北京市海淀区2017届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)
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海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学（理科） 2016.11
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}Axx，{(1)(3)0}Bxxx，则AB
A. {1}xx B. {23}xx C. {13}xx D. {2xx或1}x
2. 已知向量(1,2),(2,4)ab，则a与b
A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向
3. 函数222xxy的最小值为
A. 1 B. 2 C. 22 D. 4
4. 已知命题:p0c，方程20xxc 有解，则p为
A. 0c，方程20xxc无解
B. c≤0，方程20xxc有解
C. 0c，方程20xxc无解
D. c≤0，方程20xxc有解
5. 已知函数,,logxbcyayxyx的图象如图所示，则
A. abc B. acb C. cab D. cba
6. 设,ab是两个向量，则“abab”是“0ab”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数42()cossinfxxx，下列结论中错误．．的是
A. ()fx是偶函数 B. 函数()fx最小值为34
C. π2是函数()fx的一个周期 D. 函数()fx在π0,2（）内是减函数
8．如图所示，A是函数()2xfx的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数2()2xgx的图象于点B，若函数()2xfx的图象上存在点C使得ABC为等边三角形，则称A为函数()2xfx上的好位置点. 函数()2xfx上的好位置点的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于2
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知数列{}na的前n项和31nnS，则23aa_____.
10. 若角的终边过点(3,4)P，则sin(π)____.
11. 已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则AEBD____.
12. 去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数ππsin()66yabx（,ab为常数）. 若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.
13. 设函数2,1,()(0log,1,xaaxfxaxx≤，且1)a.
①若32a，则函数()fx的值域为______；
②若()fx在R上是增函数，则a的取值范围是_____.
14. 已知函数()fx的定义域为R. ,abR，若此函数同时满足：
①当0ab时，有()()0fafb；
②当0ab时，有()()0fafb，
则称函数()fx为函数.
在下列函数中：
①sinyxx；②13()3xxy；③0,0,1,0xyxx.
是函数的为____.（填出所有符合要求的函数序号）
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）
已知数列{}na是公差为2的等差数列，数列{}nb满足1nnnbba，且2318,24bb.
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）求nb取得最小值时n的值.
16.（本小题满分13分）
已知函数π()cos(2)cos23fxxx.
（Ⅰ）求π()3f的值；
（Ⅱ）求函数()fx的最小正周期和单调递增区间.
17.（本小题满分13分）
已知函数3()9fxxx，函数2()3gxxa.
（Ⅰ）已知直线l是曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线，且l与曲线()ygx相切，求a的值；
（Ⅱ）若方程()()fxgx有三个不同实数解，求实数a的取值范围.
18. （本小题满分13分）
如图，ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且2BCCD,7AD.
（Ⅰ）求CD的长；
（Ⅱ）求sinBAD的值.
19. （本小题满分14分）
已知函数2()e()xfxxaxa.
（Ⅰ）求()fx的单调区间；
（Ⅱ）求证：当4a≥时，函数()fx存在最小值.
20.（本小题满分14分）
已知数列{}na是无穷数列，满足11lg|lglg|nnnaaa（2,3,4,n）.
（Ⅰ）若122,3aa，求345,,aaa的值；
（Ⅱ）求证：“数列{}na中存在*()kakN使得lg0ka”是“数列{}na中有无数多项是1”的充要条件；
（Ⅲ）求证：在数列{}na中*()kakN,使得12ka≤.
ABDC
海淀区高三年级第一学期期中练习
数
学（理科）答案解析
2016.11
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}Axx，{(1)(3)0}Bxxx，则AB
A. {1}xx B. {23}xx C. {13}xx D. {2xx或1}x
【考点】集合的运算，一元二次不等式。
解析：集合B＝{x|1＜x＜3}，所以，AB{23}xx，故选B。
2. 已知向量(1,2),(2,4)ab，则a与b
A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向
【考点】平面向量的定义，考查向量平行的判定。
解析：因为2(1,2)2ba，所以，两个向量平行，且方向相反。选D。
3. 函数222xxy的最小值为
A. 1 B. 2 C. 22 D. 4
【考点】基本不等式，指数函数的性质。
解析：因为2x＞0，所以，有222222222xxxxy，当且仅当222xx，即12x时取得最小值。选C。
4. 已知命题:p0c，方程20xxc 有解，则p为
A. 0c，方程20xxc无解 B. c≤0，方程20xxc有解
C. 0c，方程20xxc无解 D. c≤0，方程20xxc有解
【考点】命题的否定。
解析：命题的否定，把“存在”改为“任意“，并否定结论，所以，选A。
5. 已知函数,,logxbcyayxyx的图象如图所示，则
A.
abc B. acb C. cab D. cba
【考点】指数函数、幂函数、对数函数的图象。
解析：根据幂函数的性质，由图可知：0＜b＜1，由指数函数图象的性质，知：1a，又当x＝1时，1ya＜2，所以，12a；由对数函数图象的性质，知1c，又x＝2时，由图象可知：log21c，
所以，c＞2，所以，选C。
6. 设,ab是两个向量，则“abab”是“0ab”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考点】平面向量，充分必要条件。
解析：若||||abab，则22||||abab，化简，可得：0ab，反过来也成立，故选C。
7. 已知函数42()cossinfxxx，下列结论中错误．．的是
A. ()fx是偶函数 B. 函数()fx最小值为34
C. π2是函数()fx的一个周期 D. 函数()fx在π0,2（）内是减函数
【考点】三角函数的图象及其性质。
解析：由42()cos()sin()()fxxxfx，知函数()fx是偶函数，故A正确。
所以，C也正确，选D。
8．如图所示，A是函数()2xfx的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数2()2xgx的图象于点B，若函数()2xfx的图象上存在点C使得ABC为等边三角形，则称A为函数()2xfx上的好位置点. 函数()2xfx上的好位置点的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于2
【考点】指数函数的图象及其性质，应用知识解决问题的能力。
解析：设A（,2xx），B（2,2xx），若ABC为等边三角形，则C（11,2xx），
且AC＝AB＝2，即121(22)xx＝2，即222x＝3，又因为y＝222x单调递增，所以，方程有唯一解。
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知数列{}na的前n项和31nnS，则23aa_____.
【考点】数列的前n项和。
解析：2331aaSS＝（27＋1）－（3＋1）＝24。故填空24。
10. 若角的终边过点(3,4)P，则sin(π)____.
【考点】三角函数的定义。
解析：角的终边过点(3,4)P，所以，4sin5，sin(π)4sin5，答案：45
11. 已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则AEBD____.
【考点】平面向量。
解析：以B为原点，BC向右方向为x轴正方向，BA向上方向为y轴正方向，建立直角坐标系，则各点坐标为：A（0,1），B（0,0），D（1,1），E（1，12），
所以，AEBD＝（1，－12）（1,1）＝12，答案：12
12. 去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数ππsin()66yabx（,ab为常数）. 若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.
【考点】：三角函数的图象，三函数的运算。
解析：将（6,22），（12,4）代入函数，解得13,18ab，所以，1318sin()66yx，
当x＝8时，1318sin(8)66y＝31。填31。
13. 设函数2,1,()(0log,1,xaaxfxaxx≤，且1)a.
