黑龙江省哈三中2020届三模文科数学试题(含答案)

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|−1≤x<3}则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. ⌀2.若复数z=1+i3−4i，则|z−|=()A. 25B. √25C. √105D. 2253.已知a⃗=(3,4)，|b⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗·b⃗ 的值是()A. 7B. 12C. 5D. 254.函数f(x)=(x+1)ln(|x−1|)的图象大致为()A. B.C. D.5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于点A，B，且与其中一条渐近线垂直，若△OAB的面积为163，其中O为坐标原点，则双曲线的焦距为()A. 2√3B. 2√5C. 2√10D. 2√156.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法预测7.某一算法框图如图，输出的S值为()A. √32B. −√32C. √3D. 08. 函数f(x)=3sin(ωx −π6)(ω>0)在区间[0,π]上恰有2个零点，则ω的取值范围为( )A. (76,136]B. [76,136)C. (56,116]D. [56,116)9. 若函数f(x)={1+1gx,x >a(a −1)x −88,x ≤a，在R 上是单调函数，则a 的取值范围为( )A. (1,10]B. (1,+∞)C. (0,10]D. [10,+∞)10. 在三棱锥A −BCD 中，ΔBCD 是等边三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥外接球的表面积为60π，且球心到平面BCD 的距离为√3，则三棱锥A −BCD 的体积的最大值为( )A. 3√3B. 9√3C. 27D. 8111. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，当x >0时，f(x)=log 2(2x +1)，则f(−12)等于( )．A. log 23B. log 25C. 1D. −112. 如图，抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C和y 轴分别交于点A ，B ，E 为准线l 上一点，且|AF|=|AB|=|AE|，则△BEF 的面积为( )A. 2√3B. 3√22C. 3√2D. 2√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanα=−34，则cos2α=______．14.设x，y满足约束条件{x−y≥1x+y≤4x≥0y≥0，则z=x−3y的取值范围为_________．15.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=2asinB，则∠A=______．16.设函数f(x)=e x(2x−3)−a2x2+ax，若函数f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设各项均为正数的数列{a n}满足4S n=(a n+1)2(n∈N∗)．(Ⅰ)求a n的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n⋅a n+1，n∈N∗，求b n的前n项和T n．18.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.10.050.0100.005k0 2.7063.8416.6357.87919.如图，在四棱锥S−ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N，SA=AD．(1)求证：SC⊥MN；(2)若SA=2，求三棱锥M−ANC的体积．20. 椭圆mx 2+ny 2=1与直线x +y =1相交于A 、B 两点，C 为AB 中点，若|AB|=2√2，O 为坐标原点，OC 的斜率为√22，求m ，n 的值．21. 已知函数f(x)=x −lnx −a(a ∈R ).(1)讨论f(x)的零点个数；(2)若g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，a ∈(1,e −1]，求g(x)的极小值ℎ(a)的值域．22. 已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)，定点A(0,−√3)，F 1、F 2是圆锥曲线C 的左、右焦点．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；(Ⅱ)设(Ⅰ)中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|⋅|F1N|．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题，利用交集定义直接求解． 解：∵集合A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x <3}， ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：B ．2.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．3.答案：C解析：本题考查了数量积的定义，属于基础题． 利用数量积的定义即可得出． 解：∵a⃗ =(3,4)，∴|a ⃗ |=5． 又|b ⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos60°=5×2×12=5． 故选C ．4.答案：B解析：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的图象，属于基础题．可从对数的运算性质和函数的单调性取特值(或范围)入手用排除法解此题．解：当x>2时，x+1>3，ln(x−1)>0，则f(x)=(x+1)ln(|x−1|)=(x+1)ln(x−1)>0，且随着x→+∞时，f(x)→+∞，故排除A、C；当x<−1时，，x+1<0，|x−1|>2，ln|x−1|>0，则f(x)=(x+1)ln(|x−1|)<0，故排除D．故选B．5.答案：C解析：本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和离心率公式，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．【解得】解：由题意可得e=ca =√52，a2+b2=c2，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ=tan∠AOB=2aba2−b2，设FB⊥OB，则F到渐近线y=bax的距离为d=b，即有|OB|=a，则△OAB的面积可以表示为12⋅a⋅atanθ=a3ba2−b2=163，解得a=2√2,b=√2,c=√10，则2c=2√10，故选C．6.答案：A解析：本题考查了简易逻辑推理，属于基础题．分别假设甲，乙，丙预测正确，再根据其他人预测错误逐个判断各人的名次．解：(1)若只有甲预测正确，则甲为第一名或第二名，由于乙预测不正确，故乙是第一名或第二名，于是丙为第三名，故丙预测正确，矛盾；(2)若乙预测正确，则甲预测也正确，矛盾；故而只有丙预测正确，即丙为第二或第三名，由于甲预测不正确，故而甲为第三名，于是丙为第二名，乙为第一名．故选A．7.答案：D解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sinπ3+sin2π3+sinπ+⋯+sin2016π3的值，由于y=sin nπ3的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，由于2016÷6=336，故S=sinπ3+sin2π3+sinπ+⋯+sin2016π3=336×0=0，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查函数的零点存在性问题，涉及三角函数的图像及性质的应用，属于中档题目．解：∵x∈[0,π]，ω>0，，∵函数f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点， ∴π≤ωπ−π6<2π，解得76≤ω<136．故选B ．9.答案：A解析：解：若函数f(x)={1+1gx,x >a(a −1)x −88,x ≤a ，在R 上是单调函数，由y =lgx ，x >a 是增函数， 所以{a −1>01+lga ≥(a −1)a −88，当a >1时，lga −a 2+a +89>0，画出函数y =1+lga ， 以及y =a 2−a −88的图象如图： 可得，a ∈(1,10]． 故选：A ．判断函数的单调性，利用函数的单调性的性质，列出不等式，即得所求．本题主要求函数的单调性的性质，分段函数的应用，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．由题意画出图形，再由已知求出底面三角形的边长，数形结合可知，当△ABC 为等边三角形时，三棱锥A −BCD 的体积取最大值，则答案可求． 解：如图，取等边三角形BCD的中心G，过G作三角形BCD的垂线GO，截去GO=√3．则O为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，由4πR2=60π，得R2=15．即OD=√15，∴DG=√15−3=2√3．则DE=3√3，可得BC=6，过O作OF⊥平面ABC，则F为三角形ABC的外心，连接DG并延长，角BC于E，则E为BC的中点，要使三棱锥A−BCD的体积最大，则AFE共线，即△ABC为等边三角形，此时三棱锥A−BCD的高为3√3．∴三棱锥A−BCD的体积的最大值为V=13×12×6×3√3×3√3=27．故选C．11.答案：D解析：解：∵由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(−x)=−f(x)，∴f(−12)=−f(12)=−log2(2×12+1)=−1．故选：D．由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(−12)=−f(12)，由此可解得f(−12)的值．本题主要考察函数奇偶性的性质，属于基础题．12.答案：B解析：本题考查了抛物线的性质，三角形的面积计算，属于中档题．根据抛物线的性质，求出a值，即可计算三角形的面积．解：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x =−1．设E(−1,2a)，则A(a 2,2a)，由中点公式可得B(0,4a)，故2a 2=1，解得a =√22， 故E (−1,√2)，B(0,2√2)， ∴直线BF ：2√2x +y −2√2=0，故可得点E 到直线BF 的距离d =√2+√2−2√2|√(−2√2)2+1=√2，又|AB|=√(0−1)2+(2√2−0)2=3，∴△BFE 的面积为12×3×√2=3√22． 故选B ． 13.答案：725解析：解：∵tanα=−34，∴cos2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−9161+916=725， 故答案为：725．利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简要求的式子，可得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．14.答案：[−2,4]解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件{x −y ≥1x +y ≤4x ≥0y ≥0作出可行域如图，联立{x +y =4x −y =1，解得A(52,32)， 联立{y =0x +y =4，解得B(4,0)， 由图可知，当目标函数z =x −3y 过A 时，z 有最小值为−2；当目标函数z =x −3y 过B 时，z 有最大值为：4．故答案为：[−2,4]．15.答案：π6解析：解：∵b =2asinB ，∴sinB =2sinAsinB ，∵sinB ≠0，∴sinA =12，∵A 为锐角，∴A =π6， 故答案为：π6根据正弦定理即可求出．本题考查了正弦定理，以及解三角形，属于基础题． 16.答案：(0,1)解析：解：函数f(x)=e x (2x −3)−a 2x 2+ax ，∴f′(x)=e x (2x −1)−ax +a ，若要使f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，只需f′(x)=0在(−∞,1)内有两个解，可转换为函数g(x)=e x (2x −1)与ℎ(x)=a(x −1)的图象在(−∞,1)内有两个交点，由g′(x)=e x (2x +1)知，当x ∈(−∞,−12)时，g′(x)<0，函数g(x)在(−∞,−12)上为减函数;当x ∈(−12,1)时，g′(x)>0，函数g(x)在(−12,1)上为增函数，当直线ℎ(x)=a(x −1)与曲线g(x)=e x (2x −1)相切时，设切点坐标为(x 0,y 0)，由导数的几何意义可以得到{e x 0(2x 0+1)=ay 0=e x 0(2x 0−1)y 0=a(x 0−1)，解得x 0=0或x 0=32(不合题意，舍去)，可知a =e 0(2×0+1)=1，由图象可知，g(x)与ℎ(x)的图象在(−∞,1)内有两个交点，则a 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1)．本题考查了利用函数的导数判断函数极值点的应用问题，也考查了转化思想与分析问题、解决问题的能力，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)4S n =(a n +1)2(n ∈N ∗)，n =1时，4a 1=4S 1=(a 1+1)2，解得a 1=1，当n ≥2时，有a n =S n −S n−1=(a n +1)24−(a n−1+1)24，整理可得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，因为数列{a n }各项均为正数，a n −a n−1=2(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以{a n }的通项公式为a n =2n −1；(Ⅱ)由b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1．解析：(Ⅰ)由数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n−S n−1，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(Ⅱ)求得b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)根据频率分布直方图，计算x=1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；(2)由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；(3)根据题意填写2×2列联表如下，近视不近视合计长时间使用手机651075不长时间使用手机101525合计7525100由表中数据，计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(65×15−10×10)275×25×75×25≈21.78>3.841，∴有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．解析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值；(3)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：(1)证明：由已知，得DC⊥SA，DC⊥DA，又SA∩DA=A，SA，DA⊂平面SAD，∴DC⊥平面SAD，∵AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA =AD ，M 是SD 的中点，∴AM ⊥SD ，又AM ⊥DC ，SD ∩DC =D ，DC ⊂平面SDC ，∴AM ⊥平面SDC ，又SC ⊂平面SDC ，∴SC ⊥AM ．