(新)高中数学集合总结题型分类完美解析

第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系练习一组1．已知A＝{1，2}，B＝|x x A，则集合A 与B的关系为________．解析：由集合B＝|x x A知，B＝{1，2}．答案：A＝B2．若2,x x，则实数a的取值范围|a a R是________．解析：由题意知，2x a有解，故0a．答案：a3．已知集合A＝2y y x x x R，集合B|21,＝|28x x，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A．答案：B A4．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝2|0x x x关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N=2|0x x x，得N={-1，0}，则N M ．答案：②5知集合A＝|5x x，集合B＝|x x a，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴A B，∴a<5．答案：a<56．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B．练习二组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________．解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1．答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0，2，5；b＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax ＝1}，若N M，那么a的值是________．解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，N M，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝1a＝1或－1，∴a＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A⊆{1，2，3}的集合A的个数是________个．解析：A中一定有元素1，所以A有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A＝{x|x＝a＋16，a∈Z}，B＝{x|x＝b2－13，b∈Z}，C＝{x|x＝c2＋16，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B＝C7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的________．解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．解析：∵2n<500，∴n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k 是A的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1．从而y＝－1．11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ． ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3． 由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3，4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ．12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即AB ，则此时B＝{x|1≤x≤ a}，故a>2．(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2．(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算练习一组1．设U＝R，A＝|0x x，B＝|1x x，则A∩∁U B ＝____．解析：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4，7，9}，A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，∁U(A∩B)＝{3，5，8}．答案：33．已知集合M＝{0，1，2}，N＝|2,x x a a M，则集合M∩N＝________．解析：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N ＝{0，2}．答案：{0，2}4．设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x ∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B ＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________．解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0，2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当1m时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则1m，即m的取值范围为(1，＋∞)练习二1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________．解析：因为集合N＝{－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B＝{0，2}，则(∁U A)∩B＝________．解析：∁U A＝{0，1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________．解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B ＝{2}，则A∪B＝________．解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则UA∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________．解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，∴A∪B＝{1，3，5，6，7}，得∁U(A∪B)＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0，4，5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y ＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2．9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1，2}．(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a ＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3．(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得矛盾．综上，a的取值范围是a≤－3．11．已知函数f(x)＝6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B．(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．解：A＝{x|－1<x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．12．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A＝∅，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；(3)求集合M＝{a∈R|A≠∅}．解：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解．若a≠0，要方程ax2－3x＋2＝0无解，则综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有要使方程有实数根，。

教学心得：理解概念，运用性质；掌握题型，举一反三集合单元的精典题型集合问题为每年必考题型之一，特别是近几年高考试卷中出现了一些以集合为背景的试题，这些试题涉及的知识面广，灵活性较强.实际上，这方面问题的本质是以集合为载体，将一些数学问题的已知条件“嵌入”集合之中，只不过是在语言形式方面做了些变通罢了，而解决问题的理论依据、方法等仍类似于其他问题的求解•因此，在集合题型上应引起我们的足够重视.题型一：集合元素的性质2 2例1.已知集合A {a 2,（a 1），a 3a 3}，若1 A，求a的值。

分析：集合元素的确定性和互异性是集合的两个重要性质，是本单元一个重要考点，确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

解：1 A根据集合元素的确定性，得：a 2 1,或（a 1 1,或a 3a 3 1若a+ 2 = 1，得:a 1，但此时a2 3a 3 1 a 2，不符合集合元素的互异性。

