火线100天中考数学复习集训 第4讲 分式-人教版初中九年级全册数学试题

实际应用题实际应用型问题是通过设置一个实际问题情境，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的知识技能和方法，寻求解决问题的方法或方案．此类题在中考中出现较多，通常以解答题的形式出现，难度适中．解答此类问题的关键是根据已知条件列方程(组)、不等式或建立函数关系式，并综合运用函数的性质加以分析从而解决问题．类型1 方程(组)、不等式的实际应用1．(2015·某某)某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：(1)已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值；(2)六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？2．(2015·某某)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？3．(2014·某某模拟)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2011年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2013年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．(1)求2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(2)为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2015年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2014年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2014年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．类型2 方程(组)、不等式、一次函数的实际应用1．(2015·某某)某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．(1)根据图象，求y与x的函数关系式；(2)商店想在销售成本不超过3 000元的情况下，使销售利润达到2 400元，销售单价应定为多少？2．(2015·某某)某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球(每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同)．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．(1)每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？(2)该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3 200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？3．(2015·某某)如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a 米．(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽；(3)已知某园林公司修建甬道、花圃的造价y 1(元)、y 2(元)与修建面积x(m 2)之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的甬道的宽度不少于2米且不超过10米，那么甬道宽为多少时，修建的甬道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元．类型3 方案设计1．(2015·某某改编)“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1 520元，20本文学名著比20本动漫书多440元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)．(1)求每本文学名著和动漫书各多少元；(2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，且文学名著不低于26本，总费用不超过2 000元，请求出所有符合条件的购书方案．2．(2013·某某)在“美丽某某，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案．方案1：买分类垃圾桶，需要费用3 000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1 000元，以后每月的垃圾处理费用500元．设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．(1)直接写出y1、y2与x的函数关系式；(2)在同一坐标系内，画出函数y1、y2的图象；(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？3．(2014·某某)某经销商从市场得知如下信息：他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块．设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得的利润为y元．(1)试写出y与x之间的函数关系式；，该经销商有哪几种进货方案？(3)选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？参考答案类型11．(1)根据题意，得解得答：表格中a ，b 的值分别为0.61、0.66.(2)设李叔家六月份最多可用电x 度，根据题意，得200×0.61＋200×0.66＋0.92(x －400)≤300，解得x≤450.答：李叔家六月份最多可用电450度．2.(1)设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则第二批衬衫是2x 件．由题意可得28 8002x －13 200x ＝10.解得x＝120，经检验x ＝120是原方程的解．(2)设每件衬衫的标价至少是a 元．由(1)得第一批的进价为：13 200÷120＝110(元/件)，第二批的进价为：120元/件．由题意可得：120×(a－110)＋(240－50)×(a－120)＋50×(－120)≥25%×42 000.解得a≥150.答：每件衬衫的标价至少是150元．3.(1)设2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意，得75(1＋x)21＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%.(2)设从2014年初起每年新增汽车数量为y 万辆，由题意，得(108×0.9＋y)×0.9＋y≤125.48.解得y≤20.答：从2014年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆． 类型21．(1)设y 与x 函数关系式y ＝kx ＋b ，把点(40，160)，(120，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝160，120k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝240.∴y 与x 函数关系式为y ＝－2x ＋240(40≤x≤120)．(2)由题意，销售成本不超过3 000元，，∴≤x ≤120.根据题意列方程，2－160x ＋6 000＝0，解得x 1＝60，x 2，故舍去．∴销售单价应该定为100元．2.(1)设每个气排球的价格为x 元、每个篮球的价格为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝210，2x ＋3y ＝340.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝80.答：每个气排球的价格为50元，每个篮球的价格为80元．(2)设购买气排球a 个，则购买篮球为(50－a)个，总费用为w 元．则w ＝50a ＋80(50－a)＝－30a ，得50a ＋80(50－a)≤3 200，解这个不等式，得a≥2623.∵购买气排球的个数少于30个，∴2623≤a ＜30.∵a 为正整数，∴a ＝27，28，29.∵w ＝－30a ＋4 000是a的一次函数，k ＝－30<0，∴w 随a 的增大而减小．∴当a ＝29时，购买总费用最低，此时50－29＝21(个)．w ＝－30×29＋4 000＝3 130(元)．答：当购买气排球29个，篮球21个时，总费用最低，最低费用是3 130元．3.(1)花圃的面积为：(60－2a)(40－2a)或4a 2－200a ＋2 400.(2)(60－2a)(40－2a)＝60×40×(1－38)，即a 2－50a ＋225＝0，解得a 1＝5，a 2＝45(不合题意，舍去)．∴此时甬道的宽为5米．(3)∵2≤a≤10，花圃面积随着甬道宽的增大而减小，∴800≤x花圃≤2 016.由图象可知，当x≥800时，设y 2＝k 2x ＋b ，∵直线y 2＝k 2x ＋b 经过点(800，48 000)与(1 200，62 000)，∴⎩⎪⎨⎪⎧800k 2＋b ＝48 000，1 200k 2＋b ＝62 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝35，b ＝20 000.∴y 2＝35x ＋20 000.当x≥0时，设y 1＝k 1x ，∵直线y 1＝k 1x 经过点(1 200，48 000)，∴1 200k 11＝40.∴y 1＝40x.设修建甬道、花圃的总造价为y 元，依题意，得y ＝y 通道＋y 花圃＝40(60×40－x 花圃)＋35x 花圃＋20 000＝40(2 400－4a 2＋200a －2 400)＋35(4a 2－200a ＋2 400)＋20 000＝－20a 2＋1 000a ＋104 000＝－20(a －25)2＋116 500.∵－20<0，∴当a<25时，y 随a 的增大而增大．而2≤a≤10，∴当a ＝2时，y 最小＝105 920.∴当甬道的宽为2米时，修建甬道，花圃的总造价最低，最低为105 920元． 类型31．(1)设每本文学名著x 元，每本动漫书y 元．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ＝1 520，20x －20y ＝440.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝18.答：每本文学名著和动漫书各是40元和18元．(2)设买文学名著m 本，依题意得m≥26，且40m ＋18(m ＋20)≤2 000，所以26≤m≤82029.∵m 为正整数，∴m 的值是26，27，28.方案1，购买文学名著26本，动漫书46本；方案2，购买文学名著27本，动漫书47本；方案3，购买文学名著28本，动漫书48本．2.(1)由题意，得y 1＝250x ＋3 000，y 2＝500x ＋1 000.(2)如图所示．(3)由图象可知：①当使用时间大于8个月时，直线y 1落在直线y 2的下方，y 1＜y 2，即方案1省钱；②当使用时间小于8个月时，直线y 2落在直线y 1的下方，y 2＜y 1，即方案2省钱；③当使用时间等于8个月时，y 1＝y 2，即方案1与方案2一样省钱．3.(1)y ＝140x ＋6 000(x≤50)．(2)令y≥12 600，则140x ＋6 000≥12 600，∴x ≥4717.又∵x≤50，∴经销商有以下三种进货方案：(3)∵140＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x ＝50时，y 取得最大值．又∵140×50＋6 000＝13 000，∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13 000元．。

数与式 (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．27的立方根是( )A ．9B ．±3C ．3D ．±92．使代数式x2x ＋1有意义的x 的取值X 围是( )A ．x ≥0B ．x ≠12C ．x ≥0且x ≠－12 D ．一切实数3．下列计算错误的是( )A.2·3＝ 6B.2＋3＝ 5C.12÷3＝2D.8＝2 24．下列运算正确的是( )A ．(a 2)3＝a 5B ．(a －b)2＝a 2－b 2C ．35－5＝3 D.3－27＝－3×10n (n 是正整数)，则n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．86．照下图所示的操作步骤，若输入x 的值为4，则输出的值为( )输入x →加上6→平方→减去5→输出A ．27B ．37C ．35D ．957．如图，设k ＝甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积(a ＞b ＞0)，则有( )A ．k ＞2B ．1＜k ＜2 C.12<k<1 D ．0<k<128．某企业今年3月份产值为a 万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是() A ．(a －10%)(a ＋15%)万元B ．a(1－10%)(1＋15%)万元C ．(a －10%＋15%)万元D ．a(1－10%＋15%)万元二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知a |a|＋b |b|＝0，则ab ||ab 的值为________． 10．把多项式x 2＋mx ＋5因式分解得(x ＋5)(x ＋n)，则m ＝________，n ＝________．11．已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 21＋x 22＝________．12．(2014·某某)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为________．三、解答题(共48分)13．(8分)计算：(1)4－23÷|－2|×(－7＋5)；(2)（－2）2－||－1＋(2 012－π)0－(12)－1.14.(6分)先化简，再求值：(x ＋2)2＋(2x ＋1)(2x －1)－4x(x ＋1)，其中x ＝－ 2.15.(8分)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．16．(8分)(2013·某某)已知实数a 满足a 2＋2a －15＝0，求1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1的值．17．(8分)阅读材料：对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d 的意义是⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝1×4－2×3＝－2 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2 4 3 5＝(－2)×5－4×3＝－22. (1)按照这个规定请你计算⎪⎪⎪⎪⎪⎪567 8的值； (2)按照这个规定请你计算：当x 2－4x ＋4＝0时，|x ＋1x －1⎪⎪⎪ 2x 3x －3的值．18．(10分)观察下列各等式：（1＋1）21－(1＋1)＝4÷2，（2＋1）22－(2＋1)＝92÷3， （3＋1）23－(3＋1)＝163÷4，（4＋1）24－(4＋1)＝254÷5，… (1)请你根据等式中所包含的规律再往下写出一个等式；用只含字母n 的等式表示上述等式的规律，并给出证明．参考答案1．C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B9．13．(1)原式＝2－8÷2×(－2)＝2＋8＝10.(2)原式＝2－1＋1－2＝0.14．原式＝(x 2＋4x ＋4)＋(4x 2－1)－(4x 2＋4x)＝x 2＋4x ＋4＋4x 2－1－4x 2－4x＝x 2＋3，当x ＝－2时，原式＝(－2)2＋3＝5.15．共有六种计算方法和结果，分别是：(1)a 2－2ab ＋b 23a －3b ＝a －b 3，当a ＝6，b ＝3时，原式＝1； (2)交换(1)中分式的分子和分母的位置，结果也为1；(3)a 2－b 23a －3b ＝a ＋b 3，当a ＝6，b ＝3时，原式＝3； (4)交换(3)中分式的分子和分母的位置，结果为13； (5)a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2＝a －b a ＋b ，当a ＝6，b ＝3时，原式＝13； (6)交换(5)中分式的分子和分母的位置，结果为3.16．解：原式＝1a ＋1－a ＋2（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋1）（a ＋2）＝1a ＋1－a －1（a ＋1）2＝2（a ＋1）2 ＝2a 2＋2a ＋1. ∵a 2＋2a －15＝0，∴a 2＋2a ＝15.∴原式＝215＋1＝18. 17．(1)⎪⎪⎪5 7⎪⎪⎪68＝5×8－7×6＝－2. (2)由x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2，⎪⎪⎪x ＋1 x －1 ⎪⎪⎪2x 3x －3＝⎪⎪⎪3 1 ⎪⎪⎪43 ＝3×3－4×1＝5.18．(1)（5＋1）25－(5＋1)＝365÷6. (2)（n ＋1）2n －(n ＋1)＝（n ＋1）2n÷(n ＋1)． 证明：∵左边＝（n ＋1）2n －n （n ＋1）n ＝n ＋1n ＝（n ＋1）2n ·1n ＋1＝（n ＋1）2n÷(n ＋1)＝右边． ∴上式成立．。

几何图形中的动点问题(2013·某某)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，动点M 、N 从点C 同时出发，均以每秒1 cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A 、B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2 cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM 、PN ，设移动时间为t(单位：秒)．(1)当t 为何值时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？(2)是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)根据勾股定理求得AB ＝5 cm ，分类讨论：△AMP ∽△ABC 和△APM ∽△ABC 两种情况，利用相似三角形的对应边成比例来求t 的值．(2)过点P 作PH ⊥BC 于点H ，由平行线分线段成比例求得用t 表示的PH 的值；然后根据“S ＝S △ABC －S △BPN ”列出S 与t 的关系式，再由二次函数最值的求法即可得到S 的最小值．【解答】 (1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，∴根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5 cm.以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时， AP AC ＝AM AB ，即5－2t 4＝4－t 5，解得t ＝32； ②当△APM ∽△ABC 时， AM AC ＝AP AB ，即4－t 4＝5－2t 5，解得t ＝0(不合题意，舍去)． 综上所述，当t ＝32时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似． (2)存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．过点P 作PH ⊥BC 于点H ，则PH ∥AC ，∴PH AC ＝BP BA ，即PH 4＝2t 5. ∴PH ＝85t. ∴S ＝S △ABC －S △BPN＝12×3×4－12×(3－t)·85t ＝45(t －32)2＋215(0<t<2.5)． ∵45>0， ∴S 有最小值．当t ＝32时，S 最小值＝215. 综上所述：当t ＝32时，四边形APNC 的面积S 有最小值，最小值是215.某某中考所考的图形动点问题，均是双动点问题，解决此类点运动引起几何图形变化的问题可以从以下方面入手：①若设问为“当t 为何值时，某某结论是否成立”或设问为“是否存在某一时刻t ，使结论成立”时，一般是先假设结论成立，然后通过四边形的性质或相似三角形的性质或全等三角形的性质等知识列出关于t 的方程，方程有解且求出的t 值符合实际意义时，结论成立，否则结论不成立；②若涉及求最值问题，如面积最值，周长最值时，则需将所求最值用含变量的关系式表示出来，列出函数关系式，利用函数的图象性质来解决．1．(2015·某某)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD ＝3.(1)求MP 的值；(2)在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合，当AF 等于多少时，△MEF 的周长最小？(3)若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，GQ ，求最小周长值．(计算结果保留根号)2．(2014·某某)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．(1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF，交于点P，请你写出AE 与DF的关系，并说明理由；(2)如图2，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？(请直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图3，当E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图4，当E、F分别在DC、CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P的运动路径的草图，若AD＝2，试求出线段CP的最小值．3．(2014·某某)如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B 出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)如图2，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；(3)试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．4．(2015·某某)如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4 cm.(1)填空：AD＝________cm，DC＝________cm；(2)点M，N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动．连接MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；(3)在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值．(参考数据：sin 75°＝6＋24，sin15°＝6－2 4)参考答案1．(1)由折叠的性质可知PH＝PD＝3，MH＝CD＝4，∠MHP＝90°，∴MP＝32＋42＝5.(2)作点M关于AB所在直线的对称点M′，连M′E与AB交于点F，此时△MEF的周长最小．AM′＝AM＝12－3－5＝4.∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC.∴∠MPE＝∠CEP.又由折叠的性质可知CE＝ME，∠CEP＝∠MEP.∴∠MPE＝∠MEP.∴ME＝MP＝5.∴EC＝5.∴BE＝7.∵AM∥BC，∴AM′BE＝AFBF，即47＝AF4－AF.解得AF ＝1611. ∴当AF 等于1611时，△MEF 的周长最小． (3)在(2)的基础上作M′N 平行且等于GQ ，连接NE 交于AB 点Q ，连接M′G.此时四边形MEQG 的周长最小，最小周长为ME ＋GQ ＋NE.延长M′N 与CB 的延长线交于点L.EL ＝BE ＋BL ＝11，NL ＝2.∴NE＝112＋22＝5 5.∴ME ＋GQ ＋NE ＝5＋2＋55＝7＋5 5.∴最小周长为7＋5 5.2．(1)AE ＝DF ，AE ⊥DF.理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，∠ADC ＝∠C＝90°.∵DE ＝CF ，∴△ADE ≌△DCF(SAS)．∴AE＝DF ，∠DAE ＝∠CDF.又∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE ＋∠ADF＝90°.∴AE ⊥DF.(2)是．(3)成立．理由：由(1)同理可证，AE ＝DF ，∠DAE ＝∠CDF.延长FD 交AE 于点G ，则∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠ADG ＋∠DAE＝90°，∴∠AGD ＝90°.∴AE ⊥DF.(4)由于点P 在运动中保持∠APD＝90°， ∴点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，如图所示．设AD 的中点为O ，连接OC 交弧于点P ，此时CP 的长度最小．在Rt △ODC 中，OC ＝CD 2＋OD 2＝22＋12＝ 5.∴CP ＝OC －OP ＝5－1.3．(1)由题意，得BP ＝5t cm ，QC ＝4t cm ，AB ＝BC 2＋AC 2＝10 cm.①当△BPQ∽△BAC 时，∴BP BA ＝BQ BC. ∴5t 10＝8－4t 8， ∴t ＝1；②当△BPQ∽△BCA 时，∴BP BC ＝BQ BA， ∴5t 8＝8－4t 10， ∴t ＝3241. ∴若△BPQ 与△ABC 相似，则t ＝1或t ＝3241. (2)过P 作PM⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，则PB ＝5t ，PM ＝3t ，MC ＝8－4t ，∵∠NAC ＋∠NCA＝90°，∠PCM ＋∠NCA ＝90°，∴∠NAC ＝∠PCM，且∠ACQ＝∠PMC＝90°.∴△ACQ ∽△CMP ，∴AC CM ＝CQ MP.∴68－4t ＝4t 3t ，解得t ＝78.(3)证明：如图3，仍有PM⊥BC 于点M ，PQ 的中点设为D 点，再作PE⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∵∠ACB ＝90°，∴DF 为梯形PECQ 的中位线， ∴DF ＝PE ＋QC 2. ∵QC ＝4t ，PE ＝8－BM ＝8－4t ，∴DF ＝8－4t ＋4t 2＝4. ∵BC＝8，过BC 的中点R 作直线平行于AC ，∴RC ＝DF ＝4成立，∴D 在过R 的中位线上，∴PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．4．(1)2 6 2 2(2)过点N 作NE⊥AD 于E ，作NF⊥DC 延长线于F ，则NE ＝DF.∵∠ACD＝60°，∠ACB ＝45°，∴∠NCF ＝75°，∠FNC ＝15°.∵sin 15°＝FC NC ，NC ＝x ，sin 15°＝6－24， ∴FC ＝6－24x.∴NE ＝DF ＝6－24x ＋2 2. ∴点N 到AD 的距离为(6－24x ＋22)cm. (3)∵NC＝x ，sin 75°＝FN NC ，且sin 75°＝6＋24， ∴FN ＝(6＋24x)cm. ∵PD ＝CP ＝ 2 cm ，∴PF ＝(6－24x ＋2)cm. ∴y ＝12(6＋24x ＋26－x)(6－24x ＋22)－12(26－x)×2－12(6－24x ＋2)(6＋24x)．即y ＝2－68x 2＋7－3－224x ＋2 3. ∴当x ＝－7－3－2242×（2－6）8＝7－3－226－2时， y 有最大值为2－68x 2＋7－3－224x ＋2 3 ＝2－68×(7－3－226－2)2＋7－3－224×7－3－226－2＋2 3 ＝（7－3－22）28（6－2）＋2 3＝60＋46－143－2828（6－2）＋2 3 ＝66＋73－102－3042－46(cm)．。

