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（完整版）集合与充要条件练习题一、选择题1．下列语句能确定一个集合的是（）A 浙江公路技师学院高个子的男生B 电脑上的容量小的文件全体C 不大于3的实数全体D 与1接近的所有数的全体2．下列集合中，为无限集的是（）A 比1大比5小的所有数的全体B 地球上的所有生物的全体C 超级电脑上所有文件全体D 能被百度搜索到的网页全体3．下列表示方法正确的是（）2.0 (3)A NB QC RD Z Q π*∈-∈∈∈ 4．下列对象能组成集合的是（）A.大于5的自然数B.一切很大的数C.路桥系优秀的学生D.班上考试得分很高的同学5．下列不能组成集合的是（）A. 不大于8的自然数B. 很接近于2的数C.班上身高超过2米的同学D.班上数学考试得分在85分以上的同学6．下列语句不正确的是（）A.由3,3,4,5构成一个集合，此集合共有3个元素B.所有平行四边形构成的集合是个有限集C.周长为20cm 的三角形构成的集合是无限集D.如果,,a Q b Q a b Q ∈∈+∈则7．下列集合中是有限集的是（）{}{}{}{}2.|3..|2,.|10A x Z x B C x x n n Z D x R x ∈<=∈∈-=三角形8．下列４个集合中是空集的是（） {}{}{}{}2222.|10.|.|0.|10A x R x B x x x C x x D x x ∈-=<-=+=9．下列关系正确的是（）.0.0.0.0A B C D ∈≠?10．用列举法表示集合{}2|560x x x -+=，结果是（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．{}3,2 Ｄ．３,２11．绝对值等于３的所有整数组成的集合是（）Ａ．３Ｂ．{}3,3- Ｃ．{}3 Ｄ．３，－３12．用列举法表示方程24x =的解集是（）{}{}{}{}2.|4.2,2.2.2A x x B C D =--13．集合{}1,2,3,4,5也可表示成（）{}{}{}{}.|5.|05.|05,.|05,A x x B x x C x x x N D x x x N <<<<<∈<≤∈14．下列不能表示偶数集的是（）{}{}{}{}.|2,.|.,4,2,0,2,4,.|2,A x x k k Z B x x C D x x n n N =∈--=∈L L 是偶数15．下列表示集合{}1,1-不正确的是（）{}{}{}{}22.|1.1.|1.|1A x x B x C x x D x ====16．对于集合{}{}2,6,2,4,6A B ==，则下列关系不正确的是（）....A A B B A B C B A D A B ≠17．若,x A ∈则,x B ∈那么集合A,B 的关系可能是（）....A A B B B A C A B D B A ∈∈??18．集合{},,a b c 的子集个数为（）.3.7.8.9A B C D 个个个个19．已知集合{}1,2,3,4，下列集合中，不是它的子集的是（） {}{}{}.1234.3..012A B C D ?，，，，，20．已知{}{}24734,5(A B A B ==?=，，，，，则）.{}{}{}{}.2,3.4.5,7.2,3,4,5A B C D21．若N={自然数}，Z={整数}，则()N Z ?=A.NB.Z C{0} D.{正整数}22．设集合{}{}|14,|05,M x x N x x =-≤<=≤≤则()M N =I {}{}{}{}.|45.|10.|15.|04A x x B x x C x x D x x ≤≤-≤≤-≤≤≤< 23．设集合{}{}|14,|05,M x x N x x =-≤<=≤≤则()M N =U {}{}{}{}.|45.|10.|15.|04A x x B x x C x x D x x ≤≤-≤≤-≤≤≤< 24．若全集U={整数}，集合A={奇数}，则()U A =eA.{偶数}B.{整数}C.{自然数} D{奇数}25．()21010x x -=-=是的 A 充分但非必要条件 B.必要但非充分条件C.充要条件 D 既非充分条件也非必要条件26．()0"0b 0ab a ==="是“且”的A 充分但非必要条件 B.必要但非充分条件C.充要条件 D 既非充分条件也非必要条件27．x>5是x>3的（ )A 充分但非必要条件 B.必要但非充分条件C.充要条件 D 既非充分条件也非必要条件二、填空题：1．自然数集用大写字母______表示；整数集用大写字母______表示；有理数集用大写字母______表示；实数集用大写字母______表示；自然数集内排除0的集合用______表示；2．用符号“∈”或“?”填空11)3.14__;3)__;4)2__;6)__2R R N N Q Q π- 3．不大于４的实数全体，用性质描述法可表示为＿＿＿＿；4．所有奇数组成的集合＿＿＿＿＿＿＿＿；所有被３除余１的数组成的集合＿＿＿＿＿＿＿；5．绝对值小于6的实数组成的集合_______________;6．大于0而小于10的奇数组成的集合__________________;7．小于7的正整数组成的集合__________________;8．不含任何元素的集合叫做__________;记做___________;它是任何的集合的___________.9．{}a 与a 是完全不同的，a 表示一个________;而{}a 表示一个__________.10．用适当的符号填空： {}{}{}{}{}{}{}{}__,,;,,__,,;__0;__0;______.a a b c a b c c a b ??正三角形等腰三角形；平行四边形梯形已知{,,,},{,,},A a b c d B c d e ==则_______,_______,A B A B ==I U 已知A={10以内的质数}，B={偶数}，则______.A B =I用“充分条件”，“必要条件”或“充要条件”填空：1）416________;x ==2是x 的2）240b ac ->是方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根的 __________; 3）0b =是直线y kx b =+过原点的______________;4）24a b >是方程20x ax b ++=有实根的 __________;5）若,,a b R ∈则220a b +=是0a b +=的_____________;解答题写出{1,2,3}的所有子集，并指出哪些不是真子集。
