2018年北京市海淀区高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
- 格式：doc
- 大小：533.50 KB
- 文档页数：19
第1页（共19页）
2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，集合B={x|2x＞1}，则A∩B=（ ）
A．R B．（﹣∞，2） C．（0，2） D．（2，+∞）
2．（5分）命题“∀x≥0，sinx≤1”的否定是（ ）
A．∀x＜0，sinx＞1 B．∀x≥0，sinx＞1 C．∃x＜0，sinx＞1 D．∃x≥0，sinx＞1
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．f（x）=﹣x2 B．f（x）=3﹣x C．f（x）=ln|x| D．f（x）=x+sinx
4．（5分）已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=2a2（n=1，2，3，…），则（ ）
A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2 D．a2=0
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若，则点A的横坐标为（ ）
A． B． C．﹣3 D．3
6．（5分）已知向量，是两个单位向量，则“=”是“||=2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知函数（）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（ ）
第2页（共19页） A． B． C． D．
8．（5分）若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，e） B．（e，+∞） C．（0，e] D．[e，+∞）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）已知等差数列{an}满足a1=2，a2+a4=a6，则公差d= ．
10．（5分）已知向量=（1，0），=（m，n），若与平行，则n的值为 ．
11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=
．
12．（5分）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：h=cost，t∈[0，+∞），则小球在开始振动（即t=0）时h的值为 ，小球振动过程中最大的高度差为
厘米．
13．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为 ．
14．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（ⅰ）A∪B={1，2，3，4}，A∩B=∅；
（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．
那么用列举法表示集合A为 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．
第3页（共19页） （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
16．（13分）已知等比数列{an}满足a1a2a3=8，a5=16．
（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；
（Ⅱ）设bn=log2an+1，求数列的前n项和Tn．
17．（13分）如图，△ABD为正三角形，AC∥DB，AC=4，．
（Ⅰ）求sin∠ACB的值；
（Ⅱ）求AB，CD的长．
18．（13分）已知函数f（x）=x3﹣x，g（x）=2x﹣3．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅲ）求证：存在唯一的x0，使得f（x0）=g（x0）．
19．（14分）已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+2（﹣1）n，（n∈N*）．
（Ⅰ）写出a5，a6的值；
（Ⅱ）设bn=a2n，求{bn}的通项公式；
（Ⅲ）记数列{an}的前n项和为Sn，求数列{S2n﹣18}的前n项和Tn的最小值．
20．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣x）lnx．
（Ⅰ）求证：1是函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）设g（x）是函数f（x）的导函数，求证：g（x）＞﹣1．
第4页（共19页）
2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，集合B={x|2x＞1}，则A∩B=（ ）
A．R B．（﹣∞，2） C．（0，2） D．（2，+∞）
【解答】解：集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，
集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，
则A∩B={x|x＞0}∩{x|x＜2}={x|0＜x＜2}=（0，2）．
故选：C．
2．（5分）命题“∀x≥0，sinx≤1”的否定是（ ）
A．∀x＜0，sinx＞1 B．∀x≥0，sinx＞1 C．∃x＜0，sinx＞1 D．∃x≥0，sinx＞1
【解答】解：∵“∀x≥0”的否定是“∃x≥0”，“都有sinx≤1”的否定是“使得sinx＞1”，
∴“∀x≥0，都有sinx≤1”的否定是“∃x≥0，使得sinx＞1”．
故选：D．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．f（x）=﹣x2 B．f（x）=3﹣x C．f（x）=ln|x| D．f（x）=x+sinx
【解答】解：对于A，函数在（0，+∞）递减，不合题意；
对于B，不是偶函数，不合题意；
对于C，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于D，是奇函数，不合题意；
故选：C．
第5页（共19页） 4．（5分）已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=2a2（n=1，2，3，…），则（ ）
A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2 D．a2=0
【解答】解：数列{an}满足a1+a2+…+an=2a2（n=1，2，3，…），
n=1时，a1=2a2；
n=2时，a1+a2=2a2，
可得a2=0．
故选：D．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若，则点A的横坐标为（ ）
A． B． C．﹣3 D．3
【解答】解：设点A的横坐标为a，由题意可得 a＜0，|OA|=，
且=sin（﹣∠AOC）=﹣sin（∠AOC﹣）=﹣，
求得a=﹣，
故选：A．
6．（5分）已知向量，是两个单位向量，则“=”是“||=2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵向量，是两个单位向量，
则“=”时，“||=2”，
即“=”是“||=2”的充分条件；
“||=2”，向量，同向，结合向量，是两个单位向量，可得“=”，
即“=”是“||=2”的必要条件；
故“=”是“||=2”的充分必要条件；
第6页（共19页） 故选：C．
7．（5分）已知函数（）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由图象可知f（x）的周期为T==π，
∴=π，解得ω=2．
由图象可知f（）=1，即=1，
∴+φ=+kπ，k∈Z．
∴φ=﹣+kπ，
又，
∴φ=﹣．
故选：B．
8．（5分）若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，e） B．（e，+∞） C．（0，e] D．[e，+∞）
【解答】解：由题意，当x≥0时，f（x）=xex，
则f′（x）=（x+1）ex，
第7页（共19页） 令f′（x）=0，可得x=﹣1，
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，在函数f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减；
当x∈（﹣1，0]时，f′（x）＞0，在函数f（x）在（﹣1，0]单调递增；
∴当x=﹣1时，f（x）=xex取得最小值为．其值域为[，+∞）
那么：当x＞0时，二次函数f（x）=ax2﹣2x的最小值大于等于．
∴a＞0，其对称x=＞0．
则f（x）min=f（）．
即，
解得：a≥e
故选：D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）已知等差数列{an}满足a1=2，a2+a4=a6，则公差d= 2 ．
【解答】解：在等差数列{an}中，由a1=2，a2+a4=a6，
得2a1+4d=a1+5d，即4+4d=2+5d，得d=2．
故答案为：2．
10．（5分）已知向量=（1，0），=（m，n），若与平行，则n的值为 0 ．
【解答】解：向量=（1，0），=（m，n），=（m﹣1，n），
若与平行，可得：n•1=0•（m﹣1），即n=0．
故答案为：0．
11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= ﹣2 ．
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，
可得f（0）=0，且f（x+2）=f（x），
第8页（共19页） 则=﹣f（）+0=﹣f（+2）=﹣f（），
由当0＜x＜1时，，
可得f（）=2，
即=﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（5分）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：h=cost，t∈[0，+∞），则小球在开始振动（即t=0）时h的值为 ，小球振动过程中最大的高度差为 4
厘米．
【解答】解：由关系式：h=cost，t∈[0，+∞），
整理得：h=，
当t=0时，h=，
小球振动过程中最大的高度，
即：，
小球振动过程中最低的高度，
即：厘米．，
所以最大高度差为：4．
故答案为：；4．
13．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为 2 ．
