北邮随机信号分析与处理第3章习题解答

第3章 随机过程的线性变换3.1 设随机过程()X t 是平稳的和可微的，存在导数()X t ′。

证明对于给定的t ，随机变量()X t 和()X t ′是正交的和不相关的。

证明：由于随机过程()X t 是平稳的，故()X t 的均值为常数，所以[()][()]0dE X t E X t dt′==。

又由于随机过程()X t 是可微的，故()X R τ的导数必存在，且由于自相关函数()X R τ在0τ=处取最大值，所以在0τ=处()X R τ的导数为0，即()0X dR d ττ==。

同时()()X XX dR R d τττ′=−，故0()(0)0X XX dR R d ττ′==−=， 由于(){()()}XX R E X t X t ττ′′=+，故(0){()()}0XX R E X t X t ′′== 其中{()()}0E X t X t ′=表明()X t 和()X t ′是正交的。

又()[()()]()()()XX X X XX K E X t X t m t m t R ττττ′′′′=+−+=所以(0)(0)0XX XX K R ′′==，这表明对于给定的t ，随机变量()X t 和()X t ′是不相关的。

归纳：对于随机变量1()X t 和2()Y t ，要证明它们是正交的，需要证明互相关函数12(,)0XY R t t =； 要证明它们是不相关的，需要证明互协方差函数12(,)0XY K t t =； 要证明它们是独立的，需要证明1212(,,,)(,)(,)XY X Y f x t y t f x t f y t =3.2 设有一具有二阶矩的随机变量序列{();1,2,3,}n n =…ξ，()n ξ的相关函数为*1212(,)[()()]R n n E n n ξξξξ=。

若有序列{}(1,2,3,)n a n =…，并定义1。

现代信号处理第三章作业学院： 学号： 序号： 姓名：3.2 我们希望产生自相关函数为r x (k )=0.9|k |+(-0.9)|k |的高斯随机过程x (n )。

(1) 当激励是零均值、单位方差高斯白噪声过程时，求出产生该随机过程的差分方程。

提示: 先求出自相关的z 变换，即复功率谱，然后参照式22()()(1/)()()(1/)()()(1/)x w w N z B z B z S z Q z Q z D z A z A z σσ===对复功率谱进行分解，即可得到用于产生该随机信号的线性系统。

(2) 用差分方程产生随机过程x(n)的1000个样本点，用样本序列估计x(n)的自相关函数，然后与理论值进行比较。

提示：自相关函数的估计方法参见本书4.1节，MATLAB的xcorr函数可用于实现自相关估计。

N = 1000;w = randn(1,N);b1 = -0.81;n =[1 0 b1];x = filter(0.83, n, w);c = xcorr(x,N,'biased');a = 0:999;b = c(500:999);figure(1);stem(a,b);title('Autocorrelation')xlabel('l'); ylabel('Amplitude');N = 1000;w = randn(1,N);b1 = -0.81;n =[1 0 b1];x = filter(0.83, n, w);c = xcorr(x,N/4,'biased');a = 0:249;b = c(250:499);figure(1);stem(a,b);title('Autocorrelation')xlabel('l'); ylabel('Amplitude');k = [0:999];x = 0.9.^abs(k)+(-0.9).^abs(k);figure;stem(k,x);k = [0:249];x = 0.9.^abs(k)+(-0.9).^abs(k);figure;stem(k,x);3.3 一个AR(2)过程满足如下的差分方程：x(n) = x(n-1) -0.5x(n-2)+ω(n) 其中，ω(n)是一个均值为0、方差为0.5的白噪声。

第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。

同样均方值也应是常数。

（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。

因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。

则称他们是联合宽平稳的。

第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由 1)(=⎰∞∞-dx x f得2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A 21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。

、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B独立。

求（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

（3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim 2TT T E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。

证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j TR E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+ 22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳；②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G eE X t R E X t R e E Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。

第三章 习题3-1 设某一随机过程的样本为{x 1，x 2，…，x k }，设k 时刻的样本均值和方差分别为21111(),(1)1kkk ik i k i i x x s x x k k k ====-≠-∑∑和 假定新的观测值为x k+1，试推导样本均值x k+1和样本方差s k+1的更新公式。

