高中数学：直线与圆练习

高中数学：直线与圆练习

一、选择题

1．圆心为(4,0)且与直线 3x－y＝0相切的圆的方程为( )

A．(x－4)2＋y2＝1 B．(x－4)2＋y2＝12

C．(x－4)2＋y2＝6 D．(x＋4)2＋y2＝9

解析：选B 由题意知,圆的半径为圆心到直线3x－y＝0的距离,即r＝|3×4－0|3＋1＝23,故圆的方程为(x－4)2＋y2＝12,故选B.

2．(长青模拟)过点P(0,1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A,B两点,若|AB|＝2,则该直线的斜率为( )

A．±1 B．±2

C．±3 D．±2

解析：选A 由题意设直线l的方程为y＝kx＋1,

因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1),半径为r＝1,又弦长|AB|＝2,

所以圆心到直线的距离为d＝ r2－|AB|22＝ 1－12＝22,所以有|k|k2＋1＝22,解得k＝±1.

3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22,则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )

A．内切 B．相交

C．外切 D．相离

解析：选B 圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为x2＋(y－a)2＝a2,由题意,M(0,a)到直线x

＋y＝0的距离d＝a2,所以a2＝a22＋2,解得a＝2(a＝－2舍去)．所以圆M：x2＋(y－2)2＝4,所以两圆的圆心距为2,半径和为3,半径差为1,故两圆相交．

4．在等腰三角形MON中,|MO|＝|MN|点O(0,0),M(－1,3),点N在x轴的负半轴上,则直线MN的方程为( )

A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0

C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0

解析：选C 因为|MO|＝|MN|所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数,所以kMN＝－kMO＝3,所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1),即3x－y＋6＝0.

5．(重庆模拟)直线x＋y＋2＝0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x－2)2＋y2＝1上,则△ABP面积的取值范围是(

)

A．[2,22 ] B．[2,4]

C．[1,2] D．[1,3]

解析：选D 由直线x＋y＋2＝0可得A(－2,0),B(－2,0),∴|AB|＝2,

又圆心(2,0)到直线的距离d＝|2＋0＋2|2＝2,

∴点P到直线x＋y＋2＝0的距离得最小值为2－1＝1,最大值为2＋1＝3,

则△ABP的面积的最小值为12×2×1＝1,最大值为12×2×3＝3,故选D.

6．在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A,B两点,OM→＝OA→＋OB→,若点M在圆C上,则实数k的值为( )

A．－2 B．－1

C．0 D．1

解析：选C 解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),由 x－ky＋1＝0，x2＋y2＝4，得(k2＋1)y2－2ky－3＝0,则Δ＝4k2＋12(k2＋1)＞0,y1＋y2＝2kk2＋1,x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－2k2＋1,

因为OM→＝OA→＋OB→,

故M－2k2＋1，2kk2＋1,又点M在圆C上．

故4k2＋12＋4k2k2＋12＝4,解得k＝0.

解法二：由直线与圆相交于A,B两点,OM→＝OA→＋OB→,且点M在圆C上,得圆心C(0,0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半,即为1,即d＝11＋k2＝1,解得k＝0.

二、填空题

7．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个,则实数a的取值范围为_____________________________________．

解析：由圆的方程可知圆心为(0,0),半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝2＋1＝3,即d＝|－a|12＋12＝|a|2＜3,

解得a∈(－32,32)．

答案：(－32,32)

8．过点C(3,4)作圆x2＋y2＝5的两条切线,切点分别为A,B,则点C到直线AB的距离为________．

解析：以OC为直径的圆的方程为x－322＋(y－2)2＝522,因为AB为圆C与圆O：x2＋y2＝5的公共弦,所以AB的方程为x2＋y2－x－322＋y－22＝5－254,化简得3x＋4y－5＝0,

所以C到直线AB的距离d＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.

答案：4

9．已知直线l：ax－3y＋12＝0与圆M：x2＋y2－4y＝0相交于A,B两点,且∠AMB＝π3,则实数a＝________.