由已知SC ⊥AN ，则SC ⊥平面AMN ．∵MN ⊂平面AMN ，∴SC ⊥MN ；(2)解：由题意可知，在Rt △SAC 中，SA =2,AC =2√2,SC =2√3，由SA ⋅AC =SC ⋅AN ，可得AN =√22√3=√2√3， 则CN =2−AN 2=4√33，∴CN SC =4√332√3=23， 故三棱锥M −ANC 的体积V =12V D−ANC =12V N−ACD =12×23V S−ACD =(13)2×12×2×2×2=49．解析：(1)由已知利用线面垂直的判定可得DC ⊥平面SAD ，得到AM ⊥DC.再由已知得到AM ⊥SD ，可得AM ⊥平面SDC ，从而得到SC ⊥AM ，结合SC ⊥AN ，利用线面垂直的判定可得SC ⊥平面AMN.则SC ⊥MN ； (2)由已知求解三角形得到AN ，进一步求得CN ，得到CN SC =23，然后利用等积法求三棱锥M −ANC 的体积．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 20.答案：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将A ，B 点坐标代入方程得：mx 12+ny 12=1，mx 22+ny 22=1，两式相减得：m(x 1+x 2)(x 1−x 2)+n(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，设C(x 0,y 0)，{x 1+x 2=2x 0y 1+y 2=2y 0， mx 0+ny 0⋅y 1−y0x 1−x 0=0， ∴mx 0+ny 0k OC =0，m =−ny 0x 0⋅k OC =−n ×√22×(−1)=√22n ，即n =√2m ，∴椭圆mx 2+√2my 2=1联立{mx 2+√2my 2=1y =−x +1，得(√2+1)mx 2−6√2mx +9√2m −1=0， x 1+x 2=√2√2+1，x 1x 2=√2m−1√2+1，2√2=|AB|=√2⋅(6√2√2+1)−49√2m−1√2+1，解得m =13,n =√23．解析：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由点差法得m(x 1+x 2)(x 1−x 2)+n(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，设C(x 0,y 0)，得n =√2m ，椭圆mx 2+√2my 2=1，联立{mx 2+√2my 2=1y =−x +3，得(√2+1)mx 2−6√2mx +9√2m −1=0，由椭圆弦长公式能求出m ，n 的值．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和椭圆弦长公式的合理运用． 21.答案：解：(1)因为f(x)=x −lnx −a ，所以f′(x)=1−1x =x−1x ，则当x ∈(0,1)时，f′(x)<0；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0．故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)min =f(1)=1−a ．①当a <1时，f(x)无零点；②当a =1时，f(x)有一个零点； ③当a >1时，因为f(e a )=e a −2a >0，f(1e )=1e>0，f(1)=1−a <0，所以f(x)有两个零点． (2)因为g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，所以g′(x)=e x−a −lnx −a =e x−a −x +x −lnx −a ．由(1)可知当a ∈(1,e −1]时，f(x)有两个零点x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)，同时x 1，x 2也是F(x)=e x−a −x 的两个零点，且在定义域内f(x)与F(x)的符号完全相同， 所以g(x)在(0,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，所以g(x)的极小值为ℎ(a)=g(x 2)=e x 2−a −x 2lnx 2+(1−a)x 2．因为x 2满足e x 2−a −x 2=0，所以a =x 2−lnx 2，则ℎ(a)=g(x 2)=x 2−x 2lnx 2+(1−x 2+lnx 2)x 2=2x 2−x 22． 因为a =x 2−lnx 2∈(1,e −1]，所以x 2∈(1,e]，所以ℎ(a)=g(x 2)∈[2e −e 2,1)．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题，(1)求出f′(x)=1−1x =x−1x ，判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后判断零点的个数．(2)通过g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，求出g′(x)=e x−a −lnx −a =e x−a −x +x −lnx −a.通过函数的零点与函数的单调性转化求解即可．22.答案：解：(1)圆锥曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)， ∴普通方程为C ：x 24+y 23=1，A(0,−√3)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，k AF 2=√3，直线l 的方程为y =√3(x +1)，∴直线l 极坐标方程为：ρsinθ=√3ρcosθ+√3，化为2ρsin(θ−π3)=√3．(2)直线的参数方程是{x =−1+12t y =√32t(t 为参数)， 代入椭圆方程得5t 2−4t −12=0，∴t 1t 2=−125．∴|F 1M|⋅|F 1N|=|t 1t 2|=125．解析：(1)利用cos 2θ+sin 2θ=1可得曲线C 的普通方程，即可得出焦点坐标，得到直线l 的点斜式方程，化为极坐标方程即可；(2)直线的参数方程是{x =−1+12t y =√32t (t 为参数)，代入椭圆方程得5t 2−4t −12=0，利用参数的意义即可得出．本题考查了直线的直角坐标方程化为极坐标、椭圆的参数方程化为普通方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1．不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1， 解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x <0或x >83}．(2)证明：因为m ≥3，n ≥3，所以f(m)+f(n)=|m −3|+|n −3|=m −3+n −3=3， 即m +n =9．所以1m +4n =19(m +n)(1m +4n )=19(1+4+n m +4m n )≥19(5+2√n m ⋅4m n )=1，当且仅当n m =4m n ，即m =3，n =6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，说明x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，求出a ，然后转化不等式f(x)<2f(x +1)−1为|x −3|<2|x −2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m +n =9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。

2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）（内）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数为虚数单位的共轭复数为A. B. C. D.2.已知集合，，则A. 2，B. 2，4，6，C. 4，D. 2，4，3.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 64.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为A.B.C.D.5.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是A. 该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元6.已知为锐角，且，则等于A. B. C. D.7.已知中内角A、B、C所对应的边依次为a、b、c，若，则的面积为A. B. C. D.8.设为定义在R上的奇函数，当时，为常数，则不等式的解集为A. B. C. D.9.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，则的取值范围为A. B. C. D.10.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E的一个对称中心的坐标别，则的最小值是A. B. C. D.11.已知焦点为F的抛物线C：的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为A. 或B. 或C. 或D.12.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．14.春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为______．15.半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为______．16.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，，，BD与AC相交于点E，与相交于点O．求证：平面；求点A到平面OBD的距离．18.2019年9月26日，携程网发布国庆假期旅游出行趋势预测报告，2018年国庆假日期间，西安共接待游客万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市．旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收入不低于单位：万元，则称该导游为优秀导游．经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数2b20103求a，b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数．同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，精确到19.已知数列，满足，，，．求数列，的通项公式；分别求数列，的前n项和，．20.已知椭圆的右焦点为F，直线l：被称作为椭圆C的一条准线点P在椭圆C上异于椭圆左、右顶点，过点P作直线m：与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q．求证：．若点P在x轴的上方，，求面积的最小值．21.已知函数．求曲线在点处的切线方程；若函数在区间有两个零点，分别为，，求证：．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C与直线l其中的一个交点为A，且点A极径，极角．求曲线C的极坐标方程与点A的极坐标；已知直线m的直角坐标方程为，直线m与曲线C相交于点异于原点，求的面积．23.已知函数．解关于x的不等式；若函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：集合，．2，4，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，设，将直线l：进行平移，当l经过点A时，目标函数的截距取得最小值，此时z达到最大值．故选：B．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，z取得最大值1．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．4.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由一个半径为2的半球的和一个底面半径为2，高为4的圆柱组合而成．故：．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：D解析：解：由折线图可得，很明显AB均正确；又因为由图可知该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一为的省份有：江苏均第一，河南均第四，共2个，故C正确；经计算，故D不正确，故选：D．根据折线图和柱状图分析即可本题考查学生合情推理的能力，考查统计的相关知识，属于基础题．6.答案：C解析：解：，为锐角，，．故选：C．由已知利用二倍角的正弦函数公式可求，进而利用二倍角的余弦函数公式可求的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7.答案：A解析：解：由余弦定理知，，即，又，，，．故选：A．由余弦定理可得a，b的一个方程，与联立，于是解得a，b，然后利用即可得解．本题考查正弦面积公式和余弦定理的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：为定义在R上的奇函数，因为当时，，所以，故，在上单调递增，根据奇函数的性质可知在R上单调递增，因为，所以，由不等式可得，，解可得，，故解集为故选：D．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．9.答案：C解析：解：不妨设点P在右支上，有，则，则的取值范围为故选：C．设出P的位置，利用双曲线的定义，结合不等式推出范围即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.答案：C解析：解：曲线的一条对称轴方程为，，，，曲线C：把曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E：的图象，曲线E的一个对称中心的坐标别，，．则的最小值为，此时，，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求出的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：A解析：解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，则，则当取到最大值时，必须取到最大值，此时AM与抛物线相切；易知此时直线AM的斜率不为0，设切线方程为：，则，整理可得，则，解得，所以切线方程为：，即或，故选：A．由抛物线的性质可得到焦点的距离转化为到准线的距离，由距离之比可得角的余弦值，由题意可得当直线MA由抛物线相切时取得最大值，设切线的方程，与抛物线联立由判别式等于0可得参数的值，进而求出切线方程．本题考查抛物线的性质，及切线的应用，属于中档题．12.答案：C解析：解：函数满足当时，，此时函数的周期为2，当时，；函数图象上关于原点对称的点恰好有3对，先作出函数在的图象，画出关于原点对称的图象，则函数的图象与所作函数的图象有3个交点，所以，解得．故选：C．利用函数的周期性，作出函数的图象，利用零点的个数转化列出不等式组求解即可．本题考查函数的零点的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.答案：，或．解析：解：设，，，则．又，，即．解得，，或，，则，或，故答案为：，或．设，由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出x，y的值，可得．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.