数学复数知识点提纲

复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。

全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。

《复数》 知识要点梳理一、数的发展和复数的概念 1.数的发展过程N →Z →Q →R →C ，其中N Z Q R C 苘苘.2.复数的分类注：若R ——实数集，C ——复数集，P ——虚数集，S ——纯虚数集，则==∅R P C R P S P C ，，苘.3.复数的三种形式（1）代数形式：i()z a b a b =+∈R ，.注：若无a b ∈R ，这一条件，就不能视a b ，为z 的实部、虚部. （2）几何形式：用点()Z a b ，表示i()z a b a b =+∈R ，. （3）向量形式：用OZ 表示i()z a b a b =+∈R ，. （4）三种形式的一一对应关系：4.复数相等（1）i i a b c d a c +=+⇔=，且()b d a b c d =∈R ，，，. （2）12z z =⇔对应点1Z 与2Z 重合1OZ ⇔与2OZ 重合. 5.共轭复数i a b +与i()a b a b -∈Z ，互为共轭复数.（1）几何特征：非零复数12z z ，互为共轭复数⇔对应点12Z Z ，（或对应向量1OZ ，2OZ ）关于实轴对称.（2）代数特征：①22i z z a z z b +=∈-=R ，为纯虚数或零；②z z =. 6.复数的模复数i()z a b a b =+∈R ，的模z =二、复数的运算与性质 1.复数的运算及其几何意义（1）对于代数形式的加、减、乘、除四则运算法则，要特别注意复数的除法可以用“分母实数化”理解.（2）复数的加减法满足交换律、结合律.（3）复数的乘除法满足交换律、结合律及对加法的分配律.（4）复数的混合运算顺序也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. （5）复数加法、减法的几何意义，即向量加法、减法的平行四边形法则或三角形法则. 2.重要性质或结论（1）共轭复数的运算性质①1212z z z z ±=±.②1212z z z z =. ③1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭.④()()n nz z n =∈Z . ⑤z z =.⑥z z z ∈⇔=R .⑦若z 为纯虚数z z ⇔=-.⑧22z z z z ==. （2）复数模的运算性质 ①z z =.②22z z z z ==. ③1212z z z z =.④11222(0)z z z z z =≠. ⑤nnz z =（当z ≠0时，n ∈Z ）. ⑥121212z z z z z z -±+≤≤.注：性质⑥通常叫做三角形不等式，其几何意义为三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. ⑦22221212122()z z z z z z ++-=+.注：性质⑦的几何意义为平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和. （３）复数与点的轨迹①两点间的距离公式：12d z z =-. ②线段的中垂线：12z z z z -=-.③圆的方程：z p r -=（以点p 为圆心，r 为半径）.④椭圆：122z z z z a -+-=（2a 为正常数，122a z z >-）. ⑤双曲线：122z z z z a ---=（2a 为正常数，122a z z <-）. ⑥圆的内部：z p r -<（以点p 为圆心，r 为半径）.⑦闭圆环：12r z p r -≤≤（以点p 为圆心，12rr ，为半径）. （4）常用的重要结论 ①z z z ∈⇔=R .②z 是纯虚数的充要条件是0z z +=且z ≠0. ③22(i)(i)()i i(i)a b a b a b a b b a +-=++=-，. ④4414243i1i i i 1i i()nn n n n +++===-=-∈N ，，，.⑤21i 1i(1i)2i i i 1i 1i+-±=±==--+，，.⑥i 的平方根是22⎛⎫±+⎪ ⎪⎝⎭，-i 的平方根是122⎛⎫±-+ ⎪ ⎪⎝⎭；的立方根是11i 122-±-，；的立方根是1122-±，.⑦设12ω=-±，，则31313223311k k k ωωωωωωωωωω+++======，，；，； 210ωω++=，120k k k ωωω++++=.（k ∈Z ）⑧非零复数1i z a b =+，2i()z c d a b c d =+∈R ，，，，对应的向量1212120OZ OZ ac bd z z z z ⇔+=⇔-=+⊥（矩形的对角线相等）.三、复系数一元二次方程及性质1.实系数一元二次方程20(ax bx c a b c ++=∈R ，，且0)a ≠及性质（1）0∆≥时，方程有实根：122b x a-±=，；0∆<时，在复数集C 中，方.（2）根与系数的关系：无论0∆≥还是0∆<，总有112b c x x x x a a+=-=，. （3）虚根成对出现的性质：当∆＜0时，12x x =且221212c x x x x a===. 2.虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）及性质 （1）求根公式仍适用；（2）根与系数的关系仍适用； （3）判别式判断实根情况失效； （4）虚根成对出现的性质失效. 四、复数复习注意点１.复数有关的证明问题（1）i 0()z a b b a b =+∈⇔=∈R R ，. （2）20z z ∈⇔R ≥. （3）z z z ∈±=R . 2.证明复数是纯虚数的方法（1）z a b =+i 是纯虚数0a ⇔=且0()b a b ≠∈R ，. （2）z 是纯虚数0z z ⇔+=且z ≠0. （3）z 是纯虚数20z ⇔<.３.数的概念扩展到复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.再如下列结论，当z ∈C 时都可以举出结论不成立的例证（由于前4个结论都较容易给出反例，我们不再给出，只对（5）、（6）进行分析）： （1）(1)m nz z m n z =⇒=≠；（2）22121200z z z z +=⇔+=；（3）22z z =；（4）z a a z a <⇔-<<.（5）()()mnm n aa m n =∈Q ，对虚数a 不再适用，如，求值20051i 22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭.错解：31i 122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，200520053311i12222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴-+=-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦。