几何图形综合题几何图形综合题是某某各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题类型1 操作探究题(2015·某某)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小；(3)求CQ的长．【思路点拨】(1)利用旋转相等的线段、相等的角△APP′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ的大小；(3)过点B作BM⊥AQ于M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度．【解答】(1)证明：由旋转可得：AP＝AP′，∠BAP′＝∠DAP.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°.∴∠PAP′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90°.∴△APP′是等腰直角三角形．(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1，∴PP′＝ 2.∵P′B＝PD＝10，PB＝22，∴P′B2＝PP′2＋PB2.∴∠P′PB＝90°.∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠APP′＝45°.∴∠BPQ＝180°－90°－45°＝45°.(3)过点B 作BM ⊥AQ 于M. ∵∠BPQ ＝45°，∴△PMB 为等腰直角三角形．由已知，BP ＝22，∴BM ＝PM ＝2.∴AM ＝AP ＋PM ＝3.在Rt △ABM 中，AB ＝AM 2＋BM 2＝32＋22＝13.∵cos ∠QAB ＝AM AB ＝AB AQ ，即313＝13AQ ， ∴AQ ＝133. 在Rt △ABQ 中，BQ ＝AQ 2－AB 2＝2313. ∴QC ＝BC －BQ ＝13－2313＝133.1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．1．(2015·某某)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，cos ∠ABC ＝35，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C.图1 图2(1)如图1，当点B 1在线段BA 延长线上时．①求证：BB 1∥CA 1；②求△AB 1C 的面积；(2)如图2，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．2．(2013·某某)将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.(1)将图1中的△A1B1C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；(2)在图2中，若AP1＝2，则CQ等于多少？(3)如图3，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．3．(2013·内江)如图，在等边△ABC中，AB＝3，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分为图形L.(1)求△ABC的面积；(2)设AD ＝x ，图形L 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式；(3)已知图形L 的顶点均在⊙O 上，当图形L 的面积最大时，求⊙O 的面积．类型2 动态探究题(2015·某某)如图1，四边形ABCD 中，∠B ＝∠D＝90°，AB ＝3，BC ＝2，tanA ＝43. (1)求CD 边的长；(2)如图2，将直线CD 边沿箭头方向平移，交DA 于点P ，交CB 于点Q(点Q 运动到点B 停止)，设DP ＝x ，四边形PQCD 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值X 围．【思路点拨】 (1)分别延长AD 、BC 相交于E ，通过构造的Rt△ABE、Rt△DCE 求解；(2)利用△EDC∽△EPQ 及S 四边形PQCD ＝S △EPQ －S △EDC 求解．【解答】 (1)分别延长AD 、BC 相交于E.在Rt△ABE 中，∵tanA ＝43，AB ＝3，∴BE ＝4. ∵BC ＝2，∴EC ＝2. 在Rt△ABE 中，AE ＝AB 2＋BE 2＝32＋42＝5.∴sinE ＝35＝DC EC .∴CD ＝65. (2)∵∠B＝∠ADC＝90°，∠E ＝∠E，∴∠ECD ＝∠A.∴tan ∠ECD ＝tanA ＝43. ∴ED CD ＝ED 65＝43，解得ED ＝85. 如图4，由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，∴ED EP ＝DC PQ .∴8585＋x ＝65PQ ，即PQ ＝65＋34x. ∵S 四边形PQCD ＝S △EPQ －S △EDC ，∴y ＝12PQ ·EP －12DC ·ED ＝12(65＋34x)(85＋x)－12×65×85＝38x 2＋65x. 如图5，当Q 点到达B 点时，EC ＝BC ，DC ∥PQ ，可证明△DCE≌△HQC，从而得CH ＝ED ＝85， ∴自变量x 的取值方X 围为：0＜x≤85.动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决．本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系．1．(2013·某某)如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 的同侧，∠A ＝∠C＝90°，BD ⊥BE ，AD ＝BC.(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ⊥DP，交直线BE 于点Q.①当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ的值；②当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)2．(2015·某某)如图1，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与坐标原点O 重合，且AD ＝8，AB ＝6，如图2，矩形ABCD 沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动，当点P 到达C 时，矩形ABCD 和点P 同时停止运动，设点P 的运动时间为t 秒．(1)当t＝5时，请直接写出点D、点P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值X围；(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．3．(2015·某某)如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A、C、G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合)，设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N.(1)是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；(2)当点N 在AD 边上时，若BN⊥HN，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN ＝NH ；(3)过点M 分别作AB 、AD 的垂线，垂足分别为E 、F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．类型3 类比探究题(2015·某某)已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°.(1)如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF.①求证：△CAE∽△CBF；②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．(2)如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EF FC＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值； (3)如图3，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)【思路点拨】 (1)利用“夹这个角的两边对应成比例”得△CAE∽△CBF，进而证明∠EBF＝90°，利用勾股定理求EF ，进而求CE ；(2)类比(1)解题思路以及相似三角形性质得到对应边成比例，进而用含有k 的式子表示出CE ，BF ，并建立CE 2，BF 2的等量关系，从而求出k ；(3)类比(1)、(2)的思路及菱形的性质找m ，n ，p 的关系．【解答】 (1)①∵∠ACE＋∠ECB＝45°，∠BCF ＋∠ECB＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF.又∵AC BC ＝CE CF＝2，∴△CAE ∽△CBF. ②∵AE BF ＝AC BC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝ 2.由△CAE∽△CBF 可得∠CAE＝∠CBF. 又∠CAE＋∠CBE＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°. ∴EF ＝BE 2＋BF 2＝ 3. ∴CE ＝2EF ＝ 6.(2)连接BF ，同理可得∠EBF＝90°，由AB BC ＝EF FC ＝k ，可得BC∶AB∶AC＝1∶k∶k 2＋1，CF ∶EF ∶EC ＝1∶k∶k 2＋1. ∴AC BC ＝AE BF＝k 2＋1. ∴BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1. ∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k 2(BE 2＋BF 2)， 即32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104. (3)p 2－n 2＝(2＋2)m 2.提示：连接BF ，同理可得∠EBF＝90°，过C 作CH⊥AB，交AB 延长线于H ，可解得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)，∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2. ∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题．1．(2013·某某)阅读下列材料：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M ，N 分别在边AB ，DC 上，且MN∥AD，记AD ＝a ，BC AM MB ＝m n ，则有结论：MN ＝bm ＋an m ＋n. 请根据以上结论，解答下列问题：如图2，图3，BE ，CF 是△ABC 的两条角平分线，过EF 上一点P 分别作△ABC 三边的垂线段PP 1，PP 2，PP 3，交BC 于点P 1，交AB 于点P 2，交AC 于点P 3.(1)若点P 为线段EF 的中点．求证：PP 1＝PP 2＋PP 3；(2)若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．2．(2015·随州)问题：如图1，点E、E分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．[发现证明]小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图1证明上述结论．[类比引申]如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD 满足______关系时，仍有EF＝BE＋FD.[探究应用]如图3，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈)．参考答案 类型1 操作探究题 1．(1)①证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB.∵B 1C ＝BC ，∴∠CB 1B ＝∠B.又由旋转性质得∠A 1CB 1＝∠ACB，∴∠CB 1B ＝∠A 1CB 1.∴BB 1∥CA 1.②过A 作AG⊥BC 于G ，过C 作CH⊥AB 于H.∵AB＝AC ，AG ⊥BC ，∴BG ＝CG.∵在Rt△AGB 中，cos ∠ABC ＝BG AB ＝35，AB ＝5， ∴BG ＝3.∴BC ＝6.∴B 1C ＝BC ＝6.∵B 1C ＝BC ，CH ⊥AB ，∴BH ＝B 1H.∴B 1B ＝2BH.∵在Rt△BHC 中，cos ∠ABC ＝BH BC ＝35， ∴BH ＝185.∴BB 1＝365.∴AB 1＝BB 1－AB ＝365－5＝115，CH ＝BC 2－BH 2＝62－（185）2＝245. ∴S △AB 1C ＝12AB 1·CH ＝12×115×245＝13225. (2)过点C 作CF⊥AB 于F ，以点C 为圆心，CF 为半径画圆交BC 于F 1，此时EF 1最小．此时在Rt △BFC 中，CF ＝245. ∴CF 1＝245.∴EF 1的最小值为CF －CE ＝245－3＝95. 以点C 为圆心，BC 为半径画圆交BC 的延长线于F ′1，此时EF′1有最大值．此时EF ′1＝EC ＋CF′1＝3＋6＝9.∴线段EF 1的最大值与最小值的差9－95＝365. 2.(1)证明：∵∠B 1CB ＝45°，∠B 1CA 1＝90°，∴∠B 1CQ ＝∠BCP 1＝45°.在△B 1CQ 和△BCP 1中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B 1CQ ＝∠BCP 1，B 1C ＝BC ，∠B 1＝∠B，∴△B 1CQ ≌△BCP 1.∴CQ ＝CP 1. (2)作P 1D ⊥CA 于D ，∵∠A ＝30°，∴P 1D ＝12AP 1＝1. ∵∠P 1CD ＝45°，∴CP 1＝2P 1D ＝ 2.∵CP 1＝CQ ，∴CQ ＝ 2.(3)∵∠ACB＝90°，∠A ＝30°，∴AC ＝3BC.∵BE ⊥P 1B ，∠ABC ＝60°，∴∠CBE ＝30°. ∴∠CBE ＝∠A.由旋转的性质可得：∠ACP 1＝∠BCE，∴△AP 1C ∽△BEC.∴AP 1∶BE ＝AC∶BC＝3∶1.设AP 1＝x ，则BE ＝33x ，在Rt△ABC 中，∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ＝2.∴BP 1＝2－x.∴S △P 1BE ＝12×33x(2－x)＝－36x 2＋33x ＝－36(x －1)2＋36， ∵－36<0， ∴当x ＝1时，△P 1BE 面积的最大值为36. 3.(1)作AH⊥BC 于H ，∴∠AHB ＝90°.在Rt△AHB 中，AH ＝AB·sinB ＝3×sin60°＝3×32＝332. ∴S △ABC ＝3×3232＝934. (2)如图1，，y ＝S △ADE .图1 作AG⊥DE 于G ，∴∠AGD ＝90°，∠DAG ＝30°.∴DE ＝x ，AG ＝32x. ∴y ＝x ×32x 2＝34x 2. 如图2，当1.5＜x ＜3时，作MG⊥DE 于G ，图2∵AD ＝x ，∴DE ＝AD ＝x ，BD ＝DM ＝3－x.∴DG ＝12(3－x)，MF ＝MN ＝2x －3. ∴MG＝32(3－x)． ∴y＝（2x －3＋x ）32（3－x ）2＝－334x 2＋33x －934. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧34x 2（0＜x≤1.5），－334x 2＋33x －934（1.5＜x ＜3）. ，y ＝34x 2，∵a ＝34＞0，开口向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，∴x ，y 最大＝9316，如图3，当1.5＜x ＜3时，y ＝－334x 2＋33x －934， ∴y ＝－334(x 2－4x)－934＝334(x －2)2＋334. ∵a ＝－334＜0，开口向下，∴x ＝2时，y 最大＝334.∵334＞9316， ∴y 最大时，x ＝2.图3∴DE ＝AD ＝2，BD ＝DM ＝1.作FO⊥DE 于O ，连接MO ，ME.∴DO ＝OE ＝1.∴DM＝DO.∵∠MDO＝60°，∴△MDO 是等边三角形．∴∠DMO ＝∠DOM＝60°，MO ＝DO ＝1.∴MO＝OE ，∠MOE ＝120°.∴∠OME ＝30°.∴∠DME ＝90°.∴DE 是直径，S ⊙O ＝π×12＝π.类型2 动态探究题1．(1)证明：∵BD⊥BE，A ，B ，C 三点共线，∴∠ABD ＋∠CBE＝90°.∵∠C＝90°，∴∠CBE ＋∠E＝90°.∴∠ABD ＝∠E.又∵∠A＝∠C，AD ＝BC ，∴△DAB ≌△BCE(AAS)．∴AB＝CE.∴AC＝AB ＋BC ＝AD ＋CE.(2)①连接DQ ，设BD 与PQ 交于点F.∵∠DPF＝∠QBF＝90°，∠DFP ＝∠QFB，∴△DFP ∽△QFB.∴DF QF ＝PF BF. 又∵∠DFQ＝∠PFB，∴△DFQ ∽△PFB.∴∠DQP ＝∠DBA.∴tan ∠DQP ＝tan ∠DBA.即在Rt△DPQ 和Rt△DAB 中，DP PQ ＝DA AB. ∵AD ＝3，AB ＝CE ＝5，∴DP PQ ＝35.②过Q 作QH⊥BC 于点H.∵PQ⊥DP，∠A ＝∠H＝90°，∴△APD ∽△HQP.∴DP PQ ＝DA PH ＝35.∵DA ＝3，∴PH ＝5. ∵AP＝PC ＝4，AB ＝PH ＝5，∴PB ＝CH ＝1. ∵EC⊥BH，QH ⊥BH ，∴EC QH ＝BC BH .∴5QH ＝34.∴QH ＝203. 在Rt△BHQ 中，BQ ＝BH 2＋QH 2＝（203）2＋（123）2＝4343. ∵MN 是△BDQ 的中位线，∴MN ＝2343. 2.(1)D(－4，3)，P(－12，8)． (2)当点P 在边AB 上时，BP ＝6－t.∴S＝12BP ·AD ＝12(6－t)·8＝－4t ＋24. 当点P 在边BC 上时，BP ＝t －6.∴S＝12BP ·AB ＝12(t －6)·6＝3t －18. ∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4t ＋24（0≤t≤6），3t －18（6＜t≤14）. (3)∵D(－45t ，35t)，当点P 在边AB 上时，P(－45t －8，85t)．若PE OE ＝CD CB 时，85t 45t ＋8＝68，PE OE ＝CB CD 时，85t 45t ＋8＝86，解得t ＝20. ∵0≤t≤6，∴t ＝20时，点P 不在边AB 上， 不合题意．当点P 在边BC 上时，P(－14＋15t ，35t ＋6)．若PE OE ＝CD BC 时，35t ＋614－15t ＝68，解得t ＝6. 若PE OE ＝BC CD 时，35t ＋614－15t ＝86，解得t ＝19013. ∵6≤t ≤14，∴t ＝19013时，点P 不在边BC 上，不合题意． ∴当t ＝6时，△PEO 与△BCD 相似．3.(1)当点M 为AC 的中点时，有AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 与点C 的重合时，BA ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 在AC 上且AM ＝2时，AM ＝AB ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 为CG 的中点时，有AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形．(2)证明：在AB 上取点K ，使AK ＝AN ，连接KN.∵AB＝AD ，BK ＝AB －AK ，ND ＝AD －AN ，∴BK ＝DN.又DH 平分直角∠CDG，∴∠CDH ＝45°.∴∠NDH ＝90°＋45°＝135°.∵∠BKN ＝180°－∠AKN＝135°，∴∠BKN ＝∠NDH.∵在Rt△ABN 中，∠ABN ＋∠ANB＝90°，又BN⊥NH ，即∠BNH＝90°，∴∠ANB ＋∠DNH ＝180°－∠BNH＝90°.∴∠ABN ＝∠DNH.∴△BNK≌△NHD(ASA)，∴BN ＝NH.(3)①当M 在AC 上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM＝t ，∴AF ＝FM ＝22t.∴S ＝12AF ·FM ＝12·22t ·22t ＝14t 2. 当M 在CG 上时，即22＜t ＜42时，CM ＝t －AC ＝t －22，MG ＝42－t.∵AD＝DC ，∠ADC ＝∠CDG，CD ＝CD ，∴△ACD ≌△GCD(SAS)．∴∠ACD＝∠GCD＝45°. ∴∠ACM ＝∠ACD＋∠GCD＝90°.∴∠G＝90°－∠GCD＝90°－45°＝45°. ∴△MFG 为等腰直角三角形．∴FG＝MG·cos45°＝(42－t)·22＝4－22t. ∴S ＝S △ACG －S △MCJ －S △FMG ＝12×4×2－12·CM ·CM －12·FG ·FM ＝4－12·(t －22)2－12·(4－22t)2＝－34t 2＋42t －8. ∴S＝⎩⎨⎧14t 2（0＜t≤22），－34t 2＋42t －8（22＜t ＜42）. ②在0＜t≤22X 围内，当t ＝22时，S 的最大值为14×(22)2＝2； 在22＜t ＜42X 围内，S ＝－34(t －823)2＋83.当t ＝823时，S 的最大值为83. ∵83>2，∴当t ＝823秒时，S 的最大值为83. 类型3 类比探究题1．(1)证明：过点E 作ER⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S.∵BE 为角平分线，∴ER ＝ES.过点F 作FM⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，同理FM ＝FN.∵ES⊥B A ，PP 2⊥AB ，∴PP 2∥ES.同理得PP 3∥FN ，FM ∥PP 1∥ER.∵点P 为EF 中点，PP 2∥ES ，∴△FPP 2∽△FES.∴ES ＝2PP 2，同理FN ＝2PP 3.∴FM ＝2PP 3，ER ＝2PP 2.在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，FP PE ＝11， ∴根据题设结论可知：PP 1＝ER×1＋FM×11＋1＝ER ＋FM 2＝2PP 2＋2PP 32＝PP 2＋PP 3. (2)探究结论：PP 1＝PP 2＋PP 3.证明：过点E 作ER⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S ，则有ER ＝ES.过点F 作FM⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，，不妨设FP PE ＝m n ，则PF EF ＝m m ＋n ，PE EF ＝n m ＋n .∵PP 2∥ES ，∴PP 2ES ＝PF EF ＝n m ＋n. ∴ES ＝m ＋n mPP 2.∵PP 3∥FN ，∴PP 3FN ＝PE EF ＝n m ＋n .∴FN ＝m ＋n n PP 3.∴ER ＝m ＋n m PP 2，FM ＝m ＋n nPP 3. 在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，PF PE ＝m n， ∴根据题设结论可知：PP 1＝mER ＋nFM m ＋n ＝m ·m ＋n m PP 2＋n ·m ＋n n PP 3m ＋n ＝（m ＋n ）PP 2＋（m ＋n ）PP 3m ＋n＝PP 2＋PP 3. 2.[发现证明]：将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG，使AB 与AD 重合． ∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE＝∠DAG，∠B ＝∠ADG，AE ＝AG ，BE ＝DG.∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝45°.在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADF＝90°.∴∠ADG ＋∠ADF＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△EAF 和△GAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF＝45°，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF.∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF.∴EF＝BE ＋FD.[类比引申]：∠EAF＝12∠BAD ， 理由如下：将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转∠D AB 至△ADG，使AB 与AD 重合．∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE＝∠DAG，∠B ＝∠ADG，AE ＝AG ，BE ＝DG.∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝12∠BAD. ∵在四边形ABCD 中，∠B ＋∠ADF＝180°.∴∠ADG ＋∠ADF＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△EAF 和△GAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF＝12∠BAD，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF.∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋FD.[探究应用]：连接AF ，延长BA 、CD 交于点O.则∠BOC＝180°－∠B－∠C＝90°.∴△AOD 为直角三角形．在Rt△AOD 中，∠ODA ＝60°，∠OAD ＝30°，AD ＝80米．∴AO＝403米，OD ＝40米．∵OF＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403(米)，∴AO ＝OF.∴∠OAF＝45°.∴∠DAF ＝45°－30°＝15°.∴∠EAF ＝90°－15°＝75°.∴∠EAF ＝12∠BAD. ∵∠BAE ＝180°－∠OAF－∠EAF＝60°，∠B ＝60°，∴△BAE 为等边三角形． ∴BE＝AB ＝80米．由[类比引申]的结论可得EF ＝BE ＋DF ＝40(3＋1)≈109(米)．。