答案：解析：解：三人领卡的情况有种，各自领自己卡的情况只有一种，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为．故答案为：．三人随意抽卡有种，各领自己的只有一种，相比即可．本题考查排列数公式的应用，古典概型的概率计算，属于基础题．15.答案：解析：解：如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为、，底面边长与高分别为x、h，则；在中，，即，由，所以，当且仅当时取等号；此时正三棱柱的侧面积取得最大值，且为．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出正三棱柱的侧面积以及它的最大值．本题考查了正三棱柱的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，，令，则，故在单调递增，单调递减，，故a的范围故答案为：由已知进行分离a，然后结合不等式的特点进行构造函数，结合导数可求．本题主要考查了由不等式求解参数范围问题，分离法的应用是求解问题的关键．17.答案：证明：四边形ABCD是菱形，，直棱柱，平面ABCD，平面ABCD，，又，平面，平面，平面D.解：是正方形的中心，且，到平面ABD的距离为1，，，，，，是的中点，，设A到平面OBD的距离为h，则，，解得．故点A到平面OBD的距离为．解析：由菱形性质得，根据直棱柱的性质可得，故而平面；根据列方程计算点A到平面OBD的距离．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18.答案：解：由直方图知，解得，由频数分布表知，可得，所以甲公司的导游优秀率为，乙公司的导游优秀率为，由于，所以乙公司的影响度高．甲一年内导游旅游总收入的中位数为：，乙一年内导游旅游总收入的平均数为：．解析：根据频率之和为1，解得a，由频数之和为40，可得b，进而算出甲公司的导游优秀率，乙公司的导游优秀率，再得出结论．根据频率分布直方图计算中位数，平均数的方法可得出答案．本题考查频率分布直方图，中位数，平均数的求法，属于中档题19.答案：解：由题意有，又，，可得：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，故，，，；，，，．解析：先由题设条件得到：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，再求出它们的通项公式，然后求，；根据中求出的，，分别利用分组求和的办法求出前n项和即可．本题主要考查等差、等比数列的定义、通项公式及分组求和在数列求和中的应用，属于基础题．20.答案：解：证明：点，联立方程，消去y，可得，有，可得，，，可得P的坐标为，当时，可得Q的坐标为；，，有，故有，若点P在x轴上方，必有，由可得，，，因为时，由可得，，由函数单调递增，可得此时，故当时，的面积的最小值为1．解析：求得F的坐标，联立直线方程和椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，求得P的坐标，Q的坐标，求得，，由数量积为0，即可得证；若点P在x轴的上方，必有，求得，，运用三角形的面积公式，以及函数的单调性，可得三角形的面积的最小值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用相切的条件：判别式为0，考查函数的单调性的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.答案：解：，，，曲线在点处的切线方程即，证明：不妨设，则，由题意可得，，则，两边取对数，由，若证只要证明，即证，令，，，故在上单调递增，，故时，，即函数在区间有两个零点，分别为，，．解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；由题意可得，，进行变形可得，两边取对数，及，结合要证的不等式进行构造函数，结合导数及函数单调性关系可证明．本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数证明不等式，合理的转化是求解问题的关键．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，，转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为．将代入得：．所以点A的极坐标为直线m的直角坐标方程为，则直线m的倾斜角为．得到点所以．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用三角形的面积的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.答案：解：．，或或，或或，，不等式的解集为．，函数的图象恒在直线的上方，，，实数m的取值范围为．解析：先将写为分段函数的形式，然后利用零点分段法解即可；由绝对值三角不等式可知，然后根据函数的图象恒在直线的上方，得到，再求出m的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020届黑龙江省哈尔滨三中高三三模考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合A ={y|y =2x }，B ={x|x+1x−1>0}，则A ∩B =( )A ．(0,1)B ．(1,+∞)C ．(−1,1)D ．(−∞,−1)∪(1,+∞)2．已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 7+a 13=2π，则tana 7=（ ）A ．−√3B ．√3C ．±√3D ．−√333．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,3)的圆的方程为( )A ．x 2+(y −3)2=1B ．x 2+(y +3)2=1C ．(x −3)2+y 2=1D ．(x +3)2+y 2=14．设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0，则目标函数z =−3x +2y 的最小值为( )A ．4B ．−2C ．−6D ．−85．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是( )A ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 6．已知ΔABC 中，AB =10,AC =6,BC =8 ,M 为AB 边上的中点，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．0 B ．25 C ．50 D ．100 7．记函数f(x)=√12−x −x 2的定义域为D ，在区间[−5,5]上随机取一个实数x ，则x ∈D 的概率是( ) A ．710 B ．35 C ．110 D ．15 8．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N≡n （modm ），例如10≡2（mod4）．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） A ．13 B ．11 C ．15 D ．8 9．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．9+√36πB ．6+√36πC ．3+√36πD ．12+√36π11．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x | (ω>0,0<φ<π,a ∈R)，在[−3,3]的大致图象如图所示，则ωa可取（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12．已知f(x)={|log 2(x −1)|,1<x ≤312x 2−5x +232,x >3 ，若f(x)=m 有四个不同的实根x 1,x 2,x 3,x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则(m x 1+mx 2)⋅(x 3+x 4)的取值范围( )A ．(0,10)B ．[0,10]C ．(0,4)D ．[0,4]二、填空题13．已知tana =−2，则tan2a =______．14．已知f(x)是定义在R 上的周期为4的偶函数，当x ∈[−2,0]时，f(x)=−2x ，则f(5)=______．15．已知点P 为中心在坐标原点的椭圆C 上的一点，且椭圆的右焦点为F 2(√5,0)，线段PF 2的垂直平分线为y =2x ，则椭圆C 的方程为______．16．数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =6a n −2n −3，设b n =log 3(a n +12)，则数列{1b n ⋅b n+1}的前10项和为______． 三、解答题 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足asinB +√3bcos(B +C)=0，a =√19． (1)求A ； (2)若b =2，求△ABC 的面积． 18．为了解某冷饮店的经营状况，随机记录了该店1∼5月的月营业额y （单位：万元）与月份x 的数据，如下表：（1）求y 关于x 的回归直线方程y ̂=a +bx ； （2）若在这些样本点中任取两点，求恰有一点在回归直线上的概率. 附：回归直线方程y ̂=a +bx 中， b ̂=∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1 =∑x i y i −nx̅y ̅n i=1∑x i 2−nx̅2n i=1，a ̂=y ̅−b ̂x̅.19．矩形ABCD 中，AB =2AD =2，P 为线段DC 中点，将△ADP 沿AP 折起，使得平面ADP ⊥平面ABCP ． (Ⅰ)求证：AD ⊥BP ； (Ⅱ)求点P 到平面ADB 的距离． 20．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点． (Ⅰ)若点T(−1,0)，且直线AT ，BT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1+k 2为定值；(Ⅱ)设A 、B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P 、Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：AR//FQ ．21．已知e 为自然对数的底．(Ⅰ)求函数J 1(x)=e x −(1+x)，J 2(x)=e x −(1+x +12x 2)的单调区间； (Ⅱ)若e x −(1+12x 2+16x 3)≥ax 恒成立，求实数a 的值． 22．已知圆锥曲线C ：{x =2√2cosαy =√6sinα(α为参数)和定点A(0,√6)，F 1，F 2是此圆锥曲线的左、右焦点．(Ⅰ)以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程； (Ⅱ)经过点(−1,0)且与直线AF 2垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求|MF 1|−|NF 1|的值．23．设函数f (x )=|2x −a |+|2x +1|(a >0)，g (x )=x +2.（1）当a =1时，求不等式f (x )≤g (x )的解集；（2）若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围.2020届黑龙江省哈尔滨三中高三三模考试数学（文科）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】求出集合A，再求解不等式化简集合B，然后由交集运算性质得答案．【详解】：A={y|y=2x}=(0,+∞)，B={x|x+1x−1>0}=(−∞,−1)∪(1,+∞)，∴A∩B=(0,+∞)∩[(−∞,−1)∪(1,+∞)]=(1，+∞)．故选：B．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算和不等式的解法，是基础题．2．A【解析】分析：先化简a1+a7+a13=2π，再求tana7.详解：由题得(a1+a13)+a7=2a7+a7=3a7=2π,∴a7=23π.所以tana7=tan23π=−√3.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查等差中项和简单三角函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2) 等差数列{a n}中，如果m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q,特殊地，2m=p+q时，则2a m=a p+a q，a m是a p、a q的等差中项.3．A【解析】【分析】由题意设圆的标准方程为x2+（y﹣a）2=1，把点（1，3）代入求得a的值即可．【详解】设圆心坐标为(0,a)，∵圆的半径为1，且过点(1,3)，∴(0−1)2+(a−3)2=1，解得a=3，∴所求圆的方程为x2+(y−3)2=1，故选：A．【点睛】本题考查了圆的标准方程应用问题，属于基础题．4．C【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最小值．【详解】画出约束条件{3x−y−6≤0x−y+2≥0x≥0,y≥0表示的平面区域，如图所示；由z=−3x+2y得y=32x+12z，平移直线y=32x+12z，由图象可知当直线y=32x+12z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小；由{y=03x−y−6=0，解得A(2,0)，此时z min=−3×2+0=−6，∴z=−3x+2y的最小值为−6．故选：C．【点睛】本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题．5．D【解析】从茎叶图的数据可以看出甲种树苗的平均高度为27，乙种树苗的平均高度为30，因此乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．又从茎叶图分析知道，甲种树苗的高度集中在20到30之间，因此长势更集中．6．C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM 为斜边上的中线，所以|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，原式=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×25=50.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.7．A【解析】【分析】求出函数f （x ）的定义域，再利用几何概型的概率公式计算即可．【详解】函数f(x)=√12−x −x 2的定义域为：D ={x|12−x −x 2≥0}={x|x 2+x −12≤0}={x|−4≤x ≤3}，则在区间[−5,5]上随机取一个实数x ，x ∈D 的概率是P =3−(−4)5−(−5)=710．故选：A ．【点睛】本题考查了求函数的定义域与几何概型的概率计算问题，是基础题．8．A【解析】【分析】：按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果。