复数全章知识点一、知识概述《复数》①基本定义：复数就是把实数和虚数合在一起的数。

比如，3是实数，但如果写成3 + 0i，这就是复数了。

其中i是虚数单位，规定i的平方等于-1。

就好像有一个神秘的数字世界，原本只有像1、2、3这些实实在在能看到摸到的实数，但科学家为了解决一些问题，发现还得有像i这么个神奇的东西，当它和实数组合起来就成了复数。

②重要程度：在数学学科里可是非常重要的，很多数学问题，特别是和方程、函数相关的，如果没有复数的概念，就没办法完整解决。

像在高等数学、物理学中的交流电计算等领域它可都是大功臣。

③前置知识：要掌握好实数的知识，像有理数、无理数，它们的运算规则，四则运算这些基本功。

因为复数也会用到实数的运算规则。

④应用价值：在电工学里，计算交流电的时候，如果只考虑实数，很多计算是没办法进行的。

因为交流电是有相位差的，而这个相位差就是复数里虚数部分在现实中的体现。

在信号处理里，也经常用到复数，把信号分解成实部和虚部来分别处理。

二、知识体系①知识图谱：复数在数学学科里算是数系扩充后的内容，它是实数系的扩展。

如果我们把数系比作一个家族，实数是家族的一大部分，那复数就是把这个家族又扩大了一些，把像i这种很奇怪的成员也包含进来了。

②关联知识：和方程、函数特别是多项式函数有很大联系。

许多多项式方程在实数范围内无解，但在复数范围内就有解了。

还和向量有点联系。

可以把复数看成一种特殊的向量，实部和虚部分别是向量的两个分量。

③重难点分析：- 掌握难度：我刚学的时候觉得有点难的就是虚数单位i这个概念，有点抽象。

它不像实数那么直观。

- 关键点：理解复数的实部、虚部，还有i的平方等于-1这条铁律。

能熟练进行复数的四则运算。

④考点分析：- 在考试中，如果是基础数学考试，会重点考查复数的基本运算，像加、减、乘、除。

比如出一道题让你计算(2 + 3i)+(1 - 2i),这种简单的计算。

如果是稍难一点的或者高等数学考试，会考查复数在方程中的应用，比如解一个在实数内无解的二次方程在复数范围内的解。

复数的知识点框架总结一、复数的形成规则1. 绝大多数名词在单数形式后加上-s或-es构成复数形式，如：- cat → cats- dog → dogs- book → books- bus → buses- box → boxes- class → classes- girl → girls- watch → watches- brush → brushes- piano → pianos- tomato → tomatoes- radio → radios2. 以-s, -ss, -ch, -sh, -x, -o结尾的名词在单数形式后加-es构成复数形式，如： - kiss → kisses- watch → watches- brush → brushes- box → boxes- potato → potatoes- tomato → tomatoes- hero → heroes3. 以“辅音字母+y”结尾的名词，将y变为i再加-es构成复数形式，如：- baby → babies- city → cities- party → parties- fly → flies- story → stories4. 以“f” 或“fe” 结尾的名词通常要将 f 变为v 加 es构成复数形式，如：- leaf → leaves- wife → wives- shelf → shelves- life → lives- knife → knives- half → halves- wolf → wolves- calf → calves5. 有一些名词的形式是不规则的，如：- man → men- woman → women- child → children- tooth → teeth- foot → feet- mouse → mice- goose → geese- person → people- deer → deer二、不规则复数形式变化除了上述规则之外，还有一些名词复数形式变化是不规则的，需要熟记这些不规则的复数形式，如：- mouse → mice- ox → oxen- child → children- foot → feet- tooth → teeth- woman → women- man → men- person → people- deer → deer三、复数的用法1. 表示数量- There are three cats in the garden.- Many students like playing basketball.- There are some apples on the table.2. 表示不可数名词的复数形式- We have different wines from different countries.- The waters of the river are deep and dangerous.- I have two hairs out of place.3. 表示代替复数名词- The dogs are barking. They want to go out.- Girls, please sit down and be quiet.- The children had their lunch and then went out to play.4. 表示一个群体- The police have arrested the thief.- The cattle are grazing in the field.- The people are celebrating the festival.5. 表示人名、职位、称呼、书名、船名等- The Johnsons are coming to the party.- The Smiths are a very musical family.