1．4.1 充分条件与必要条件6．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值X围是________．关键能力综合练一、选择题1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( ) A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分又不必要条件2．设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( ) A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不充分又不必要条件3．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件4．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件5．设x∈R，则“|x|<1”是“x3＜1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件6．设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个大于1”的一个充分不必要条件是( ) A．x＋y＝2 B．x＋y＞21．4 充分条件与必要条件1．4.1 充分条件与必要条件必备知识基础练1．解析：(1)若α为锐角，α不一定等于45°，因此p 不是q 的充分条件；反之，若α＝45°，则α为锐角，因此p 是q 的必要条件．(2)由x >1可以推出x 2>1，因此p 是q 的充分条件；由x 2>1，得x <－1，或x >1，不一定有x >1.因此，p 不是q 的必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3，因此p 不是q 的充分条件；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要条件．(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当Δ>0时，其图象与x 轴有交点，因此p 是q 的充分条件；反之若函数的图象与x 轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p 不是q 的必要条件．2．解析：当a ＝1时，|a |＝1成立，但当|a |＝1时，a ＝±1，所以a ＝1不一定成立，∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．故选A.答案：A3．解析：∵－2＜x ＜1⇒x ＞1或x ＜－1，且x ＞1或x ＜－1⇒－2＜x ＜1.∴“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的既不充分条件，也不必要条件．答案：C4．解析：当x >1时，1x <1成立；当x <0时，也满足1x <1，故“x >1”是“1x<1”的充分不必要条件．答案：A5．解析：由于x ＝0⇒x 2＝2x ，所以“x 2＝2x ”是“x ＝0”的必要条件，“x ＝0”是“x2＝2x”的充分条件．答案：必要充分6．解析：因为x>1⇒x>a，所以a≤1.答案：a≤1关键能力综合练1．解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．答案：B2．解析：因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.答案：B3．解析：若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而当a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．答案：A4．解析：因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B.答案：B5．解析：由|x|<1，得－1<x<1，所以－1<x3<1；由x3<1，得x<1，不能推出－1<x<1.所以“|x|<1”是“x3<1”的充分不必要条件．故选A.答案：A6．解析：A项，x＋y＝2时，令x＝y＝1，不符合命题；而命题“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，x＋y≠2，所以是非充分非必要条件；B项，x＋y＞2时，若x，y 都不大于1，则x＋y≤2矛盾，可得x，y中至少有一个大于1；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，x＋y＜2，所以是充分不必要条件；C项，x2＋y2＞2时，令x＝－2，y＝0，不符合命题；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝1.1，y＝0，x2＋y2＜2，所以是非充分非必要条件；D项，xy＞1时，令x＝－1，y＝－2，不符合命题；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，xy＜1，所以是非充分非必要条件．答案：B7．解析：当a和b都是偶数时，则a＋b也是偶数；当a＋b为偶数时，a，b可以都为奇数．故填“充分不必要”．答案：充分不必要8．解析：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件，所以A⊆B.所以m≥4.答案：m≥49．解析：①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b 互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以使a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.答案：(1)①②(2)③10．解析：(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．即p⇒q，q⇒p，∴p是q的充分不必要条件．(2)当a＝－2，b＝－1时，ab＝2>1；当a＝2，b＝－1时，ab＝－2<1，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．(3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即p⇒q，且q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．学科素养升级练1．解析：由x2－x－2<0，解得－1<x<2.又x2－x－2<0是－2<x<a的充分不必要条件，∴(－1,2)(－2，a)，则a≥2.∴实数a的值可以是2,3,4.故选BCD.答案：BCD2．解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 答案：A3．解析：若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p . 所以p 是q 的必要条件，但不是充分条件．。