分式一．分式的概念及性质1．分式分概念：一般地，用A，B表示两个整式A B÷就可以表示成AB的形式．如果B中含有字母，式子AB就叫做分式．（1）分式有意义的条件：分式的分母不为零．（2）分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零．（3）分式值为正的条件分式的分子分母符号相同（两种情况）．（4）分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠)，其中A,B,C为整式．二．分式的综合运算1．分式的乘除法（1）分式的乘除法：b d bda c ac⋅=，b d bc bca c a d ad÷=⋅=．（a、b、c、d既可以表示数，也可以表示单项式/多项式等）（2）分式的约分和通分：关键是先分解因式．分式的约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，分式的值不变．最简分式：分子与分母没有公因式．分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，把几个异分母的分式化成同分母的分式，不改变分式的值．最简公分母：“各个分母”和“所有因式”的最高次幂的积．（3）分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．2．分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，a b a bc c c±±=．（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，b d bc ad bc ada c ac ac ac±±=±=．3．分式的综合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，遇到括号先算括号里面的．知识精讲三．分式的化简与求值分式的化简求值分为有条件和无条件两类．有条件化简求值指导思想：瞄准目标，抓住条件，依据条件推导目标，根据目标变换条件．方法点拨1．分式的化简与求值常用方法和技巧：（1）分步或者分组通分；（2）拆项相消或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或者利用倒数关系；（5）换元；（6）先约分后通分2．通分技巧：分步通分，分组通分，先约分后再通分，换元后通分等．一．考点：分式的性质、分式的混合运算及化简求值二．重难点：分式的混合运算及化简求值三．易错点：1．分式的分母中含有根号时，根号下的代数式一定是负的．题模一：分式的基本知识例1.1.1要使3x -+121x -有意义，则x 应满足（ ）A ．12≤x ≤3B ．x ≤3且x ≠12C ．12＜x ＜3D ．12＜x ≤3 【答案】D 【解析】根据题意得：30210x x -≥⎧⎨->⎩，解得：12＜x≤3．故选D ．例1.1.2若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【答案】1a >【解析】分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同，因分子为1，所以分母2-2x x a +也一定为正时满足条件，将式子2-2x x a +变形为2-21-1x x a ++（）（），因2210x x -+≥，即当10a ->时，分式的值恒为正例1.1.3当x ____时，分式1412x x 有意义；当x ____时，分式1111x 无意义；当x ____时，分式2224x x x x 的值为0【答案】2x ≠且6x ≠；2x =或1x =；0x =或1x =【解析】该题考查的是分式的性质． 分式有意义要求分母不为0，无意义要求分母为0，分式值为0要求分母不为0且分子为0，三点剖析题模精讲分式1412xx 有意义，则410220x x ⎧-≠⎪-⎨⎪-≠⎩，即4122x x ⎧≠⎪-⎨⎪≠⎩，即242x x -≠⎧⎨≠⎩，解得62x x ≠⎧⎨≠⎩； 分式1111x 无意义，则1101x -=-或10x -=，即111x =-或1x =，解得2x =或1x =； 分式()()()()()()22+22114222x x x x x x x x x x x x -+--==--+-的值为0，则()1020x x x ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得0x =或1x =． 例1.1.4x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【答案】(1)6x =-（2）1x =-或6x =【解析】（1）分式值为0则60x -=且2560x x --≠，得6x =-；（2）要使分式无意义，则分母2560x x --=，得1x =-或6x =题模二：分式的运算及化简求值例1.2.1化简2244xy yx x --+的结果是（ ）A ．2x x +B ．2x x -C ．2y x + D ．2y x - 【答案】D 【解析】2244xy y x x --+=2?(2)(2)y x x --=2yx -，故选D ．例1.2.2解答下列各题： （1）解方程：；（2）先化简，再求值：，其中a 满足a 2+2a ﹣7＝0【解答】解：（1）∵，∴（x ﹣2）2＝（x +2）2+16，∴x 2﹣4x +4＝x 2+4x +4+16，∴﹣4x ＝4x +16，∴x ＝﹣2， 经检验，x ＝﹣2是方程的增根，故原分式方程无解． （2）原式＝[﹣]•＝•＝，∵a 2+2a ﹣7＝0，∴a 2+2a ＝7，∴原式＝ 例1.2.3先化简，再求值：（），其中x=2．【答案】【解析】原式=[+]÷[﹣]=÷=÷=•=，当x=2时，原式==．例1.2.4已知实数a 满足a 2+2a-15=0，求11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+的值． 【答案】18【解析】11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+=11a +-2(1)(1)a a a ++-•2(1)(1)(2)a a a -++=11a +-21(1)a a -+=22(1)a +， ∵a 2+2a -15=0，∵（a+1）2=16，∵原式=216=18． 例1.2.5化简计算（式中a ，b ，c 两两不相等）222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+．【答案】0【解析】()()()()()()()()()()()()1111110a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b a c a b b a b c c b c a-+--+--+-++=+++++=------------随练1.1使代数式213x x--有意义的x 的取值范围是____． 【答案】x≥12且x≠3 【解析】根据题意得，2x -1≥0且3-x≠0，解得x≥12且x≠3． 故答案为：x≥12且x≠3．随练1.2如果分式2127a a +-的值是正数，那么a 的取值范围是________．【答案】72a >【解析】该题考察的是分式的性质．∵因为21a +恒0>，又∵分式2127a a +-的值是正随堂练习数，∴270a ->，解得：72a > ，故答案是72a >． 随练1.3先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．【答案】6﹣4【解析】原式=÷[﹣]=÷=•=（a ﹣2）2，∵a=，∵原式=（﹣2）2=6﹣4随练 1.4x 取 值时,112122x +++有意义；当x 的值为 ，分式223-1244x x x ++的值为0．【答案】592,,;24x x x ≠-≠-≠-2【解析】分式有意义则分母不为零，所以20x +≠且1202x +≠+，且120122x +≠++，所以592,,;24x x x ≠-≠-≠-分式值为零，则分子为零，且分母不为零，即()22312340x x -=-=且()224420x x x ++=+≠，故2x =．随练1.5当x 取何值时，分式2256x x x --+有意义？【答案】2x ≠±且3x ≠±【解析】间接考虑2560x x -+=，然后排除2560x x -+=的情形即可.()()256230x x x x -+=--=得20x -=或30x -=，2x =±或3x =±故要是分式有意义2x ≠±且3x ≠±即可． 随练1.6若1abc =，求111a b cab a bc b ca c ++++++++的值． 【答案】1 【解析】原式=11111111a ab abc a ab a ab ab a abc ab a abca abc ab ab a ab a a ab ab a ++++=++==++++++++++++++随练1.7已知a ，b ，c 为实数，16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+，求分式abcab bc ca++的值． 【答案】112【解析】由16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+知a ，b ，c 均不为零，故116a b +=，118b c+=，1110c a +=，解得14a =，12b =，16c =，故原式=1111112a b c=++随练1.8若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【答案】2，4【解析】若使分式1-1m 为整数，只需满足1m -为1的因数即可，即11m -=±，结果为0m =或2m =；分式11m m +-为整数，需要将式子整理为-12-1-1m m m +，即只要2-1m 为整数，11,2m -=±±，因此0,2,1,3m =-．随练1.9已知：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3，试说明不论x 为任何有意义的值，y 值均不变． 【答案】见解析【解析】本题主要考查了分式的混合运算能力． 先把分子分母分解因式再化简约分即可．证明：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3=2(3)(3)(3)x x x ++-×(3)3x x x -+-x+3=x -x+3=3． 故不论x 为任何有意义的值，y 值均不变．随练1.10已知0abc ≠，0a b c ++=，则代数式222a b c bc ca ab++的值为__________．【答案】3【解析】由0a b c ++=得()a b c =-+，()b a c =-+，()c a b =-+代入原代数式可得原式()()()22263b c a c a b b c a c b abccaabc b c a a b+++=++=++++++= 作业1若a 使分式241312a a a-++没有意义，那么a 的值是（ ）A ．0B ．13-或0 C ．2±或0 D ．15-或0【答案】D【解析】要使分式无意义，则分母为零即可，故13102a a ++=或20a =，所以15a =-或0a =，故答案为D 选项． 作业2要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________． 【答案】0x ≠且1x ≠±【解析】对于多重分式，必须要满足每一重的分母都不为0，首先0x ≠，得0x ≠；其次10x x-≠，课后作业得1x ≠±；故x 的取值范围是0x ≠且1x ≠±作业3化简：()()()222222x yz y zx z xyx y z x yz y z x y zx z x y z xy +-++++--+++---．【答案】0【解析】因为()()()2x y z x yz x y x z +--=+-，()()()2y z x y zy x y y z +++=++()()()2z x y z xy y z z x ---=+-，所以原式=()()()()()()()()()2220x yz y z y zx z x z xy x y x y y z z x -+++--+++=++-．作业4化简：÷﹣的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．a【答案】C 【解析】原式=×﹣=﹣=，作业5已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．【答案】13【解析】原式右边=()()()()()()()22222211211111Ax x B x Cx A C x B A x B x x x x x x x x -+-+++--+-==---，得2A C +=，1B A -=，11B -=-，解得10A =，11B =，8C =-，从而13A B C ++=作业6先化简，再求值：222x x x+-2212x x x -++÷211x x -+，其中x 为0＜x 的整数．【答案】14【解析】原式=2(2)x x x +-2(1)2x x -+•1(1)(1)x x x ++-=2(2)x x x +-12x x -+=(2)x x x +=12x +，∵x 为0＜x 的整数，∵x=1（舍去）或x=2，则x=2时，原式=14． 作业7阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．由分母为-x 2+1，可设-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a-1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a a b ，∴a=2，b=1∴42231x x x =222(1)(2)11x x x =222(1)(2)1x x x +211x =x 2+2+211x这样，分式42231x x x 被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x 的和．解答：（1）将分式422681x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）当x ∈（-1，1），试说明422681x x x 的最小值为8．【答案】（1）x 2+7+211x （2）见解析【解析】（1）由分母为-x 2+1，可设-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a -1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∵168a ab ，∵a=7，b=1，∵422681x x x =222(1)(7)11x x x =222(1)(7)1x x x +211x =x 2+7+211x这样，分式422681x x x 被拆分成了一个整式x 2+7与一个分式211x 的和．（2）由422681x x x =x 2+7+211x 知， 对于x 2+7+211x ，当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，即422681x x x 的最小值为8．作业8设x ，y ，z 为互不相等的三个非零实数，且111x y z y z x+=+=+，求xyz 的值． 【答案】1± 【解析】由已知111x y z y z x +=+=+，11x y y z +=+，11y zx y z y zy--=-=得y z zy x y -=-，同理可得，z x zx y z -=-，x y xy z x-=-，所以1y z z x x y zy zx xy x y y z z x ---⋅⋅=⋅⋅=---，即()21xyz =，故1xyz =±。

规律与猜想 学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来．规律与猜想类试题选材一般有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同的角度，利用不同的方法探索并发现数学规律，并自我验证，最后用于解决相关问题，真正考查了学生的数学思考能力． 类型1 数式规律(2015·某某)a 是不为1的数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数为11－2＝－1；－1的差倒数是11－（－1）＝12；已知a 1＝3，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…依此类推，则a 2 015＝________． 【思路点拨】 先根据差倒数的定义表示出各项，再归纳总结规律，最后利用规律表示a 2 015的值．【解答】 a 1＝3；a 2是a 1的差倒数，即a 2＝11－3＝－12； a 3是a 2的差倒数，即a 3＝11＋12＝23； a 4是a 3的差倒数，即a 4＝11－23＝3； …依此类推，∵2 015÷3＝671……2，∴a 2 015＝－12. 故答案为－12.解答数式规律探索题的一般步骤：第一步：找序数；第二步：找规律，分别比较数式中各部分与序数之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律得出第n 个数式．有时，也会根据计算前面几个数式，总结出循环规律，再求解，如本例题．1．(2015·某某)观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2 015个单项式是( )A ．2 015x2 015 B ．4 029x 2 014 C ．4 029x 2 015 D ．4 031x 2 0152．(2015·某某)下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x 的值为( )A ．135B ．170C ．209D ．2523．(2013·某某)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…，现用等式A M ＝(i ，j)表示正奇数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A 7＝(2，3)，则A 2 013＝( )A ．(45，77)B ．(45，39)C ．(32，46)D ．(32，23)4．(2013·某某)观察下列等式：21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；26＝64；27＝128；…，通过观察，用你所发现的规律确定22 013的个位数字是________．5．(2015·某某)观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n 都连续出现n 次，那么这一组数的第119个数是________．6．(2015·某某)古希腊数学家把数形结合1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________，2 016是第________个三角形数．7．(2014·某某)一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a 1＝－1，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝________．8．(2014·某某)观察下列等式：第一个等式：a 1＝31×2×22＝11×2－12×22； 第二个等式：a 2＝42×3×23＝12×22－13×23； 第三个等式：a 3＝53×4×24＝13×23－14×24； 第四个等式：a 4＝64×5×25＝14×24－15×25； 按上述规律，回答以下问题：用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝____________＝________________；式子a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝________．类型2 图形规律(2015·内江)如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有______根火柴棒．(用含n的代数式表示)…【思路点拨】本题可分别写出n＝1，2，3，…时所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．【解答】依题意得：n＝1，根数为4＝2×1×(1＋1)；n＝2，根数为12＝2×2×(2＋1)；n＝3，根数为24＝2×3×(3＋1)；…第n个图案火柴棒根数为2n(n＋1)．解答图形排列中的规律的一般步骤为：第一步：标图形序数；第二步：找关系，找一个图形相比前一个图形中所求量之间的关系，或找出图形中的所求量与图形序数之间的关系；第三步：计算每个图形中所求量的个数；第四步：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；第五步：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图形中的所求量的个数；第六步：验证．对于图形循环变换类规律题，求经过n次变换后对应的图形的解题步骤为：第一步：通过观察，得到该组图形经过一个循环的次数，即为a；第二步：用n除以a，商b余m(0≤m＜a)时，第n次变换后对应的图形就是一个循环变换中第m次变换后对应的图形；第三步：根据题意，找出第m次变换后对应的图形，推断出第n次变换后对应的图形．1．(2014·某某)如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2 014 cm时停下，则它停的位置是( )A．点F B．点E C．点A D．点C2．(2015·某某)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n＝( )…A ．14B ．15C ．16D ．173．(2014·某某)如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是( )A ．nB ．n －1C ．(14)n －1 D.14n 4．(2014·内江)如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是________．5．(2015·某某)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，…依此规律，第(n)个图案有________个三角形(用含n 的代数式表示)．6．(2014·德阳)如图，直线a∥b，△ABC 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC 在直线b 上，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A′B′C′(如图1)；继续以上的平移得到图2，再继续以上的平移得到图3，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是________．7．(2015·随州)观察下列图形规律：当n ＝________时，图形“”的个数和“△”的个数相等．…8．(2014·某某)将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2 014＝________．9．(2015·潍坊)如图，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n＝________.(用含n的式子表示)10．(2014·某某)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，则当N＝5，L＝14时，S＝________．(用数值作答)类型3 坐标规律(2015·德阳)如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，P n，使OP1＝1，P1P2＝3，P2P3＝5，…，P n－1P n＝2n－1(n为正整数)，分别过点P1，P2，P3，…，P n向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Q n，则点Q n的坐标为________．【思路点拨】利用特殊直角三角形求出OP n的值，再利用∠AOB＝60°即可求出点Q n的坐标．【解答】∵△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，∴∠AOC＝30°.又∵P n－1P n＝2n－1，P n Q n⊥OA，∴OQ n＝32(OP1＋P1P2＋P2P3＋…＋P n－1P n)＝32(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝32n2.∴Q n的坐标为(32n2·cos60°，32n2·sin60°)，即Q n的坐标为(34n2，34n2)．本题主要考查了坐标与图形性质，解题的关键是正确地求出OQ n的值．点的坐标变化主要是点所在的图形的位置在发生变化，解决这类问题，先应分析坐标系中的图形的位置变化规律，然后再根据图形的变化规律寻找图形上的点的坐标的变化规律．1．(2015·某某)在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按照此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，以此得到P4，P5，P6，…，则点P2 015的坐标是( )A．(0，0) B．(0，2) C．(2，－4) D．(－4，2)2．(2014·内江)如图，已知A1、A2、A3、…、A n、A n＋1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n A n＋1＝1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n＋1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n＋1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n ＋1、B n A n＋1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n.△A1B1P1、△A2B2P2、…、△A n B n P n的面积依次记为S1、S2、…、S n，则S n为( )A.n＋1 2n＋1B.n3n－1C.n2 2n－1D.n2 2n＋13．(2015·某某)已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．4．(2015·达州)在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、…S n ，则S n 的值为________(用含n 的代数式表示，n 为正整数)．5．(2015·东营)如图放置的△OAB 1，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2 015的坐标是________________．6．(2013·内江)如图，已知直线l ：y ＝3x ，过点M(2，0)作x 轴的垂线交直线l 于点N ，过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x 轴的垂线交直线l 于N 1，过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2，…；按此作法继续下去，则点M 10的坐标为____________．(2013·某某)如图，在函数y ＝8x(x ＞0)的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1＝________，S n ＝________．(用含n 的代数式表示)参考答案类型1 数式规律1．C 2.C 3.C 4.2 5.15 6.45 63 7.2 0112 8.n ＋2n （n ＋1）·2n ＋11n·2n －1（n ＋1）·2n ＋112－121×221 类型2 图形规律1．A 2.C 3.B 4.正方形 5.(3n ＋1) 6.301 7.5 8.1－122 014 9.32(34)n ，3，10 11 类型3 坐标规律1．A 2.D 3.(3n －1，02n －3 5.(2 0172，2 01532) 6.(2 097 152，0) 7．48n （n ＋1）。