若（a 1）得：a 0,或-2。

但a 2时，a 3a 3 1 （a 1），不符合集合元素的互异性。

若a 3a 3 1,得：a 1,或一2。

但a -1时,a 2 1；a -2时，（a 1）2 1，都不符合集合元素的互异性。

综上可得，a = 0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。

确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

练习一、1.集合P x|x 2k,k Z，Q x|x 2k1,k Z，R x|x 4k 1,k Z，且a P,b Q，则有( )A a b PB a b QC a b RD a b不属于P、Q R中的任意.个2.已知集合A {2 , 3, a2+4a+2} , B={0,7,2a+4a-2,2- a}，且A n B={3,7},求a值.题型二：集合相等问题集合相等问题，主要是利用集合中元素的互异性，集合中元素的互异性是集合的重要属性，在解题中集合中元素的互异性常常被我们忽略，从而导致解题的失败，所以在解题中应引起足够的重视.例2，已知集合 A {a,a b,a 2b}， B {a,ac,ac2}，若A B，求c 的值分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合的元素完全相同，及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式解：根据题意，分两种情况进行讨论：(1)若 a b ac, 2，消去b，得d ac2 2ac 0a 2b ac ,当a 0时，集合B中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故 a 0二c2 2c 1 0，即c 1，此时B中的三个元素又相同，••• c 1•••此时无解.b 2(2)若 a ac ,消去b，得2ac2 ac a 0a 2b ac,••• a 0，• 2c c 1 0，即(c 1)(2c 1) 0又 c 1，• c -2评注：(1)解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.(2)有些数学问题很难从整体着手解决，需从分解入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一判断来解决这些问题，从而达到整体问题的解决，这种重要的数学方法就是分类讨论的方法，要学会这种思维方法•练习二1. 下列各集合中相等的两个集合是()A={ x| y=2x+1 I ,B= { x| x > 1 I ,C= { x| y=x2+1 I ,D= { y| y=x2+1 I ,E= { x| y=2x+1 I ,F= {( x,y )| y=2x+1 I。

集合【知识清单】1.性质：确定性、互易性、无序性.2.元素和集合的关系：属于“”、不属于“” .3.集合和集合的关系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“”）.4.集合子集个数= 2n；真子集个数 = 2n1.5.交集：A B x | x A且 x B并集： A B x | x A或 x B补集： C U A x | x U 且 x A6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.题型一、集合概念解决此类型题要注意以下两点：①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.【No.1 定义 & 性质】1.下列命题中正确的个数是（）①方程x 2 y 2 0 的解集为2, 2②集合 y | y x2 1, x R 与 y | y x 1, x R 的公共元素所组成的集合是0,1③集合x | x 1 0 与集合 x | x a, a R 没有公共元素A.0B.1C.2D.3分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构成的集合，而是 x 和 y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A详解：在①中方程x 2 y 2x 2 0 x 20 等价于2，即y。