解：111k k k kx x x k +++=+. ∵ 121111()k k i k i s x x k +++==-∑，而211()1k k i k i s x x k ==--∑，所以 112211111222111111122112211()()111211 ()()()()11111 0()()(1)(1) k k k k k k k i i k i i k k k k k k k k k i k i k k i i i k k k k kkx x x x s x x x k k k k x x x x kx x x x x x x k k k k k k k k k s x x x x k k k +++++==++++===+++-=-=--++--+=---++-+++-=-+-+-++∑∑∑∑∑2111 ().1k k k k s x x k k +-=+-+∴ 更新公式为11111k k k k x x x k k ++=+++, 21111()1k k k k k s s x x k k ++-=+-+.3-2 设某一随机过程样本由x k =a+bk+v k 描述，其中，v k ～N （0，σ2）；a 和b 是待定的未知参数。

试求估计量a ˆ，b ˆ的CR 下界。

解：未知参数向量为θ=[a ，b ]T 。

首先计算Fisher 信息矩阵，即222222ln (|)ln (|)[][]()ln (|)ln (|)[][]p x p x E E a a b p x p x E E b a b ⎡⎤∂∂--⎢⎥∂∂∂⎢⎥=⎢⎥∂∂⎢⎥--⎢⎥∂∂∂⎣⎦θθI θθθ （3.1.31） 依题意，似然函数可写成22/22111(|)exp[()](2π)2NkN k p x xa bk σσ==---∑θ对上式等号两边取自然对数，并分别对A 和B 求偏导，得到21ln (|)1()Nkk p x xa bk a σ=∂=--∂∑θ21ln (|)1()Nkk p x xa bk kb σ=∂=--∂∑θ容易验证，以上二式的数学期望为零，满足正则条件（3.1.25）。

北京邮电大学随机信号分析与处理综合练习题一、判断题:1. 设x(t)和Y(t)是相互独立的平稳随机过程，则它们的乘积也是平稳的。

2. X(t)为一个随机过程，对于任意一个固定的时刻t i，X(t i)是一个确定值。

3. 设X和丫是两个随机变量，X和丫不相关且不独立，有D(X Y) D(X) D(Y)。

4. 一般来说，平稳正态随机过程与确定性信号之和仍然为平稳的正态过程。

5. 设X(t)是不含周期分量的零均值平稳随机过程，其自相关函数为R X()，从物理概念上理解，有lim R X ( ) 0。

6. 对于线性系统，假设输入为非平稳随机过程，则不能用频谱法来分析系统输出随机过程的统计特性。

7. 若随机过程X(t)满足；!■:： = i「，HI卅逬与t无关，则X(t)是广义平稳(宽平稳)过程。

8. 随机过程的方差表示消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值。

9. 广义循环平稳的随机过程本身也是一种广义平稳的随机过程。

10. 高斯白噪声经过匹配滤波器后仍然为高斯白噪声。

•选择填空1 •对于联合平稳随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数R XY()，以下关系正确的是(1) 。

(1) A • R XY( ) R XY()B. R XY() -R YX()C. R XY ( ) R YX ( )D. R XY ( ) R XY ()2.随机过程X(t)的自相关函数满足R x(t“t2)m x(tjm x(t2)0,则可以断定X(tJ 和X (t2)之间的关系是(2)。

(2) A.相互独立 B.相关 C.不相关 D.正交3•两个不相关的高斯随机过程 X(t)和丫⑴，均值分别为m x 和m Y ，方差分别为则X(t)和丫(t)的联合概率密度为 (3)。

在0到2之间均匀分布，则X(t)的平均功率谱密度为 (6)。

11(6) A.-[G N ( 0) G N ()]B.—[G N ( 0) G N ()]4 211C.[G N()G N()]D.[G N()G N()]446. 已知 2 10 1，信号m(t) cos 1tcos 2t 的Hilbert 变换为(7).复包络为(8)。

作业一的参考答案1. P28：1.10解：利用 /(,)(/)()XY X Y Y f x y f x y f y =10222()(,)Y XY ax by a byf y f x y dx dx a b a b+∞-∞++===++⎰⎰所以 /2()/()2()(/)(2)/()(2)X Y ax by a b ax by f x y a by a b a by +++==+++//1/4(/1/4)(/)12()441224X Y X Y y f x y f x y ax b ax b a b a b ===++==++10(/1/4)(/1/4)48326(2)X Y E X Y xf x y dxax b a b x dx a b a b +∞-∞===++==++⎰⎰（2） 同理利用 /0.50.5(,)(/)()XY Y X x x X f x y f y x f x ===可得到 /134(/)(/1/2)26()Y X a bE Y X yf y x dy a b +∞-∞+====+⎰2. P29：1.15解：由题意可得，1()1,E X = 4()1E X =，1()2D X =，4()2D X =， 1441(,)(,)0Cov X X Cov X X ==。