1.4.2 充要条件2．设条件p ：|x |≤m (m ＞0)，q ：－1≤x ≤4，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为________，若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为________．3．(情境命题—学术情境)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是A ＝90°.1．4.2 充要条件必备知识基础练1．解析：(1)由a >0且b >0⇒a ＋b >0且ab >0，并且由a ＋b >0且ab >0⇒a >0且b >0，所以p 是q 的充要条件．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，根据不等式的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.即p ⇒q ，而由⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4不能推出⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2.如：α＝1，β＝5满足⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，但不满足α>2.所以p 是q 的充分不必要条件． 2.解析：作出“⇒”图，如右图所示，可知：p ⇒q ，r ⇒q ，q ⇒s ，s ⇒r .(1)p ⇒q ⇒s ⇒r ，且r ⇒q ，q 能否推出p 未知，∴p 是r 的充分条件． (2)∵s ⇒r ⇒q ，q ⇒s ，∴s 是q 的充要条件． (3)共有三对充要条件，q ⇔s ；s ⇔r ；r ⇔q . 3．证明：①充分性：如果b ＝0，那么y ＝kx . 当x ＝0时，y ＝0.所以一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点(0,0)．②必要性：因为一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点(0,0)， 所以0＝0＋b ，所以b ＝0.综上，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点(0,0)的充要条件是b ＝0. 4．证明：必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根， 所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝ca<0， 所以ac <0.充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝c a<0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根．综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 5．解析：解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件． 答案：A6．解析：a 2＋b 2＞0，则a ，b 不同时为零；a ，b 中至少有一个不为零，则a 2＋b 2＞0.故选D.答案：D7．解析：充分性：当a ＝3时，A ＝{1,3}，B ＝{1,2,3}，可以推出A ⊆B ，故充分性成立；必要性：若A ⊆B ，则{1，a }⊆{1,2,3}，可得a ＝2或a ＝3，故必要性不成立．所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．答案：A关键能力综合练1．解析：当x ＝1时，x 3＝x 成立．若x 3＝x ，x (x 2－1)＝0，得x ＝－1,0,1；不一定得到x ＝1.答案：A2．解析：不等式2x 2＋x －1>0，即(x ＋1)(2x －1)>0，解得x >12或x <－1，所以由x >12可以得到不等式2x 2＋x －1>0成立，但由2x 2＋x －1>0不一定得到x >12，所以“x >12”是“2x 2＋x－1>0”的充分而不必要条件．答案：A3．解析：函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是－m2×1＝1，即m＝－2，故选A.答案：A4．解析：M ∩N ＝N ⇔N ⊆M ⇔M ∪N ＝M . 答案：C5．解析：由{x |x >5}是{x |x ≤－1或x ≥3}的真子集，可知p 是q 的必要不充分条件． 答案：B6．解析：由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C ⇒x ∈A .所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件． 答案：B 7．答案：充要8．解析：由题意可知：1≤x ≤2⇒x ≤m ，反之不成立，所以m ≥2，即m 的最小值为2. 答案：29．解析：x ＝4±16－4m2＝2±4－m ，因为x 是整数，即2±4－m 为整数，所以4－m为整数，且m ≤4，又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4.验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．答案：3或410．解析：设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故所某某数a 的取值X 围是0≤a ≤12.学科素养升级练1．解析：因为由x >2且y >3⇒x ＋y >5，但由x ＋y >5不能推出x >2且y >3，所以x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件．故A 错误；因为由x >1⇒|x |>0，而由|x |>0不能推出x >1，所以x >1是|x |>0的充分不必要条件．故B 正确；因为由b 2－4ac <0不能推出ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为R (a >0时解集为∅)，而由ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为R ⇒b 2－4ac <0，所以b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为R 的必要不充分条件．故C 错误；由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故D 正确．答案：BD2．解析：条件p ：|x |≤m ，可得：－m ≤x ≤m .条件q ：－1≤x ≤4， 若p 是q 的充分条件，则－m ≥－1，且m ≤4，解得0＜m ≤1， 则m 最大值为1，p 是q 的必要条件，则－m ≤－1且m ≥4，解得m ≥4，则m 的最小值为4， 故答案为：1,4 答案：1,43．证明：①必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0， 则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0， 两式相减，可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0整理得b 2＋c 2＝a 2， 故A ＝90°.②充分性：∵A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，∴b 2＝a 2－c 2. 将此式代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0，将b2＝a2－c2代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0，故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.。
