2021年中考复习数与式-第04讲 分式(教师版)A4

分式一．分式的概念及性质1．分式分概念：一般地，用A，B表示两个整式A B÷就可以表示成AB的形式．如果B中含有字母，式子AB就叫做分式．（1）分式有意义的条件：分式的分母不为零．（2）分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零．（3）分式值为正的条件分式的分子分母符号相同（两种情况）．（4）分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠)，其中A,B,C为整式．二．分式的综合运算1．分式的乘除法（1）分式的乘除法：b d bda c ac⋅=，b d bc bca c a d ad÷=⋅=．（a、b、c、d既可以表示数，也可以表示单项式/多项式等）（2）分式的约分和通分：关键是先分解因式．分式的约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，分式的值不变．最简分式：分子与分母没有公因式．分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，把几个异分母的分式化成同分母的分式，不改变分式的值．最简公分母：“各个分母”和“所有因式”的最高次幂的积．（3）分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．2．分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，a b a bc c c±±=．（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，b d bc ad bc ada c ac ac ac±±=±=．3．分式的综合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，遇到括号先算括号里面的．知识精讲三．分式的化简与求值分式的化简求值分为有条件和无条件两类．有条件化简求值指导思想：瞄准目标，抓住条件，依据条件推导目标，根据目标变换条件．方法点拨1．分式的化简与求值常用方法和技巧：（1）分步或者分组通分；（2）拆项相消或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或者利用倒数关系；（5）换元；（6）先约分后通分2．通分技巧：分步通分，分组通分，先约分后再通分，换元后通分等．一．考点：分式的性质、分式的混合运算及化简求值二．重难点：分式的混合运算及化简求值三．易错点：1．分式的分母中含有根号时，根号下的代数式一定是负的．题模一：分式的基本知识例1.1.1要使3x -+121x -有意义，则x 应满足（ ）A ．12≤x ≤3B ．x ≤3且x ≠12C ．12＜x ＜3D ．12＜x ≤3 【答案】D 【解析】根据题意得：30210x x -≥⎧⎨->⎩，解得：12＜x≤3．故选D ．例1.1.2若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【答案】1a >【解析】分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同，因分子为1，所以分母2-2x x a +也一定为正时满足条件，将式子2-2x x a +变形为2-21-1x x a ++（）（），因2210x x -+≥，即当10a ->时，分式的值恒为正例1.1.3当x ____时，分式1412x x 有意义；当x ____时，分式1111x 无意义；当x ____时，分式2224x x x x 的值为0【答案】2x ≠且6x ≠；2x =或1x =；0x =或1x =【解析】该题考查的是分式的性质． 分式有意义要求分母不为0，无意义要求分母为0，分式值为0要求分母不为0且分子为0，三点剖析题模精讲分式1412xx 有意义，则410220x x ⎧-≠⎪-⎨⎪-≠⎩，即4122x x ⎧≠⎪-⎨⎪≠⎩，即242x x -≠⎧⎨≠⎩，解得62x x ≠⎧⎨≠⎩； 分式1111x 无意义，则1101x -=-或10x -=，即111x =-或1x =，解得2x =或1x =； 分式()()()()()()22+22114222x x x x x x x x x x x x -+--==--+-的值为0，则()1020x x x ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得0x =或1x =． 例1.1.4x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【答案】(1)6x =-（2）1x =-或6x =【解析】（1）分式值为0则60x -=且2560x x --≠，得6x =-；（2）要使分式无意义，则分母2560x x --=，得1x =-或6x =题模二：分式的运算及化简求值例1.2.1化简2244xy yx x --+的结果是（ ）A ．2x x +B ．2x x -C ．2y x + D ．2y x - 【答案】D 【解析】2244xy y x x --+=2?(2)(2)y x x --=2yx -，故选D ．例1.2.2解答下列各题： （1）解方程：；（2）先化简，再求值：，其中a 满足a 2+2a ﹣7＝0【解答】解：（1）∵，∴（x ﹣2）2＝（x +2）2+16，∴x 2﹣4x +4＝x 2+4x +4+16，∴﹣4x ＝4x +16，∴x ＝﹣2， 经检验，x ＝﹣2是方程的增根，故原分式方程无解． （2）原式＝[﹣]•＝•＝，∵a 2+2a ﹣7＝0，∴a 2+2a ＝7，∴原式＝ 例1.2.3先化简，再求值：（），其中x=2．【答案】【解析】原式=[+]÷[﹣]=÷=÷=•=，当x=2时，原式==．例1.2.4已知实数a 满足a 2+2a-15=0，求11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+的值． 【答案】18【解析】11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+=11a +-2(1)(1)a a a ++-•2(1)(1)(2)a a a -++=11a +-21(1)a a -+=22(1)a +， ∵a 2+2a -15=0，∵（a+1）2=16，∵原式=216=18． 例1.2.5化简计算（式中a ，b ，c 两两不相等）222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+．【答案】0【解析】()()()()()()()()()()()()1111110a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b a c a b b a b c c b c a-+--+--+-++=+++++=------------随练1.1使代数式213x x--有意义的x 的取值范围是____． 【答案】x≥12且x≠3 【解析】根据题意得，2x -1≥0且3-x≠0，解得x≥12且x≠3． 故答案为：x≥12且x≠3．随练1.2如果分式2127a a +-的值是正数，那么a 的取值范围是________．【答案】72a >【解析】该题考察的是分式的性质．∵因为21a +恒0>，又∵分式2127a a +-的值是正随堂练习数，∴270a ->，解得：72a > ，故答案是72a >． 随练1.3先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．【答案】6﹣4【解析】原式=÷[﹣]=÷=•=（a ﹣2）2，∵a=，∵原式=（﹣2）2=6﹣4随练 1.4x 取 值时,112122x +++有意义；当x 的值为 ，分式223-1244x x x ++的值为0．