- The Browns have four children.- The Millers have a beautiful garden.- The doctors are in a meeting.- The Greens have a big house.6. 表示时间、金额、距离等- I will be away for a few days.- The prices of these products are high.- The Goods are to be delivered tomorrow.四、复数名词的注意事项1. 不可数名词的复数形式- beach → beaches (沙滩)- bread → breads (面包)- butter → butters (黄油)- cake → cakes (蛋糕)- cheese → cheeses (奶酪)- fish → fishes / fish (鱼，复数形式可以为fishes或fish) - fruit → fruits (水果)- juice → juices (果汁)- milk → milks (牛奶)- r ice → rices (米饭)- salt → salts (盐)- sugar → sugars (糖)2. 单数形式为复数形式的名词- clothes (衣服) news (新闻) belongings (财产) stairs (楼梯) contents (内容) looks (神情) riches (财富) glasses (眼镜) manners (态度) means (手段)- The series are very popular.3. 不可数名词也可以作为复数名词，表示“各种，各种类型的”，如：- The small rooms are on the third floor.- He gave her a box of chocolates.- We met some rich people at the party.- The bad news is that he has been in an accident.5. 一些名词在单数与复数形式前有其特定的变化fish → fishesstaff → stavesindex → indicescactus → cactisyllabus → syllabi总结：复数形式是英语学习中的基础知识之一，掌握好复数形式的形成规则对英语学习十分重要。

复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。

3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。

4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。

5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。

6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。

三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。

2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。

3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。

1、复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，形如a +bi (a 、b ∈R )的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集⎧⎧⎧整数⎪⎪有理数⎨实数(b =0)⎨⎪⎩分数⎪⎪复数a +bi (a ,b ∈R )⎨小数)⎩无理数(无限不循环⎪虚数(a ≠0)⎪虚数(b ≠0)⎧纯⎨⎪虚数(a =0)⎩非纯⎩3.复数的几何意义对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z).z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。

复平面内的点Z （a,b ）复数z =a +bi平面向量OZ4.两个复数相等的定义：a +bi =c +di ⇔a =c 且b =d （其中a ，b ，c ，d ，∈R ）特别地，a +bi =0⇔a =b =0.5.复数的四则运算设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i（1）加法：z 1+z 2=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i 即实部与实部相加，虚部与虚部相加；，（2）减法：z 1-z 2=(a 1-a 2)+(b 1-b 2)i ，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；（3）乘法：z 1⋅z 2=(a 1a 2-b 1b 2)+(a 2b 1+a 1b 2)i ，特别z ⋅z =a 2+b 2；c +di（a ,b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方a +bi法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：（4）除法z =c +di c +di a -bi (ac +bd )+(ad -bc )iz ==⋅=；a +bi a +bi a -bi a 2+b 2（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

