0求出集合B，再由并集的运算求出A∪B．由1x本题考查并集及其运算，属于基础题．2.答案：B解析：本题考查复数的几何意义，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．解：复数z=−2+i，则复数z在复平面内对应的点(−2,1)位于第二象限，故选B．3.答案：D)−x是非奇非偶函数，是单调增函数，所以A不正确；解析：解：对于A，y=(12对于B，y=sinx2，函数是偶函数，在定义域范围内不是单调函数，所以B不正确；对于C，y=x|x|是奇函数，所以C不正确；对于D，y=ln|x|是偶函数，在(0,+∞)单调递增函数，所以D正确；故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性推出结果即可．本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，基本知识的考查．4.答案：B解析：解：设等差数列{2a n+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13， ∴2a 1+1=1，2a 3+1=3，∴3=1+2d ，解得d =1． ∴2an +1=1+n −1=n ，∴a n =2n −1．那么a 2020=22020−1=−10091010． 故选：B ． 设等差数列{2an+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，可得2a 1+1=1，2a 3+1=3，3=1+2d ，解得d.可得通项公式，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：函数f(x)=e x +x 2+x +cosx 的导数为f′(x)=e x +2x +1−sinx ， 函数f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k =e 0+1=2， 切点为(0,2)，则函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y −2=2x.即2x −y +2=0． 故选：A ．求出f(x)的导数，切点切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到切线的方程． 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键．6.答案：A解析：本题考查了几何概型的概率以及直线与圆相交的性质问题，解题的关键弄清概率类型，是基础题． 求出圆心到直线的距离，根据直线与圆有公共点列不等式求出k 的取值范围，再计算所求的概率． 解：圆(x −1)2+y 2=1的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y=kx+k的距离为k−0+k√k2+1，要使直线y=kx+k与圆(x−1)2+y2=1有公共点，则√k2+1≤1，∴−√33≤k≤√33．∴在[−3,3]上随机地取一个数k，事件“直线y=kx+k与圆(x−1)2+y2=1有公共点”发生的概率为2×√3 32√3=13，故选A.7.答案：A解析：本题考查了利用散点图分析数据，判断变量的相关性问题，属于运用图形解决问题的能力，属于容易出错的题目．利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和，的变化情况．解：如图：∵从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去掉D点，变量x与变量y的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选：A．8.答案：C解析：利用正整数m经过6次运算后得到1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到m的所有可能的取值．。