第4讲二次根式二次根式的有关概念二次根式一般地，形如a(①________)的式子叫做二次根式.最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号).二次根式的性质两个重要的性质(a)2＝a(a②________)．a2＝|a|＝{③（a≥0），④（a＜0）.积的算术平方根ab＝a·b(a≥0，b≥0).商的算术平方根ab＝ab(a≥0，b>0).二次根式的运算二次根式的加减先将各根式化为⑤____________，然后合并被开方数⑥________的二次根式.二次根式的乘法a·b＝⑦________(a≥0，b≥0)二次根式的除法ab＝⑧________(a≥0，b＞0)二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算⑨________，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：a(a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：(1)非负数形式有最小值为零；(2)几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．命题点1 二次根式有意义的条件(2015·某某)要使代数式2－3x 有意义，则x 的()A ．最大值是23B ．最小值是23C ．最大值是32D ．最小值是32此命题点的考查多是在求函数自变量的取值X 围中一同考查，另外需注意的是：若是使复合型的式子有意义，必须得使每个式子有意义．1．(2015·某某)下列式子没有意义的是()A.－3B.0C. 2D.（－1）2 2．(2014·株洲)x 取下列各数中的哪个数时，二次根式x －3有意义()A ．－2B ．0C ．2D ．43．(2015·内江)函数y ＝2－x ＋1x －1中自变量x 的取值X 围是() A ．x ≤2 B ．x ≤2且x≠1C ．x ＜2且x≠1D ．x ≠14．(2015·某某)函数y ＝x －2的自变量x 的取值X 围是________．命题点2 二次根式的运算(2014·某某)计算：27－12－3－12.【解答】对于二次根式的混合运算，其运算顺序同实数的运算顺序，即是先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式的乘法运算中，若能使用整式乘法公式则尽量使用公式可使计算简便．运算结果一定要是最简二次根式．1．(2015·某某)计算8×2的结果是()A.10 B ．4 C. 6 D ．2 2．(2015·凉山)下列根式中，不能与3合并的是()A.13B.13C.23D.123．(2015·眉山)计算：22－18＝________． 4．(2015·滨州)计算(2＋3)(2－3)的结果为________．命题点3 非负数的性质(2015·资阳)已知：(a ＋6)2＋b 2－2b －3＝0，则2b 2－4b －a 的值为________．【思路点拨】 首先根据非负数的性质可求出a 的值和b 2－2b ＝3，进而可求出2b 2－4b －a 的值．本题主要考查非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根)．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.1．(2013·某某)已知实数x ，y ，m 满足x ＋2＋|3x ＋y ＋m|＝0，且y 为负数，则m 的取值X 围是()A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞－6D ．m ＜－62．(2015·某某)若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足a 2－9＋(b －2)2＝0，则第三边c 的取值X 围是________．3．(2013·某某)若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足a 2－6a ＋9＋|b －4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．1．(2015·某某A 卷)化简12的结果是()A ．4 3B ．2 3C ．3 2D ．2 6 2．(2015·某某B 卷)计算32－2的值是()A ．2B ．3 C. 2 D ．2 23．(2014·某某)在式子1x －2、1x －3、x －2、x －3中，x 可以取2和3的是() A.1x －2 B.1x －3C.x －2D.x －3 4．(2015·某某)下列计算正确的是()A.3＋2＝ 5B.12÷3＝2 C ．(5)－1＝ 5 D ．(3－1)2＝25．(2014·某某)如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b ，②a b ·b a ＝1，③ab ÷a b ＝－b ，其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③6．(2015·某某)计算5×153的结果是________．7．(原创)若最简二次根式2a－b＋4与3a＋24a＋3b是同类二次根式，则a＝________，b＝________．8．(2015·某某)计算：(3＋2－1)(3－2＋1)．9．已知a、b、c满足||a－18＋b－7＋(c－32)2＝0.(1)求a、b、c的值；(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？如果能构成三角形，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．10．(2015·随州)若代数式1x－1＋x有意义，则实数x的取值X围是()A．x≠1 B．x≥0C．x≠0 D．x≥0且x≠111．(2015·某某)已知x＝2－3，则代数式(7＋43)x2＋(2＋3)x＋3的值是() A．0 B. 3 C．2＋ 3 D．2－ 312．(原创)对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b＝a＋ba－b，如3※2＝3＋23－2＝ 5.那么8※4＝________．13．观察下面的变形规律：12＋1＝2－1，13＋2＝3－2，14＋3＝4－3，15＋4＝5－4，…解答下面的问题：(1)若n为正整数，请你猜想1n＋1＋n＝________；(2)计算(12＋1＋13＋2＋14＋3＋…12 015＋ 2 014)×( 2 016＋1)．参考答案考点解读考点1 ①a≥0②≥0③a④－a考点2 ⑤最简二次根式⑥相同⑦ab ⑧ab⑨乘除各个击破例1 A题组训练 1.A 2.D 3.B 4.x≥2例2 原式＝33－2＋3（2－3）（2＋3）－23＝33－(2＋3)－23＝33－2－3－23＝－2. 题组训练 1.B 2.C 3.－ 2 4.－1例3 12题组训练 1.A 2.1整合集训基础过关1．B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.5 7.0 18.原式＝[3＋(2－1)][3－(2－1)]＝(3)2－(2－1)2＝3－(2－22＋1)＝2 2.9.(1)由非负数的性质求得：a＝32，b＝7，c＝4 2.(2)因为a＋c＝32＋42＝72，所以a＋c>b，因为c－a＝42－32＝ 2.所以c－a<b.所以以a、b、c为边能构成三角形．三角形的周长为72＋7.能力提升10．D 11.C 12. 313.(1)n＋1－n(2)原式＝[(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 016－ 2 015)]( 2 016＋1) ＝( 2 016－1)( 2 016＋1)＝( 2 016)2－12＝2 016－1＝2 015.。

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目前，公司拥有4项注册商标、一项国家专利，并与广西师范大学出版社、黑龙江教育出版社、北京市海淀区教师进修学校、黄冈市教育科学研究院等全国知名出版社、教育研发机构深度合作，重点研发教育类图书、报刊、网站等项目。

公司宗旨：服务教师、服务教学、服务教育公司使命：以图书出版推动教育进步公司愿景：让每一位学生以较小的成本分享到高品质的教育《火线100天》数学数学2015年全国中考真题分类解析《火线100天》Word 版2015年全国中考真题荟萃2011-2015年河北省中考真题荟萃2013～2015年河北中考数学试题分析及2016年中考复习备战策略河北中考考点28讲第一单元数与式第二单元方程与不等式第三单元函数第四单元图形的初步认识与三角形第五单元四边形第六单元圆第七单元图形与变换第八单元统计与概率河北中考6大题型轻松搞定河北中考考点28讲第一单元数与式第1讲实数与实数运算第2讲整式及因式分解第3讲分式滚动小专题（一）数与式的计算单元测试（一）数与式河北中考考点28讲第二单元方程与不等式第4讲一次方程（组）第5讲分式方程第6讲一元一次不等式（组）第7讲一元二次方程滚动小专题（二）方程、不等式的解法滚动小专题（三）方程（组）、不等式的实际应用单元测试（二）方程与不等式河北中考考点28讲第三单元函数第8讲函数及其图象第9讲一次函数的图象和性质第10讲一次函数的实际应用第11讲反比例函数第12讲二次函数的图象和性质第13讲二次函数的实际应用滚动小专题（四）函数的图象和性质滚动小专题（五）函数的实际应用单元测试（三）函数（A卷）单元测试（三）函数（B卷）滚动阶段测试（一）1～3单元河北中考考点28讲第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲三角形的基本知识第16讲全等三角形第17讲等腰三角形和直角三角形第18讲图形的相似滚动小专题（六）三角形的有关计算与证明第19讲锐角三角函数及其应用滚动小专题（七）解直角三角形单元测试（四）图形的初步认识与三角形（A卷）单元测试（四）图形的初步认识与三角形（B卷）河北中考考点28讲第五单元四边形第20讲多边形与平行四边形第21讲特殊的平行四边形滚动小专题（八）四边形的有关计算与证明单元测试（五）四边形河北中考考点28讲第六单元圆第22讲圆的基本性质第23讲与圆有关的位置关系第24讲圆的有关计算滚动小专题（九）圆的有关计算与证明单元测试（六）圆河北中考考点28讲第七单元图形与变换第25讲图形的平移、对称、旋转与位似第26讲视图与尺规作图滚动小专题（十）与图形变换有关的证明与计算单元测试（七）图形变换滚动阶段测试（二）1～7单元河北中考考点28讲第八单元统计与概率第27讲统计第28讲概率滚动小专题（十一）统计与概率的应用单元测试（八）统计与概率滚动阶段测试（三）1～8单元河北中考6大题型轻松搞定专题复习（一）基本运算专题复习（二）数学思想方法专题复习（三）规律与猜想专题复习（四）函数问题专题复习（五）图形问题专题复习（六）河北压轴题专题复习（一）基本运算第1课时数式运算第2课时定义新运算或新概念专题复习（三）规律与猜想第1课时数式的规律第2课时图形的规律专题复习（四）函数问题第1课时函数基础知识第2课时函数的图象与性质1第3课时函数的图象与性质2第4课时函数的图象与性质3第5课时函数建模1第6课时函数建模2专题复习（五）图形问题第1课时图形的基本性质第2课时三角形全等第3课时解三角形与三角形相似第4课时四边形第5课时圆第6课时图形变换第7课时几何综合专题复习（六）河北压轴题第1课时动态问题1第2课时动态问题2第3课时动态问题3第4课时解决问题1第5课时解决问题2第6课时解决问题3。

第3讲分式命题点年份(2013～2015)题序题型分值考查方向分式的运算2015 15 解答题8 近5年考查3次，题型均为解答题，考查分式的化简求值.分式的概念及分式有意义、值为零的条件分式的概念一般地，如果a、b表示两个整式，并且b中含有①____，那么式子ab称为②____．其中a称为分式的分子，b称为分式的分母.分式有意义和分式值为零的条件(1)分式有意义的条件：分母③______零；(2)分式无意义的条件：分母④____零；(3)分式的值等于零的条件：分子⑤____零且分母⑥______零.分式的基本性质分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．即：ab＝a×mb×m ＝a÷mb÷m(其中a、b、m是整式，且m≠0).分式的约分与通分(1)依据分式基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫约分，约分的结果应是⑦__________________；(2)依据分式基本性质，将异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，通分的关键是确定公分母.【易错提示】若原分式的分子(或分母)是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子(或分母)用括号括上，再乘(或除以)整式m.分式的运算分式的乘除(1)分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．即：ab·cd＝a·cb·d；(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．即：ab÷cd＝ab·dc ＝a·db·c.分式的乘方分式乘方，将分子与分母分别乘方，即⎝⎛⎭⎪⎫ban＝b na n.(n为正整数)分式的加减(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．即ba±ca＝b±ca；(2)异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．即ba±dc＝bcac±adac ＝bc±adac.分式的混合运算分式的混合运算同分数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如有括号先计算括号里的；分式的混合运算，要根据式子的特点选择灵活简便的运算方法，运算过程中，要善于运用交换律、结合律、分配律等运算定律；分式的运算结果一定要是⑧______________________.【易错提示】乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．1．分式乘法的实质是约分，能直接约分的应先约分，不能直接约分的，可先因式分解，看能否约分，然后按法则进行．2．分式求值的方法有：(1)先化简，再求值；(2)由值的形式整体代入求代数式的值；(3)代数式中的某些值隐含在方程等题设条件下，找出后将其变为已知求值．命题点1分式的概念及分式有意义、值为零的条件(2014·某某三十八中模拟)若分式aa－2无意义，则( ) A．a＝2 B．a＝0C．a>2 D．a>0解答本题的关键在于弄清分式无意义的条件．(2015·某某)若分式x －2x ＋1的值为0，则x 的值为( )A ．2或－1B ．0C ．2D ．－1分式ab值为零，必须满足：a ＝0且b≠0.1．(2015·某某)要使分式1x ＋2有意义，则x 的取值应满足( )A ．x ＝－2B ．x ≠2C ．x ＞－2D ．x ≠－2 2．(2014·某某十八中模拟)如果分式2－xx 的值为0，那么x 为( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．(2014·某某预测)使分式x2x －4有意义的x 的取值X 围是( )A ．x ＝2B ．x ≠2C ．x ＝－2D ．x ≠－24．(2015·某某)如果分式2xx ＋3有意义，那么x 的取值X 围是________．命题点2 分式的运算(2015·某某)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －1＋11－a ·1a，其中a ＝－12.【思路点拨】 根据运算顺序，先对括号内的分式进行通分，再根据乘法法则化简分式，最后代入a 的值进行计算． 【解答】分式的运算应按照运算法则及顺序逐步进行，运算时，若分子、分母是多项式，应尽量因式分解，便于通分或约分，其结果一定要化为最简分式或整式．还应注意：不要把分式的运算和解分式方程变形相混淆，随意将分母去掉．若给出了参数的值，则需代入求出最后的结果．1．(2015·某某)化简m 2m －3－9m －3的结果是( )A ．m ＋3B ．m －3 C.m －3m ＋3D.m ＋3m －32．(2015·某某)化简x 2x －1＋11－x 的结果是( )A ．x ＋1 B.1x ＋1C ．x －1D.x x －13．(2015·蜀山二模)化简a 2－1a 2＋2a ＋1÷a －1a 的结果是( )A.12 B.a a ＋1 C.a ＋1aD.a ＋1a ＋24．计算：(a －1a )÷a －1a .5．(2015·某某)先化简，再求值：x x 2－1÷(1＋1x －1)，其中x ＝2－1.(2014·某某模拟)先化简，再求值：x 2－4x ＋42x ÷x 2－2xx 2＋1，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值．1．(2015·某某)分式－11－x 可变形为( )A ．－1x －1B.11＋x C ．－11＋xD.1x －12．(2014·某某)若分式x 2－1x －1的值为0，则x 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±13．(2014·某某)计算x 2－4x －2的结果是( )A ．x －2B ．x ＋2 C.x －42D.x ＋2x4．化简x 2x －1＋x1－x 的结果是( )A ．x ＋1B ．x －1C ．－xD ．x5．(2015·某某)下列运算正确的是( ) A ．(2a 2)3＝6a 6B ．－a 2b 2·3ab 3＝－3a 2b 5C.b a －b ＋a b －a＝－1 D.a 2－1a ·1a ＋1＝－16．若使式子1－2xx有意义，则x 的取值X 围是________． 7．(2015·某某)若分式x 2－1x ＋1的值为0，则x ＝________.8．(2015·某某)计算：a a ＋2－4a 2＋2a ＝________.9．(2014·某某)若a b ＝12，则a ＋bb＝________.10．(2014·某某七中模拟)某商品的进价为x 元，售价为120元，则该商品的利润率可表示为________． 11．(2015·某某)化简：（a ＋b ）2a 2＋b 2－2aba 2＋b 2.12．(2015·潜江、天门)先化简，再求值：a ＋1a ·a2a 2－1，其中a ＝5.13．(2015·某某)先化简，再求值：(1－1x －1)÷x 2－4x ＋4x 2－1，其中x ＝－2.14．(2015·某某)若a ＝2b≠0，则a 2－b2a 2－ab 的值为________．15．(2015·达州)化简a a 2－4·a ＋2a 2－3a －12－a，并求值．其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数． 参考答案 考点解读①字母 ②分式 ③不等于 ④等于 ⑤等于 ⑥不等于 ⑦整式或最简分式 ⑧整式或最简分式 各个击破 例1A 例2C题组训练 1.D2.D3.B4.x≠－3例3 原式＝(a 2－1a －1)·1a ＝（a －1）（a ＋1）a －1·1a ＝a ＋1a .将a ＝－12代入原式，得原式＝－1.题组训练 1.A2.A3.B4.原式＝a 2－1a ÷a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a ·aa －1＝a ＋1.5.原式＝x （x ＋1）（x －1）·x －1x ＝1x ＋1.当x ＝2－1时，原式＝1x ＋1＝12－1＋1＝12＝22.6.原式＝（x －2）22x ·x 2x （x －2）＋1＝x －22＋1＝x2.∵x 取0和2时，原式无意义，∴x 不能等于0或2，当x ＝1时，原式＝12.整合集训1．D2.C3.B4.D5.C6.x≤12且x≠0 7.1 8.a －2a 9.3210.120－xx11.原式＝a 2＋2ab ＋b 2－2ab a 2＋b 2＝a 2＋b2a 2＋b 2＝1.12.原式＝a ＋1a ·a 2（a ＋1）（a －1）＝aa －1，当a ＝5时，原式＝55－1＝54.13.原式＝(x －1－1x －1)÷（x －2）2（x ＋1）（x －1）＝x －2x －1·（x ＋1）（x －1）（x －2）2＝x ＋1x －2. 14.3215.原式＝a （a ＋2）（a －2）·a ＋2a （a －3）＋1a －2＝1（a －2）（a －3）＋a －3（a －2）（a －3）＝a －2（a －2）（a －3）＝1a －3.∵a 与2、3构成△ABC 的三边， ∴3－2＜a ＜3＋2，即1＜a ＜5. ∵a 为整数， ∴a ＝2、3、4.当a ＝2时，分母2－a ＝0，舍去； 当a ＝3时，分母a －3＝0，舍去；故a 的值只能为4.∴当a ＝4时，原式＝14－3＝1.。