复数知识点概括（二）引言概述：复数是数学中一个重要的概念，它使我们能够描述和计算现实世界中的各种事物和现象。

本文将概括复数的一些重要知识点，包括复数的定义和表示方法、复数的运算法则、复数的共轭和模、复数的指数形式及其应用、以及复数的几何表示与复平面等内容。

1. 复数的定义和表示方法- 复数的定义：复数是由实数和虚数组成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。

- 符号表示法：复数可以用各种不同的符号表示，包括直角坐标形式、极坐标形式和指数形式。

2. 复数的运算法则- 复数的加法和减法：对应实部和虚部分别相加或相减。

- 复数的乘法和除法：使用分配律和乘法倒数规则进行运算。

- 复数的乘方和开方：使用指数形式和三角函数形式进行运算。

3. 复数的共轭和模- 复数的共轭：将复数的虚部取负即可得到共轭复数。

- 复数的模：复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理求得。

4. 复数的指数形式及其应用- 复数的指数形式：复数可以用指数形式表示为re^(iθ)，其中r是模，θ是幅角。

- 复数的指数形式的运算：使用指数形式对复数进行乘法、除法和乘方运算。

- 复数的指数形式的应用：可以用指数形式解决复杂的三角函数运算和方程问题。

5. 复数的几何表示与复平面- 复数的几何表示：复数可以在复平面上表示为一个点，实部对应x轴，虚部对应y轴。

- 复数的共轭和模在复平面上的表示：共轭复数位于原复数的对称位置，模表示为到原点的距离。

- 复数的运算在复平面上的表示：复数的加法和减法对应平移操作，乘法和除法对应缩放和旋转操作。

总结：通过本文，我们对复数的一些重要知识点有了概括性的了解。

复数的定义和表示方法为我们描述和计算虚数提供了便利，复数的运算法则和指数形式为我们进行复杂的数学运算提供了方法，而复数的几何表示和复平面则将抽象的数学概念转化为直观可见的几何图像，使我们更容易理解和应用复数。

深入学习和掌握复数知识，将为我们在数学和工程等领域的学习和研究中提供有力的工具。

复数知识点归纳（一）引言概述：复数是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用。

本文将要介绍复数的一些重要知识点，包括复数的定义、复数的表示形式、复数的运算规则、复数的性质以及复数在实际应用中的应用场景。

正文：1. 复数的定义：- 复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。

- 实部和虚部分别由实数a和b来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2. 复数的表示形式：- 矩形形式：复数可以用直角坐标系中的点来表示，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标，形成一个复平面。

- 极坐标形式：复数可以用极坐标表示，即用模和幅角来表示。

3. 复数的运算规则：- 加法和减法：复数相加减时，实部和虚部分别进行运算。

- 乘法和除法：复数相乘除时，可以使用矩阵形式进行运算，实部和虚部分别进行运算。

- 幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转化为极坐标形式来简化运算。

4. 复数的性质：- 共轭复数：一个复数的共轭复数是将该复数的虚部取负数得到的复数。

- 模和幅角：一个复数的模是其在复平面上到原点的距离，幅角是与x轴正向的夹角。

- 相等和不等式：两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等，两个复数的大小可以通过比较它们的模的大小来确定。

5. 复数的应用场景：- 电路分析：复数可以表示交流电压和交流电流，用于描述电路中电压和电流的相位关系。

- 信号处理：复数可以用于描述信号的频谱分析，在数字信号处理中有着重要应用。

- 工程计算：在工程中经常需要处理复杂的计算问题，复数可以简化计算过程。

总结：复数是一个由实部和虚部组成的数，可以用矩形形式和极坐标形式进行表示。

复数的运算包括加减法、乘除法和幂运算，具有一些重要的性质如共轭复数、模和幅角。

复数在实际应用中有广泛的应用场景，包括电路分析、信号处理和工程计算等。

深入理解和掌握复数知识，将对数学和工程领域的学习与应用产生积极的影响。

复数知识点总结数学一、复数的定义1. 复数的引入复数是在解决二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 时引入的，因而对于该方程抽象出来的解 -b/2a 即不存在，于是引入了虚数单位 i（i^2 = -1）。