解析：直线l的方程可变形为y＝13ax＋4,所以直线l过定点A(0,4),且该点在圆M上．圆的方程可变形为x2＋(y－2)2＝4,所以圆心为M(0,2),半径为2.如图,因为∠AMB＝π3,所以△AMB是等边三角形,且边长为2,高为3,即圆心M到直线l的距离为3,所以|－6＋12|a2＋9＝3,解得a＝±3.

答案：±3

三、解答题

10．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M,N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若OM→·ON→＝12,其中O为坐标原点,求|MN|.

解：(1)由题设可知,直线l的方程为y＝kx＋1.

因为l与C交于两点,所以|2k－3＋1|1＋k2＜1.

解得4－73＜k＜4＋73.

所以k的取值范围为4－73，4＋73.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)．

将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1,整理得

(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.

所以x1＋x2＝41＋k1＋k2,x1x2＝71＋k2.

OM→·ON→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k1＋k1＋k2＋8.由题设可得,4k1＋k1＋k2＋8＝12,解得k＝1,

所以l的方程为y＝x＋1.

故圆心C在l上,所以|MN|＝2.

11．(武汉模拟)已知圆C经过点A(0,0),B(7,7),圆心在直线y＝43x上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线l与圆C相切且在x,y轴截距相等,求直线l的方程．

解：(1)根据题意,设圆C的圆心为(a,b),半径为r,则其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2,

圆C经过点A(0,0),B(7,7),圆心在直线y＝43x上,

则有 a2＋b2＝r2，a－72＋b－72＝r2，b＝4a3，解得 a＝3，b＝4，r＝5.

则圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.

(2)若直线l与圆C相切且在x,y轴截距相等,

分两种情况讨论：

①直线l经过原点,设直线l的方程为y＝kx,则有|3k－4|1＋k2＝5,

解得k＝－34,此时直线l的方程为y＝－34x；

②直线l不经过原点,设直线l的方程为x＋y－m＝0,则有|7－m|1＋1＝5,解得m＝7＋52或m＝7－52.

此时直线l的方程为x＋y＋52－7＝0或x＋y－52－7＝0.

综上,直线l的方程为y＝－34x或x＋y＋52－7＝0或x＋y－52－7＝0.

M(3,1)是圆O12．(南昌模拟)如图,已知圆O的圆心在坐标原点,点上的一点．

(1)求圆O的方程；

(2)若过点P(0,1)的动直线l与圆O相交于A,B两点．在平面直角坐标系xOy内,是否存在与点P不同的定点Q,使得|QA||QB|＝|PA||PB|恒成立？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．

解：(1)点M(3,1)是圆O上的一点,可得圆O的半径为3＋1＝2,

则圆O的方程为x2＋y2＝4.

(2)若直线l的斜率为0,可得直线方程为y＝1,A(3,1),B(－3,1),

由|PA|＝|PB|可得|QA|＝|QB|即Q在y轴上,设Q(0,m),

若过点P(0,1)的动直线l的斜率不存在,设直线方程为x＝0,

则A(0,2),B(0,－2),由|QA||QB|＝|PA||PB|可得

m－2m＋2＝13,解得m＝1或4,由Q与P不重合,可得Q(0,4),

下面证明斜率存在且不为0的直线与圆的交点,也满足|QA||QB|＝|PA||PB|成立．

若直线的斜率存在且不为0,可设直线方程为y＝kx＋1,

联立圆x2＋y2＝4,可得(1＋k2)x2＋2kx－3＝0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

可得x1＋x2＝－2k1＋k2,x1x2＝－31＋k2,

由kQA＋kQB＝y1－4x1＋y2－4x2＝kx1＋1－4x1＋kx2＋1－4x2

＝2k－31x1＋1x2＝2k－3·x1＋x2x1x2＝2k－3·2k3＝0,

可得QA和QB关于y轴对称,所以QP为△BQA中∠BQA的角平分线,由角平分线定理得|QA||QB|＝|PA||PB|.

综上,符合条件的点Q存在,其坐标为(0,4)．