第4讲一次方程(组)命题点年份题号考查内容考查频次考查方向 二元一次方程组的解法201511利用加减消元法解方程组．选择题1个常与其他知识结合，预计2016年考查的可能性很大一次方程(组) 的应用201524(3)与中位数有关的列方程解决问题解答题1问近三年考查了1次，还是与中位数相结合，预计2016年考查的可能性比较大等式的基本性质性质1等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果仍①________．如果a ＝b ，那么a±c②________b ±c.性质2等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为0)，所得结果仍③________．如果a ＝b ，那么ac ＝bc(c≠0)，a c ＝bc(c≠0).一次方程(组)概念解法一元一次方程含有④________未知数、且未知数的次数是⑤________，这样的方程叫做一元一次方程．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.二元一次 方程含有两个⑥________，并且含有未知数的项的⑦________都是1的方程叫做二元一次方程．一般需找出满足方程的整数解即可.二元一次方程组两个⑧____________所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．解二元一次方程组的基本思路是⑨________．基本解法有：⑩________消元法和○11________消元法.【易错提示】 (1)解一元一次方程去分母时常数项不要漏乘，移项一定要变号；(2)二元一次方程组的解应写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 的形式． 列方程(组)解应用题的一般步骤1.审审清题意，分清题中的已知量、未知量；设○12________，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题，需设两个未知数；弄清题意，找出○13________；根据○14________，列方程(组)； 解方程(组)；检验结果是否符合题意；答题(包括单位).一次方程(组)用到的思想方法：1．消元思想：将二元一次方程组通过消元使其变成一元一次方程．2．整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷． 3．转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax ＝b ；解二元一次方程组先转化成一元一次方程． 4．数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题． 5．方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．命题点1 一元一次方程及解法(2014·滨州)解方程：2－2x ＋13＝1＋x 2. 【解答】解一元一次方程一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤．值得注意的是，去分母勿“漏项”，移项要变号．1．(2014·某某)已知关于x 的方程2x ＋a －5＝0的解是x ＝2，则a 的值为________． 2．解方程：x ＋x －12＝1－x ＋23.命题点2 二元一次方程组及解法(2015·某某)解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5， ①x －1＝12（2y －1）.② 【思路点拨】 二元一次方程组的解法主要有：代入消元法和加减消元法．基本思路是转化为一元一次方程后进行求解．先把②整理，再用减法消去x 求出y ，然后代入①求出x 即可． 【解答】用代入消元法时，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数时要特别细心；用加减消元法时，当两个方程相加减时，要特别注意符号问题．1. (2015·某某)利用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－10， ①5x －3y ＝6， ②下列做法正确的是（ ）A. 要消去y ，可以将①×5＋②×2B. 要消去x ，可以将①×3＋②×(－5)C. 要消去y ，可以将①×5＋②×3D. 要消去x ，可以将①×(－5) ＋②×22．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－21， ①x ＋3y ＝8， ②下列解法中最简便的是（ ）A ．由①得x ＝212－5y2代入②B ．由①得y ＝215－25x 代入②C ．由②得x ＝8－3y 代入①D ．由②得y ＝83－x3代入①3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10＝10y ， ①15x ＝20y ＋10. ②命题点3 一次方程(组)的应用某公园的门票价格如下表：购票人数 1～50 51～100 100以上 票价(元/人)1085某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要515元．问：甲、乙两班分别有多少人？【思路点拨】 由两班单独购票时甲班票价8元/人，乙班票价10元/人，两个班共付920元及购团体票时票价5元/人，共付款515元，可列方程组求解． 【解答】综合表格中的信息与文字叙述，理解题意是解决本题的关键．1．(2014·某某)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格？(2015·资阳改编)学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．求篮球和足球的单价．1．(2013·滨州)把方程12x ＝1变形为x ＝2，其依据是（ ）A ．等式的性质1B ．等式的性质2C ．分式的基本性质D ．不等式的性质12. (2015·某某十八县大联考一)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝m ，nx －y ＝1的解，则m ＋n 的值是（ ）A ．0B ．－2C ．1 D. 33．(2013·某某)王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，%，若到期后取出得到本息和(本金＋利息)33 825元．设王先生存入的本金为x 元，则下面所列方程正确的是（ ） A ．x%x ＝33 825 B ．x%x ＝33 825 C ．3×4.25%x ＝33 825 D ．3%x)＝33 8254．(2014·某某一模)2013年6月26日，某某市气象台继续发布高温橙色预警，提醒有关部门和单位按照职责落实防暑降温保障措施．为促进销售，某商场把某品牌空调按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2 080元．设该空调的成本价为x 元．根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．x(1＋30%)×80%＝2 080 B ．x ·30%·80%＝2 080C ．2 080×30%×80%＝xD ．x ·30%＝2 080×80%5. (2015·某某42中一模)小明用20元钱去买钢笔和铅笔，一支钢笔5元钱，一支铅笔1 元钱，如果将这20元都买成铅笔和钢笔，购买方案共有（ ） A ．3种 B ．4种 C ．5种D ．6种6．(2013·某某)如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则依题意所列方程组正确的是（ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝75y ＝3xB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝75x ＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝75y ＝3xD.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝75x ＝3y7．(2013·某某)在关于x 、y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋m ＝6，y －3＝m 中，x ＋y ＝________．8. (2015·某某28中一模)根据下图提供的信息，可知一个杯子的价格是________元．9．(2013·某某)如果4xa ＋2b －5－2y3a －b －3＝8是二元一次方程，那么a －b ＝________．10. (2015·某某42中一模改编)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，求k 的值.11．(2015·某某41中一模)定义一种新运算“”：ab ＝a －2b ，比如：2(－3)＝2－2×(－3)＝2＋6＝8.(1)求(－3)2的值；(2) 若(x －3)(x ＋1)＝1，求x 的值．12．(2013·资阳)在关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝a ，2x －y ＝1中，(1)若a ＝3，求方程组的解；(2)若S ＝a(3x ＋y)，当a 为何值时，S 有最值？13．(2014·某某)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用)． A 方法：剪6个侧面；B 方法：剪4个侧面和5个底面．现有19X 硬纸板，裁剪时xX 用A 方法，其余用B 方法．(1)用x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？14．(2013·凉山)根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球水面升高________cm ，放入一个大球水面升高________cm ； (2)如果要使水面上升到50 cm ，应放入大球、小球各多少个？15．(2015·株洲)P 表示n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P 与n 的关系式是：P ＝n （n －1）24·(n 2－an ＋b)(其中，a ，b 是常数，n ≥4)(1)填空：通过画图可得：四边形时，P ＝________(填数字)，五边形时，P ＝________(填数字)；(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值(注：本题的多边形均指凸多边形)．考点解读考点1①相等 ②＝ ③相等考点2 ④一个 ⑤1 ⑥未知数 ⑦次数 ⑧二元一次方程 ⑨消元 ⑩代入 ○11加减 考点3 ○12未知数 ○13等量关系 ○14等量关系 各个击破例1 去分母，得12－2(2x ＋1)＝3(1＋x)． 去括号，得12－4x －2＝3＋3x. 移项，合并同类项，得－7x ＝－7. 系数化为1，得x ＝1.题组训练 1.1 2.6x ＋3(x －1)＝6－2(x ＋2).6x ＋3x ＋2x ＝3＋6－4.11x ＝5.x ＝511. 例2 由②得2x －2y ＝1③. ①－②，得y ＝4. 把y ＝4代入①，得x ＝92.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝4.题组训练 1.D 2.C 3.由①，得x －2y ＝－2.由②，得3x －4y ＝2.①×2－②，得x ＝6.所以原方程的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.例3 设甲、乙两班分别有x 人和y 人，得⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋10y ＝920，5x ＋5y ＝515.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝48.答：甲班55人，乙班48人．题组训练 1.设每支中性笔x 元，每盒笔芯y 元，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋2y ＝56，2x ＋3y ＝28.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.答：每支中性笔2元，每盒笔芯8元．，则一个足球(x －30)元，由题意得2x ＋3(x －30)＝510.解得x ＝120. 答：一个篮球120元，一个足球90元．1．B 2.B 3.A 4.A 5.C 6.B 7.9 8.8 9.0⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7k ，y ＝－2k.代入2x ＋3y ＝6中得k ＝34.11.(1)(－3)2＝(－3)－2×2＝－3－4＝－7.(2)∵(x－3)(x ＋1)＝1， ∴(x －3)－2(x ＋1)＝1. ∴x＝－6.12.(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝a ，①2x －y ＝1.②①＋2×②，得5x ＝a ＋2.当a ＝3时，x ＝1.把x ＝1代入②，解得y ＝1.所以若a ＝3，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝a ，①2x －y ＝1.②①＋2×②，得x ＝a ＋25.③把③代入②，得y ＝2a －15.∵S ＝a(3x ＋y)＝a(3×a ＋25＋2a －15)＝a 2＋a ＝(a ＋12)2－14.∴当a ＝－12时，S 有最小值．13.(1)裁出的侧面个数为6x ＋4(19－x)＝(2x ＋76)个，裁出的底面个数为5(19－x)＝(－5x ＋95)个． (2)由题意得2x ＋763＝－5x ＋952.解得x ＝7.当x ＝7时，2x ＋763＝30.答：能做30个盒子．14.(1)2 3 (2)设应放入大球m 个，小球n 个．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝10，3m ＋2n ＝50－26.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝6.答：如果要使水面上升到50 cm ，应放入大球4个，小球6个．15.(1)1 5 (2)将上述值代入公式可得⎩⎪⎨⎪⎧4×（4－1）24·（16－4a ＋b ）＝1，①5×（5－1）24·（25－5a ＋b ）＝5.②化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a －b ＝14，5a －b ＝19.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.。

图形的操作与变换 类型之一 折叠与翻折问题(2015·某某)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( )A. 3B.154 C ．5 D.152【思路点拨】 求DE 的长可以转换为求BE 的长，在Rt △ABE 中，利用勾股定理可以求得．【解答】 ∵∠CBD ＝∠DBE ，∠CBD ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB.∴DEAB ＝CD ＝3，AD 的长为x ，则AE ＝6－x.在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，即32＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝154，故选择B.图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件．另外折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质．1．(2015·某某)如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC ＝3，则折痕CE 的长为( )A ．23B.323C.3D ．62．(2014·黔东南)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为( )A ．6B ．12C ．2 5D ．4 53．(2015·某某)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为( )A.35B.45C.25D.324．(2015·某某)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝24，tanC ＝2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为( )A ．13 B.152 C.272D ．12 5．(2015·黔西南)在数轴上截取从0到3的对应线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1；将AB 折成正三角形，使点A 、B 重合于点P ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为(0，2)，PM 的延长线与x 轴交于点N(n ，0)，如图3，当m ＝3时，n 的值为( )A ．4－2 3B ．23－4C ．－23 3 D.233 6．(2014·黔东南模拟)如图，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠B ＝________．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，点E 在BC 上，将△ABC 沿AE 折叠，使点B 落在AC 边上的点B ′处，则BE 的长为________．类型之二 图形旋转问题(2014·黔南)两个长为2 cm ，宽为1 cm 的长方形，摆放在直线l 上(如图1)，CE ＝2 cm ，将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将长方形EFGH 绕着点E 逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D 、H 重合时，连接AE 、CG ，求证：△AED ≌△GCD(如图2)；(2)当α＝45°时(如图3)，求证：四边形MHND 为正方形．【思路点拨】 (1)由全等三角形的判定定理SAS 证得：△AED ≌△GCD(如图2)；(2)通过判定四边形MHND 四个角是90°，且邻边DN ＝NH 来判定四边形MHND 是正方形．【解答】 (1)如图2，∵由题意知，AD ＝GD ，ED ＝CD ，∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADC ＋∠CDE ＝∠GDE ＋∠CDE ，即∠ADE ＝∠GDC.在△AED 与△GCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝GD ，∠ADE ＝∠GDC ，ED ＝CD ，∴△AED ≌△GCD(SAS)．(2)如图3，∵α＝45°，∠NCE ＝∠NEC ＝45°.∴＝NE ，∠E ＝90°.∴∠DNH ＝90°.∵∠D ＝∠H ＝90°，∴四边形MHND 是矩形．∵＝NE ，∴DN ＝NH.∴矩形MHND 是正方形．图形的旋转是全等变换，它只改变图形的位置而不改变图形的大小，它为三角形的全等或相似提供大量的边相等或角相等的条件．1．(2015·黔东南)如图，在△ABO 中，AB ⊥OB ，OB ＝3，AB ＝1.将△ABO 绕O 点旋转90°后得到△A 1B 1O ，则点A 1的坐标为( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)或(1，－3)C ．(－1，－3)D ．(－1，－3)或(－3，－1)2．(2015·某某)将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C 1D 1，B 1C 1交CD 于点E ，AB ＝3，则四边形AB 1ED 的内切圆半径为( )A.3＋12B.3－32C.3＋13D.3－333．(2015·某某)将一副三角尺(在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°；在Rt △EDF 中，∠EDF ＝90°，∠E ＝45°)如图摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C.将△EDF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，DE ′交AC 于点M ，DF ′交BC 于点N ，则PM 的值为( )A. 3B.32C.33D.124．(2015·某某)如图，平面直角坐标系的原点O 是正方形ABCD 的中心，顶点A ，B 的坐标分别为(1，1)、(－1，1)，把正方形ABCD 绕原点O 逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD 与正方形A ′B ′C ′D ′重叠部分形成的正八边形的边长为________．5．(2013·六盘水)把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线m 上，OA 边在直线m 上，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时，点O 运动到了点O 1处(即点B 处)，点C 运动到了点C 1处，点B 运动到了点B 1处，又将正方形纸片AO 1C 1B 1绕B 1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O 经过的总路程为________，经过61次旋转后，顶点O 经过的总路程为________．6．(2015·某某)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝AB ＝4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α(0＜α≤180°)，记直线BD 1与CE 1的交点为P.(1)如图1，当α＝90°时，线段BD 1的长等于________；(直接填写结果)(2)如图2，当α＝135°时，求证：BD 1＝CE 1，且BD 1⊥CE 1；(3)求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．(直接写出结果)(3)1＋3(四边形AD 1PE 1为正方形时，距离最大，此时PD 1＝2，PB ＝2＋23)．类型之三 利用轴对称求最短距离(2013·六盘水)(1)观察发现如图1，若点A 、B 在直线m 的同侧，在直线m 上找一点P ，使AP ＋BP 的值最小，作法如下：作点B 关于直线m 的对称点B′，连接AB′，与直线m 的交点就是所求的点P ，线段AB′的长度即为AP ＋BP 的最小值．如图2，在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP ＋PE 的值最小，作法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连线CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP ＋PE 的最小值为________．(2)实践运用如图3，已知⊙O 的直径CD 为2，AC ︵的度数为60°，点B 是AC ︵的中点，在直径CD 上作出点P ，使B P ＋AP 的值最小，则BP ＋AP 的最小值为________．(3)拓展延伸如图4，点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边AB 、BC 上作出点M 、点N ，使PM ＋PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．【思路点拨】 (1)利用作法得到CE 的长为BP ＋PE 的最小值；由AB ＝2，点E 是AB 的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE ＝12∠BCA ＝30°，BE ＝1，再根据含30°的直角三角形三边的关系得CE 的长度． (2)过B 点作弦BE⊥CD，连接AE 交CD 于P 点，连接OB 、OE 、OA 、PB ，根据垂径定理得到CD 平分BE ，即点E 与点B 关于CD 对称，则AE 的长就是BP ＋AP 的最小值．(3)分别作出点P 关于AB 和BC 的对称点E 和F ，然后连接EF ，EF 交AB 于M 、交BC 于N.【解答】 (1)CE 的长为BP ＋PE 的最小值．∵在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点E 是AB 的中点，∴CE ⊥AB ，∠BCE ＝12∠BCA ＝30°，BE ＝1，∴CE ＝3BE ＝ 3.(2)如图5，过B 作弦BE⊥CD，连接AE 交CD 于P 点，连接OB 、OE 、OA 、PB ，∵BE ⊥CD.∴CD 平分BE ，即点E 与点B 关于CD 对称．∵AC ︵的度数为60°，点B 是AC ︵的中点，∴∠BOC ＝30°，∠AOC ＝60°.∴∠EOC ＝30°.∴∠AOE ＝60°＋30°＝90°.∵OA ＝OE ＝1，∴AE ＝2OA ＝ 2.∴AE的长度就是BP＋AP的最小值．(3)如图6.求两条线段之和的最小值，常常想到利用轴对称将两条线段的和转化为求两点之间的距离．1．(2014·某某)如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P 是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )A. 2 B．1 C．2 D．2 22．(2014·黔东南)在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A(1，0)，B(2，0)是x轴上的两点，则PA＋PB的最小值为________．3．(2013·黔南)如图所示，正方形ABCD的边长是2，以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形ABE，P为对角线AC上的一点，则PD＋PE的最小值为________．4．(2014·某某)如图，将一副直角三角板拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB＝6 2 cm.(1)AE的长为________cm；(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；求点D′到BC的距离．参考答案 类型之一 折叠与翻折问题1．A 2.D 3.B 4.A 5.A ° 7.32类型之二 图形旋转问题1．B 2.B 3.C 2－2 5.2＋22π152＋312π 6. (1)2 5(2)证明：当α＝135°时，由旋转可知∠D 1AB ＝∠E 1AC ＝ 135°.又∵AB＝AC ，AD 1＝AE 1，∴△D 1AB ≌△E 1AC.∴BD 1＝CE 1且∠D 1BA ＝∠E 1CA.设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BFA＝∠CFP，∴∠CPF ＝∠FAB＝90°.∴BD 1⊥CE 1.(3)1＋3(四边形AD 1PE 1为正方形时，距离最大，此时PD 1＝2，PB ＝2＋23)．类型之三 利用轴对称求最短距离1．A 2. 5 3.24．(1)4 3(2)∵在Rt △ADC 中，∠ACD ＝30°，∴∠ADC ＝60°.∵E 为CD 边上的中点，∴DE ＝AE.∴△ADE 为等边三角形．∵将△ADE 沿AE 所在直线翻折得△AD′E，△AD ′E 为等边三角形，∠AED ′＝60°.∵∠EAC ＝∠DAC－∠EAD＝30°，∴∠EFA ＝90°，即AC 所在的直线垂直平分线段ED′.∴点E ，D ′关于直线AC 对称．连接DD′交AC 于点P ，∴此时DP ＋EP 值为最小，且DP ＋EP ＝DD′.∵△ADE 是等边三角形，AD ＝AE ＝43，∴DD ′＝2×AD×32＝2×6＝12，即DP ＋EP 最小值为12 cm. (3)连接CD′，BD ′，过点D′作D′G⊥BC 于点G.∵AC 垂直平分线段ED′，∴AE ＝AD′，CE ＝CD′.∵AE＝EC ，∴AD ′＝CD′＝4 3.在△ABD′和△CBD′中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，BD ′＝BD′，AD ′＝CD′，∴△ABD ′≌△CBD ′(SSS)．∴∠D′BG＝45°，∴D ′G ＝GB.设D′G 长为x cm ，则CG 长为(62－x)cm ，在Rt △GD ′C 中，x 2＋(62－x)2＝(43)2，解得x 1＝32－6，x 2＝32＋6(不合题意，舍去)．∴点D ′到BC 边的距离为(32－6)cm.。