【答案】592,,;24x x x ≠-≠-≠-2【解析】分式有意义则分母不为零，所以20x +≠且1202x +≠+，且120122x +≠++，所以592,,;24x x x ≠-≠-≠-分式值为零，则分子为零，且分母不为零，即()22312340x x -=-=且()224420x x x ++=+≠，故2x =．随练1.5当x 取何值时，分式2256x x x --+有意义？【答案】2x ≠±且3x ≠±【解析】间接考虑2560x x -+=，然后排除2560x x -+=的情形即可.()()256230x x x x -+=--=得20x -=或30x -=，2x =±或3x =±故要是分式有意义2x ≠±且3x ≠±即可． 随练1.6若1abc =，求111a b cab a bc b ca c ++++++++的值． 【答案】1 【解析】原式=11111111a ab abc a ab a ab ab a abc ab a abca abc ab ab a ab a a ab ab a ++++=++==++++++++++++++随练1.7已知a ，b ，c 为实数，16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+，求分式abcab bc ca++的值． 【答案】112【解析】由16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+知a ，b ，c 均不为零，故116a b +=，118b c+=，1110c a +=，解得14a =，12b =，16c =，故原式=1111112a b c=++随练1.8若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【答案】2，4【解析】若使分式1-1m 为整数，只需满足1m -为1的因数即可，即11m -=±，结果为0m =或2m =；分式11m m +-为整数，需要将式子整理为-12-1-1m m m +，即只要2-1m 为整数，11,2m -=±±，因此0,2,1,3m =-．随练1.9已知：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3，试说明不论x 为任何有意义的值，y 值均不变． 【答案】见解析【解析】本题主要考查了分式的混合运算能力． 先把分子分母分解因式再化简约分即可．证明：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3=2(3)(3)(3)x x x ++-×(3)3x x x -+-x+3=x -x+3=3． 故不论x 为任何有意义的值，y 值均不变．随练1.10已知0abc ≠，0a b c ++=，则代数式222a b c bc ca ab++的值为__________．【答案】3【解析】由0a b c ++=得()a b c =-+，()b a c =-+，()c a b =-+代入原代数式可得原式()()()22263b c a c a b b c a c b abccaabc b c a a b+++=++=++++++= 作业1若a 使分式241312a a a-++没有意义，那么a 的值是（ ）A ．0B ．13-或0 C ．2±或0 D ．15-或0【答案】D【解析】要使分式无意义，则分母为零即可，故13102a a ++=或20a =，所以15a =-或0a =，故答案为D 选项． 作业2要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________． 【答案】0x ≠且1x ≠±【解析】对于多重分式，必须要满足每一重的分母都不为0，首先0x ≠，得0x ≠；其次10x x-≠，课后作业得1x ≠±；故x 的取值范围是0x ≠且1x ≠±作业3化简：()()()222222x yz y zx z xyx y z x yz y z x y zx z x y z xy +-++++--+++---．【答案】0【解析】因为()()()2x y z x yz x y x z +--=+-，()()()2y z x y zy x y y z +++=++()()()2z x y z xy y z z x ---=+-，所以原式=()()()()()()()()()2220x yz y z y zx z x z xy x y x y y z z x -+++--+++=++-．作业4化简：÷﹣的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．a【答案】C 【解析】原式=×﹣=﹣=，作业5已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．【答案】13【解析】原式右边=()()()()()()()22222211211111Ax x B x Cx A C x B A x B x x x x x x x x -+-+++--+-==---，得2A C +=，1B A -=，11B -=-，解得10A =，11B =，8C =-，从而13A B C ++=作业6先化简，再求值：222x x x+-2212x x x -++÷211x x -+，其中x 为0＜x 的整数．【答案】14【解析】原式=2(2)x x x +-2(1)2x x -+•1(1)(1)x x x ++-=2(2)x x x +-12x x -+=(2)x x x +=12x +，∵x 为0＜x 的整数，∵x=1（舍去）或x=2，则x=2时，原式=14． 作业7阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．由分母为-x 2+1，可设-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a-1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a a b ，∴a=2，b=1∴42231x x x =222(1)(2)11x x x =222(1)(2)1x x x +211x =x 2+2+211x这样，分式42231x x x 被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x 的和．解答：（1）将分式422681x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）当x ∈（-1，1），试说明422681x x x 的最小值为8．【答案】（1）x 2+7+211x （2）见解析【解析】（1）由分母为-x 2+1，可设-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a -1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∵168a ab ，∵a=7，b=1，∵422681x x x =222(1)(7)11x x x =222(1)(7)1x x x +211x =x 2+7+211x这样，分式422681x x x 被拆分成了一个整式x 2+7与一个分式211x 的和．（2）由422681x x x =x 2+7+211x 知， 对于x 2+7+211x ，当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，即422681x x x 的最小值为8．作业8设x ，y ，z 为互不相等的三个非零实数，且111x y z y z x+=+=+，求xyz 的值． 【答案】1± 【解析】由已知111x y z y z x +=+=+，11x y y z +=+，11y zx y z y zy--=-=得y z zy x y -=-，同理可得，z x zx y z -=-，x y xy z x-=-，所以1y z z x x y zy zx xy x y y z z x ---⋅⋅=⋅⋅=---，即()21xyz =，故1xyz =±。