新教材必修第一册1.4：充分条件与必要条件课标解读：1.必要条件的概念（理解）2.充分条件的概念（理解）3.充要条件.（理解）学习指导：1.学习本节内容的关键在于通过对典型数学命题的梳理，理解“充分条件、必要条件、充要条件”的概念，并熟练掌握判定方法.2.学习重点是对充分条件、必要条件和从要条件的意义的理解和辨析，判断“若p，则q”形式的命题的真假.知识导图：教材全解知识点1：充分条件与必要条件1.命题：一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”、“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.2.充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作qp⇒，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作qp⇒.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.说明：一般地（1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；（2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.3.充要条件的概念一般地，“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是正命题，即既有qq⇒,p⇒，又有p 记作qp⇔.此时，p既是q的充分条件，q也是p的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如概括地说，如果qp⇔，那么q与p互为充要条件. 知识剖析：4.充分条件与必要条件的传递性充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下：（1）若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即s q q p ⇒⇒,，则有s p ⇒，即p 是s 的充分条件；（2）若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q s p q ⇒⇒,，则有p s ⇒，即p 是s 的必要条件；（3）若p 是q 的充要条件，q 是s 的充要条件，即s q q p ⇔⇔,，则有s p ⇔，即p 是s 的充要条件；例1-1：用符号“⇒”与“⇒”填空.（1）12>x 1>x ； （2）b a ,都是偶数 b a +是偶数.例1-2：下列说法是否正确？请说明理由.（1）1=x 是)2)(1(--x x =0的充分条件；（2）1>x 是2>x 的充分条件；（3）2>+y x 是1,1>>y x 的必要条件.答案：（1）正确，因为0)1)(1(1=+-⇒=x x x ；（3）正确，因为21,1>+⇒>>y x y x .例1-3：（浙江高考题）设b a ,是实数，则“0>+b a ”是“0>ab ”的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：D例1-4：已知q p ,都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么：（1）s 是q 的什么条件？（2）r 是q 的什么条件？（3）p 是q 的什么条件？答案：（1）s 是q 的充要条件.（2）r 是q 的充要条件；（3）（3）p 是q 的充分条件.重难拓展知识点2：从集合角度看充分、必要条件1.依据设集合)}(|{)},(|{x q x B x p x A ==.若x 具有性质p ，则A x ∈；若x 具有性质q ，则.B x ∈ 若B A ⊆，就是说x 具有性质p ，则x 必有性质q ，即.q p ⇒类似地，A B ⊆与p q ⇒等价。
1.4.2 充要条件课后训练巩固提升1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2x-1)x=0⇔x=0或x=12,所以“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件.2.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x+1|≤1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2-x≥0,得x≤2;由|x+1|≤1,得-1≤x+1≤1,得-2≤x≤0.则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件.3.一次函数y=-mn x+1n的图象同时经过第一、第三、第四象限的充要条件是( )A.m>1,且n<1B.mn<0C.m>0,且n<0D.m<0,且n<0y=-mn x+1n经过第一、第三、第四象限,所以-mn>0,1n<0,所以m>0,n<0,此为充要条件.4.(多选题)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,下列结论正确的是( )A.r是q的充要条件B.p是q的充分不必要条件C.r是q的必要不充分条件D.r是s的充分不必要条件解析:依题意,p⇒r,r p,q⇒r,r⇒s,s⇒q,故r⇒q,且q⇒r,故A正确,C不正确;由p⇒q,q p,知B正确;由r⇒s,且s⇒r,知D不正确.故选AB.5.在平面直角坐标系中, 是点(x+5,1-x)在第一象限的充要条件.,点(x+5,1-x)在第一象限⇔{x+5>0,1-x>0,解得-5<x<1.6.已知p:x>a是q:2<x<3的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.,可得{x|2<x<3}⫋{x|x>a},故a≤2.7.设n∈N*,n= 是一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件.Δ=16-4n≥0,得n≤4,又n∈N*,则n=1,2,3,4.当n=1,2时,方程没有整数根;当n=3时,方程有整数根1,3;当n=4时,方程有整数根2.综上可知,n=3或4.或48.已知集合P={x|-2≤x≤10},非空集合S={}.(1)若“,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件.由“x∈P”是“x∈S”的必要条件,知S⊆P.则{1-m ≤1+m ,1-m ≥-2,1+m ≤10,解得0≤m≤3.故当0≤m≤3时,“≤3}.(2)若“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则P=S,得{1-m =-2,1+m =10,方程组无解, 即不存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件.9.设x,y ∈R,求证:xy≥0是|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.:若xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况.当xy=0时,不妨设x=0,则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,等式成立; 当xy>0时,即x>0,y>0或x<0,y<0.当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,等式成立;当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y,等式成立; 总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.②必要性:若|x+y|=|x|+|y|,且x,y ∈R,则|x+y|2=(|x|+|y|)2,即x 2+2xy+y 2=x 2+y 2+2|x||y|,则|xy|=xy,即xy≥0.综上可知,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.。