因此，考虑了实数范围外的概念：负数的平方根。

2. 复数的定义复数由实部和虚部组成，一般表示为 a+bi，其中a为实部，bi为虚部。

当a=0时，复数为纯虚数；当b=0时，复数为实数。

3. 复数的性质复数具有共轭、实部、虚部等性质。

共轭：复数 a+bi 的共轭为 a-bi；实部：复数 a+bi 的实部为 a；虚部：复数 a+bi 的虚部为 b。

4. 复数的绝对值和幅角复数 a+bi 的绝对值定义为|a+bi| = √(a²+b²)；复数 a+bi 的幅角定义为 arg(a+bi) =arctan(b/a)。

二、复数的运算1. 复数的加法和减法复数的加法和减法都是按照实部和虚部进行赋值运算。

2. 复数的乘法复数的乘法是按照展开式进行计算的，需要注意 i² = -1。

3. 复数的除法复数的除法需要将分母有理化，然后乘以共轭复数得到结果。

4. 复数的乘方和开方复数的乘方需要注意按照展开式进行计算；复数的开方需要注意共轭复数和幂次根的计算。

三、复数的代数方程1. 一元二次方程一元二次方程的解一般为复数，根据判别式可以判断方程有几个实根、虚根或不等实根。

2. 一元高次方程一元高次方程的根可能为复数，可以根据综合定理推导出复数根的情况。

3. 复数系数方程对于复数系数方程，可以使用复数的性质进行求解，得到复数解。

四、复数平面1. 复数的几何表示在复数平面中，实部和虚部分别对应坐标轴上的 x 轴和 y 轴，复数 a+bi 对应于点 (a,b)。

2. 复数的运算复数的几何表示可以利用向量的方法进行解释，加法和乘法对应于向量的平移和旋转。

3. 复数的几何性质复数的绝对值对应于复数到原点的距离，复数的幅角对应于复数到 x 轴的角度。

复数知识点归纳复数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的求解和数学理论的推导中起着重要作用。

下面是关于复数的知识点的归纳：1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

2. 实部和虚部：在复数a+bi中，实部为a，虚部为bi。

3. 虚数单位i：虚数单位i定义为i²=-1，它是一个不存在的实数，但在复数中有很重要的作用。

4. 纯虚数：当复数的实部为0时，称其为纯虚数，例如3i、-5i等。

5. 共轭复数：对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。

共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。

6. 复数的运算：- 加法：对于两个复数(a+bi)+(c+di)，实部相加得到a+c，虚部相加得到b+d。

- 减法：对于两个复数(a+bi)-(c+di)，实部相减得到a-c，虚部相减得到b-d。

- 乘法：对于两个复数(a+bi)·(c+di)，使用分配律展开后，相乘得到ac-bd，然后根据i²=-1，得到(ad+bc)i。

- 除法：对于两个复数的除法，可以使用分数的除法规则，即将分子和分母都乘以共轭复数的分母的共轭形式，然后化简。

7. 模和幅角：- 模：对于复数a+bi，其模表示为|a+bi| = √(a²+b²)，即复数到原点的距离。

- 幅角：对于复数a+bi，其幅角表示为θ = arctan(b/a)，即复数与实轴正方向之间的夹角。

8. 三角形式：复数可以使用三角函数来表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模，θ为幅角。

这种表示方式可以用于简化复数的乘除运算。

9. 欧拉公式：欧拉公式是数学中的一个重要公式，表达了指数和三角函数之间的关系。

它表示为e^(iθ) = cosθ + isinθ。

10. 复数的求根：复数的求根可以使用极坐标形式和欧拉公式来进行计算。

具体的步骤是，将复数表示为模和幅角的形式，然后对模取n次方根，对幅角除以n。

数学复数复习知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i^2=-1）组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，a被称为实部，b被称为虚部。