2020届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.以下命题：①任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立；②存在复数z，有z2=|z|2成立；③若y=sin(x+π3)是奇函数且最小正周期为2π；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是真命题．其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为()A. 2B. −2C. 2或−2D. ±2或03.若集合A={x|x2≤4}，B={x|x≥0}.则A∩B=()A. {x|0≤x≤2}B. {x|x≥−2}C. {0,1，2}D. {1,2}4.设随机变量X服从B(6,12)，则P(X=3)的值是()A. 316B. 516C. 38D. 585.有3个学习兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. 34B. 23C. 12D. 136.已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log m(ab)<1，则m的取值范围是()A. m>1B. 1<m<8C. m>8D. 0<m<1或m>87.若函数f(x)=sin(ωx+π3)的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是()A. 12B. 1C. 2D. 38.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，则a⃗=2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 与b⃗ =−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ 的夹角的正弦值是()A. √32B. −12C. 12D. −√329.已知函数f(x)=|lgx|，若f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则b所在区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)10.过双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，线段OP的垂直平分线交y轴于点Q(其中O为坐标原点).若△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511.某四面体的三视图均为直角三角形，如图，则该四面体的表面积为()A. 72+24√2B. 96+24√2C. 126D. 6412.已知等差数列{a n}的前9项的和为27，则2a2+a8=()A. 16B. 2C. 64D. 128二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对任何有限集S，记p(S)为S的子集个数．设M={1,2，3，4}，则对所有满足A⊆B⊆M的有序集合对(A,B)，p(A)p(B)的和为______．14.若x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+y≤0y≥0则z=2x−y的最小值为______15.在平面直角坐标系中，动点P满足到x轴的距离与到原点O的距离之和等于2.记动点P的轨迹为曲线C，下面对于曲线C的描述正确的是______.(把所有正确的命题的序号填在横线上)①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③若点P(x,y)在曲线C上，则|y|≤1；④若点P(x,y)在曲线C上，则1≤|PO|≤2．16.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数 i x10152025303540件数 i y471215202327其中 i=1，2，3，4，5，6，7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程；(结果四舍五入后保留到小数点后两位)(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)(参考公式：)参考数据：18.设A，B，C为△ABC的三个内角，向量m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC．(1)求角A的大小；(2)求sinB+sinC的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E为PC中点(Ⅰ)求证：平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)求证：BE//平面PAD(Ⅲ)假定PA=AD=CD，求二面角E−BD−C的正切值．20.在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到两个定点F1(−√2,0)，F2(√2,0)的距离的和为定值4．(1)求点P运动所成轨迹C的方程；(2)设O为坐标原点，若点A在轨迹C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．21. 已知函数f(x)=x 3+2x −sinx(x ∈R)．(Ⅰ)证明：函数f(x)是R 上单调递增函数； (Ⅱ)解关于x 的不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0．22. 在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数)． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)={2−3x ,x ≥012x 2+x +1,x <0．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)若函数ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点，求实数a 的取值范围；(3)若2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]，b ∈[−2,2]恒成立，求实数t 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，则任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立，故①正确；②当复数z为实数时，则必存在复数z，有z2=|z|2成立，故②正确；③由于sin(−x+π3)=−sin(x−π3)≠−sin(x+π3)，故y=sin(x+π3)不是奇函数，故③不正确；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是假命题，故④不正确，故选：B．①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，即可判断①正确；②当复数z为实数时，有z2=|z|2成立，即可判断②正确；③由于f(−x)=f(x)知③不正确；④由复合命题的真假判断④不正确．本题通过命题的判定考查了平面向量，复数，三角函数的性质，复合命题的真假判断等知识，是综合题．2.答案：C解析：解：z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，所以|z1|2=|z2|2，根据复数模的计算公式得出a2+1=22+(−1)2=5，整理a2=4，所以a=2或−2故选C根据复数模的计算公式|z|=√a2+b2，得出关于a的方程并解出即可．本题考查复数模的计算公式及应用．属于基础题．3.答案：A解析：解：集合A中的x2≤4解得：−2≤x≤2，则{x|−2≤x≤2}集合B={x|x≥0}，则A ∩B ={x|0≤x ≤2}， 故选：A ．先求出集合A 中的一元二次不等式的解集，然后求出公共解集即为两集合的交集． 本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．4.答案：B解析：解：∵随机变量X 服从(6,12)，∴P(X =3)=C 63(12)3(12)3=2026=516故选：B ．根据随机变量符合二项分布，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于3时的值． 本题考查二项分布，本题解题的关键是写出变量对应的概率的表示式，本题是一个基础题，若出现一定是一个送分题目．5.答案：D解析：解：总的可能性为3×3=9种， 两位同学参加同一个兴趣小组的情况为3种， ∴所求概率P =39=13， 故选：D ．由题意可得总的可能性为9种，符合题意的有3种，由概率公式可得． 本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．6.答案：C解析：解：∵a ，b ，a +b 成等差数列， ∴2b =2a +b ，即b =2a.① ∵a ，b ，ab 成等比数列，∴b 2=a 2b ，即b =a 2(a ≠0,b ≠0).② 由①②得a =2，b =4． ∵0<logm 8<1， ∴m >1．∵logm8<1，即logm8<logm m∴m>8故选C由已知可得b=2a，b2=a2b，联立可求a，b，代入已知不等式即可求解m的范围本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解，属于知识的简单应用．7.答案：D解析：解：根据函数的平移法则可得，把已知函数的图象向右平移π3个单位的函数y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称则有sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得，ω=6k+3，k∈Z，故当k=0时ω的最小值为：3．故选D．先根据函数的平移法则求出把已知函数的图象向右平移π3个单位所得的函数，然后由已知y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称可得sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得ω，进而求最小值三角函数的左右平移一定要注意x上的变化量是解题中容易出错的地方，要引起注意，而函数的图象变换也是函数的重要知识，要熟练掌握．8.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积，向量的模以及向量的夹角，属于基础题．先求得a⃗⋅b⃗ 以及|a⃗|、|b⃗ |，再根据向量的夹角公式求得a⃗,b⃗ 的夹角的余弦值，即可求得结果．解：∵e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，∴|e1⃗⃗⃗ |=|e2⃗⃗⃗ |=1，e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12．∴a⃗⋅b⃗ =(2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )·(−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )=−6e1⃗⃗⃗ 2+2e2⃗⃗⃗ 2+e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =−6+2+12=−72．|a⃗|=√4e1⃗⃗⃗ 2+e2⃗⃗⃗ 2+4e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =√4+1+2=√7，|b ⃗ |=√9e 1⃗⃗⃗ 2+4e 2⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =√9+4−6=√7， 设a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ | |b⃗ |=−72√7×√7=−12，∴sinθ=√1−cos 2θ=√32． 故选：A ．9.答案：D解析：解：画出函数f(x)=|lgx|的图象， ①设a+b 2≥1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =2lga+b 2，ab =1，可得a =1b ， 则b =(1b +b2)2，化为：f(b)=b 4−4b 3+2b 2+1=0，(b >1)． f′(b)=4b(b 2−3b +1)=4b(b −3+√52)(b −3−√52)，可知：当b ∈(1,3+√52)时，f′(b)<0，f(b)的单调递减；当b >3+√52时，f′(b)>0，f(b)的单调递增．由f(1)=0，可知：f(3+√52)<0，而f(3)=−8<0，f(4)=33>0，∴此时存在唯一零点b ∈(3,4)． ②设0<a+b 2<1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =−2lg a+b 2，∴ab =1，1b =(a+b 2)2， 化为：f(b)=b 4+2b 2−4b +1=0，(2>b >1)． f′(b)=2(2b 3+b −2)>0，可知：当b ∈(1,2)时，函数f(b)的单调递增． 由f(1)=0，f(b)>0，此时函数f(b)不存在零点． 综上可得：b 所在区间为(3,4)．画出函数f(x)=|lgx|的图象，①设a+b2≥1，由f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则−lga=lgb=2lg a+b2，可得b=(1b+b2)2，化为：f(b)=b4−4b3+2b2+1=0，(b>1).利用导数研究其单调性即可得出；②设0<a+b2<1，同理可得．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10.答案：B解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=bax，右焦点F(c,0)，由题意可得直线PF的方程为y=−ab(x−c)，联立渐近线方程y=ba x，可得P(a2c,abc)，可得OP的垂直平分线方程为y−ab2c =−ab(x−a22c)，令x=0，可得y=ac2b ，即Q(0,ac2b)，又|PF|=√a2+b2=b，|OP|=√|OF|2−|PF|2=√c2−b2=a，由△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，可得12c⋅abc=4⋅12⋅ac2b⋅a2c，即有b2=2a2，可得c2=a2+b2=3a2，e=ca=√3，故选：B．求出双曲线的渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得PF的方程，联立渐近线方程，解得交点P的坐标，运用中点坐标公式可得OP的垂直平分线方程，可得Q的坐标，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，以及三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为8，底面为直角三角形，直角边长分别为6、8，如图：SB=8√2，BC⊥SB，AC=10，SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC∴几何体的表面积S=12×8×8+12×8×6+12×10×8+12×8√2×6=96+24√2．故选：B．几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图判断各面的形状，根据三视图的数据求相关几何量的数据，把数据代入三角形面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．12.答案：C解析：由本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属于基础题．等差数列的求和公式和性质可得结论．解：∵等差数列{a n}的前9项的和为S9=27，∴S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27，解得a2+a8=6，∴2a2+a8=26=64故选：C13.答案：2401解析：解：当B为n(0≤n≤4)元集时，则p(B)=2n，且B集合的个数为C4n，又A⊆B则①A为n元集时，则p(A)=2n且A的个数为C n n②A为n−1元集时，则p(A)=2n−1且A的个数为C n n−1以此类推③A 为⌀时，p (A)=20且A 的个数为C n0 则p (A)P (B)=C 4n 2n (C n 020+C n 121+⋯+C n n 2n ) =C 4n 2n (1+2)n=C 4n 6n当n 依次取0，1，2，3，4时p (A)p (B)的和为C 4060+C 4161+⋯+C 4464=2041，故答案为：2401．