因此解集应为y 0 22, 2 ，错误；在②中，由于集合y | y x2 1, x R 的元素是 y ，所以当 x R 时， y x2 1 1 .同理， y | y x 1, x R 中 y R ，错误；在③中，集合x | x 1 0 即 x 1，而 x | x a, a R ，画出数轴便可知这两个集合可能有公共的元素，错误.故选 A.2.下列命题中，（1）如果集合A是集合（2）如果集合A是集合（3）如果集合A是集合（4）如果集合A是集合错误的命题的个数是（B的真子集，则集合B的子集，则集合B的子集，则集合B的子集，则集合）B中至少有一个元素；A 的元素少于集合B 的元素；A 的元素不多于集合B 的元素；A 和B 不可能相等．A ． 0B． 1C． 2 D ． 3分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合M 是集合N的子集，那么M 中的元素个数要小于或等于N中元素的个数；如果集合 M 是集合N的真子集，那么 M 中的元素个数要小于N中元素的个数 .答案： C详解：（ 1）如果集合 A 是集合 B 的真子集，则集合 B 中至少有一个元素，故（1）正确；（2）如果集合A是集合B的子集，则集合 A 的元素少于或等于集合的 B 元素，故（2）不正确；（3）如果集合A是集合B的子集，则集合 A 的元素不多于集合 B 的元素，故（3）正确；（4）如果集合A是集合B的子集，则集合 A 和 B 可能相等，故（4）不正确．故选 C ．3.设P、Q为两个非空实数集，P 中含有 0，2， 5 三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合 P Q 中的元素是 a b ，其中 aP , b Q ，则 P Q 中元素的个数是（）A.9B.8C.7D.6分析：因为 a P ， b Q ，所以 P Q 中的元素 a b 是 P 中的元素和 Q 中元素两两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性.答案 ：B详解 ：当 a 0 时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别为 1,2,6；当 a 2时， b 依次取 1,2,6，得当 a 5 时， b 依次取 1,2,6，得a b 的值分别 3,4,8；a b 的值分别 6,7,11；由集合的互异性得P Q 中的元素为 1,2,3,4,6,7,8,11，共 8 个，故选 B.4.设数集 M 同时满足条件 ① M 中不含元素1,0,1，②若 aM ，则1aM .1 a则下列结论正确的是 ()A ．集合 M 中至多有 2 个元素；B ．集合 M 中至多有3 个元素； C ．集合 M 中有且仅有4 个元素；D ．集合 M 中有无穷多个元素.分析：已知 a M 时，1 aM .那么我们可以根据条件多求出几个M 集合的元1 a素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数.答案：C1 a11a111a1详解 ：由题意，若 a MM ，则 1 aM ，a M ， ，则a 1 a a 1 a111a11 a1 a1 2a1a，则 a 2则a 1 a M ，若 a 1，无解，同理可证明这四个元素中，1 a 1 21 aa 1任意两个元素不相等，故集合M 中有且仅有 4 个元素．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【 No2.表达方式】5.下列集合表示空集的是（）A. x R | x 5 5B. x R | x 5 5C. x R | x2 0D. x R | x2 x 1 0分析：本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合.答案：D详解： x2 x 1 0 ，1 4 1 130方程无实数解，故选 D.6.用描述法表示下列集合：(1)0,2,4,6,8 ；(2)3,9,27,81, ；1 3 5 7；(3) , , , ,2 4 6 8(4)被 5 除余 2 的所有整数的全体构成的集合．分析：描述法就是将文字或数字用式子表示出来. 但是要注意题中给出的元素的范围详解：(1) x N | 0 x 10,且 x是偶数；(2) x | x3n,n N；(3) x | x 2n 1, n N ；2n(4) x | x 5n 2,n Z ．======================================================================题型二、不含参数⑴⑴ 中的参数是指方程的非最高次项系数解决此类型题应注意：①区分，，的区别；②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；③ A B A A BA B A B AA B从A和B两方面讨论.【 No.1 判断元素 / 集合与集合之间的关系】1.给出下列各种关系①00 ；② 0 0 ；③；④ a a ；⑤0 ；⑥ 0 ；⑦0 ；⑧0其中正确的是（）A. ②③④⑧B. ①②④⑤C.②③④⑥D. ②③④⑦分析：本题需要大家分清，，三个符号的意义和区别：-- “属于”，用于表示元素和集合的关系；，-- “包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系 .答案：A详解：①错误，应为0 0 ；②③④⑧正确；⑤⑥⑦应为0 ；2.若U为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若A B ,则 C U A C U B U（2）若A B U ,则 C U A C U B（3）若A B ，则 A BA ．0个B ．1个C．2个D．3个分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.答案：D详解：（ 1）C U A C U B C U A B C U U ；（ 2）C U A C U B C U A B C U U；（ 3）证明：∵A A B ,即 A，而 A ，∴A；同理 B，∴A B；----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【 No.2子集、真子集】3.从集合U a, b, c, d 的子集中选出 4 个不同的子集，须同时满足以下两个条件：①， U 都要选出；②对选出的任意两个子集 A 和 B ，必有 A B 或 B A .那么共有种不同的选法.分析：由①可以知道选出的子集中一定有和U，我们要求得只剩两个集合。

集合问题常见题型及求解方法一、概念辨析型此类问题主要考察元素与集合、集合与集合的关系及有关运算，往往可通过观察元素的结构特征或借助图形寻求集合之间的关系，使问题直观准确地得到解决。

例1、 设Φ=B A ,{}A P P M ⊆=,{}B Q Q N ⊆=,则有A. Φ=N M ,B.{}Φ=N M ,C.B A N M ⊂,D.B A N M = 解: ∵Φ=B A ,∴B A ⊆Φ⊆Φ, ∴{}Φ=N M . 例 2.函数⎩⎨⎧∈-∈=M x x P x x x f ,,)(,其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定{}P x x f y y P f ∈==),()(,{}M x x f y y M f ∈==),()(给出下列四个判断：（1）若Φ=P M ,则Φ=)()(M f P f ，（2）若Φ≠P M ,则Φ≠)()(M f P f（3）若R P M = ,则R M f P f =)()( ，（4）若R P M ≠ ,则R M f P f ≠)()( 其中正确的判定有 ：A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解：由函数定义知{}0=P M 或Φ=P M 。

若Φ≠P M 则{}0=P M 此时{}0)()(=M f P f 非空，∴（2）真；若R P M ≠ ，则必有R M f P f ≠)()( ，∴（4）真；若Φ=P M ，则)()(M f P f 不一定为空，∴（1）假；若R P M = ，则)()(M f P f 一定不等于R,∴（3）假.例3.集合A={直线}，B={圆} 则B A 中有（ ）元素A.2个B.1个C.0个D.0或1或2个。