2. 复数的运算（1）复数的加法：将实部相加，虚部相加（2）复数的减法：将实部相减，虚部相减（3）复数的乘法：将实部和虚部分别相乘，虚部的i^2替换为-1（4）复数的除法：将分子和分母同乘以分母的共轭复数，然后进行分数的除法运算3. 复数的共轭一个复数a+bi的共轭是a-bi，共轭复数的实部相同，虚部的符号相反4. 复数的模及幅角（1）复数的模：复数a+bi的模是|a+bi|=√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离（2）复数的幅角：复数a+bi的幅角是∠arg(a+bi)=arctan(b/a)，表示复数与实轴的夹角5. 复数的指数形式复数a+bi可以表示为模与幅角的指数形式：a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r是模，θ是幅角6. 复数的三角形式（1）复数的三角形式：a+bi可以表示为r(cos(θ)+isin(θ))的形式（2）复数的三角形式乘法：将复数表示为三角形式后，可以直接进行复数的乘法运算（3）复数的三角形式除法：将复数表示为三角形式后，可以直接进行复数的除法运算7. 欧拉公式欧拉公式是数学中一个重要的公式，它表示为e^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)，其中e是自然对数的底，i是虚数单位8. 复数的根求复数的根时，一般先将复数表示为指数形式，然后用求实数的根的方法求解，再将结果表示为复数的形式9. 复系数方程（1）求复系数方程的解时，可以将方程中的复数用a+bi的形式表示，然后进行实数方程的求解（2）复系数方程的解的共轭性10. 复数在几何中的应用（1）复数的表示：在复平面中，将复数a+bi表示为点(x,y)，x是实部，y是虚部（2）复数的运算：在复平面中，将复数的加法、减法等运算表示为向量的相加减（3）复数的模：在复平面中，复数的模表示为复数到原点的距离（4）复数的幅角：在复平面中，复数的幅角表示为复数与实轴的夹角11. 复数的应用（1）在电路分析中，复数可以表示电阻、电感、电容等元件的阻抗，进行交流电路的分析（2）在振动学中，复数可以表示振动的幅度和相位，进行振动的分析（3）在信号处理中，复数可以表示信号的频率和相位，进行信号的处理12. 复数数学等式（1）德摩弗公式：e^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)，是欧拉公式的特殊情况（2）欧拉公式：e^(iπ)+1=0，被称为数学中最美丽的等式总结复数是数学中一个重要的概念，它不仅可以用于解决实际问题，还可以用于简化数学运算。

复数知识点归纳总结一、复数的定义复数是指大于零的数字，包括实数和虚数。

在复数中，实部和虚部分别用来表示横轴和纵轴上的坐标，形成一个二维坐标系。

二、复数的表示1. 简单位分法表示：a+bi2. 模幅相位表示：r(cosθ + i sinθ)三、复数的性质1. 加减法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i2. 乘法：(a+bi)(c+di) = ac - bd + (ad+bc)i(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi3. 除法：(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i四、复数的共轭对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。

五、复数的模和幅角对于复数a+bi，其模r为sqrt(a^2+b^2)，幅角θ为arctan(b/a)。

六、复数的比较对于两个复数a+bi和c+di，当a>c时，a+bi>c+di；当a=c时，若b>d时，a+bi>c+di。

七、复数的指数形式指数形式为r(cosθ + i sinθ)，其中r为模，θ为幅角。

八、复数的牛顿迭代法通过迭代公式z_{n+1} = z_n - f(z_n)/f'(z_n)计算非线性方程的近似解，其中f(z)为非线性函数，z_n为已知迭代值。