高一数学复习考点题型专题练习专题4 充分条件与必要条件题型一 根据充分不必要条件求参数1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜m +1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____．.2．已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.3．已知不等式11m x m -<<+成立的充分不必要条件是1132x <<，求实数m 的取值范围．4．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥．（1）当3a =时，求A B ；（2）若>0a ，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．5．已知全集U R =，集合{|15}A x x =≤<，{|28}B x x =<<，{|3}C x a x a =<≤+． ()1求A B ⋃，()U A B ⋂；()2若“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围． 题型二根据必要不充分条件求参数 1．已知命题p ：关于x 的方程x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0有两个大于1的实数根． （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题q ：3－a <m <3＋a ，是否存在实数a 使得p 是q 的必要不充分条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．2．（1）已知集合{}{}21241A a B a ==，，，，，，且A B B =，求实数a 的取值范围； （2）已知2040p x q ax ->->:，:，其中a R ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．3．已知:p 关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多有两个子集，:11q m a m -≤≤+，0m >．若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．4.已知集合2{|320}A x x x =-+=，2(1)0{|}B x x ax a -+==-，2{|20}C x x mx =-+=． （1）命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”，若命题p 为真命题，求a 的值；（2）若“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求m 的取值范围．题型三根据充要条件求参数 1．已知:{|20p x x +≥且100}x -≤，,0:{|44}q x m x m m -≤≤>+，若p 是q 的充要条件，则实数m 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．72．设p :x >a ，q :x >3.（1）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围;（2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围;（3）若a 是方程x 2-6x +90=的根，判断p 是q 的什么条件.3．已知{}210P x x =-<<，{}11S x m x m =-<<+．是否存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求实数m 的取值范围．4．已知m Z ∈，关于x 的一元二次方程222440,44450x x m x mx m m -+=-+--=，求上述两个方程的根都是整数的充要条件.题型四充要条件的证明 1．方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或0a < 2．已知ab ≠0，求证：a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0是a +b =1的充要条件. (提示：a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2))3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-.4．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.。
第3课 充要条件◇考纲解读掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．◇知识梳理判断充要条件关系的三种方法：①定义法：若B A ⇒，则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若B A ⇒，则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若B A ⇔，则A 是B 的_______条件．②利用原命题和逆否命题的_______来确定．③利用集合的包含关系：若,B A ⊆则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若A=B ，则A 是B 的_______条件．◇基础训练1．（2006安徽卷）“3x >”是24x >“的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2“x 是2的倍数或是3的倍数”是“x 是6的倍数”的（ ） A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件3．（2008中山一模）设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2008佛山）“2a =” 是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）. A ．充分条件不必要 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 ◇典型例题例1．