先由B 为n(0≤n ≤4)元集时，则p (B)=2n ，且B 集合的个数为C 4n ，然后在这种情况下分别讨论集合A 的个数与集合A 的子集个数，推导出通项公式，再将n =0，1，2，3，4代入计算即可． 本题考查了集合间的关系，同时考查了二项式定理，知识间交汇较好．14.答案：−2解析：解：作出x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y ≤0y ≥0对应的平面区域(阴影部分)由z =2x −y ，得y =2x −z ，平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 经过点A时，直线y =2x −z 的截距最大，此时z 最小．由{y =0x −y +1=0， 解得A(−1,0)，此时z 的最小值为z =2x −y =−2，故答案为：−2．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.答案：①③④解析：解：设P(x,y)，由动点P 满足到x 轴的距离与到原点O 的距离之和等于2，可得|y|+√x 2+y 2=2，可得x 2+y 2=(2−|y|)2，化为x2+4|y|=4，将上式中的x换为−x，y换为−y，方程不变，可得曲线C关于原点对称，故①正确；由于将x换为y，y换为x，方程变为y2+4|x|=4和原方程不同，故②错误；若点P(x,y)在曲线C上，可得|y|≤1，故③正确；若点P(x,y)在曲线C上，可得|PO|2=x2+y2=4−4|y|+y2=(|y|−2)2，由0≤|y|≤1可得−2≤|y|−2≤−1，则1≤|PO|≤2，故④正确．故答案为：①③④．设P(x,y)，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，列方程化简方程可得曲线C的方程，再将x换为−x，y换为−y，可判断①；将x换为y，y换为x，可判断②；由x2≥0，即可判断③；运用两点的距离公式和0≤|y|≤1，结合二次函数的值域求法，可判断④．本题考查轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查曲线的性质，注意运用对称结论和二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．16.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100．17.答案：，，．解析：(1)根据所给的这一组数据，得到7个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到散点图，从散点图可以看出，这两个两之间是正相关．(2)根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．(3)利用上一问做出的线性回归方程，把x的值代入方程，预报出对应的y的值．18.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC，∴(sinB+sinC)2−sin2A=sinBsinC，∴sin2B+sin2C−sin2A=−sinBsinC由正弦定理可得b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3；(2)由(1)知，B+C=π3，∴sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，∵0<B<π3，∴π3<B+π3<2π3，∴√32<sin(B+π3)≤1，∴sinB+sinC的取值范围是(√32,1]．解析：(1)利用向量的模长公式，结合正弦定理、余弦定理，即可(1)求角A的大小；(2)由(1)知，B+C=π3，故sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，即可求sinB+sinC的取值范围．本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简与求值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD，∵DC⊂面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)证明：取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，∴在△PDC中：EF=//12DC，∴EF=//AB，∴四边形ABEF为平行四边形，即BE//AF，∵AF⊂面PAD且BE⊄面PAD，∴BE//平面PAD．(Ⅲ)解：连接AC，取AC中点O，连接EO．在△PAC中：EO=//12PA，∴EO⊥面ABC，得EO⊥BD，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．EO∩OG=O，∴BD⊥面EGO，∴BD⊥EG，∵BD为平面EBD与平面CBD的交线，EG⊂平面EBD，OG⊂平面CBD，∴∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′．∴OG=12B′G′=12BB′⋅sin∠B′BG′=12BB′⋅sin∠ABD=12a⋅ADBD=12a√(2a)2+a2=√5在△EOG中：tan∠EGO=EOOG=a1√5a=√5，故二面角E−BD−C的平面角的正切值为√5．解析：(Ⅰ)证明PA⊥DC，DC⊥AD，然后证明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD；(Ⅱ)取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，证明四边形ABEF为平行四边形，推出BE//AF，然后证明BE//平面PAD；(Ⅲ)连接AC，取AC中点O，连接EO.过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG.则∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，连DO并延长交AB于B′，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E−BD−C的平面角的正切值．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：(1)∵动点P 到两点F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)的距离之和为4，∴由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)为焦点，以4为长轴的椭圆， ∵c =√2，a =2，∴b =√2，∴C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0．∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即tx 0+2y 0=0，解得t =−2y 0x 0． 当x 0=t 时，y 0=−t 22，代入椭圆C 的方程得t =±√2，故直线AB 的方程为x =±√2，圆心O 到直线AB 的距离d =√2．此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t)，即(y 0−2)x −(x 0−t)y +2x 0−ty 0=0．圆心O 到直线AB 的距离d =000202． 又x 02+2y 02=4，t =−2y 0x 0． 故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4y 0x 02+4=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2． 此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．综上所述，直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．解析：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，属于中档题．(1)由椭圆的离心率公式及椭圆的性质，根据已知离心率与四个顶点组成菱形面积求出a 2与b 2的值，即可确定出椭圆C 的方程；(2)设出点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0，由OA ⊥OB 得到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，用坐标表示后把t 用含有A 点的坐标表示，然后分A ，B 的横坐标相等和不相等写出直线AB 的方程，然后由圆x 2+y 2=2的圆心到AB 的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．21.答案：证明：(I)∵f(x)=x 3+2x −sinx ，∴f′(x)=3x 2+2−cosx =3x 2+(2−cosx)．∵3x 2≥0，2−cosx >0恒成立，故f′(x)>0，故函数f(x)是R 上单调递增函数；(Ⅱ)∵f(−x)=(−x)3+2(−x)−sin(−x)=−(x 3+2x −sinx)=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数．原不等式可化为f(x 2−a)<−f(x −ax)=f(ax −x)，由(1)可得x 2−a <ax −x ，即x 2+(1−a)x −a <0，即(x +1)(x −a)<0，当a <−1时，原不等式的解集为(a,−1)；当a =−1时，原不等式的解集为⌀；当a >−1时，原不等式的解集为(−1,a)．解析：(I)根据已知函数的解析式，求出函数的导函数，根据二次函数和余弦函数的性质，分析导函数的符号，即可判断出函数的单调性；(II)根据函数奇偶性的定义及函数解析式，可判断出函数为奇函数，结合(I)中函数的单调性和定义域，可将不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0化为(x +1)(x −a)<0，分别讨论对应方程两根a 与−1的大小，即可得到不同情况下原不等式的解集．本题考查的知识点是函数的单调性与奇偶性的证明及应用，熟练掌握导数法证明单调性及定义法证明奇偶性是解答的关键．22.答案：解(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数).转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2． (Ⅱ)线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．所以圆心(0,0)到直线x −y +1=0的距离d =√2=√22，所以|AB|=2√(√2)2−(√22)2=√6．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)作出函数f(x)的图象，如图所示，结合图象可知，f(x)的单调递增区间(−1,0)，单调递减区间(−∞,−1)，[0,+∞)，(2)由ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点可得f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象可知，当12<12a <1即1<a <2时，满足题意，(3)由(1)的图象可知，当x ∈[−2,2]时，2f(x)∈[−14,2]，因为2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]恒成立，所以2≤2t 2−bt +2对任意b ∈[−2,2]恒成立，即2t 2−bt ≥0对任意b ∈[−2,2]恒成立，令F(b)=2t 2−bt ，b ∈[−2,2]，则{F(−2)=2t +2t 2≥0F(2)=2t 2−2t ≥0， 解可得，t ≥1或t ≤−1或t =0，故实数t 的取值范围{t|t ≥1或t ≤−1或t =0}．解析：(1)先作出函数的图象，然后结合函数的图象即可求解函数单调区间，(2)由题意可转化为f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象即可求解，(3)结合函数的图象可Ian 求出2f(x)的最大值，然后变换主元，结合一次函数的性质可求．本题主要考查了利用函数的图象求解函数的单调区间，及函数的零点个数的求解，及不等式的恒成立与最值求解的相互转化，体现了数形结合及转化思想的应用．。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1} B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2B ．5C ．2D ．53．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 56．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩…在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．211．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，()f x =13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED ∆，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= ．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 ．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B = ．16．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．)19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．20．（12分）设直线:AB y =与直线:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅【解答】解：Q 集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}， {0A B ∴=I ，1}．故选：B ． 2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2 B ．5 C ．2 D ．5【解答】解：22(2)12i i iz i i i++===-，则22||1(2)5z =+-=， 故选：B ．3．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【解答】解：Q ||1,||2,3a b a b ===r rr r g， ∴3cos ,a b <>=r r ，且0,a b π<>rr 剟，∴向量,a b r r 的夹角为6π．故选：A ．4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：当12a =时，12(),()f x x g x log x ==，选项B 符合． 故选：B ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 5【解答】解：双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0)F ，F 到渐近线520x y +=的距离35554FA ==+则222352AO OF FA =--=． 则1152522OAF S FA OA ∆==g 故选：D ．6．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ．7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-【解答】解：模拟程序的运行，可得0N =，0T =，1i =满足条件100i <，执行循环体，1N =，2T =，3i = 满足条件100i <，执行循环体，13N =+，24T =+，5i = 满足条件100i <，执行循环体，135N =++，246T =++，7i =⋯观察规律可知，当99i =时，满足条件100i <，执行循环体，13599N =+++⋯+，246100T =+++⋯+，101i = 此时，不满足条件100i <，退出循环，可得(12)(34)(56)(99100)50S N T =-=-+-+-+⋯-=-．故选：B ．8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数， 所以2πϕ=，()cos f x x ω=；又因为该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，所以43T π=，423T ππω==，32ω=； 则()f x 在[0，2)π内的零点个数为3个． 故选：C ．9．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]【解答】解：要使得函数2,01(),1aa x x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞上为增函数，则满足120a a >⎧⎨-⎩„，故12a <„；则a 的取值范围为(1，2]． 故选：C ．10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．2【解答】解：如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+， 两三棱锥高的和的最大值为2SA =． 要使三棱锥S ABC -的体积最大，则OBC ∆面积最大为111sin 111222OB OC BOC ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=． 故选：A ．11．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【解答】解：()f x Q 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，(1)(1)(1)f x f x f x ∴+=-=--，则(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，则函数的周期是4，[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+()f x 在[1-，1]上为增函数，1333333(log 54)(log 54)(3log 2)(3log 24)(log 21)(1log 2)f f f f f f =-=-+=-+-=--=-，20191111()(10081)(1)(1)()22222f f f f f =++=+=-= f （3）(34)(1)f f =-=-，3111log 22-<<-Q ， 31(1)()(1log 2)2f f f ∴-<<-，即c b a <<， 故选：C ．12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED∆的面积为2，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设2(4b B ，)b ，(D D x ，0)，由题意可得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，所以可得(1,)C b -，由12BE EF =u u u r u u u r ，可得2(4E b x -，1)(12E E y b x -=-，)E y -，可得226E b x +=，23E b y =，即22(6b E +，2)3b ，因为C ，E ，D 三点共线，可得CDCE k k =，即2232116Db bb b x -=+----， 可得232D b x =+，因为BED ∆的面积为22，所以3213(1)22BFD BED D S S x b ∆∆===-g ，即34620b b +-=，可得2b =， 所以2(2)34D x =+=，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= 45- ．【解答】解：tan 3α=-Q ，2222221194cos21195cos sin tan cos sin tan ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 9 ．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(3,0)A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9． 故答案为：9．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B =45． 【解答】解：因为4sin 5sin c B b A =， 由正弦定理可得，45bc ba =即45c a =， 因为2b c a +=， 所以34b a =，54c a =，由余弦定理可得，22222225941616cos 5254a a a a c bB aca α+-+-===g g ．故答案为：4516．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 21(e -，0) ． 【解答】解：()2x f x xe ax =-+在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则()(1)0x f x x e a '=+-=在(,0)-∞的区间内有两个解，即(1)x a x e =+在(,0)-∞的区间内有两个解，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，易得，当(,2)x ∈-∞-，()0g x '<，函数单调递减，当(2,0)x ∈-，()0g x '>，函数单调递增， 又x →-∞时，()0g x <，且21(2)g e-=-， 故210a e -<<， 故答案为：21(e -，0) 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ． 【解答】解：（1）证明：11323n n n a a ++=+⨯， 可得11233n nn na a ++=+， 则12n nb b +=+，即12n n b b +-=，可得数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； 则12(1)21n b n n =+-=-，即213nna n =-， 可得(21)3n n a n =-g，*n N ∈； （2）2113521(121)2n S n n n n =+++⋯+-=+-=，2(1)(1)n n n n c S n =-=-g g ，22222222801234567980(21)(21)(43)(43)(65)(65)(8079)(8079)T =-+-+-++⋯-+=-++-++-++⋯+-+1123456798080(180)32402=++++++⋯++=⨯⨯+=．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．)【解答】解：（1）由频率分布直方图知，(20.10.20.1)21a a a +++++⨯=，解得0.025a =，计算200.05220.1240.2260.4280.2300.0525.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 估计这批树苗的平均高度为25.5cm ；（2）优质树苗有1200.2530⨯=，根据题意填写列联表，A 试验区B 试验区合计 优质树苗 10 20 30 非优质树苗 60 30 90 合计7050120计算观测值2120(10306020)7210.2910.828309070507K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．【解答】（1）证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ，DA DP =Q ，BA BP =， PA DM ∴⊥，PA BM ⊥，DM BM M =Q I ，PA ∴⊥平面DMB ．又BD ⊂Q 平面DMB ，PA BD ∴⊥；（2）解：由（1）知，PA ⊥平面BDM ，在等边三角形PAB 中，由边长为4，得16423BM =-= 在等腰三角形ADP 中，由22AD DP ==2AM =，得2DM =，又4BD =，222DM BM DB ∴+=，得DM BM ⊥．∴1223232DBM S ∆=⨯⨯=． 则118323433P ABD BDM V S PA -∆=⨯⨯=⨯⨯=．∴1632P ABCD P ABD V V --==．20．（12分）设直线6:AB y =与直线6:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD 6 （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．【解答】解：（1）由22612y x y m m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得223214x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴6||||m x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由椭圆的对称性可知，四边形ACBD 64||||6x y m ==g，1m ∴=， 故椭圆1C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，点P 为椭圆1C 的左或右顶点，其坐标为())2,02,0-或，不妨取左顶点，即(2,0)P -，此时||2OP =，且直线l 与x 轴垂直，将2x =-代入22142x y +=得，21y =，||2MN ∴=， 所以||22MN OP ==②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，点P 的坐标为0(x ，0)y ，M 、N 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=， Q 直线l 与椭圆1C 相切，∴△2222164(12)(22)0k m k m =-+-=，化简整理得，2221m k =+，由韦达定理知，2220222241212m k x k k -==++， ∴222222200022214||2212x x k OP x y x k-++=+=+==+， 联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4240k x kmx m +++-=，由韦达定理知，12221224122412km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12|||MN x x =-===，∴2222222218||1112()888314||144112k MN k k k OP k k k +++===++-++g g g „，当且仅当20k =时，等号成立，∴||||MN OP ∈ 综上所述，||MNOP的取值范围为(0,． 21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >． 【解答】解：（1）当0x =时，(0)2f =，当0x ≠时，()20xf x e ax =-=，即2x e a x=，设2()xe g x x=，22(1)()x e x g x x -∴'=， 当1x <且0x ≠时，()0g x '<，即()g x 在(,0)-∞，(0,1)上单调递减， 当1x >时，()0g x '>，即()g x 在(1,)+∞上单调递递增， 当1x =时，()g x g =极小值（1）2e =，当x →-∞时，()0g x →，当x →+∞时，()g x →+∞， 分别画出()y f x =与y a =的图象，如图所示，结合图象可得，当2a e =时，()y f x =与y a =的图象只有一个交点，即函数()f x 只有一个零点，当02a e <<时，()y f x =与y a =的图象没有只有交点，即函数()f x 没有零点， 当2a e >时，()f x 与y a =的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点． （2）证明：当0x =时，(0)2(0)4f g =>=-，此时a 取任何数都成立，当0x ≠时，要证当0x >时，()()f x g x >，只要证2224xe ax x ->-，即证242x e a x x x<-+，4a Q …，∴只要证2424x e x x x-+>，0x >，只要证222440x e x x -+->，即证2220x e x x -+-> 设2()22x h x e x x =-+-，0x >， ()22x h x e x ∴'=--，令()22x x e x ϕ=--，0x >， ()2x x e ϕ∴'=-，∴当2x ln >时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ在(2,)ln +∞上单调递增，当02x ln <<时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ在(0,2)ln 上单调递减， ()(2)220min x ln ln ϕϕ∴==-<，()(0)10x g ϕ<=-<Q ，ϕ（1）40e =-<，ϕ（2）260e =->，∴存在0(1,2)x ∈，使得0000()()220x h x x e x ϕ'==--=， ∴当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，0220000()()2240x min h x h x e x x x ∴==-+-=->，2220x e x x ∴-+->成立，即当0x >时，()()f x g x >，综上所述：4a „时，当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． 【解答】解：（1）直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），消去参数t 可得普通方程：x y m -=．曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．可得曲线C 的直角坐标方程：22222()()12x y x y +--=，∴曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为(22,0)-，故m =-C 的方程221124x y +=．（2）直线l的参数方程为x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t ''--=，则12||||||2FA FB t t ''==g ，12||||||FA FB t t ''+=-= 故2||||(||||)24||||||||FA FB FA FB FB FA FB FA ++=-=g ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．【解答】解：（1）1111()()|||||()|2222f x f x x x x x +-+=-+--+-=…，当且仅当1()02x x -„时等号成立，()f x Q 对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…，∴12m „，m ∴的取值范围为1(,]2-∞．（2）由（1）知，12m „，又m N ∈，0m ∴=． 要证22(sin )(cos 1)f f m αα-+„，即证22(sin )(cos 1)0f f αα-+„， 222211(sin )(cos 1)|sin ||cos |22f f αααα-+=--+Q2222212sin 2,sin 1112|sin |cos 1221,0sin 2ααααα⎧-⎪⎪=---=⎨⎪-<⎪⎩剟„，当21sin 12α剟时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-„； 当210sin 2α<„，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-， 综上，22(sin )(cos 1)0f f αα-+„，∴原命题成立．。