解：A 、B 中元素分别是直线和圆，不是直线上的点和圆上的点，B A 中元素是“既是直线又是圆的图形”。

二、基本运算型此类题型主要考察集合的基本概念和基本运算，常用解法有定义法、列举法、图示法及语言转换法等。

例4.设全集U=R,M={}132≤-x x ，N={}12-+=x y y x ，则=)(N C M R A.[- 2,2] B.[-2，2] C.[-2，-]2,2[]2 D.[ 2,2] 。

集合及其性质知识点及题型归纳总结
集合的基本概念
- 集合是由一些确定的对象（元素）构成的整体。

- 集合中的元素是无序的，每个元素在集合中只能出现一次。

- 集合可以用大写字母表示，元素用小写字母表示。

集合的表示方法
- 列举法：将集合中的元素一一列举出来并用大括号括起来。

- 描述法：用条件描述集合中的元素的特点。

常见的集合性质
- 交集：两个集合中共有的元素构成的新的集合。

- 并集：将两个集合中的所有元素合并到一起构成的新的集合。

- 差集：从一个集合中减去另一个集合中共有的元素得到的新
的集合。

- 互斥：两个集合没有共同的元素。

集合的题型归纳总结
1. 求交集、并集、差集：
- 根据集合的定义和性质，确定要求的操作。

- 对给定的集合进行相应的运算，得到结果。

2. 判断集合关系：
- 比较两个集合的大小关系，如是否相等、是否包含等。

- 根据集合的定义和性质进行判断。

以上是关于集合及其性质的知识点及题型归纳总结，希望对你的学习有所帮助。

如有疑问，请随时向我提问。

【考点预测】1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈和∉.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）.（4高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题01集合）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N +Z Q R说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。