规律与猜想规律与猜想是考查学生收集整理、分析数据、处理信息的能力，在具体、特殊的事件中探究其存在的一般规律，是一种发现和创新．常见的有：循环规律(这种规律的特征是在以几个不同的数据或几个图形在不同的位置为一组，依次循环的出现)、等差递推规律(这种规律的特征是每连续的两个数之间后一个数减去前一个数都等于同一个数)、指数递增(减)规律(这种规律的特征是出现了乘方，底数不变，指数有规律的递增)等，这些规律常在点、数式、图形、坐标、面积等的变化中体现．中考常考的方式是每一种规律单独考查，但也有少部分题是几种规律结合起来考查，掌握好每一种规律的处理方法，便能解决此类问题． 类型1 循环规律(2015·贵港)如图，已知点A 1，A 2，…，A n 均在直线y ＝x －1上，点B 1，B 2，…，B n 均在双曲线y ＝－1x上，并且满足：A 1B 1⊥x 轴，B 1A 2⊥y 轴，A 2B 2⊥x 轴，B 2A 3⊥y 轴，…，A n B n ⊥x 轴，B n A n ＋1⊥y 轴，…，记点A n 的横坐标为a n (n 为正整数)．若a 1＝－1，则a 2 015＝______．【思路点拨】 首先根据a 1＝－1，求出a 2＝2，a 3＝12，a 4＝－1，a 5＝2，…，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，每3个数一个循环，分别是－1、12、2；然后用2 015除以3，根据商和余数的情况，判断出a 2 015是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．【解答】 ∵a 1＝－1，∴B 1的坐标是(－1，1)．∴A 2的坐标是(2，1)，即a 2＝2.∵a 2＝2，∴B 2的坐标是(2，－12)． ∴A 3的坐标是(12，－12)，即a 3＝12. ∵a 3＝12，∴B 3的坐标是(12，－2)． ∴A 4的坐标是(－1，－2)，即a 4＝－1.∵a 4＝－1，∴B 4的坐标是(－1，1)．∴A 5的坐标是(2，1)，即a 5＝2.…∴a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，每3个数一个循环，分别是－1、2、12. ∵2 015÷3＝671……2，∴a 2 015是第672个循环的第2个数，∴a 2 015＝2.故答案为2.此题主要考查了一次函数及反比例函数点的坐标的特征，在逐一求出点的坐标的过程中，呈现了数的循环规律，依据一次函数和反比例函数点的坐标的特征顺次求出坐标并找出其中的规律是本题解题的关键．此外，解决此类问题的基础是要掌握好循环规律的处理方法：用所要求的结果的序数除以循环节(如果3个数一个循环，则循环节即为3)，得出的商即循环的次数，余数即循环节中的第几个数．1．(2013·某某)一列数a 1，a 2，a 3，…，其中a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n 为不小于2的整数)，则a 100＝( ) A.12B ．2C ．－1D ．－2 2．(2014·内江)如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是________．○○□□□△○○□□□△○○□□□△○○□…3．(2014·某某)观察下列运算：81＝8，82＝64，83＝512，84＝4 096，85＝32 768，86＝262 144，…，则：81＋82＋83＋84＋…＋82 014的和的个位数字是________．类型2 等差递推规律(2015·某某)如图，在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿x 轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A 1，第二次将点A 1向右移动6个单位长度到达点A 2，第三次将点A 2向左移动9个单位长度到达点A 3，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点A n ，如果点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是________．【思路点拨】 序号为奇数的点在点A 的坐标左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A 的右侧，各点所表示的数依次增加3，所以可得到A 1所表示的数为：1－3＝1－3×1＝－2，A 3所表示的数为：1－3－3＝1－3×2＝－5，A 5所表示的数：1－3－3－3＝1－3×3＝－8，…，从而顺推出第7个点所表示的数A 13＝1－3×7＝－20，同理得出第6个点所表示的数A 12＝－2＋3×7＝19；从而求出n 的最小值．除此之外，还可以用式子把A n 所表示的数表示出来，即：如果A n 在点A 的坐标左边，则A n ＝1－3×（n ＋1）2，如果A n 在点A 的坐标右边，则A n ＝－2＋3×（n ＋2）2，要使得点A n 与原点的距离不小于20，则1－3×（n ＋1）2≤－20(n 为奇数)或者－2＋3×（n ＋2）2≥20(n 为偶数)求出n 的最小值． 【解答】 根据题意可得：A 1所表示的数为：1－3＝1－3×1＝－2，A 2所表示的数为：－2＋3＋3＝－2＋3×2＝4，A 3所表示的数为：1－3－3＝1－3×2＝－5，A 4所表示的数为：－2＋3＋3＋3＝－2＋3×3＝7，A 5所表示的数：1－3－3－3＝1－3×3＝－8，A 6所表示的数为：－2＋3＋3＋3＋3＝－2＋3×4＝10，…A 12所表示的数为：－2＋3×7＝19；A 13所表示的数为：1－3×7＝－20.故n 的最小值为13.本题考查了点的移动规律，在求点的过程中，可以找到数与数之间等差的规律，根据这个规律顺推下去，即可找到所要求的结果．解决存在等差规律的题目的方法技巧是：如果所求结果的数目不是很大时，那么找出规律后，用顺推的方法即可得出结果；如果所求结果的数目很大时，那么要通过分析把这种规律用一个式子表示出来(如上述例子中思路点拨的第二种方法)，再去求所要求的结果．1．(2014·贵港)已知点A 1(a 1，a 2)，A 2(a 2，a 3)，A 3(a 3，a 4)…，A n (a n ，a n ＋1)(n 为正整数)都在一次函数y ＝x ＋3的图象上．若a 1＝2，则a 2 014＝________.2．(2015·某某)如图是由等圆组成的一组图，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由12个圆组成…，按此规律排列下去，则第⑥个图由________个圆组成．3．(2014·某某)观察以下等式：32－12＝8，52－12＝24，72－12＝48，92－12＝80，…由以上规律可以得出第n 个等式为____________________．类型3 指数递增(减)规律(2015·某某)如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n行有________个点．……【思路点拨】根据前四行的点数分别是2＝3×21－1－1，5＝3×22－1－1，11＝3×23－1－1，23＝3×24－1－1，…，可得第n行有3×2n－1－1个点，据此解答即可．【解答】∵2＝3×21－1－1，5＝3×22－1－1，11＝3×23－1－1，23＝3×24－1－1，…∴第n行有3×2n－1－1个点．故答案为3×2n－1－1.本题主要考查了图形的变化类问题，首先要找出图形哪些部分发生了变化，这个变化是按照什么规律变化的，从上面的例子我们可以找到这样的规律，每行的点数都可以用“3乘以2的乘方的积减去1”这样的式子来表示，而且2的指数是依次递增的．根据这个规律，我们就可以把第n行的点数用一个式子表示出来，从而得解．解决此类存在指数递增(减)的问题的关键是先通过分析找到指数变化的规律并用一个式子把这种规律表示出来．再求所要求的结果．当然，在所求结果的数目不是很大的情况下，也可以直接顺推出结果．1．(2013·某某)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝33x＋1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1，A2，A3，…在x轴上，点B1，B2，B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是( )A ．24 3B ．48 3C ．96 3D ．192 32．观察下列数：1x 2，－1x 3，1x 4，－1x5，…，按此规律排列，第十个数为________． 3．(2015·某某)如图，以O 为位似中心，将边长为256的正方形OABC 依次作位似变化．经第一次变化后得正方形OA 1B 1C 1，其边长OA 1缩小为OA 的12，经第二次变化后得正方形OA 2B 2C 2，其边长OA 2缩小为OA 1的12，经第三次变化后得正方形OA 3B 3C 3，其边长 OA 3缩小为OA 2的12，…，依此规律，设第n 次变化后，所得正方形OA n B n 的边长为正方形OABC 边长的倒数，则n ＝________.1．(2014·崇左)如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)．把一条长为2 014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处，并按A －B －C －D －A…的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，－2)C ．(1，1)D ．(－1，－1)2．(2014·某某)下列式子按一定规律排列：a 2，a 34，a 56，a 78，…，则第2 014个式子是________． 3．(2015·某某)观察下列砌钢管的横截面图：则第n个图的钢管数是________(用含n的式子表示)．4．(2014·某某)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2 014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是________分．5．(2015·某某)如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△A n B n A n＋1，都是等腰直角三角形．其中点A1，A2，…，A n在x轴上，点B1，B2，…，B n在直线y＝x上．已知OA1＝1，则OA2 015的长为________．6．(2015·某某)如图，直线y＝－2x＋2与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，P n－1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，T n－1，用S1，S2，S3，…，S n－1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△T n－1P n－2P n－1的面积，则当n＝2 015时，S1＋S2＋S3＋…＋S n－1＝________.7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC1⊥AB于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作法进行下去，则A＝________.参考答案类型11．A类型21．6 041 2.51 3.(2n＋1)2－12＝4n(n＋1)类型31．C 2.－1x11综合训练1．D 2.a4 0274 0283.32n2 014 6.1 0072 0157.（3）n＋12n。

计算求值题本专题主要考查实数的运算、整式与分式的化简与求值以及方程(组)、不等式(组)的解法，在中考题中常以选择题、填空题、解答题三种类型出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式的化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识，分式的化简求值时，还应注意整体思想和各种解题技巧；在求不等式组的解集及特殊解时，应注意利用数轴；解分式方程注意验根．类型1 实数的混合运算1．(2014·某某)计算：8＋(12)－2－4cos45°.2．(2014·某某)计算：(－2)2－8·12＋(sin60°－π)0.3．(2015·某某)计算： 2－1－3tan60°＋(π－2 015)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12.类型2 整式的运算1．(2015·某某A 卷)计算：y(2x －y)＋(x ＋y)2.2．(2015·某某)先化简，再求值：a(a －2b)＋(a ＋b)2，其中a ＝－1，b ＝ 2.类型3 分式的化简求值1．(2013·贵港)先化简：(1x ＋1－1)÷x x 2－1，再请你选择一个合适的数x 代入求值．2．(2015·资阳)先化简，再求值：(1x －1－1x ＋1)÷x ＋2x 2－1，其中x 满足2x －6＝0.类型4 方程(组)的解法1．(2014·某某模拟)解方程：4y －3(20－y)＝6y ＋7(y －9)．2．(2013·某某)解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝19，①2x －y ＝1.②3．解方程：x 2＋2x －8＝0.4．(2014·某某)解方程：2x x －2＋1＝32－x.类型5 不等式(组)的解法1．(2014·)解不等式12x －1≤23x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．2．(2015·某某)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2≥2（x ＋2），①2x ＋1>3x －5，②并求其整数解．3．(2014·某某)定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a △b ＝ab －a －b ＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4＝2×4－2－4＋1＝8－6＋1＝3，请根据上述知识解决问题：若3△x 的值大于5而小于9，求x 的取值X 围．参考答案类型11．原式＝22＋4－22＝4. 2.原式＝4－22×12＋1＝4－2＋1＝3.3.原式＝12－3＋1＋12＝1－3＋1＝－1. 类型21．原式＝2xy －y 2＋x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋4xy.2.原式＝a 2－2ab ＋a 2＋2ab ＋b 2＝2a 2＋b 2.∵a ＝－1，b ＝2，∴原式＝2＋2＝4.类型31．原式＝1－x －1x ＋1÷x （x ＋1）（x －1）＝－x x ＋1·（x ＋1）（x －1）x，则(x ＋1)(x －1)≠0，x ≠0，解得x≠±1，x ≠0，所以，当x ＝2时，原式＝1－2＝－1.2.原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1（x －1）（x ＋1）－x －1（x ＋1）（x －1）÷x ＋2x 2－1＝2（x －1）（x ＋1）÷x ＋2（x ＋1）（x －1）＝2（x －1）（x ＋1）·（x ＋1）（x －1）x ＋2＝2x ＋2.∵2x －6＝0，∴x ＝3.∴当x ＝3时，原式＝25. 类型41．4y －60＋3y ＝6y ＋7y －63，4y ＋3y －6y －7y ＝－63＋60，－6y ＝－3，y ＝12.2.解法1(代入法)：由②，得y ＝2x －1，③把③代入①，得3x ＋4x －2＝19，解得x ＝3.把x ＝3代入③，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.解法2(加减法)：②×2，得4x －2y ＝2，③①＋③，得7x ＝21，解得x ＝3.把x ＝3代入②，得6－y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5. 3.∵a＝1，b ＝2，c ＝－8，b 2－4ac ＝22－4×1×(－8)＝36>0，∴x ＝－2±362＝－2±62.∴x 1＝2，x 2＝－4.4.方程两边都乘以(x －2)，得2x ＋(x －2)＝－3，解得x ＝－13.经检验，x ＝－13是原分式方程的解． 类型51．去分母，，，，得x≥－3.则解集在数轴上表示出来为：2．由①，得x≥2.由②，得x<6.∴解集为：2≤x<6.∴所求整数解为：2，3，4，5.△x＝3x －3－x ＋1＝2x －2，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2＞5，2x －2＜9.解得72＜x ＜112.∴x 的取值X 围是72<x<112.。

特殊四边形的性质与判定 特殊四边形的性质与判定是四边形中的重要内容，同时也是某某9地州每年中考的必考内容之一，考查的题型以解答题为主，而菱形的性质与判定又是近几年中考试题中的一个热点．特殊四边形的性质与判定的综合题的解答必须具备观察、推理、探索和猜想能力，还需要注重知识的实际应用和动手操作能力．类型1 平行四边形的性质与判定(2015·某某)如图，将平行四边形ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．【思路点拨】 (1)利用平行四边形的性质得AD ＝BC ，AD ∥BC ，再结合已知得DE ＝FC ，DE ∥FC ，推出平行四边形；(2)过点D 作DN ⊥BC 于点N ，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF 的长，进而求出CE.【解答】 (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∵DE ＝12AD ，F 是BC 边的中点，∴DE ＝FC ，DE ∥FC.∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)过点D 作DN ⊥BC 于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，∴∠BCD ＝∠A ＝60°.∵AB ＝3，AD ＝4，∴FC ＝2，NC ＝12DC ＝32，DN ＝332. ∴FN ＝12，则CE ＝DF ＝DN 2＋FN 2＝7.此题主要考查平行四边形的性质与判定以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键. 解题过程中，若遇到一组对边相等，可以考虑寻找这组对边平行或另一组对边相等来证明四边形是平行四边形．1．(2013·黔南)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，△ABD 是等边三角形，E 是AB 的中点，连接CE 并延长交AD 于F.求证：(1)△AEF≌△BEC；(2)四边形BCFD是平行四边形．2．(2015·乌鲁木齐)如图，ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F左侧)，BE∥DF.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝213，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．类型2 矩形、正方形的性质与判定(2014·某某)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【思路点拨】 (1)结合题意，运用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判断；(2)根据正方形的判定，假设AD ＝12BC ，由已知DC ＝12BC ，再结合(1)问中结论，可证四边形ADCE 为正方形． 【解答】 (1)证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC.∴∠BAD ＝∠DAC.∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，∴∠MAE ＝∠CAE.∴∠DAE ＝∠DAC＋∠CAE＝12×180°＝90°. 又∵AD⊥BC，CE ⊥AN ，∴∠ADC ＝∠CEA＝90°.∴四边形ADCE 为矩形．(2)例如，当∠BAC＝90°时，四边形ADCE 是正方形．证明：∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D.∴∠ACD ＝∠DAC＝45°，∴DC ＝AD.由(1)知四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形．本题是一道开放性试题，矩形的判定方法不止一种，结合题意灵活选择判定方法是关键；问题(2)中，先进行探究分析得出结论，然后结合结论进行“顺藤摸瓜”式推论验证．1．(2013·黔东南)如图，在正方形ABCD 中，点M 是对角线BD 上的一点，过点M 作ME∥CD 交BC 于点E ，作MF∥BC 交CD 于点F.求证：AM ＝EF.2．(2015·)在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.(1)求证：四边形BFDE 是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.3．(2014·某某模拟)如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥AB交AE于E.(1)求证：AE∥BC；(2)求证：四边形AECD是矩形；(3)BC＝6 cm，S四边形AECD＝12 cm2，求AB的长．类型3 菱形的性质与判定(2015·某某) 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)求证：四边形ADCF是菱形；(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【思路点拨】(1)由平行线的性质得内错角相等，由E是AD中点得AE＝DE，从而可证△AEF≌△DEB；(2)利用△AEF≌△DEB 得AF ＝DB ，根据一组对边平行且相等，便可证出四边形ADCF 是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证出平行四边形的邻边AD ＝DC ；(3)根据题意可得S 菱形ADCF 等于S △ADC 的2倍，S △ABC 等于S △ADC 的2倍，从而即可求得S 菱形ADCF . 【解答】 (1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE ＝∠DBE，∠FAE ＝∠BDE.∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE.∴△AEF ≌△DEB.(2)证明：∵△AEF≌△DEB ，∴AF ＝DB.∵在Rt △ABC 中，D 是BC 的中点，∴BD ＝DC ＝AD.∴AF＝DC ＝AD.∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是菱形．(3)∵AC＝4，AB ＝5，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×5×4＝10. ∵BD ＝DC ，∴S △ADC ＝S △ABD ＝12S △ABC ＝5. ∴S 菱形ADCF ＝2S △ADC ＝2×5＝10.菱形的判定方法有很多种，根据已知条件合理选用判定方法是解题的关键；菱形的面积通常用它对角线乘积的一半来计算，也可以转化为其他图形的面积计算．1．(2013·某某)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE ＝2DE ，延长DE 到F ，使得EF ＝BE ，连接CF.(1)求证：四边形BCFE 是菱形；(2)若CE ＝4，∠BCF ＝120°，求菱形BCFE 的面积．2．(2015·黔南)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？参考答案类型11.证明：(1)∵E是AB中点，∴AE＝BE.∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°.∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°.又∵∠FEA＝∠CEB，∴△AEF≌△BEC(ASA)．(2)∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC，∠DAB＝60°，∠CAB＝30°，∴∠DAC ＝90°，∴AD ∥BC.∵E 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴EC ＝AE ＝BE.∴∠ECA＝30°，∠EFA ＝60°.∵∠EFA ＝∠BDA＝60°，∴CF ∥BD.∴四边形BCFD 是平行四边形．2．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD ＝BC ，∴∠DAF ＝∠BCE.又∵BE∥DF，∴∠BEC ＝∠DFA.在△BEC 与△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC＝∠DFA，∠BCE ＝∠DAF，BC ＝DA ，∴△BEC ≌△DFA(AAS)．∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形BEDF 为平行四边形．(2)连接BD ，BD 与AC 相交于点O ，∵AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213，∴AC ＝6.∴AO＝3.∴Rt △BAO 中，BO ＝5.∵四边形BEDF 是矩形，∴OE ＝OB ＝5.∴点E在OA的延长线上，且AE＝OE－OA＝2.类型2，∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，DM＝DM，∴△ADM≌△CDM.∴AM＝CM.∵ME∥CD，MF∥BC，∴四边形CEMF是平行四边形．∵∠ECF＝90°，∴四边形CEMF是矩形．∴EF＝MC.又∵AM＝CM，∴AM＝EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE是矩形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴∠DFA＝∠FAB.在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝FC2＋FB2＝32＋42＝5，∴AD＝BC＝DF＝5.∴∠DAF＝∠DFA.∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.3．(1)证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，∴∠ADB ＝90°.∵AE 平分∠FAC，∴∠EAD ＝∠EAC＋∠DAC＝12∠FAC ＋12∠BAC ＝12×180°＝90°. ∴AE ∥BC.(2)证明：∵DE∥AB，AE ∥BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE ＝BD.∵BD＝CD ，∴AE ＝CD.∴四边形AECD 是平行四边形．∵∠ADC＝90°，∴四边形AECD 是矩形．(3)∵BC＝6 cm ，∴CD ＝3 cm.∵S 四边形AECD ＝12 cm 2，∴AD ＝4 cm.∴AB ＝AC ＝32＋42＝5(cm)．类型31.(1)证明：∵D、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，BC ＝2DE.又∵BE＝2DE ，EF ＝BE ，∴BC ＝BE ＝EF ，EF ∥BC.∴四边形BCFE 是菱形．(2)连接BF ，交CE 于点O.∵在菱形BCFE 中，∠BCF ＝120°，CE ＝4，∴BF ⊥CE ，∠BCO ＝12∠BCF ＝60°，OC ＝12CERt △BOC 中，tan 60°＝OB OC， ∴OB ＝2tan 60°，BF ＝4tan 60°.∴S 菱形BCFE ＝12CE ·BF ＝12×4×4tan 60°＝8 3. 2．(1)证明：∵PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FC A ，∠AED ＝∠CFD.在△AED 与△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC＝∠FCA，AD ＝CD ，∠AED ＝∠CFD，∴△AED ≌△CFD.(2)证明：∵△AED≌△CFD，∴AE ＝CF.∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA.∴EC＝EA ＝FC ＝FA.∴四边形AECF 为菱形．(3)∵在菱形AECF 中，AC ⊥EF ，∴△ADE 为直角三角形．在Rt △ADE 中，由勾股定理，得ED ＝AE 2－AD 2＝4.∴S 菱形AECF ＝4S △ADE ＝4×12×4×3＝24.。