绝密★启用前黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三毕业班下学期第一次调研考试数学(文)试题(解析版)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B 的集合C 的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】【分析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1,共4种情况,所以选A 项.【点睛】考查集合并集运算,属于简单题.2.已知z 的共轭复数是z ,且12z z i =+-（i 为虚数单位）,则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】设(),z x yi x y R =+∈,整理12z z i =+-得到方程组120x y =++=⎪⎩,解方程组即可解决问题．【详解】设(),z x yi x y R =+∈, 因为12z z i =+-,()()1212x yi i x y i =-+-=+-+,所以120x y =++=⎪⎩,解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, 所以复数z 在复平面内对应的点为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,此点位于第四象限. 故选D【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识,考查了方程思想,属于基础题．3.若12log 3a =,312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,123c =,则（ ） A. a b c << B. a c b << C. b a c << D. b c a <<【答案】A【解析】【分析】根据对数函数、指数函数的性质即可判断. 【详解】解：由对数函数、指数函数的性质可知12log 30<,31021⎛⎫< ⎪⎭<⎝,1231>,则a b c <<成立．故选：A ．【点睛】本题考查对数函数、指数函数的性质的应用,属于基础题.4.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若22123nn n a a a -⋅⋅⋅=,则5a =（ ） A. 43B. 53C. 63D. 73 【答案】D【解析】。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）项是符合题目要求的SOAF6．（5 分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对 前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮， 7班肯定得第一名” ． 老师乙：“我觉得 14班比 15班强，14班名次会比 15 班靠前”．、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有1． 5 分）己知集合 A { x | x 1} ，3， 2， 1，0， 1} ，则A IB (2． 3． 4． A ． { 1，0， 5 分）设 z1} B ．{0， i，则 |z | (B ．5 分）己知向量 | a | 1 ， A ．6B ．|b| 5 分)函数 f (x) x a (x ⋯0) ，垂足为 A ， 1} 2，agb g (x) logy 1 的右焦点为5 O 为坐标原点，则C ．C ． { 1 ，1]D ．D ．53 ，则向量 a r 与向量 b 的夹角为 （C ．3D ．23x ，则 f （x ） 与 g （x ） 的图象可能为 （F ，过点 F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，A ．B ． 3 5C ． 2 55．（ 5 分）已知双曲线 x4老师“我觉得7 班能赢15最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你C．51 D．510，0 ) 为偶函数，且该函数离原点最近的11．(5 分)已知f (x) 为定义在R 上的奇函数，且满足f (1 x)A．1B．2C．3D．49．( 5分)己知函数 a x 2,0 f ( x)x, 1,在(0,) 为单调递增函数，则 a 的取值范围为( )A．(1, )log a x, x 1B．(1,2)C．(1，2]D．(0，2]一个对称中心为(3，0)，则f(x)在［0，2 )内的零点个数为( )10．( 5 分)已知三棱锥S ABC 的外接球为球O ，SA为球O的直径，且SA 2 ，若面SAC们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为A ．7班、14班、15班C．14班、15班、7 班7．(5 分)如图是一个算法流程图，输出的B．14 班、7 班、15班D．15 班、14 班、7 班S为( )A ．50B ．508．( 5 分)已知函数f ( x) sin( x )(面SAB ，则三棱锥S ABC 的体积最大值为(1 A．3 B．C．1 D．2f(1 x) ，已知x ［0 ，1］时，22019f(x) ln x 2 1，若 a f (log 1 54) ， b f (2019) ， c f (3)，则 a ， b ， c 的大小关系为 13 2()A ． a b cB ． b a cC ． c b aD ． c a b连接 CE 并延长交 x 轴于点 D ，已知 BED 的面积为 2 ，则 D 点的横坐标为 （（ ）2A ．3B ．4C ． 5D ． 6二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20分.13．（5 分）已知 tan3 ，则 cos22x 3 y 6⋯0,14．（5分）若变量 x ， y 满足约束条件 x y 3, 0, 则z 3x y 的最大值是 y 2, 0,4csinB 5bsin A ，则 cosB1）求证：数列 {b n } 是等差数列，并求数列 （b n ）的通项公式：2）数列{b n }的前n 项和为 S n ，设c n （ 1）n gS n ，求数列 （c n ）的前 80项和T 80 ． 18．（ 12分）为了解某品种一批树苗生长情况， 在该批树苗中随机抽取了容量为 120 的样本， 测量树苗高度 （单位： cm ） ，经统计， 其高度均在区间 ［19，31］内，将其按 ［19， 21），［21， 23） ， ［23 ， 25） ， ［25 ， 27），［27， 29），［29， 31］分成 6组，制成如图所示的频率分布直 方图．其中高度为 27cm 及以上的树苗为优质树苗． （1）求图中 a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表）；212．（5 分）己知抛物线 C :4x 的焦点为 F ，过点 F 作直线与抛物线交于 A 、 B 两点， B点在第一象限， 过点 B 作抛物线准线的垂线， uuur 1 uuur 垂足为 C ，点E 为BF 上一点，且BE EF ，215．（ 5 分）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 b c 2a ，16．（5 分）若函数 f （ x ） xe x ax 2（e 为自然对数的底数）在,0） 的区间内有两个极值点，则实数 a 的取值范围为三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17～ 21 题为必考题每个试题考生都必须作答 .第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：共 60 分 .17．（12分）已知数列 {a n }满足a 1 3，a n1 3a n 2 3n1（n N *），数列 {b n }满足b nan3n2A 试验区B 试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整， 并判断是否有 99.9%的把握认为优质树苗与 A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．2P(K 2⋯k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.828参考公式：2K 2 (a b)(c n(a d d )(a bc)c 2)(b d)，其中n a b c d ．)1）证明： AP BD :2）若 BD 4 ，求四棱锥 P ABCD 的体积．ABP 是等边三角形且ABCD 是平行四边形，边长是 4， DA DP 2 2 ．6 6 x2y220．(12分)设直线 AB:y66x与直线CD:y66x 分别与椭圆 C 1:2x m y m1(m 0)交于点 A ，B ，C ， D ，且四边形 ACBD 的面积为 6． (1)求椭圆 C 1 的方程；22(2)过椭圆 C 1上一点 P 作椭圆 C 1的切线 1，设直线 l 与椭圆 C 2: xy1相交于 M ，N 两42点， O 为坐标原点，求 | MN |的取值范围．OPx221．(12分)已知函数 f(x) 2e x ax(a 0)， g(x) 2x 2 4． 1)讨论函数 f (x) 的零点个数；2)设 a, 4 ，证明：当 x ⋯0时， f (x) g(x) ．22、23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题 计分 .[选修 4-4：极坐标与参数方程 ]轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2cos2 12 ．若曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上，且直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点．(1)求 m 的值并写出曲线 C 的直角坐标方程；| FA | | FB |(2)求的值．|FB | |FA|[ 选修 4-5：不等式选讲 ]1123．已知函数 f(x) |x | ，且对任意的 x ， f (x) f( x )⋯m ．(1)求 m 的取值范围；( 2)若 m N ，证明： f (sin 2 ) f (cos 2 a 1), m ．、选考题：共 10 分 .请考生在第 22．( 10分)已知直线 l 的参数方程为x y m t t (t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半2020 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的 .3，且 0剟 a r ,b r2向量 a r ,b r 的夹角为 ．6 故选： A ．1．（5 分）己知集合 A {x|x1}， B { A ．{ 1，0， 1} B ．｛0， 1} 【解答】 解：Q 集合A{x|x1} ， B {A IB {0 ，1} ．故选： B ．2i2．（5 分）设 z则 |z| ()A ． 2B ． 5【解答】 解： z 2 ii(2 i )ii 21 2i ，则故选： B ．r r r r 3．（5 分）己知向量 |a | 1， |b | 2， a r gb A ． B ．64【解答】 解：Q|a r | 1,|b r | 2,a r gb r 3，3， 2， 1，0， 1} ，则 A I B ()C ．{ 1，1]D ．3， 2， 1，0， 1}，C ． 2D ． 5|z| 12 （ 2）2 5 ，3 ，则向量 a r 与向量 b 的夹角为 （ ）334．( 5 分)函数 f (x) x a (x ⋯0) ，g (x) log x ，则 f （x ） 与 g （x ） 的图象可能为 （A．解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，f (x) x,g(x) log1x ，选项 B 符合．2故选： B ．225．（ 5 分）已知双曲线 x y1的右焦点为 F ，过点 F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ， 45O 为坐标原点，则SOAF ()A ． 3B ． 35C ． 2 5D ． 52 2解答】 解：双曲线 x 4 y 5 1的右焦点为 F （3,0） ， F 到渐近线 5x 2y 0的距离则 AO OF 2 FA 232 5 2 ．则S OAF 1 FAgOA 1 5 2 5，OAF2 2故选： D ．6．（5 分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7 班男生比较壮， 7 班肯定得第一名” ．老师乙： “我觉得 14班比 15班强， 14班名次会比 15 班靠前”． 老师丙：“我觉得 7 班能赢 15班”． 最后老师丁去观看完了比赛，回来后说： “确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你 们三人中只有一人预测准确” ．那么，获得一、二、三名的班级依次为 （ ）14班名次比 15 班靠后， 7班没能赢 15 班，故甲预测错误；FA35545．A ．7班、 14班、 15班C ．14班、15班、7 班B ．14 班、7 班、15班 D ．15 班、14 班、7 班2解答】 解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7 班不是第一名， 14 班名次比 15 班靠前， 7 班没能赢 15 班， 则获得一、二、三名的班级依次为 14 班， 15班， 7 班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误， 7 班不是第一名， 14 班名次比 15 班靠后， 7 班能赢 15 班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为 14班， 15班，7班． 故选： C ． 7．（5 分）如图是一个算法流程图，输出的 S 为 ( ) 解答】 解：模拟程序的运行，可得 C ． 51 D ． 51N 0， T 0 ， i 1 满足条件 i 100， 执行循环体， N 满足条件 i 100， 执行循环体， N 满足条件 i 100， 执行循环体， N 观察规律可知，当i 99 时，满足条件 i 100， 执行循环体， N 此时， 不 满足 条 SNT (1 2) (3 4) (56) 故选： B ．1， T 2，i 31 3， T2 4， i51 3 5，T2 4 6 ， i71 3 5 99，T2 46 100， 件i 100退 出循环，(99 100) 50．101 可得8．( 5分)已知函数 f(x) sin( x )( 0， 0 ) 为偶函数，且该函数离原点最近的解答】 解：如图，一个对称中心为 ( ， 0)，则 f(x)在[0， 2 )内的零点个数为 ( ) 3a1 则满足 ，故 1 a, 2 ； a 2, 0则 a 的取值范围为 (1， 2] ． 故选： C ．10．(5分)已知三棱锥 S ABC 的外接球为球 O ，SA 为球O 的直径，且SA 2，若面 SAC 面SAB ，则三棱锥 S ABC 的体积最大值为 ( )12 A ．B ．C ． 1D ． 233A ．1B ．2C ．3D ．解答】 解：由函数 f (x) sin( x )( 0，0 ) 为偶函数，所以 2， f(x)cos x ；又因为该函数离原点最近的一个对称中心为 (3 ，0)， 所以 T ， T434 2，3，3； 2；9．( 5分)己知函数 f ( x)a x 2,0 log a x, x 1x, 1x, 1在 (0, )为单调递增函数，则a 的取值范围为 (A ． (1, )B ． (1,2)C ．(1， 2]D ．(0， 2] 解答】 解：要使得函数 f (x)ax log a x,2,x, 1 11在 (0, )上为增函数，) 内的零点个数为 3 个． 则 f ( x) 在 [0 ， 2连接 OC ， OB ，则 V S ABCOBC OBC两三棱锥高的和的最大值为SA 2 ． 