设集合{2},{3},M x x P x x =>=<""x M x P ∈ ∈那么或""x M P ∈ 是的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 例2．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.◇能力提升1．如果y x ,是实数，那么“0>xy ”是“y x y x +=+”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件2．已知命题A,B ，如果⌝A 是⌝B 的充分而不必要条件，那么B 是A 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件3．若p ：⎩⎨⎧>>+44αββα ，q ：⎩⎨⎧>>22βα ，则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件4．(2008惠州一模) “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分条件不必要B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ,有02>++c x b x a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知真命题“a b c d ≥⇒>”和“a b e f <⇔≤”，那么“c d ≤”是“e f ≤”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第3课 充要条件◇知识梳理1.①充分,必要, 必要,充分,充要.② 逆否命题.③ 充分,必要,充要.◇基础训练1. B2. C3. B4. A◇典型例题例1.解："}3{}2{"""R x x x x M P x N x M x =<>=∈∈∈ 即或M P x M P x x x x M P x ∈⇐∈<<∈∈显然即},32{""，所以选B例2.解：由题意知，命题若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件p ：－2≤x ≤10q ： x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式－2≤x ≤10的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， 实数m 的取值范围是［9，+∞)◇能力提升1.A2. C3. B4.A5. A6.A。
第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件例1下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若21x =，则1x =；（5）若a b =，则ac bc =；（6）若x ，y 为无理数，则xy 为无理数.解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（2）这是一条相似三角形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（3）这是一条菱形的性质定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（4）由于()211-=，但11-≠，p q ⇒/，所以p 不是q 的充分条件.（5）由等式的性质知，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件（62=为有理数，p q ⇒/，所以p 不是q 的充分条件.例2下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若1x =，则21x =；（5）若ac bc =，则a b =；（6）若xy 为无理数，则x ，y 为无理数.解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，p q ⇒，所以，q 是p 的必要条件.（2）这是三角形相似的一条性质定理，p q ⇒，所以，q 是p 的必要条件.（3）如图1.4-1，四边形ABCD 的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q ⇒/，所以，q 不是p 的必要条件.（4）显然，p q ⇒，所以，q 是p 的必要条件.（5）由于()1010-⨯=⨯，但11-≠，p q ⇒/，所以，q 不是p 的必要条件.（6）由于122=为无理数，但12不全是无理数，p q ⇒/，所以，q 不是p 的必要条件.例3下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p ：两个三角形相似，q ：两个三角形三边成比例；（3）p ：0xy >，q ：0x >，0y >；（4）p ：1x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，q ：0a b c ++=（0a ≠）.解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以q p ⇒/，所以p 不是q 的充要条件.（2）因为“若p ，则q ”是相似三角形的性质定理，“若q ，则p ”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件.（3）因为0xy >时，0x >，0y >不一定成立（为什么），所以p q ⇒/，所以p 不是q 的充要条件.（4）因为“若p ，则q ”与“若q ，则p ”均为真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件.例4已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d .求证：d r =是直线l 与O 相切的充要条件.分析：设p ：d r =，q ：直线l 与O 相切.要证p 是q 的充要条件，只需分别证明充分性（p q ⇒）和必要性（q p ⇒）即可.证明：设p ：d r =，q ：直线l 与O 相切.（1）充分性（p q ⇒）：如图1.4-2，作OP l ⊥于点P ，则OP d =.若d r =，则点P 在O 上.在直线l 上任取一点Q （异于点P ），连接OQ .在Rt OPQ △中，OQ OP r >=.所以，除点P 外直线l 上的点都在O 的外部，即直线l 与O 仅有一个公共点P .所以直线l 与O 相切.（2）必要性（q p ⇒）：若直线l 与O 相切，不妨设切点为P ，则OP l ⊥.因此，d OP r ==.由（1）（2）可得，d r =是直线l 与O 相切的充要条件.1.4.1充分条件与必要条件练习1.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若平面内点P 在线段AB 的垂直平分线上，则PA PB =；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.【答案】（1）p 是q 的充分条件；（2）p 不是q 的充分条件；（3）p 是q 的充分条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到p q ⇒，从而得到p 是否是q 的充分条件，得到答案.