集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈ 且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈ 或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）A A A = ，A ∅=∅ ，A B B A = ．（2）A A A = ，A A ∅= ，A B B A = ．（3）()U A C A =∅ ，()U A C A U = ，()U U C C A A =．【方法技巧与总结】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．（3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆ ．（4）()()()U U U C A B C A C B = ,()()()U U U C A B C A C B = ．【题型归纳目录】题型一：集合的表示题型二：集合元素的特征题型三：集合的关系题型四：集合的运算题型五：集合与排列组合题型六：新定义【题型一】集合的表示【典例例题】例1．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素例2．（2022·山东聊城·二模）已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5例3．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合{}2|60A x x x x =--<∈Z ，，(){}2|ln 1B y y x x A ==+∈，，则集合B 中元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．无数个例4．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4例5．（2022·山东济南·二模）已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，{},,y C z z x x A y B==∈∈，则C 中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4例6．（2022·全国·高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（）A ．0B ．1C ．2D ．3【题型二】集合元素的特征【典例例题】例7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合{}1,0,1A =-，{},B a b a A b A =+∈∈，则集合B =（）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--【方法技巧与总结】1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语题型总结及解题方法单选题1、已知集合A={−1,1,2,4},B={x||x−1|≤1}，则A∩B=（）A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}答案：B分析：方法一：求出集合B后可求A∩B.[方法一]：直接法因为B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法x=−1代入集合B={x||x−1|≤1}，可得2≤1，不满足，排除A、D；x=4代入集合B={x||x−1|≤1}，可得3≤1，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．2、已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A．{x|−1<x<2}B．{x|−1<x≤2}C．{x|0≤x<1}D．{x|0≤x≤2}答案：B分析：结合题意利用并集的定义计算即可.由题意可得：A∪B={x|−1<x≤2}.故选：B.3、已知p:0<x<2，q:−1<x<3，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分不必要条件答案：A分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x<2，可得出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，得不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.4、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.5、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．6、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.7、设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3}，则A∩(∁U B)=（）A．{−3,3}B．{0,2}C．{−1,1}D．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.8、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N⊈P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n-2与3p+1都是表示同一类数，6m-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m-56,m∈Z}，x=m-56=6m-56=6(m-1)+16，对于集合N={x|x=n2-13,n∈Z}，x=n2-13=3n-26=3(n-1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n-1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m-1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m-1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M∈N=P.故选：B.9、集合A={x|x<−1或x≥3}，B={x|ax+1≤0}若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−13,1)B．[−13,1]C．(−∞,−1)∪[0,+∞)D．[−13,0)∪(0,1)答案：A分析：根据B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围．解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+1⩽0无解，此时a=0，满足题意．②当B≠∅时，即ax+1⩽0有解，当a>0时，可得x⩽−1a，要使B⊆A，则需要{a>0−1a<−1，解得0<a<1．当a<0时，可得x⩾−1a，要使B⊆A，则需要{a<0−1a⩾3，解得−13⩽a<0，综上，实数a的取值范围是[−13,1)．故选：A．小提示：易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅.10、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+ P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.多选题11、对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（）A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝BC．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁R A⊕∁R BE．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠B⊕A答案：ABD解析：根据新定义判断．根据定义A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]，A.若A⊕B=B，则∁R A∩B=B，A∩∁R B=∅，∁R A∩B=B⇒B⊆∁R A，A∩∁R B=∅⇒A⊆B，∴A=∅，A正确；B.若A⊕B=∅，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B=∅，A∩B=A=B，B正确；C. 若A⊕B⊆A，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B⊆A，则B⊆A，C错；D.A=B时，A⊕B=∅，(∁R A)⊕(∁R B)=∅=A⊕B，D正确；E.由定义，A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]=B⊕A，E错．故选：ABD．小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．12、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）<0B．所有的正方形都是矩形A．∃x∈R，x2−x+14C．∃x∈R，x2+2x+2=0D．至少有一个实数x，使x3+1=0答案：AC分析：AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.A.原命题的否定为：∀x∈R，x2−x+14≥0，是全称量词命题；因为x2−x+14=(x−12)2≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2+2x+2=0，Δ=22−8=−4<0，所以x2+2x+2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有x3+1≠0，如x=−1时，x3+1=0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC13、(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（）A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}答案：ABD分析：选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P.选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=[1,+∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=[1,+∞)，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．14、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x= 26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12=16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．15、已知集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，若A⊆B，则实数a可以为（）A．12B．1C．0D．以上选项都不对答案：ABC解析：由子集定义得A=∅或A={1}或A={2}，从而1a 不存在，1a=1，1a=2，由此能求出实数a．解：∵集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，A⊆B，∴A=∅或A={1}或A={2}，∴1 a 不存在，1a=1，1a=2，解得a=1，或a=1，或a=12．故选：ABC．小提示：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．16、已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则下列关系一定正确的是（）A．∃x∈U，x∉A且x∈B B．∀x∈A，x∉BC．∀x∈U，x∈A或x∈B D．∃x∈U，x∈A且x∈B答案：AB分析：根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则A，B，U的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，∃x∈U，x∉A且x∈B，A正确；因A∩B=∅，必有∀x∈A，x∉B，B正确；若A∁U B，则(∁U A)∩(∁U B)≠∅，此时∃x∈U，x∈[(∁U A)∩(∁U B)]，即x∉A且x∉B，C不正确；因A∩B=∅，则不存在x∈U满足x∈A且x∈B，D不正确.故选：AB17、下列各题中，p是q的充要条件的有（）A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例C．p：xy>0；q：x>0，y>0D．p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；q：a+b+c=0（a≠0）答案：BD分析：根据充要条件的定义对各选项逐一进行分析讨论并判定作答.对于A，四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，即p不是q的充要条件，A不是；对于B，两个三角形相似与两个三角形三边成比例能互相推出，即p是q的充要条件，B是；对于C，xy>0不能推出x>0，y>0，可能x<0，y<0，即p不是q的充要条件，C不是；对于D，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，可得a+b+c=0，反之，当a +b +c =0时，把c =-a -b 代入方程ax 2+bx +c =0得ax 2+bx -a -b =0，即(ax +a +b )(x -1)=0，显然x =1是方程的一个根，即p 是q 的充要条件，D 是.故选：BD18、已知集合A ={x ∣1<x <2}，B ={x ∣2a −3<x <a −2}，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得A =B B ．存在实数a 使得A ⊆BC ．当a =4时，A ⊆BD ．当0⩽a ⩽4时，B ⊆AE ．存在实数a 使得B ⊆A答案：AE分析：利用集合相等判断A 选项错误，由A ⊆B 建立不等式组，根据是否有解判断B 选项；a =4时求出B ，判断是否A ⊆B 可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D 选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.A 选项由相等集合的概念可得{2a −3=1a −2=2 解得a =2且a =4，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A ⊆B ，得{2a −3≤1a −2≥2 即{a ≤2a ≥4，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当a =4时，得B ={x ∣5<x <2}为空集，不满足A ⊆B ，因此C 错误；D 选项当2a −3≥a −2，即a ≥1时，B =∅⊆A ，符合B ⊆A ；当a <1时，要使B ⊆A ，需满足{2a −3≥1a −2≤2解得2≤a ≤4，不满足a <1，故这样的实数a 不存在，则当0≤a ≤4时B ⊆A 不正确，因此D 错误； E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B ⊆A ，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.小提示：本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.19、命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥1B．a≥4C．a≥−2D．a=4答案：BD分析：求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.命题“∃x∈[1,2],x2≤a"等价于a≥1，即命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题所对集合为[1,+∞)，所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于[1,+∞)，显然只有[4,+∞)[1,+∞)，{4}[1,+∞),所以选项AC不符合要求，选项BD正确.故选：BD20、中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知A={x|x=3n+2,n∈N+}，B={x|x=5n+3,n∈N+}，C={x|x=7n+2,n∈N+}，若x∈A∩B∩C，则下列选项中符合题意的整数x为（）A．8B．128C．37D．23答案：BD分析：根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答.对于A，因8=7×1+1，则8∉C，选项A错误；对于B，128=3×42+2，即128∈A；又128=5×25+3，即128∈B；而128=7×18+2，即128∈C，因此，128∈A∩B∩C，选项B正确；对于C，因37=3×12+1，则37∉A，选项C错误；对于D，23=3×7+2，即23∈A；又23=5×4+3，即23∈B；而23=7×3+2，即23∈C，因此，23∈A∩B∩C，选项D正确.故选：BD填空题21、若∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________.答案：[−2√6,2√6].分析：根据命题∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 由题意，命题∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，可得Δ=m2−24≤0，解得−2√6≤m≤2√6，即实数m的取值范围为[−2√6,2√6].所以答案是：[−2√6,2√6].22、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．23、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3，则实数a=________．答案：−4分析：由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a，即可求解参数．由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A，x2+ax+4=0，当Δ=a2−16=0时，x=2是方程x2+ax+4=0的根，解得a=−4，当Δ>0时，若方程x2+ax+4=0的一根为1，则a=−5，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程x2+ax+4=0的根，则方程两根x2+x3=−a=2，此时a=−2不满足Δ>0，舍去. 所以答案是：−4．。