要使 三 棱 锥 S ABC 的 体 积 最 大 ， 则 OBC 面 积 最 大 为1OBOC 1sin BOC 1 1 11222三棱锥 S1ABC 的体积最大值为 11 2 1．3 23．()A ． a b c解答】 解：Q f (x)为定义在 R 上的奇函数，且满足 f (1 x) f (1 x) f ( x 1) ，则 f (x 2)f (x) ，即 f ( x 4) f ( x) ，则函数的周期是 4，x [0 ， 1]时， f (x) ln x 2 1 ，为增函数，则 f (x) 在 [ 1， 1]上为增函数，f (log 1 54) f ( log 3 354) f (3 log 3 2) f (3 log 3 2 4)f (log 3 2 1) f(1 log 3 2) ，2019f (1008 11111f ( 20219) 12) f (1 12) f(1 21)f(12)f ( 3)f (3 4)f ( 1)，Q1121 log 3 2，f ( 1) 1f ( 2) f (1log 3 2)，即 c b a ，故选： C ．11．(5 分)已知 f (x) 为定义在 R 上的奇函数， 且满足 f(1 x) f (1 x) ，已知 x [0 ，1]时，f ( x) ln x 21 ，若 a f (log 1 54) ，bf ( 20219) ，cf 3)，则 a ，b ，c 的大小关系为C ． c b af (1 x) f (1 x) ， 故选： A ．212．（5分）己知抛物线C:y2 4x的焦点为F，过点F作直线与抛物线交于A、B两点，点在第一象限，过点B作抛物线准线的垂线，垂足为 C ，点E为BF上一点，且u B u E urBED 的面积为2，则D 点的横坐标为（（2连接CE 并延长交x 轴于点D，已知A．3 B．4 C．5 D．6解答】解：设B( b4，4 b)， D (x D ，0），由题意可得焦点F（1,0），准线方程为1，以可得C( 1,b) ，uuur 由BEb2 4可得x Euuur1 EF ，可得(x E222 b2 2b ，y E ，即631y E b) (1 x E ，y E )2222，b) ，3E(26b因为 C ，E，D三点共线，可得kCD kCE ，即b1 x Db2b3，2 b2，6 可得x D3 b22，2因为BED 的面积为2，所以2 S BFD 3S BED3 2 1 (x D2 2D1)gb，即b34b 6 2 0 ，可得 b 2 ，4，20分.13．（ 5 分）已知tan3 ，则cos2所以x D 3 (22)解答】解：Q tan 3，5cos22 cos 2 sin 1 tan 2 19 194．52cos2sin1 tan 2故答案为：4．5．2x 3 y 6⋯0,14．（5 分）若变量x ， y 满足约束条件 x y 3, 0, 则 z 3x y 的最大值是 9y2, 0,2x 3 y 6⋯0,解答】 解：由约束条件 x y 3, 0, 作出可行域如图： y 2, 0,y 3x z 过 A(3,0) 时，故答案为： 9．15．（5 分）在 ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 b c 2a ，4csinB 5bsin A ，则 cosB解答】 解：因为 4csinB 5bsin A ， 由正弦定理可得， 4bc 5ba 即 4c 5a ， 因为 b c 2a ， 所以 b 3 a ，c 5 a，44由余弦定理可得， cosBa2 c 2b 2225 2 9 2 a a a 16 162ac5 gag 54直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 9 ．当直线x16．(5 分)若函数 f (x) xe x ax 2( e 为自然对数的底数)在 ( ,0)的区间内有两个极值点，则实数 a 的取值范围为 ( 12 ， 0)e 2【解答】解： f ( x) xe xax2在 ( ,0) 的区间内有两个极值点，则f (x) (x 1)e x a 0在 ( ,0) 的区间内有两个解，即 a ( x1)e x 在(,0) 的区间内有两个解，令 g( x) (x 1)e x ，则 g ( x) (x 2)e x ，易得，当 x ( , 2) ， g (x) 0 ，函数单调递减， 当 x ( 2,0) ， g ( x) 0 ，函数单调递增，又x时， g(x) 0 ，且1 g( 2)2 ，e1故2 a 0 ，e 2故答案为： ( 12 ， 0)e 2三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17～21题为必考题每 个试题考生都必须作答 .第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 .(一)必考题：共 60 分.17．(12分)已知数列 {a n }满足a 13，a n13a n2 3n1(nN *)，数列 {b n }满足b na n n ．n 1 n n3n(1)求证：数列 {b n } 是等差数列，并求数列 (b n )的通项公式：2)数列 {b n }的前 n 项和为 S n ，设 c n ( 1)n gS n ，求数列 (c n )的前 80项和 T 80．解答】 解：( 1)证明： a n 1 3a n 2 3n 1，则 b n 1 b n 2 ，即 b n 1 b n 2 ， 可得数列 {b n } 是首项为 1，公差为 2的等差数列；a则 b n 1 2( n 1) 2n 1 ，即 n n 2n 1 ，3n可得 a n (2n 1)g3n ， n N* ；12 (2) S n 1 3 5 2n 1 n(1 2n 1) n 2 ， n 2n n 2c n ( 1)n gS n ( 1)n gn 2 ，可得an 13nan3n2，79)第15页（共 20页）222222 2 2T 80122232425262792 802 (2 1)(2 1) (4 3)(4 3) (6 5)(6 5) (80 79)(8011 2 3 4 5 6 79 80 2 80 （1 80） 3240．18．（ 12分）为了解某品种一批树苗生长情况， 在该批树苗中随机抽取了容量为 120 的样本，测量树苗高度 （单位： cm ） ，经统计， 其高度均在区间 ［19，31］内，将其按 ［19， 21），［21， 23） ， ［23 ， 25） ， ［25 ， 27），［27， 29），［29， 31］分成 6组，制成如图所示的频率分布直 方图．其中高度为 27cm 及以上的树苗为优质树苗．1）求图中 a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；2）已知所抽取的这 120 棵树苗来自于 A ， B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整， 并判断是否有 99.9%的把握认为优质树苗与 A ，B 两个试验区有关系， 并说明理由．2P(K 2⋯k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.8282a 0.1 0.2 0.1 a) 2 1，解得 a 0.025，面的临界值表仅供参考：参考公式：2n(ad bc)2，其中 n a b c d ．)(a b)(c d)(a c)(b d )K 2又 BD 4 ， DM 2 BM 2 DB 2，得 DM BM ．2， 计算 x 20 0.05 22 0.1 24 0.2 26 0.4 28 0.2 30 0.05 25.5 ， 估计这批树苗的平均高度为 25.5cm ；2计算观测值 K 2 120 (10 30 60 20) 72 10.29 10.828 ，30 90 70 50 7没有 99.9%的把握认为优质树苗与 A ， B 两个试验区有关系．19．（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形， ABP 是等边三角形且边长是 4， DA DP 2 2 ． （1）证明： AP BD :（2）若 BD 4 ，求四棱锥 P ABCD 的体积．解答】（1）证明：取 AP 中点 M ，连接 DM ，BM ，Q DA DP ， BA BP ，PA DM ， PA BM ，Q DM I BM M ， PA 平面 DMB又Q BD平面 DMB ，PA BD ；（2）解：由（ 1） 知， PA 平面 BDM在等边三角形 PAB 中，由边长为 4，得 BM16 4 2 3，在等腰三角形 ADP 中，由 AD DP 2 2，AM 2，得 DM 2，22x y 2S DBM 2 2 3 2 3．则 VP ABD SBDM1 8 3 PA234 33 16 3VP ABCD 2VP ABD6620．（12分）设直线 AB:y 6x 与直线 CD: y 6x 分别与椭圆 66 2C 1 : x2m2y1(m 0) 交 m于点 A ，B ，C ， D ，且四边形 ACBD 的面积为 6． 1）求椭圆 C 1 的方程；2）过椭圆 C 1 上一点 P 作椭圆 C 1的切线 1，设直线l 与椭圆2 C 2:x 4 2y1 相交于 M ，N 两 2点， O 为坐标原点，求 | MN | 的取值范围． OP解答】 解：（ 1）由6y6 x 6 2 ，解得 y 2 * * 1 m 2x 2m由椭圆的对称性可知，四边形3 m 2 1 m 4|x| |y|6m 2 m 2ACBD 为矩形， 且其面积4|x|g| y| 6m ， m 1，1．2）① 当直线 l 的斜率不存在时， 点 P 为椭圆C 1 的左或右顶点， 其坐标为 2,0 或 2,0 ， 不妨取左顶点，即 P （ 2,0） ， 此时 |OP|2 ，且直线 l 与 x 轴垂直，将 x 2 代入又 BD 4 ， DM 2 BM 2 DB 2，得 DM BM ．2，1得， y 2 1， |MN | 所以 |MN | 2 2 ； OP 2y kx m ，点 P 的坐标为 （x 0， y 0）， M 、N 的坐标2②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为分别为（x1，y1），（x2，y2），y 联立x22 kx m，得(11222k2 ) x2 4kmx 2m2 2 0 ，Q 直线l 与椭圆C1 相切，2216k2m2224(1 2k 2)(2 m22） 0 ，化简整理得，m222k21 ，由韦达定理知，2 x2|OP |2 2 x0 2 y0 2 x022m 22k22 x0224k21 2k2x02 2221 4k 2，2，1 2k 2y 联立x24 kx2y2(1 22k2)x 24kmx 2m 4 0，x1 x2由韦达定理知，x1x24km 1 2k 2 2m2 4 1 2k 2| MN | 1 k2 |x1 x2 | 2 8m2 16 32k 212k21 k2 g228(2 k2 1) 16 32k 21 2k22 2g 112k k21 2k2(| MN |)2 (|OP|)1 k2 g1 2k1 4k 21 2k 2k228g114k8g4131 k2, 8 ，当且仅当k20 时，等号成立，| MN ||OP |(0,2 2]综上所述，| MN |的取值范围为(0, 2 2] OP21．（12 分）已知函数 f （x） 2e x ax （a2 0)，g(x) 2x2 4．1）讨论函数f （x）的零点个数；2）设a, 4 ，证明：当x⋯0时，f( x) g(x)．解答】解：（1）当x 0时，f (0) 2，x 0 时， f ( x) 2e x ax 0 ，即 ax 2e x，x设g( x)x 2e x，x 0，时， g(x) 0 ，当 x 时， g( x)分别画出 y f (x) 与a 的图象，如图所示，2e 时， y f (x) 与 y a 的图象只有一个交点，即函数 f(x)只有一个 零点，2e 时， f (x) 与 y a 的图象有两个交点，即函数 f (x)有两个零点．g ( x)2e x (x 1)，1且x 2x0时， g(x) 0，即 g(x)在( ,0) ， (0,1)上单调递减， 1时，g (x) 0 ， 即 g(x)在 (1, )上单调递递增，1时，g( x) 极小值g ( 1) 2e ， 当0 a 2e 时， y f(x) 与 y a 的图象没有只有交点，即函数 f(x) 没有零点， 只要2x 4 ，x 0xx只要证 2 e x2x24 4x0，即证 x2ex22x 0设 h( x) x e x 22 2x ， x 0，h(x)xe 2x 2，令 ( x)xe 2x 2，x0，(x)xe2，当x ln2 时， (x) 0 ，函数(x) 在 (ln2, ) 上单调递增，当 0 x ln2 时， (x) 0， 函数 (x) 在 (0,ln2) 上单调递减，(x)min(ln2) 2ln2 0Q ( x) g(0 )10， (1 ) e 4 0 ，( 2) e 2 6Q a, 4， x使得 h (x 0)(x 0) e x 02x 0 2 0 ，结合图象可得，当 a 当a 2) 证明：当 x 0 时， f (0) 2 g(0) 4 ，此时 a 取任何数都成立，当x 0时，要证当 x 0 时， f (x)g(x) ，只要证 2e x ax 2x 2 4 ，即证 2e x 2xx4，x存在 x 0 (1,2) ，当x (0, x 0)时， h(x) 0 ，函数 h(x) 单调递减，当 x (x 0 ，）时， h （x ） 0，函数 h （x ） 单调递增，h( x)min h( x 0) e x 0x 02 2 2x 0 4 x 02 0， e x x 2 2 2x 0 成立， 即当 x 0时， f(x) g(x) ，二、选考题：共 10分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题 计分 .[选修 4-4：极坐标与参数方程 ]轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2cos2 12 ．若曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上，且直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点． （1）求 m 的值并写出曲线 C 的直角坐标方程； （2）求 |FA| |FB |的值．|FB | |FA|【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为 x m t （t 为参数），消去参数 t 可得普通方程： x y m ． yt 曲线C 的极坐标方程为 2 2 2cos2 12．可得曲线 C 的直角坐标方程：2 2 2 22（x 2 y 2） （x 2 y 2 ） 12，22曲线 C 的标准方程为 x y 1，则其左焦点为 （ 2 2,0） ，12 422．（ 10分）已知直线 l 的参数方程为x y m t t （t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半222故m 2 2 ，曲线 C 的方程x y12 41．x2）直线l 的参数方程为2222t2 t x22，与曲线C 的方程x122y 1 联立，4得t 22t 2 0 ，则| FA |g| FB | |t1t2 | 2，|FA| |FB| |t1 t2 | (t1 t2)24t1t2故||F F B A||||F F B A| |2(|FA| |FB |)22 4．|FB |g| FA | 2 4．[ 选修4-5：不等式选讲]23．已知函数 f （x） | x 112|，且对任意的x ，f ( x) f (1)⋯m．21）求m 的取值范围；2）若m N ，证明： f (sin 2 f (cos2 a 1), m ．解答】解：（1） f（x）12)|x12| x | ⋯| x( x) | 1，2，当且仅当（ x 12）x, 0时等号成立，Q f （ x）对任意的x ，f (x) 12)⋯m，m, 1，2，m 的取值范围为（2）由（1）知，m,1,12]12N，．要证 f (sin2) f (cos 1), m，即证 f (sin 2 2f (cos 1),0 ，2Q f (sin 2 ) f (cos21) | sin2112|| cos2112|21|sin22 | cos22sin21,0, sin22,1剟sin2 2121当1剟sin 21时，f (sin 2) f (cos221) 2sin 2 2, 0；当0, sin 212，f (sin 2 2f (cos 1)1，综上， f (sin 2 ) f (cos21),0 ，原命题成立．故椭圆C1 的方程为x y22 2。