解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用是中考的常考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．类型1 仰角、俯角问题1．(2015·某某)小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．2．(2015·某某)如图，平台AB高为12 m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(3≈)．3．(2015·某某)小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100 m．请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数，参考数据：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710)类型2 方位角问题1．(2014·某某)一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈)2．(2014·某某)如图，有小岛A和小岛B，轮船以45 km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离．(结果保留整数，参考数据：2≈1.41，6≈)3．(2014·贺州)如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；(结果精确到0.1)(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离．(结果保留整数，参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈)参考答案类型11．∵∠ADG＝30°，∠AFG＝60°，∴∠DAF＝30°.∴AF＝DF＝10米．在Rt△FGA中，AG＝AF·sin∠AFG＝10×32＝53(米)．∴AB＝1.5＋53米．答：旗杆AB的高度为(1.5＋53)米．2.过点B作BE⊥CD于点E.根据题意，∠DBE＝45°，∠CBE＝30°.∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形．∴CE＝AB＝12 m．在Rt △CBE 中，tan ∠CBE ＝CE BE ，∴BE ＝CE tan ∠CBE＝12×3＝123(m)． 在Rt △BDE 中，由∠DBE＝45°，得DE ＝BE ＝12 3 m ．∴CD ＝CE ＋DE ＝12(3＋1)≈32.4(m)．答：楼房CD 的高度约为32.4 m ．3.作AD⊥CB 延长线于点D.由题知∠ACD＝35°，∠ABD ＝45°.在Rt △ACD 中，∠ACD ＝35°，∴tan35°＝AD CD ≈710.∴CD ＝107AD. 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝AD BD＝1.∴BD＝AD. 由题得BC ＝CD －DB ＝100.∴107AD －AD ＝100.解得AD≈233 m ． 答：热气球到地面的距离约为233米．类型21．过点C 作CD⊥AB，交AB 的延长线于点D.由题意得∠CAD＝30°，∠CBD ＝53°，AC ＝80海里，在Rt △ACD 中，sin30°＝CD AC，∴CD ＝40海里． 在Rt △CBD 中，sin53°＝CD CB ，∴CB ＝CD sin53°≈400.8＝50(海里)． ∴行驶时间为5040＝1.25(小时)．答：海警船到达C 处需1.25小时． 2.过点C 作CP⊥AB 于P ，∵∠BCF ＝45°，∠ACE ＝60°，AB ∥EF ，∴∠PCB ＝∠PBC＝45°.∠CAP ＝60°.∵BC 2＝BP 2＋CP 2，∴BP ＝CP ＝45 2 km.∵∠CAP ＝60°，∴tan60°＝CP AP ＝452AP.∴AP ＝15 6 km. ∴AB ＝AP ＋PB ＝156＋452≈100(km)．答：小岛A 与小岛B 之间的距离是100 km.3.(1)过C 作AB 的垂线，设垂足为D.根据题意，得∠1＝∠2＝42°，∠3＝∠4＝55°.设CD 的长为x 海里．在Rt △ACD 中，tan42°＝AD CD，则AD ＝x·tan42°. 在Rt △BCD 中，tan55°＝BD CD，则BD ＝x·tan55°. ∵AB ＝80海里，∴AD ＋BD ＝80海里．∴x·tan42°＋x·tan55°＝80. 解得x≈34.4.答：海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离是．(2)在Rt △BCD 中，cos55°＝CD BC ，∴BC ＝CD cos55°≈60(海里)． 答：海轮在B 处时与灯塔C 的距离是60海里．。

二次函数知识的综合运用本专项主要考查二次函数与一次函数的综合运用，二次函数的图象与字母系数之间的关系，二次函数在实际生活中的应用，以选择题、填空题、解答题形式呈现．类型1 二次函数的图象与字母系数的关系(2015·黔东南)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c>0；③a>b；④4ac－b2<0.其中正确的结论有( C )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】序号逐项分析正误①∵由抛物线过原点可知c＝0，∴abc＝0. √②∵当x＝1时，函数图象在x轴下方，∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0.×③∵抛物线对称轴为x＝－32，∴－b2a＝－32.∴b＝3a.∵图象开口向下，∴a＜0.∴a＞3a.∴a＞b.√④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac>0，即4ac－b2<0.√二次函数图象与a、b、c之间关系问题解决：可以从一些特殊形式考虑：(1)含a＋b＋c代数式，考虑当x ＝1时求y值；(2)含a－b＋c代数式，考虑当x＝－1时求y值；(3)含4a＋2b＋c代数式，考虑当x＝2时求y值；(4)含4a－2b＋c代数式，考虑当x＝－2时求y值；(5) 含b2－4ac代数式，考虑由图象与x 轴交点个数来判断．1．(2015·某某)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是( ) A ．a ＜0 B ．b ＞0C ．b 2－4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜02．(2015·枣庄)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x ＝12，且经过点(2，0)，有下列说法：①abc ＜0；②a ＋b ＝0；③4a ＋2b ＋c ＜0；④若(0，y 1)，(1，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＝y 2.上述说法正确的是( )A ．①②④B ．③④C ．①③④D ．①②3．(2014·黔东南)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论： ①abc ＜0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④b 2－4ac ＞0.其中正确结论的有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4．(2013·某某)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若M ＝a ＋b －c ，N ＝4a －2b ＋c ，P ＝2a －b ，则M 、N 、P 中，值小于0的数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．(2014·达州)下图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，对称轴是直线x ＝1.① b 2＞4ac ；②4a －2b ＋c ＜0；③不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是x≥3.5；④若(－2，y 1)，(5，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＜y 2.上述4个判断中，正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④6．(2014·某某)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－1，3，与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：①2a－b ＝0；②a＋b ＋c>0；③c＝－3a ；④只有当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有四个．其中正确的结论是________．(只填序号)类型2 二次函数与一次函数的综合运用(2013·某某)已知：直线y ＝ax ＋b 过抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的顶点P ，如图所示． (1)顶点P 的坐标是______；(2)若直线y ＝ax ＋b 经过另一点A(0，11)，求出该直线的表达式；(3)在(2)的条件下，若有一直线y ＝mx ＋n 与直线y ＝ax ＋b 关于x 轴成轴对称，求直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的交点坐标．【思路点拨】 (3)求出直线y ＝ax ＋b 与x 轴的交点坐标和点A 关于x 轴的对称点的坐标，求出y ＝mx ＋n 的解析式，再与y ＝－x 2－2x ＋3组成方程组，求出交点坐标． 【解答】 (1) ∵a＝－1，b ＝－2，c ＝3， ∴－b 2a ＝－－22×（－1）＝－1，4ac －b 24a ＝4×（－1）×3－（－2）24×（－1）＝－12－4－4＝4.(2) ∵直线y ＝ax ＋b 经过顶点P(－1，4)和A(0，11)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－a ＋b ，11＝a×0＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝11. ∴直线y ＝ax ＋b 表达式为y ＝7x ＋11.(3)∵直线y ＝7x ＋11与x 轴，y 轴交点坐标分别为(－117，0)，(0, 11)，∴与x 轴成轴对称的直线y ＝mx ＋n 与x 轴，y 轴交点坐标分别为(－117，0)，(0, －11)．∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－117m ＋n ，－11＝m×0＋n.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－7，n ＝－11.∴直线y ＝mx ＋n 表达式为y ＝－7x －11.∵直线y ＝－7x －11与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3相交，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－7x －11，y ＝－x 2－2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝7，y 1＝－60.⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝3. ∴直线y ＝－7x －11与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的交点坐标为(7，－60)，(－2, 3)．二次函数与一次函数的综合运用中，常常需要求出两函数图象的交点坐标，只需联立两函数的解析式，即可求得结果；同时，二次函数图象中几个特殊点的坐标，往往是函数综合题中考查的重点内容．1．(2014·某某)已知抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )2．(2015·某某)如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )3．(2015·某某)已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线．(1)求m、n的值；(2)如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA∶PB＝1∶5，求一次函数的表达式．类型3 利用二次函数求最值(2015·某某)某商场A、B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元，(1)设A、B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a，b的值；(2)B商品的成本是20元，根据市场调查：若按(1)中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若按销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件，①求每天B商品的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式？②求销售单价为多少元时，B商品的销售利润最大，最大利润是多少？【思路点拨】(1)由2件A商品和1件B商品需要80元，3件A商品和2件B商品需要135元，列二元一次方程组求解．(2)①根据利润＝(售价－成本)×销量列出y关于x的函数关系式；②利用二次函数最值确定最大利润．⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝80，3a ＋2b ＝135，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝30. 答：a 、b 的值分别为25，30. (2)①∵销售单价为x 元， ∴销售量为100－5(x －30)件，根据题意得y ＝(x －20)[100－5(x －30)]＝－5x 2＋350x －5 000， 即y 关于x 的函数关系式为y ＝－5x 2＋350x －5 000(30≤x≤50)． ②由抛物线对称轴为x ＝－3502×（－5）＝35，可知当售价为35元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润为y ＝－5×352＋350×35－5 000＝1 125(元).答：当B 商品定价为35元时，B 商品每天的利润最大，最大利润为1 125元．此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求最大值，准确分析题意，列出y 与x 之间的二次函数关系式是解题关键．1．(2015·黔南)为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v 是车流速度密度x 的一次函数．(1)求彩虹桥上车流密度为100辆/小时的车流速度；(2)在交通高峰时段，为使彩虹桥上的车流速度大小40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么X 围内？(3)当车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y 的最大值．2．(2015·某某模拟)乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？(2)如果童装店想每天销售这种童装盈利1 200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？(3)每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？3．(2015·黔西南模拟)某服装经销商发现某款新型运动服市场需求量较大，经过市场调查发现年销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的一次函数关系，而该服装的进价z(元)与销售量y(件)之间的关系如下表所示．已知每年支付员工工资和场地租金等费用总计2万元．销售数量y(件) …300 400 500 600 …进货价格z(元) …340 320 300 280 …(1)求y关于x的函数关系式．(2)写出该经销商经销这种服装的年获利w(元)关于销售单价x(元)的函数关系式．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求出这个最大值．，请你根据图象帮助确定销售单价的X 围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ 参考答案类型1 1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.③④ 类型2 1.D 2.A3．(1)∵二次函数对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线， ∴－m2＝－1，解得m ＝2.∵二次函数过点P(－3，1)， ∴1＝9－6＋n ， 解得n ＝－2.(2)二次函数解析式为y ＝x 2＋2x －2.过P 作PC⊥x 轴于点C ，过B 作BD⊥x 轴于点D ，PC ∥BD ，∴△APC ∽△ABD. 又∵PA∶PB＝1∶5， ∴PC BD ＝PA AB ＝PA PA ＋PB ＝16. ∵PC ＝1， ∴BD ＝6. ∴y B ＝6.∵B 在二次函数上，设B 点横坐标为x ， ∴x 2＋2x －2＝6，解得x 1＝2，x 2＝－4(舍去)．∴B 点坐标为(2，6)，将B 、P 点代入一次函数得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝6，－3k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝4.∴一次函数的表达式是y ＝x ＋4.类型3 1.(1)设车流速度v 与车流密度x 的函数关系式为v ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧80＝20k ＋b ，0＝220k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－25，b ＝88.∴当20≤x≤220时，v ＝－25x ＋88.当x ＝100时，v ＝48(千米/小时)．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－25x ＋88>40，－25x ＋88<60.解得70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在7<x<120X 围内． (3)设车流量为y 与x 之间的关系式为y ＝vx ，当20≤x≤220时，y ＝(－25x ＋88)x ＝－25(x －110)2＋4 840，∴当x ＝110时，y 最大＝4 840.∴当车流密度是110辆/千米时，车流量y 取得最大值是4 840辆/小时． 2．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利：(100－60)×20＝800(元)． (2)设每件童装降价x 元，根据题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1 200. 解得x 1＝10，x 2＝20. ∵要使顾客得到较多的实惠， ∴x ＝20.答：童装店应该降价20元. (3)设每件童装降价x 元，可获利y 元，根据题意，得y ＝(100－60－x)(20＋2x)＝－2x 2＋60x ＋800＝－2(x －15)2＋1 250. ∴当x ＝15时，y 最大＝1 250.答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1 250元．3．(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧500＝300k ＋b ，400＝400k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝800.∴y ＝－x ＋800.(2)设z 关于y 的函数关系式为z ＝k 1y ＋b 1，则⎩⎪⎨⎪⎧340＝300k 1＋b 1，320＝400k 1＋b 1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－15，b 1＝400.∴z ＝－15y ＋400.则z 关于x 的函数关系式为z ＝－15(－x ＋800)＋400＝15x ＋240.年获利w 关于销售单价x 的函数关系式为：w ＝(x －z)y －20 000＝(x －15x －240)(－x ＋800)－20 000＝－45x 2＋880x －212 000＝－45(x －550)2＋30000.当x ＝550时，w 最大＝30 000，最大获利3万元．(3)由图象可知，，销售单价应在450元到650元之间，又由于销售单价越低，销售量越大，所以销售单价应定为450元．。

圆的有关计算及证明本专项主要以圆为背景，考查线段、角、弧长等有关的计算，常与三角形、四边形等简单几何图形综合考查，属于中档题．且近两年的某某中考对圆的考查有加强的态势，分值较大，复习时应予以重视．类型1 圆中有关角、线段、垂径定理的计算1．(2015·眉山)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACO ＝45°，则∠B 的度数为( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°2．(2015·某某)△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC ＝160°，则∠ABC 的度数是( )A ．80°B ．160°C ．100°D ．80°或100°3．(2015·某某)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC，交BC 于点E ，AB ＝6，AD ＝5，则AE 的长为( )4．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交BC ︵于D.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若BC ＝8，ED ＝2，求⊙O 的半径．5．(2015·某某)在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．6．(2015·永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．7．(2015·某某)如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠CPB＝60°.(1)判断△ABC 的形状：__________；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．类型2 圆中弧长与扇形面积的计算1．(2015·某某)在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π 2．(2015·某某)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆交AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是( )A.12π－1B.12π－2 C ．π－2 D ．π－13．(2015·某某)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF＝α(0°＜α＜90°)，当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积( )A．由小到大B．由大到小C．不变D．先由小到大，后由大到小4．(2015·某某)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°.(1)求∠P的度数；(2)若⊙O的半径长为4 cm，求图中阴影部分的面积．5．(2015·随州)如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO.(1)在PO的上方作射线PC，使∠OPC＝∠OPA(用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法)，并证明：PC是⊙O的切线；(2)在(1)的条件下，若PC 切⊙O 于点B ，AB ＝AP ＝4，求AB ︵的长．6．(2015·某某)如图1，半径为R ，圆心角为n °的扇形面积是S 扇形＝n πR 2360，由弧长l ＝n πR 180，得S 扇形＝n πR 2360＝12·n πR 180·R ＝12lR.通过观察，我们发现S 扇形＝12lR 类似于S 三角形＝12×底×高． 类比扇形，我们探索扇环(如图2，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫作扇环)的面积公式及其应用．(1)设扇环的面积为S 扇环，AB ︵的长为l 1，CD ︵的长为l 2，线段AD 的长为h(即两个同心圆半径R 与r 的差)．类比S 梯形＝12×(上底＋下底)×高，用含l 1，l 2，h 的代数式表示S 扇环，并证明；(2)用一段长为40 m 的篱笆围成一个如图2所示的扇环形花园，线段AD 的长h 为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？参考答案类型11．D 2.D 3.B4.(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE ；②BD ︵＝CD ︵；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC·OE；⑨△BOD 是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC 等等．(2)∵OD⊥BC，∴BE ＝CE ＝12BC ＝4. 设⊙O 的半径为R ，Rt △OEB 中，由勾股定理得OE 2＋BE 2＝OB 2，即(R －2)2＋42＝R 2.解得R ＝5.∴⊙O 的半径为5.5.(1)连接OQ. ∵PQ⊥OP，∴∠QPO ＝90°. ∵PQ ∥AB ， ∴∠POB ＝90°.∵直径AB ＝6，∠ABC ＝30°，∴OP ＝ 3. ∴PQ ＝32－（3）2＝ 6.(2)点P 在BC 上移动，要使PQ 最大，则必须OP 最小．根据垂线段最短得当BC⊥OP 时OP 最小．由sin ∠OBP ＝OP OB得，12＝OP 3，即OP ＝32. ∴PQ max ＝32－（32）2＝332. 6.(1)证明：∵AD 是直径，∴∠ABD ＝∠ACD＝90°.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD(HL)．∴∠BAD＝∠CAD.∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE.(2)四边形BFCD 是菱形．理由：∵AD 是直径，AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，BE ＝CE.∵CF∥BD，∴∠FCE ＝∠DBE.在△BED 和△CEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FCE＝∠DBE，BE ＝CE ，∠BED ＝∠CEF＝90°，∴△BED ≌△CEF(ASA)．∴CF ＝BD.∴四边形BFCD 是平行四边形．∵∠BAD ＝∠CAD，∴BD ＝CD.∴四边形BFCD 是菱形．(3)∵AD 是直径，AD ⊥BC ，BE ＝CE ，由△CED∽△AEC 得∴CE 2＝DE·AE.设DE ＝x ，∵BC ＝8，AD ＝10， ∴42＝x(10－x)．解得x ＝2或x ＝8(舍去)．在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5.7.(1)等边三角形(2)在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD.又∵∠APC＝60°，∴△APD 是等边三角形．∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°.∴∠ADC ＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC ＝∠APB.在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABP＝∠ACP，∠APB ＝∠ADC，AP ＝AD ，∴△APB ≌△ADC(AAS)．∴BP ＝CD.又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP ＋AP.(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大．理由：过点P 作PE⊥AB，垂足为E.过点C 作CF⊥AB，垂足为F.∵S △APE ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF)．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径，此时四边形APBC 的面积最大． 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3.∴S 四边形APBC ＝12×2×3＝ 3. 类型21．B 2.D 3.C 4.(1)连接OA 、OB.∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP.∴∠OAP ＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠C＝120°，∴∠P ＝360°－(90°＋90°＋120°)＝60°.∴∠P ＝60°.(2)连接OP.∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴∠APO ＝12∠APB ＝30°.在Rt △APO 中，tan30°＝OA AP， ∴AP ＝OA tan30°＝433＝43(cm)．∴S 阴影＝2(S △AOP －S 扇形)＝2×(12×4×43－60π×42360)＝(163－16π3)(cm 2)． 5.(1)作图如图．连接OA ，过O 作OB⊥PC. ∵PA 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥PA.又∵∠OPC ＝∠OPA，OB ⊥PC ，∴OA ＝OB ，即d ＝r.∴PC 是⊙O 的切线．(2)∵PA 、PC 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB.又∵AB ＝AP ＝4，∴△PAB 是等边三角形．∴∠APB＝60°.∴∠AOB ＝120°，∠POA ＝60°.在Rt △AOP 中，tan60°＝4OA， ∴OA ＝433.∴lAB ︵＝120×433×π180＝839π. 6.(1)S 扇环＝12(l 1＋l 2)h ，证明：设大扇形半径为R ，小扇形半径为r ，圆心角度数为n ，则由l ＝n πr 180，得R ＝180l 1n π，r ＝180l 2n π， ∴图中扇环的面积S ＝12×l 1×R －12×l 2×r ＝12l 1·180l 1n π－12l 2·180l 2n π＝90n π(l 21－l 22)＝90n π(l 1＋l 2)(l 1－l 2)＝12·180n π·(n π180R －n π180r)(l 1＋l 2)＝12(l 1＋l 2)(R －r)＝12(l 1＋l 2)h ，故猜想正确． (2)根据题意得：l 1＋l 2＝40－2h ，则S 扇环＝12(l 1＋l 2)h ＝12(40－2h)h ＝－h 2＋20h ＝－(h －10)2＋100.∵－1＜0， ∴开口向下，S 有最大值，当h ＝10时，S 最大值是100.所以线段AD 的长h 为10 m 时，花园的面积最大，最大面积是100 m 2.。