高三集合知识点及题型总结高三是每位学生都要经历的一段重要时光，它是冲刺高考的最后一年，对于每个学生来说都非常关键。

在高三的备考过程中，集合是一个非常重要的数学知识点，也是各类题型中常考的内容之一。

本文将从集合的基本概念、运算规则和解题技巧等方面，对高三集合知识点及题型进行总结。

一、集合的基本概念集合是数学中一个基础概念，它是由一些确定的对象组成的整体。

常用的表示集合的方法有两种：列举法和描述法。

集合中的元素是指构成集合的个体，它可以是数字、字母、词语、图形等各种对象。

二、常用的集合运算规则1. 交集：表示两个集合中共同的元素构成的集合。

记作A∩B。

2. 并集：表示两个集合中所有的元素构成的集合。

记作A∪B。

3. 差集：表示一个集合中除去另一个集合中共同元素后剩下的元素构成的集合。

记作A-B。

4. 互斥事件：表示两个集合没有共同元素。

当A∩B=∅时，称A与B互斥。

三、集合的题型及解题技巧1. 判断题判断题是常见的集合题型，通常考察对集合定义及运算规则的理解。

例题：设A={1,2,3}，B={3,4,5}，下列命题正确的是（）。

A. A∩B={3}B. A∪B={1,2,3,4,5}C. A-B={4,5}D. A与B互斥解题技巧：利用定义及运算规则进行逐个选项判断，注意理解交集、并集、差集和互斥的含义。

2. 元素的归属关系该类题型考察对元素的归属关系判断及表示的能力。

例题：已知集合A={a,b,c}，B={b,c,d}，判断元素"a"是否属于集合B。

解题技巧：判断元素的归属关系，直接查看B集合中是否包含元素"a"，根据题目要求作答。

3. 集合间的关系这类题目考察对集合间关系的理解，常见的有包含关系、相等关系等。

4. 集合的运算该类题型常考察集合的交集、并集、差集等运算。

例题：已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，C={4,5,6,7}，求(A∪B)-C的结果。

