北京市海淀区高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
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2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列函数中为偶函数的是( )
A．y= B．y=lg|x| C．y=（x﹣1）2 D．y=2x
3．在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为( )
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
4．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为( )
A．1 B．3 C．5
D．6
5．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x，下列结论错误的是( )
A．f（x）=cos2x
B．函数f（x）的图象关于直线x=0对称
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）的值域为[﹣，]
6．“x＞0”是“x+sinx＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=ax（a＞0，且a≠1）及logbx（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )
A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1
8．已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，1）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．2xdx=__________．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=4，sinC=2sinA，sinB=，则a=__________，S△ABC=__________．
11．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3+a9=a10﹣a8．若an=0，则n=__________．
12．已知向量=（1，1），点A（3，0），点B为直线y=2x上的一个动点．若∥，则点B的坐标为__________．
13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为__________．
14．对于数列{an}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有≥t（t为常数）成立，则称数列{an}具有性质P（t）．
（1）若数列{an}的通项公式为an=2n，且具有性质P（t），则t的最大值为__________；
（2）若数列{an}的通项公式为an=n2﹣，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是__________．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知等比数列{an}的公比q＞0，其n前项和为Sn，若a1=1，4a3=a2a4．
（Ⅰ）求公比q和a5的值；
（Ⅱ）求证：＜2．
16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π
18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l
（Ⅰ）若直线l的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数是f（x）区间[﹣2，a]上的单调函数，求a的取值范围．
19．（14分）已知由整数组成的数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且a1=a，2Sn=anan+1．
（1）求a2的值；
（2）求{an}的通项公式；
（3）若n=15时，Sn取得最小值，求a的值．
20．（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[﹣1.2]=﹣2，[1]=1，对于函数f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）
（Ⅱ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．
（Ⅲ）若函数f（x）=x+是Ω函数，求a的取值范围．
2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与M的交集，即可确定出交集中元素的个数．
【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，
解得：﹣1≤x≤2，即P={x|﹣1≤x≤2}，
∵M={﹣1，0，3，4}，
∴P∩M={﹣1，0}，
则集合P∩M中元素的个数为2，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．下列函数中为偶函数的是( )
A．y= B．y=lg|x| C．y=（x﹣1）2 D．y=2x
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】证明题；对应思想；函数的性质及应用．
【分析】根据奇偶函数的定义，可得结论．
【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D非奇非偶．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础．
3．在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为( )
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】运用数量积公式则•=||•||COS60°求解即可．
【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，
则•=||•||COS60°=2×1×=1
故选：A
【点评】本题考察了向量的数量积的运算，属于简单计算题，关键记住公式即可．
4．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为( )
A．1 B．3 C．5 D．6
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】直接代入计算即得结论．
【解答】解：依题意，S2﹣S1=3，
∴a1=S1=S2﹣3=3﹣3=0，
又∵a3=S3﹣S2=5，
∴a1+a3=0+5=5，
故选：C．
【点评】本题考查数列的通项，涉及通项与数列和之间的关系，注意解题方法的积累，属于基础题．
5．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x，下列结论错误的是( )
A．f（x）=cos2x
B．函数f（x）的图象关于直线x=0对称
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）的值域为[﹣，]
【考点】二倍角的余弦．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．
【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A正确；
由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故B正确；
由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故C正确；
由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为[﹣1，1]，故D错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．
6．“x＞0”是“x+sinx＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．
【分析】问题转化为y=﹣x和y=sinx的图象的位置，画出函数的图象，读图即可得到答案．
【解答】解：若x+sinx＞0，
只需y=﹣x的图象在y=sinx的下方即可，
画出函数y=﹣x和y=sinx的图象，如图示：
，
由图象得：x＞0是x+sinx＞0的充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查数形结合思想，是一道基础题．
7．如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=ax（a＞0，且a≠1）及logbx（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )
A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1
【考点】指数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先由图象得到0＜a＜1，0＜b＜1，再根据反函数的定义可以得出y=ax经过点M，则它的反函数y=logax也经过点M，根据对数函数的图象即可得到a＜b．
【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1，
因为点O为坐标原点，点A（1，1），
所以直线OA为y=x，
因为y=ax经过点M，则它的反函数y=logax也经过点M，
又因为logbx（b＞0，且b≠1）的图象经过点N，
根据对数函数的图象和性质，
∴a＜b，
∴a＜b＜1
故选：A．