【详解】（1）线段垂直平分线的性质，p q ⇒，p 是q 的充分条件；（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，p q ⇒/，p 不是q 的充分条件；（3）相似三角形的性质，p q ⇒，p 是q 的充分条件.【点睛】本题考查判断是否为充分条件，属于简单题.2.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若直线l 与o 有且仅有一个交点，则l 为o 的一条切线；（2）若x 是无理数，则2x 也是无理数.【答案】（1）q 是p 的必要条件；（2）q 不是p 的必要条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到p q ⇒，从而得到q 是否是p 的必要条件，得到答案.【详解】（1）这是圆的切线定义，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件；（2是无理数，但22=不是无理数，p q ⇒/，所以q 不是p 的必要条件.【点睛】本题考查判断是否为必要条件，属于简单题.3.如图，直线a 与b 被直线1所截，分别得到了1∠，2∠，3∠和4∠.请根据这些信息，写出几个“a b ∥”的充分条件和必要条件.【答案】充分条件和必要条件见解析【解析】【分析】根据a b ∥可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，根据内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到a b ∥.【详解】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到a b ∥，所以“a b ∥”的充分条件：12∠=∠，14∠=∠，13180︒∠+∠=；因为a b ∥可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，所以“a b ∥”的必要条件：12∠=∠，14∠=∠，13180︒∠+∠=.【点睛】本题考查充分条件和必要条件，属于简单题.1.4.2充要条件练习4.下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）p ：三角形为等腰三角形，q ：三角形存在两角相等；（2）:p O 内两条弦相等，:q O 内两条弦所对的圆周角相等；（3）:p A B ⋂为空集，:q A 与B 之一为空集.【答案】（1）p 是q 的充要条件；（2）p 不是g 的充要条件；（3）p 不是q 的充要条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到p q ⇔，从而得到p 是否是q 的充要条件，得到答案.【详解】在（1）中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以p q ⇔，所以p 是q 的充要条件；在（2）中，O 内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，p q ⇒/，所以p 不是q 的充要条件；在（3）中，取{1,2}A =，{3}=B ，显然，A B =∅ ，但A 与B 均不为空集，因此，p q ⇒/，所以p 不是q 的充要条件.【点睛】本题考查充要条件的判断，属于简单题.5.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.【答案】见解析【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，得到答案.【详解】“两个三角形全等”的充要条件如下：①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两角及其夹边对应相等；④两角及一角的对边对应相等.“两个三角形相似”的充要条件如下：①三个内角对应相等（或两个内角对应相等）；②三边对应成比例；③两边对应成比例且夹角相等.【点睛】本题考查写命题的充要条件，属于简单题.6.证明：如图，梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.【答案】证明见解析【解析】【分析】先由梯形ABCD 为等腰梯形，证明AC BD =，验证必要性；再由AC BD =证明梯形ABCD 为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立.【详解】证明：（1）必要性.在等腰梯形ABCD 中，AB DC =，ABC DCB ∠=∠，又∵BC CB =，∴BAC CDB ≅ ，∴AC BD =.（2）充分性.如图，过点D 作//DE AC ，交BC 的延长线于点E .∵//AD BE ，//DE AC ，∴四边形ACED 是平行四边形.∴DE AC =.∵AC BD =，∴BD DE =，∴1E ∠=∠.又∵//AC DE ，∴2E ∠=∠，∴12∠=∠.在ABC 和DCB 中，,21,,AC DB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DCB ≅ .∴AB DC =.∴梯形ABCD 为等腰梯形.由（1）（2）可得，梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.【点睛】本题主要考查充要条件的证明，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.习题1.4复习巩固7.举例说明:(1)p 是q 的充分不必要条件;(2)p 是q 的必要不充分条件;(3)p 是q 的充要条件.【答案】(1)“1x >”是“0x >”的充分不必要条件;(2)“22x y =”是“x y =”的必要不充分条件;(3)“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件【解析】【分析】根据充分与必要条件的概念举例即可.【详解】(1)可根据数轴上的关系举例：“1x >”是“0x >”的充分不必要条件;(2)可根据方程的根的解举例：“22x y =”是“x y =”的必要不充分条件;(3)可根据定理举例：“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的理解,属于基础题型.8.在下列各题中,判断p 是q 的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):(1)p :三角形是等腰三角形,q :三角形是等边三角形;(2)在一元二次方程中，:p 20ax bx c ++=有实数根，2:40q b ac - ;(3):,:p a P Q q a P ∈⋂∈;(4):,:p a P Q q a P ∈⋃∈;(5)22:,:p x y q x y >>.【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形与等边三角形的关系分析.(2)根据二次方程的根分析(3)根据集合的基本关系分析(4)根据集合的基本关系分析(5)举例说明分析【详解】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,故p 是q 的必要不充分条件.