九、复数的应用1. 信号处理在信号处理中，复数经常用于表示信号的频率和相位，以及信号的变换和滤波。

2. 电路分析在电路分析中，复数经常用于表示电压和电流的相位和幅值，在交流电路中进行计算和分析。

3. 控制系统在控制系统中，复变量经常用于表示控制器的频率响应和稳定性分析。

十、复数的应用举例1. 信号处理中的傅里叶变换傅里叶变换将时域的信号转换成频域的表示，利用复数的模和幅角来表示信号的频率和相位。

2. 电路分析中的阻抗分析利用复数的表示方法，可以将电阻、电感、电容等元件用复阻抗的形式来表示，简化电路分析和计算。

数学复数知识点提纲在平时的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。

还在为没有系统的知识点而发愁吗？下面是店铺收集整理的数学复数知识点提纲，希望能够帮助到大家。

复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。

(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

引言概述：复数是数学中一种重要的数形式，由实数部分和虚数部分组成。

复数在数学及物理学等领域具有广泛的应用。

本文旨在全面总结和介绍复数的相关知识点，包括复数的定义、运算法则、常见形式、共轭复数、极坐标形式及复数的应用等方面。

正文内容：1.复数的定义：复数是由实数和虚数组成的数集，常用形式为a+bi，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。

实数部分和虚数部分分别可以为任意实数，虚数单位i满足i^2=1。

2.复数的基本运算法则：加法：两个复数相加，实数部分相加，虚数部分相加。

减法：两个复数相减，实数部分相减，虚数部分相减。

乘法：两个复数相乘，实数部分和虚数部分按照二次方程的乘法公式进行计算。

除法：两个复数相除，通过共轭复数的概念进行计算。

3.复数的常见形式：代数形式：a+bi，其中a和b都是实数。

三角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。

小点：模的计算：模表示复数与原点的距离，计算公式为-z-=sqrt(a^2+b^2)。

幅角的计算：幅角表示复数与正实轴的夹角，计算公式为θ=arctan(b/a)。

三角形式与代数形式的转换：利用三角函数的关系进行转换，如a=rcosθ，b=rsinθ。

4.共轭复数：共轭复数指的是改变虚数部分的符号而得到的复数。

如果z=a+bi，则其共轭复数为z'=abi。

共轭复数的特点：共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。

小点：共轭复数的应用：在复数的除法中，分子与分母同时乘以分母的共轭复数，可以消去虚数部分，得到实数结果。

共轭复数的性质：共轭复数的运算满足交换律、结合律和分配律。

5.复数的极坐标形式：复数的极坐标形式为z=r(cosθ+isinθ)，其中r是模，θ是幅角，复数可以表示为向量的模和方向。

极坐标形式的计算：利用三角函数的关系，可以计算出复数的模和幅角。

小点：极坐标形式与代数形式的转换：利用三角函数的关系进行转换。

极坐标形式下的复数运算：复数的加法和减法可以通过向量的相加和相减进行计算。

(完整版)复数知识点总结复数是数学中的一个基本概念，特别是在代数和几何中扮演着重要角色。

以下是复数的知识点总结：1. 定义：复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。

2. 实部与虚部：对于复数 z = a + bi，a 称为它的实部（Re(z)），b 称为它的虚部（Im(z)）。

3. 共轭复数：一个复数 z 的共轭复数表示为 z* 或者z̅，定义为a - bi。

共轭复数在复平面上关于实轴对称。

4. 模与辐角：复数 z 的模（|z|）是其实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a² + b²)。

辐角（arg(z)）是从正实轴到复数在复平面上表示的向量的角度，通常用θ 表示。

5. 复数的乘法与除法：- 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i6. 欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。

这个公式将复指数函数与三角函数联系起来。

7. 德摩弗定理：对于任何复数 z 和非零复数 w，有 (z/w) = (z - w) / (1 - wz)，这个定理在处理复数序列和级数时非常有用。

8. 复数的极限与连续性：复数的极限定义与实数类似，但需要考虑复平面上的点。

复数函数的连续性也可以用类似实数函数的方式定义。

9. 解析函数：如果一个复数函数 f(z) 在某个区域内的每一点都可微分，则称 f(z) 在该区域内解析。

柯西-黎曼方程是判断一个复函数是否可微分的必要条件。

10. 级数展开：复数函数可以通过泰勒级数或劳朗级数在复平面上展开。

复数知识点归纳复数是高中数学中的一个重要概念，它既包含实数，又包含虚数，是实数和虚数的统一。

复数的概念和性质在数学的许多领域都有着广泛的应用，如在微积分、线性代数、信号处理等领域。

下面是对复数知识点较为详细的归纳和介绍。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足i^2 = -1。