所以 (1) 均值矩阵'11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦m ，协方差矩阵'2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦K Y 的分布为''14(,)(,)TY X X N =m K(2) 1(2)2E X =,23()1E X X +=-,34()1E X X -=-所以 Z 的均值矩阵''211⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦m 1111(2,2)(2)4()428Cov X X D X D X ===⨯=，123123123121312121313(2,)[(2)()](2)()(22)21(10)2[(,)()()(,)()()]22[11(1)010]22Cov X X X E X X X E X E X X E X X X X Cov X X E X E X Cov X X E X E X +=+-+=+-⨯⨯-+=++++=+⨯-++⨯+=同理可得 134341(2,)0(,2)Cov X X X Cov X X X -==-， 23()6D X X +=，23343423(,)(,)2Cov X X X X Cov X X X X +-=-+=，34()2D X X -=所以 协方差矩阵''820262022⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦K ， Z 满足的分布为''''(,)Z N m K（3） Z 的特征函数''''1()exp[()]2T T z w j Φ=-m w w K w其中 ''''12328201,262,[ ]1022T w w w ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦m K w3. 随机变量,X Y 具有高斯分布特征，1,2,X Y m m ==，协方差矩阵为44[][]49XXYYXY CC C C C -==-， 其中22,X XY Y C C σσ==，XY C 和YX C 是XY 的两个协方差。

第一次作业：练习一之1、2、3题1.1离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=ii ix X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f由 1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P 1.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x xx x F（3）0)]()([)(>--=a a x u x u ax x F （4）0)()()(>---=a a x u ax a x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00e1)(2x x x F x当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数；1)(0≤≤x F 成立； )()(x F x F =+也成立。

随机信号处理答案（精选3篇）以下是网友分享的关于随机信号处理答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一：随机信号处理习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程X(t)=Vt+b,度、均值和相关函数。

解因V~N(0,1)，所以EV=0,DV=1，X(t)=Vt+b也服从正态分布，t∈(0,+∞),b为常数，V~N(0,1)，求X(t)的一维概率密E[X(t)]=E[Vt+b]=tEV+b=bD[X(t)]=D[Vt+b]=t2DV=t2所以X(t)~N(b,t2)，X(t)的一维概率密度为f(x;t)=12πte-(x-b)22t2,x∈(-∞,+∞)，t∈(0,+∞)均值函数mX(t)=E[X(t)]=b相关函数RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=E[(Vs+b)(Vt+b)] =E[stV2+bsV+btV+b2] =st+b2.4 设有随机过程X(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)，其中ω为常数，A,B是相互独立且服从正态分布N(0,σ)的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。

解因A,B独立，A~N(0,σ)，B~N(0,σ) 所以，E[A]=E[B]=0,D[A]=D[B]=σ 均值mX(t)=E[X(t)]=E[Acos(ωt)+Bsin(ωt)]=cos(ωt)E[A]+sin(ωt)E[B]=0 相关函数22222RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[(Acos(ωt1)+Bsin(ωt1))(Acos(ωt2)+Bsin(ωt2))]=EA2cosωt1cosωt2+B2sinωt1sinωt2+ABcosωt1sinωt2+ABcosωt2sinωt1 =cosωt1cosωt2E[A2]+sinωt1sinωt2E[B2][]=σ2(cosωt1cosωt2+sinωt1sinωt2) =σ2cosω(t1-t2)2.5 已知随机过程X(t)的均值函数mX(t)和协方差函数BX(t1,t2),ϕ(t)为普通函数，令Y(t)=X(t)+ϕ(t)，求随机过程Y(t)均值和协方差函数。

3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数；（2）()U t 的平稳性。

3.1解：(1)2(;)}4x f u t =-22121,2121,12,21(;,)()()exp{}44u u f u u t t f u t f u t π+==-211,212,1(,,;,,)()}4kiki k k i i i uf u u u t t t f u t ====-∑∏(2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。

3.23.33.4 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。

3.4解：()X t 与()Y t 各自平稳，设X m =[()]E X t ，Y m =[()]E Y t ，()[X()X()]X R E t t ττ=+，()[Y()Y()]Y R E t t ττ=+Z ()[Z()][()Y()][()][()]X Y m t E t E X t t E X t E Y t m m ===⨯=，为常数(,)[Z()Z()][()Y()()Y()][X()()][Y()()]()()()Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+⨯+=⨯=∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()t =()Y()X t t 也是平稳过程。

3.5 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。

若()X t 通过平方律器件，得到2()()Y t X t =，试求：（1）()Y t 的均值； （2）()Y t 的相关函数；（3）()Y t 的广义平稳性。