集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*N 或N +一正整数集 C 一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系．子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．（2）相等关系．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （3）真子集关系．对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB 或B A ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．IA{|IA x x =1．交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．2．并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．3．补集已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作IA ，即{}|I A x x I x A =∈∉且．四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系 （1）交集的运算性质．A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅． （2）并集的运算性质．A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=． （3）补集的运算性质．()II A A =，I I ∅=，I I =∅ ()I A A ⋂=∅，()I A A I ⋃．补充性质：II I A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅．（4）结合律与分配律．结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂． 分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃． （5）反演律（德摩根定律）．()()()II I A B A B ⋂=⋃()()()II I A B A B ⋃=⋂．即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．3．容斥原理()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．题型归纳及思路提示I AA题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-解析：由题意知{}01,,a b a ∈+，又0a ≠，故0a b +=，得1ba=-，则集合{}{}1,0,0,1,a b =-，可得1,1,2a b b a =-=-=，故选C 。

(每日一练)人教版高一数学集合题型总结及解题方法单选题1、已知集合A ={(x,y )|y 2=1 }，B ={(x,y )|y =x 2 }，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4答案：C解析：求出方程组{y 2=1y =x 2的公共解个数，即可得出A ∩B 中元素的个数. 解方程组{y 2=1y =x 2，得{x =1y =1 或{x =−1y =1 ，∴A ∩B ={(1,1),(−1,1)}， 故选：C.小提示：本题考查交集元素个数的计算，解题的关键就是求出方程组公共解的个数，考查计算能力，属于基础题.2、设集合A ={x|x 2−2x −8<0}，B ={x|−1<x <5}，则A ∩B =（ ）A ．{x|−2<x <5}B ．{x|−1<x <4}C ．{x|−1≤x <5}D ．{x|−2≤x <4}答案：B解析：先解不等式得集合A ，再根据交集定义求结果.由题意可得A={x|−2<x<4}，则A∩B={x|−1<x<4}.故选：B小提示：本题考查集合交集、解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3、已知集合A={x|x2−3x−4<0},B={−4,1,3,5}，则A∩B=（）A．{−4,1}B．{1,5}C．{3,5}D．{1,3}答案：D解析：首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A∩B，得到结果.由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}，又因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}，故选：D.小提示：本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.填空题4、设集合U={1,2,3,4}，且A⊆U，B⊆U，若A∩B={1,3}，则称有序集合组(A,B)为集合{1，3}在U中的“关联集合组”，并规定：当A=B时，(A,B)与(B,A)是相同的“关联集合组”；当A≠B时，(A,B)与(B,A)是不相同的“关联集合组”，则集合{1，3}在U中的“关联集合组”共有______个.答案：9根据“关联集合组”的定义，分A={1,3}，A={1,2,3}，A={1,3，4}，A={1,2,3,4}四种情况，将集合B列举出来，即可得出答案.解：可枚举出集合{1，3}在U中所有的“关联集合组”，当A={1,3}时，可有B={1,3}，B={1,2,3}，B={1,3,4}，B={1,2,3,4}；当A={1,2,3}时，可有B={1,3}，B={1,3,4}；当A={1,3,4}时，可有B={1,3}，B={1,2,3}；当A={1,2,3,4}时，可有B={1,3}.综上所述，集合{1，3}在U中的“关联集合组”共有9个.所以答案是：9.5、已知p:−2≤x≤10，q:1−m≤x≤1+m(m>0)，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．答案：0<m≤3解析：利用集合法，将p是q的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案．因为p:−2≤x≤10，q:1−m≤x≤1+m(m>0)，且p是q的必要不充分条件，所以{x|1−m≤x≤1+m}是{x|−2≤x≤10}的真子集，且{x|1−m≤x≤1+m}不是空集.所以{1−m≥−21+m<10m>0或{1−m>−21+m≤10m>0，解得0<m≤3，所以实数m的取值范围是0<m≤3，故答案为:0<m≤3.解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解.。