北京市五中高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
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2015-2016学年北京五中高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（ ）
A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}
2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知||=2，||=3，|+|=，则|﹣|等于（ ）
A． B． C． D．
4．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（ ）
A．向左平移单位 B．向右平移单位
C．向左平移单位 D．向右平移单位
5．若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
6．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（ ）
A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣，]
7．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则•=（ ）
A．﹣1
B．﹣ C．﹣
D．﹣
8．已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
二、填空题
9．写出命题P：∃x∈（﹣∞，0），x2+x+1≤0的否定￢P： ．
10．函数f（x）=ln（﹣x2+2x+3）的单调减区间为 ．
11．已知正数x，y满足x+2y=2，则+的最小值为 ．
12．已知向量=（x2，x+1），=（1﹣x，t），若函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，则t的取值范围为 ．
13．已知tan（α﹣β）=，tanβ=﹣，且α，β∈（0，π），则2α﹣β的大小为 ．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：
①f（）=；
②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；
③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．
其中所有正确结论的序号是
．
三、解答题（共80分）
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．
16．已知向量=（sin（x+），cos（x+）），=（sin（x+），cos（x﹣）），函数f（x）=，x∈R．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称中心坐标；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向下平移个单位，再向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，试写出y=g（x）的解析式并作出它在[﹣，]上的图象．
17．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．
18．（14分）（2015秋•北京校级期中）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，G是EF的中点，AG=1
（1）证明：AG⊥平面ABCD；
（2）求直线BF与平面ACE所成角的正弦值；
（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．已知函数f（x）=x2﹣（a2﹣a）lnx﹣x（a≤）．
（1）若函数f（x）在2处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设g（x）=a2lnx2﹣x，若f（x）＞g（x）对∀x＞1恒成立，求a的取值范围．
20．设集合S={1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为Pn．
（1）求P2，P3的值；
（2）求Pn的表达式．
2015-2016学年北京五中高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（ ）
A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．
【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，
变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，
解得：1＜x＜4，
∴B={2，3}，
∵A={1，2}，
∴A∪B={1，2，3}，
∵集合U={0，1，2，3，4，5}，
∴∁∪（A∪B）={0，4，5}．
故选D．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．
2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】不等关系与不等式．
【专题】常规题型．
【分析】我们分别判断“a＞2”⇒“a2＞2a”与“a2＞2a”⇒“a＞2”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．
【解答】解：∵当“a＞2”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0
∴“a2＞2a”成立
即“a＞2”⇒“a2＞2a”为真命题；
而当“a2＞2a”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0即a＞2或a＜0
∴a＞2不一定成立
即“a2＞2a”⇒“a＞2”为假命题；
故“a＞2”是“a2＞2a”的充分非必要条件
故选A
【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，即若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件．
3．已知||=2，||=3，|+|=，则|﹣|等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】|+|2═22+2，整体求解2=6，运用|﹣|2=22，得出|﹣|
【解答】解：∵ |=2，||=3，|+|=，
∴2=6，
∵|﹣|2=22=4+9﹣6=7，
∴|﹣|=，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的运算，关键是运用好向量的平方和向量模的平方的关系，属于容易题．
4．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（ ）
A．向左平移单位 B．向右平移单位
C．向左平移单位 D．向右平移单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．
5．若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角C的余弦等于﹣，从而得到△ABC是钝角三角形，得到本题答案．
【解答】解：∵角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，
∴根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8
设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC===﹣
∵C是三角形内角，得C∈（0，π），
∴由cosC=﹣＜0，得C为钝角
因此，△ABC是钝角三角形
故选：C
【点评】本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
6．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（ ）
A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣，]
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