(2)一元二次方程20ax bx c ++=有实数根则判别式240b ac =-∆ .故p 是q 的充要条件.(3)因为a P Q ∈⋂,故a P Î且a Q ∈；当a P Î时a Q ∈不一定成立.故p 是q 的充分不必要条件.(4)因为a P Q ∈⋃,故a P Î或a Q ∈,所以a P Î不一定成立；当a P Î时a P Q ∈⋃一定成立.故p 是q 的必要不充分条件.(5)当x 1,y 2==-时,满足x y >但22x y >不成立.当2,1x y =-=时,满足22x y >但x y >不成立.故p 是q 的既不充分又不必要条件.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,属于基础题型.9.判断下列命题的真假:(1)点P 到圆心O 的距离大于圆的半径是点P 在O 外的充要条件;(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;(3)A B A ⋃=是B A ⊆的必要不充分条件;(4)x 或y 为有理数是xy 为有理数的既不充分又不必要条件.【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.【解析】【分析】(1)根据点与圆的位置关系判断.(2)举例说明即可.(3)根据集合的关系直接判断(4)举例说明即可.【详解】(1)根据点与圆的位置关系知点P 到圆心O 的距离大于圆的半径是点P 在O 外的充要条件.故(1)为真命题.(2)两个三角形面积相等也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件.故(2)为假命题.(3)A B A ⋃=是B A ⊆的充要条件.故(3)为假命题.(4)当1,x y ==,满足“x 或y 为有理数”但“xy 为有理数”不成立.当x y ==时满足“xy 为有理数”但“x 或y 为有理数”不成立.故(4)为真命题.【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析,属于基础题型.综合运用10.已知A ={|x x 满足条件p },B ={|x x 满足条件q },(1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件?(2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?(3)如果A B =,那么p 是q 的什么条件?【答案】(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件.【解析】【分析】(1)根据集合间的基本关系判断p 和Q 的包含关系再即可.(2)根据集合间的基本关系判断p 和Q 的包含关系再即可.(3)根据集合间的基本关系判断p 和Q 的包含关系再即可.【详解】(1)如果A B ⊆,则满足条件p 也满足条件q .故p 是q 的充分条件.(2)如果B A ⊆,则满足条件q 也满足条件p .故p 是q 的必要条件.(3)如果A B =,则满足条件p 满足条件q ,且满足条件q 也满足条件p .故p 是q 的充要条件.【点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件的关系,属于基础题型.11.设,,a b c ∈R 证明:222a b c ab ac bc ++=++的充要条件是a b c ==.【答案】见解析【解析】【分析】分别证明充分性与必要性即可.【详解】证明:(1)充分性:如果a b c ==,那么222()()()0a b b c a c -+-+-=,2222220,a b c ab ac bc a b c ab ac bc ∴++---=∴++=++.(2)必要性:如果222a b c ab ac bc ++=++,那么2220a b c ab ac bc ++---=,222()()()0,0,0,0a b b c c a a b b c c a ∴-+-+-=∴-=-=-=,a b c ==∴.由(1)(2)知,222a b c ab ac bc ++=++的充要条件是a b c ==.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.拓广探索12.设a ,b ,c 分别是ABC 的三条边,且a b c .我们知道,如果ABC 为直角三角形,那么222+=a b c (勾股定理).反过来,如果222+=a b c ,那么ABC 为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,ABC 为直角三角形的充要条件是222+=a b c .请利用边长a ,b ,c 分别给出ABC 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.【答案】ABC 为锐角三角形的充要条件是222a b c +>.ABC 为钝角三角形的充要条件是222a b c +<.证明见解析【解析】【分析】根据勾股定理易得ABC 为锐角三角形的充要条件是222a b c +>.ABC 为钝角三角形的充要条件是222a b c +<.再分别证明充分与必要性即可.【详解】解:(1)设a ,b ,c 分别是ABC 的三条边,且a b c ,ABC 为锐角三角形的充要条件是222a b c +>.证明如下:必要性:在ABC 中,C ∠是锐角,作AD BC ⊥,D 为垂足,如图(1).显然2222222222()2AB AD DB AC CD CB CD AC CD CB CD CB CD =+=-+-=-++-⋅22222AC CB CB CD AC CB =+-⋅<+,即222c a b <+.充分性:在ABC 中,222a b c +>,C ∴∠不是直角.假设C ∠为钝角,如图(2).作AD BC ⊥,交BC 延长线于点D .则2222222222()2AB AD BD AC CD BC CD AC CD BC CD BC CD =+=-++=-+++⋅22222AC BC BC CD AC BC =++⋅>+.即222c b a >+,与“222a b c +>”矛盾.故C ∠为锐角,即ABC 为锐角三角形.(2)设a ,b ,c 分别是ABC 的三条边,且a b c ≤≤,ABC 为钝角三角形的充要条件是222a b c +<.证明如下:必要性:在ABC 中,C ∠为钝角,如图(2),显然:2222222222()2AB AD BD AC CD CD CB AC CD CD CB CD CB =+=-++=-+++⋅22222AC CB CD CB AC CB =++⋅>+.即222a b c +<.充分性:在ABC 中,222a b c +<,C ∴∠不是直角,假设C ∠为锐角,如图(1),则222222()AB AD DB AC CD CB CD =+=-+-2222222222AC CD CB CD CD CB AC CB CD CB AC CB =-++-⋅=+-⋅<+.即222a b c +>,这与“222a b c +<”矛盾,从而C ∠必为钝角,即ABC 为钝角三角形.【点睛】本题主要考查了锐角与钝角三角形的充分必要条件证明,证明时注意用反证法,属于中等题型.。
