第四讲：分式

第四讲分式的化简与求值姓名
分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．
例1 化简分式：
例2 求分式当a=2时的值．
例3 若abc=1，求
例4 化简分式：
例5 化简计算(a，b，c两两不等)：
例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求
例7 化简分式：
例8 3819-=x 若，求分式15
82318262234+-++--x x x x x x 的值。

例9 若
a c
b a b
c b a c c b a ++-=+-=-+，求abc c b c a b a ))()((+++的值。

例
10
练 习 四
1．化简分式：
2．计算：)101)(100(1)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1++++++++++++x x x x x x x x
3．已知：(y -z)2+(z -x)2+(x -y)2=(x+y -2z)2+(y+z -2x)2+(z+x -2y)2，
4、已知b a ab x b a b a b a +=≠+≠≠≠4,0,0,0,，求b
x b x a x a 22222-++-+的值。

第四讲分式方程及应用学习目标1、学会解分式方程。

2、学会找等量关系，通过列方程解决实际问题。

一、知识回顾知识点1、解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

知识点2、解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

知识点3、列分式方程解应用题的步骤和注意事项列分式方程解应用题的一般步骤为：①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；④解方程并检验；⑤写出答案．注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．课前热身：1.分式方程3x＋61x-＝27x x-的解为x＝___________.2.若方程12x-＋3＝12xx--有增根，则增根为x＝＿＿＿.3.当x=( )时,125x xx x+--与互为相反数.A.65; B.56; C.32; D.23 4.解分式方程：（1）2121x x x+=+ （2） x x x -+--3132=1 答案：1.x ＝109；2. x ＝2；3.B 4. （1）1x = （2）x=2 二、 例题辨析例1、解下列方程（1）xx x --=+-34231 （2） 2123442+-=-++-x x x x x （1）解：经检验，可知x ＝1，是原方程的解. （2）解：经检验，可知x ＝－1是原方程的根.变式练习：1、方程xx x -=++-1315112的根是（ C ） A . x ＝1 B . x ＝－1 C . x ＝83 D . x ＝2 2、解方程解方程21124x x x -=--（答案：x=－3/2）例2、m 为何值时，关于x 的方程会产生增根？ 1146246214)3(2134231=--=--=-+-=-+--=+-x x x x x x x x x x 1886423523654)2)(1()2)(3(4212344222-=-=--=++-=+++--=++++-=-++-x x x x x x x x x x x x x x x x x 23422+=-+-2x x mx x解：去分母，方程两边都乘以经X 2－4，得6342-=++x mx x若产生增根，则使最简公分母X 2－4＝0，解得X =±2 代入上式得m ＝6或－4说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根变式练习：若解分式方程产生增根，则m 的值是（ ）A -1或-2B 1或-2C 1或2D 1或-2例3.有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期内完成，若乙队单独做，则要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？解：设完成该工程的规定日期为x 天， 根据题意得，132=++x x x ， 解得x ＝6，经检验，6=x 是原分式方程的根.答：规定日期是6天.变式练习：在一次军事演习中，红方装甲部队按原计划从A 地向距离150km 的B 地的蓝方一支部队直接发起进攻，但为了迷惑蓝方，红方先向蓝方另一支部队所在的C 地前进，当蓝方在B 地的部队向 C 地增援后，红方在到达D 地后突然转向B 地进发.一举拿下了B 地，这样红方比原计划多行进了90km ，且实际进度每小时比原计划增加了10km ，正好是原计划所用时间的65达到B 地，试求红方装甲部队的实际行进速度.（由于实际地形条件的限制，速度不能超过每小时50km ）解：设红方装甲部队的实际行进速度为每小时xkm ，由题意得 xx 901506510150+⋅=- 解这个方程得40=x ，经检验，40=x 是原方程的解，但实际条件限制4050=∴≤x ,x 符合题意.例4、某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润=售价-进价，利润率100%=⨯利润进价） xx x x m x x 1112+=++-+解：设这种计算器原来每个的进价为x 元， 根据题意，得4848(14)1005100(14)x x x x---⨯+=⨯-%%%%%． 解这个方程，得40x =．经检验，40x =是原方程的根．答：这种计算器原来每个的进价是40元．变式练习：甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购货方式更合算？（1）设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元/千克（m ，n 是正数，且m ≠n ） 甲两次购买饲料的平均单价为2100010001000⋅+n m ＝2n m +（元/千克）， 乙两次购买饲料的平均单价为n m 8008002800+⨯＝n m mn +2（元/千克）. （2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是2n m +－n m mn +2＝)(2)(2n m m m ++－)(24n m mn + ＝)(24222n m mn n mn m +-++＝)(2)(2n m n m +-， 由于m 、n 是正数，因为m ≠n 时，)(2)(2n m n m +-也是正数，即2n m +－n m mn +2＞0， 因此乙的购买方式更合算.三、 归纳总结归纳1. 分式化简的基本方法①整体代入；②巧妙变形；③引进参数；④利用倒数等，不能一一枚举。

初中数学复习第四讲——整式与分式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中数学复习第四讲——整式与分式一、知识结构说明：在本部分，代数式分为整式和分式讨论。

在实数范围内，代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。

二、知识点梳理1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。

2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独一个数也是单项式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（包括符号）；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3.多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

4.整式：单项式、多项式统称为整式。

5.分式：两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为AB.如果B中含有字母，那么AB叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

6.同类项：所含的字母相同，且相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。

合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变（合并同类项，法则不能忘，只求系数代数和，字母指数不变样）。

7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法则和合并同类项来完成整式的加减运算。

去括号法则：括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—”号，去掉“—”号和括号，括号里的各项都变号。

（括号前面是“+”号，去掉括号不变号；括号前面是“—”号，去掉括号都变号。

）8.同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

第四讲 分式（二）板块一 分式的运算 知识要点： 1、分式的乘除法⑴分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

⑵分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

以上法则用式子表示为：d b c a d c b a ⋅⋅=⋅；cb da c db a dc b a ⋅⋅=⋅=÷（其中a 、b 、c 、d 可以代表数也可以表示含有字母的整式）。

⑶对于分式的分子、分母是多项式的要先分解因式，然后再利用乘除法法则计算。

2、分式的乘方分式的乘方就是把分子、分母各自乘方，用式子表示为：n nn ba b a =)(（n 为正整数）。

⑴乘方时，一定要把分式加上括号；⑵分式乘方时确定乘方结果的符号方法与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；⑶分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；⑷在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除。

3、分式的加减法分式的加减法，可以依照分数加减法的法则来进行。

分为同分母的加减法和异分母的加减法。

而异分母的加减法是通过“通分”转化为同分母的加减法来进行运算的。

⑴同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。

用式子表示为：cba cbc a ±=± ⑵异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式后再加减。

用式子表示为：bdbcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。

⑶当一个分式和一个整式相加减时，要把这个整式看作分母为1的式子进行通分。

4、分式的四则混合运算分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的。

有些题目运用运算律，可以使计算简便。

精讲精练例题1：（1）计算：⑴3234xyy x ⋅ ⑵cd b a c ab 4322222-÷⑶2232)()(y x y x -÷ ⑷23223)2()(----⋅n m n m（2）计算：⑴411244222--⋅+-+-a a a a a a ⑵m m m 7149122-÷-例题2：计算：⑴2222235y x x y x y x ---+ ⑵qp q p 321321-++ ⑶223121cd d c +板块二 分式的化简求值 知识要点：给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。