计算求解题本专题是对计算求解题的巩固和深化，在某某的考题中主要包括实数的运算，分式的化简求值，解方程(组)和不等式(组)，主要考查学生的计算能力，难度不大，但需要熟练掌握绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂、负指数幂、二次根式的化简、分式的约分和通分、因式分解、整式的计算等相关知识，并密切注意运算顺序．类型1 实数的运算1．(2015·某某)计算：π0＋2－1－14－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13.2. (2015·某某) 计算： 2－1－3tan60°＋(π－2 015)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12.3．(2015·某某西山区二模)计算：(－1)2 013＋(π－3.14)0－(12)－1＋38.4．(2015·某某官渡区二模)计算：(－1)2 015＋38－2 0150－(－12)－2.5．(2015·某某西山区一模)计算： |－2|＋(π－1)0＋(13)－1－2sin45°.6．(2015·某某)计算：12＋2－1－4cos30°＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12.7．(2015·某某)计算：(－1)2 015＋sin30°－(π－3.14)0＋(12)－1.8．(2015·某某)计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋8－4cos45°＋(－1)2 015.9．(2015·某某)计算：2cos45°－(π＋1)0＋14＋(12)－1.10．(2015·某某)计算：|2－1|＋4sin30°－(12)－1－(3－π)0＋9.11．(2015·某某)计算： (14)－1＋||1－3－27tan30°.类型2 分式的化简求值1．(2015·某某)先化简，再求值：(x 2＋1x 2－x －2x －1)÷x ＋1x－1，其中x ＝－3.2．(2015·某某)先化简，再求值：(x x －1－1x ＋1)÷1x 2－1.其中x ＝ 2.3．(2015·某某)先化简，再求值：x x 2－1÷(1＋1x －1)，其中x ＝2－1.4．(2015·某某二模)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b 2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.5．(2015·某某盘龙区一模)先化简，再求值：x 2－1x 2－x ÷(2＋x 2＋1x)，其中x ＝2sin45°－1.6．(2015·资阳)先化简，再求值：(1x －1－1x ＋1)÷x ＋2x 2－1，其中x 满足2x －6＝0.7．(2015·某某)先化简，再求值：m 2m －1－1－2m 1－m，再选取一个适当的m 的值代入求值．8．(2015·某某盘龙区二模)先化简，再求值：(a2－b2a2－2ab＋b2＋ab－a)÷b2a2－ab，其中a，b满足a＋1＋|b－3|＝0.类型3 方程(组)的解法1．(2015·某某)解方程：5x＝3(x－4)．2．(2015·某某)解方程：x2－3x＋2＝0. 3．(2015·某某)解方程：x2－1＝2(x＋1)．4．(2015·某某)解方程：1－2x－3＝1x－3.5．(2015·黔西南)解方程：2xx－1＋11－x＝3.6．(2015·某某)解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1，①x ＋3y ＝6.②7．(2015·荆州)解方程：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，①x ＋3y ＝7.②类型4 不等式(组)的解法1．(2015·某某)解不等式：3x －5≤2(x ＋2)．2．(2015·某某)解不等式2(x ＋1)－1≥3x ＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．3．(2015·某某西山区二模)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，①x －12－2x －13＞1.②4．(2015·某某)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，2（x －1）＋（3－x ）>0，并把它的解集在数轴上表示出来．5．(2015·)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋1）≤7x ＋10，x －5<x －83，并写出它的所有非负整数解．参考答案类型1 实数的运算1.原式＝1＋12－12－13＝23. 2.原式＝12－3×3＋1＋12＝12－3＋1＋12＝－1. 3.原式＝－1＋1－2＋2＝0.4.原式＝－1＋2－1－4＝－4.5.原式＝2＋1＋3－2×22＝2＋1＋3－2＝4. 6.原式＝23＋12－4×32＋12＝23＋12－23＋12＝1. 7.原式＝－1＋12－1＋2＝12. 8.原式＝12＋22－4×22－1＝12＋22－22－1＝－12. 9.原式＝2×22－1＋12＋2＝2－1＋12＋2＝2＋32. 10.原式＝2－1＋4×12－2－1＋3＝2－1＋2－2－1＋3＝2＋1. 11．原式＝4＋3－1－33×33＝4＋3－1－3＝ 3. 类型2 分式的化简求值1.原式＝x 2＋1x （x －1）·x x ＋1－2x －1·x x ＋1－1＝x 2＋1（x －1）（x ＋1）－2x （x －1）（x ＋1）－ x 2－1（x －1）（x ＋1）＝－2（x －1）（x －1）（x ＋1）＝－2x ＋1.当x ＝－3时，原式＝－2x ＋1＝－2－3＋1＝1. 2.原式＝(x x －1－1x ＋1)÷1（x ＋1）（x －1）＝x x －1·(x ＋1)(x －1)－1x ＋1·(x ＋1)(x －1) ＝x(x ＋1)－(x －1)＝x 2＋1.当x ＝2时，原式＝x 2＋1＝2＋1＝3.3.原式＝x （x ＋1）（x －1）÷x x －1＝x （x ＋1）（x －1）·x －1x ＝1x ＋1. 当x ＝2－1时，原式＝1x ＋1＝12－1＋1＝22. 4.原式＝a －（a －b ）a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b ＝b a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b＝a ＋b. 当a ＝3＋1，b ＝3－1时，原式＝3＋1＋3－1＝2 3.5.原式＝（x ＋1）（x －1）x （x －1）÷2x ＋x 2＋1x ＝（x ＋1）（x －1）x （x －1）·x （x ＋1）2＝1x ＋1. 当x ＝2sin45°－1＝2×22－1＝2－1时， 原式＝12－1＋1＝22. 6.原式＝[x ＋1（x －1）（x ＋1）－x －1（x ＋1）（x －1）]÷x ＋2x 2－1＝2（x －1）（x ＋1）÷x ＋2（x －1）（x ＋1） ＝2（x －1）（x ＋1）·（x －1）（x ＋1）x ＋2 ＝2x ＋2.∵2x －6＝0， ∴x ＝3.当x ＝3时，原式＝25. 7.原式＝m 2m －1＋1－2m m －1＝m 2－2m ＋1m －1＝（m －1）2m －1＝m －1. 当m ＝2时，原式＝2－1＝1.(答案不唯一，只要m ≠1，计算正确就可以)8.原式＝[（a ＋b ）（a －b ）（a －b ）2－a a －b ]·a （a －b ）b2 ＝(a ＋b a －b －a a －b )·a （a －b ）b2＝b a －b ·a （a －b ）b 2＝a b. 又∵a ＋1＋|b －3|＝0，∴a ＝－1，b ＝ 3.∴原式＝－13＝－33. 类型3 方程(组)的解法1.去括号，得5x ＝3x －12.移项，得12＝3x －5x.合并同类项，得12＝－2x.系数化为1，得x ＝－6. 2－3x ＋2＝0.(x －1)(x －2)＝0.∴x 1＝1，x 2＝2.2－2x －3＝0.(x ＋1)(x －3)＝0.∴x 1＝－1，x 2＝3. 4.去分母，得x －3－2＝1.解得x ＝6.检验，当x ＝6时，x －3≠0.∴原方程的解为x ＝6.5.去分母，得2x －1＝3(x －1)．括号括、移项、合并同类项，得－x ＝－2.系数化为1，得x ＝2.检验：当x ＝2时，x －1≠0，∴x ＝2是原分式方程的解．6.②－①，得5y ＝5，y ＝1.将y ＝1代入①，得x －2＝1，x ＝3.∴原方程组的解为{x ＝3，y ＝1. ②×3，得3x ＋9y ＝21.③－①，得11y ＝22，y ＝2把y ＝2代入②，得x ＋6＝7，x ＝1.∴方程组的解为1,2.x y =⎧⎨=⎩ 类型4 不等式(组)的解法1.去括号，得3x －5≤2x ＋4.移项，得3x －2x ≤4＋5.合并同类项，得x ≤9.2.去括号，得2x ＋2－1≥3x ＋2.移项，得2x －3x ≥2－2＋1.合并同类项，得－x ≥1.系数化为1，得x ≤－1.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.解不等式①，得x ≤②，得x ＜－7.∴不等式组的解是x ＜－7.①得x ≤②得2x －2＋3－x>0，2x －x>2－3，x>－1.∴不等式组的解集为－1<x ≤2.解集在数轴上表示为：①得4x ＋4≤7x ＋10, －3x ≤6，x ≥②得3x －15＜x －8，2x ＜7，x ＜72. ∴－2≤x ＜72.∴非负整数解为0，1，2，3.。

统计与概率的应用统计与概率是中考三大块的内容之一，对统计、概率知识的初步认识是掌握统计与概率的基础．重点是考查统计图的选择与运用，随机事件发生机会大小的确定，并能运用机会大小判断游戏的规则是否公平．主要考查学生对数据的收集和处理能力，对提供的统计图会提取其中的信息解决问题．类型1 统计的应用(2015·某某)近年来，随着创建“生态文明城市”活动的开展，我市的社会知名度越来越高，吸引了很多外地游客，某旅行社对5月份本社接待外地游客来我市各景点旅游的人数做了一次抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表：游客人数统计表景点频数(人数) 频率黔灵山公园116小车河湿地公园南江大峡谷84花溪公园64观山湖公园36(1)此次共调查________人，并补全条形统计图；(2)由上表提供的数据可以制成扇形统计图，求“南江大峡谷”所对的圆心角的度数；(3)该旅行社预计7月份接待来我市的游客有2 500人，根据以上信息，请你估计去黔灵山公园的游客大约有多少人？【思路点拨】(1)根据游客人数统计表，可知黔灵山公园的人数和频率，则可算出调查的游客总数，根据“去小车河湿地公园的人数＝总人数×频率”计算即可补全统计图；(2)由“南江大峡谷”占总数的比例乘以360°，计算可得其所对应的圆心角度数；(3)根据“7月份接待的游客总数×黔灵山公园所占的频率＝去黔灵山公园的游客人数”计算即可．【解答】(1)116÷0.29＝400(人)，400×＝100(人)，所以去小车河湿地公园的频数为100，补全图形如图．(2)“南江大峡谷”所对的圆心角度数为360°×°.(3)2 500×0.29＝725(人).答：去黔灵山公园的游客大约有725人．解此类题需要关注统计表中的信息，明确“频率＝频数数据总数”，“各小组频率之和＝1”；问题中补全统计图关键在于求出该组的频数来确定这一组矩形框的高度；问题(3)解题中运用到用样本统计量来估计总体统计量的统计思想．1．(2015·某某)某某市2010～2014年社会消费品零售总额及增速统计图如下：请根据图某某息，解答下列问题：求某某市2010～2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数；(2)求某某市近三年(2012～2014年)的社会消费品零售总额这组数据的平均数；(3)用适当的方法预测某某市2015年社会消费品零售总额(只要求列出算式，不必计算出结果)．2．2014年春季，持续多天的雾霾天气让环保和健康问题成为人们关注的焦点．为了美丽的和师生的身心健康，某校开展以“倡导绿色出行，关爱师生健康”为主题的教育活动．为了了解本校师生的出行方式，在本校X围内随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．学生出行方式扇形统计图师生出行方式条形统计图请根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)m ＝________；(2)已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；(3)若全校师生共1 800人，请你通过计算估计，全校师生乘私家车出行的有多少人？3．某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解决下列问题：(1)此次调查抽取了多少用户的用水量数据？(2)补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数；(3)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？类型2 概率的应用(2015·某某)在“阳光体育”活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．(1)若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率； (2)用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率．【思路点拨】 (1)先列举出所有可能共有3种，根据概率公式可计算出选1名同学和小英打第一场的概率；(2)先画树状图或列表法得到所有的结果数，再找到恰好小敏、小杰的结果数，最后用概率公式计算即可．【解答】 (1)选1名同学和小英打第一场，所有可能出现的结果共有3种：小丽、小敏、小洁，所以P(选中小丽)＝13.(2)画树状图如下：所有可能出现的结果共有12种，故P(选中小敏、小洁)＝212＝16.解决此类问题，需熟练掌握以下知识：(1)公式法：P(A)＝mn，其中n 为所有事件的总数，m 为事件A 发生的总次数；(2)列举(列表或画树状图)法的一般步骤为：①判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n 及所求事件A 出现的结果m ；④用公式P(A)＝mn求事件A 发生的概率．1．(2013·黔东南)某校九年级举行毕业典礼，需要从九(1)班的2名男生1名女生、 九(2)班的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人． (1)用树形图或列表法列出所有可能情形；(2)求2名主持人来自不同班级的概率；(3)求2名主持人恰好1男1女的概率．2．(2013·某某)一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同)，其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12.(1)求口袋中黄球的个数；(2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回)，再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；(3)现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分(每次摸后放回)，乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球，第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学第三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．类型3 统计与概率的综合应用(2015·某某)某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A.篮球 B．乒乓球C.羽毛球 D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图．请回答下列问题：图1 图2(1)这次被调查的学生共有________人；(2)请你将条形统计图2补充完整；(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．(用树状图或列表法解答)【思路点拨】(1)由喜欢篮球的人数除以所占百分比即为被调查总人数；(2)由(1)中总人数减去A、B、D 三项总人数即为C项所占人数，然后补全图；(3)根据题意列表，得到所有等可能的情况，然后找出满足题意的情况，求出概率．【解答】(1)20÷36360＝200(人)．(2)因为C项的人数为200 －(20＋80＋40)＝60(人)，补图如图所示．(3)列表如下：甲乙丙丁甲——(乙，甲) (丙，甲) (丁，甲)乙(甲，乙) ——(丙，乙) (丁，乙)丙(甲，丙) (乙，丙) ——(丁，丙)丁(甲，丁) (乙，丁) (丙，丁) ——由表格可知，所有等可能结果总数为12种，其中符合要求只有2种，则恰好选用甲、乙两位同学的概率P＝212＝16.此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用列表法或树状图法求概率，弄清题意是解本题的关键．解题过程中，对于“双统计图”要会观察题图、分析统计图表，从相互之间的联系提取信息为解题的切入点．1．(2015·某某)某中学号召学生利用假期开展社会实践活动，开学初学校随机地通过问卷形式进行了调查，其中将学生参加社会实践活动的天数，绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题(填入结果和补全图形)：(1)问卷调查的学生数为________人；(2)扇形统计图中a的值为________；(3)补全条形统计图；(4)该校共有学生1 500人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有________人；(5)如果从全校1 500名学生中任意抽取一位学生准备作交流发言，则被抽到的学生，恰好也参加了问卷调查的概率是________．2．(2015·黔南)今年3月5日，黔南州某中学组织全体学生参加了“青年志愿者”活动，活动分为“打扫街道”、“去敬老院服务”、“到社区文艺演出”和“法制宣传”四项，从九年级同学中抽取了部分同学对“打扫街道”、“去敬老院服务”、“到社区文艺演出”和“法制宣传”的人数进行了统计，并绘制成如图所示的直方图和扇形统计图．请根据统计图提供的信息，回答以下问题：(1)抽取的部分同学的人数是多少？(2)补全直方图的空缺部分；(3)若九年级有400名学生，估计该年级去打扫街道的人数；九(1)班计划在3月5日这天完成“青年志愿者”活动中的三项，请用列表或画树状图求恰好是“打扫街道”、“去敬老院服务”和“法制宣传”的概率．(用A表示“打扫街道”；用B表示“去敬老院服务”；用C表示“法制宣传”)参考答案类型11.(1)数据从小到大排列10.4%，12.5%，14.2%，15.1%，18.7%，则某某市2010～2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数14.2%.(2)某某市近三年(2012～2014年)的社会消费品零售总额这组数据的平均数是：(1 083.7＋1 196.9＋1 347.0)÷3＝1 209.2(亿元)．(3)从增速中位数分析，某某市2015年社会消费品零售总额为1 347×(1＋14.2%)＝1 538.274(亿元)．2．(1)20%(2)补全条形统计图如图．(3)15÷25%＋15÷25%÷2＝90(人).9＋15＝24(人).24×1 80090＝480(人)．答： 全校师生乘私家车出行的有480人． 3．(1)∵10÷10%＝100(户)，∴此次调查抽取了100户用户的用水量数据.(2)∵用水“15吨～20吨”部分的户数为100－10－36－25－9＝100－80＝20(户)， ∴据此补全频数分布直方图如图．扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为25100×360°＝90°.(3)∵10＋20＋36100×20＝13.2(万户),∴该地20万用户中约有13.2万户居民的用水全部享受基本价格． 类型21.(1)画树状图得：共有20种等可能的结果．(2)∵2名主持人来自不同班级的情况有12种， ∴2名主持人来自不同班级的概率为1220＝35.(3)∵2名主持人恰好1男1女的情况有12种， ∴2名主持人恰好1男1女的概率为1220＝35.2．(1)设口袋中黄球的个数为x 个，则 22＋1＋x ＝12.解得x ＝1.经检验，x ＝1是原分式方程的解．∴口袋中黄球的个数为1个． (2)画树状图如下：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况， ∴两次摸出都是红球的概率为212＝16.(3)∵摸到红球得5分，摸到篮球得2分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球， ∴乙同学已经得了7分．∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果． ∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为34.类型31.(1)200 (2)25% (3)补全条形统计如图．(4)1 125(5)2152．(1)根据题意得15÷30%＝50(人)． 答：抽取的部分同学人数是50人．(2)“到社区文艺演出”人数为：50－(20＋15＋5)＝10(人)， 补全条形统计图如图所示．word 11 / 11 (3)根据题意得：400×2050＝160(人)． 答：九年级有400名学生，估计该年级去打扫街道的人数为160人．(4)用D 表示“到社区文艺演出”，画树状图如下：∵共有24种等可能的结果，恰好是“打扫街道”、“去敬老院服务”和“法制宣传”的有6种情况，∴恰好是“打扫街道”、“去敬老院服务”和“法制宣传”的概率为624＝14.。