2. 复数的分类：-纯虚数：当a = 0，b ≠0 时，复数z = bi 称为纯虚数。

-实数：当b = 0 时，复数z = a 称为实数。

-非纯虚数：当a ≠0，b ≠0 时，复数z = a + bi 称为非纯虚数。

3. 复数的几何意义：复数可以表示为复平面上的点，实部表示点在x 轴上的位置，虚部表示点在y 轴上的位置。

二、复数的四则运算1. 加法：两个复数相加，实部相加，虚部相加，即(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。

2. 减法：两个复数相减，实部相减，虚部相减，即(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。

3. 乘法：两个复数相乘，实部乘实部，虚部乘虚部，实部加虚部的乘积，即(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。

4. 除法：两个复数相除，先乘以共轭复数，即(a + bi)/(c + di) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc -ad)/(c^2 + d^2)i。

三、复数的特殊性质1. 复数的模：复数z = a + bi 的模定义为|z| = √(a^2 + b^2)，表示复数z 在复平面上到原点的距离。

2. 复数的共轭：复数z = a + bi 的共轭复数为z 的实部不变，虚部变号，即z 的共轭复数为a - bi。

3. 复数的乘方和开方：复数乘方遵循实数乘方规则，即(a + bi)^n = (a^n + n*a^(n-1)*bi) + ... + b^n*i^(n-1)。

高中复数的知识点一、复数的定义1、形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\），＼（i\）为虚数单位，＼（i^2 ＝－1\））的数叫做复数。

＼（a\）叫做复数的实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）叫做复数的虚部，记作\（Im(z)＼）。

当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为实数；当\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为纯虚数。

二、复数的表示1、代数形式：＼（z ＝ a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））2、几何形式复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，＼（x\）轴叫做实轴，＼（y\）轴叫做虚轴。

复数的坐标表示：复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的点\（Z(a,b)＼）。

复数的模：复数\（z ＝ a ＋ bi\）的模\（＼vert z\vert ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。

三、复数的运算1、复数的加法法则：＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）几何意义：复数的加法对应复平面内向量的加法。

2、复数的减法法则：＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）几何意义：复数的减法对应复平面内向量的减法。

3、复数的乘法法则：＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、复数的除法法则：＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i\）（＼（c ＋ di ＼neq 0\））四、共轭复数1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。

复数\（z ＝ a ＋ bi\）的共轭复数记为\（＼overline{z} ＝ a bi\）。

考试大纲：（1）复数的概念① 理解复数的基本概念．② 理解复数相等的充要条件．③ 了解复数的代数表示法及其几何意义．（2）复数的四则运算① 会进行复数代数形式的四则运算．② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理：一、复数的基本性质：1、复数代数形式：设a 、b 都是实数，形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.（注意实数集R 是复数集C 的真子集）2、复数的分类：① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.3、复数是实数的充要条件：① z=a+bi ∈R ⇔b=0（a 、b ∈R ）； ② z ∈R ⇔z=z ； ③ Z ∈R ⇔22Z Z=复数是纯虚数的充要条件：① z=a+bi 是纯虚数⇔a=0且b≠0（a 、b ∈R ）； ② z 是纯虚数或0⇔Z+z =0；③ z 是纯虚数⇔ z 2＜04、复数相等的充要条件： 00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别，，，，（且注意：两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. ①若21,z z 为复数，则1若021>+z z ，则21z z ->.（×）[21,z z 为复数，而不是实数]2若21z z <，则021<-z z .（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）二、复数的几何意义1、复数的向量表示法：① 复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应．② 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，．③ 由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．④ 复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为22z a b =+ ⑤ 从x 轴正向到向量OZ 的转角θ 表示的指向(按照习惯，以逆时钟转向为正)，称θ为复数z 的幅角2、复数的三角表示法：若|z |=r ≠0，z 的幅角为θ，设z =a +bi ，则可以得到a =r cos θb =r sin θ因此 z =r (cos θ+i sin θ)称以复数的模、幅角表示的形式为复数的三角形式。