高考复数知识点精华总结

数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。

在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。

1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。

1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。

1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。

1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。

1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。

二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。

2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。

2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。

2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。

高考关于复数知识点复数是英语语法中一项基本的知识点，它在高考中也是一个必考内容。

掌握了复数的规则和用法，能够帮助我们更准确地表达和理解英语。

下面将介绍一些高考常考的复数知识点。

一、名词复数的基本规则1. 大多数名词的复数形式是在词尾加-s，例如：books, desks。

2. 以-s, -sh, -ch, -x结尾的名词，在词尾加-es，例如：buses, dishes。

3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加-es，例如：ladies。

4. 以-o结尾的名词，加-es或-s，要根据具体的情况决定，例如：tomatoes, pianos。

5. 一些名词的复数形式是不规则的，需要记住，例如：children, men。

二、名词复数的特殊情况1. 以-f或-fe结尾的名词，通常将-f或-fe变为-v，再加-es，例如：wives, knives。

2. 以-us或-is结尾的名词，复数形式变为-i，例如：cacti, fungi。

3. 以-y结尾的名词，如果y的前面是元音字母，则直接加-s，如果y的前面是辅音字母，则将y改为i，再加-es，例如：keys, boys。

三、不可数名词不可数名词是指表示一种物质、抽象概念或者整体的名词，它们没有复数形式。

常见的不可数名词有：water, milk, money等。

在表达数量时，可以使用量词来修饰不可数名词，例如：a bottle of water, a cup of milk。

四、名词复数用法的注意事项1. 复数名词作主语时，其后面的谓语动词要用复数形式，例如：Books are my best friends.2. 复数名词作定语时，要放在被修饰名词的前面，例如：three cars.3. 复数名词前面可以有数词、限定词或形容词修饰，例如：many students, a few apples, beautiful flowers.五、名词复数的用途1. 表示数量和集体，例如：There are many trees in the park.2. 表示一类事物或人，例如：The apples here are very delicious.3. 表示多次或重复的动作，例如：He took the books and put them on the shelf.六、动词与名词复数的一致当主语是复数名词时，谓语动词要用复数形式；当主语是不可数名词时，谓语动词要用单数形式，例如：Ten students are playing football. Water is essential for life.总结：掌握名词复数的基本规则、特殊情况和用法，能够在高考英语中正确使用复数，充分展示语言的准确性和流利性。

高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

在复数中，实部为a，虚部为b。

二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。

十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。

在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。

它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。

掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。

复数知识点总结一；复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且时的复数a + b i 为纯虚数（2）幂运算：（3）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（4）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；（5）两个复数相等的定义：（6）复数的基本运算:设111z a b i =+，222z a b i =+1)加法：()()121212z z a a b b i +=+++；2)减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；3)乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

注：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则.（√）②若，则是的必要不充分条件.（当R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i )(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且21,z z 1021 z z +21z z - 21,z z 221z z 021 z z -C c b a ∈,,0)()()(222=-+-+-a c c b b a c b a ==，时，上式成立）（7）除法：c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 (8)共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；注：1）共轭复数的性质：，（a + b i ）（） 2）注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]3） ①复数的乘方： ②对任何，及有以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.③常用的结论：22)(i b a =-0)(,1)(22=-=-a c c b z z =2121z z z z +=+a z z 2=+i 2b z z =-=z 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=-2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02≠z n n z z )(=)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nnz 21,z z C ∈+∈N n m ,n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+1,142=-=i i 11)(212142===i i 11=-2||x x =x 2||x x ≠i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。

2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。

二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。

三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。

复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。

复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。

此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。

复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。

通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。

新高考复数知识点总结归纳一、名词的复数形式名词的复数形式通常有以下几种情况：1. 一般情况下，在名词末尾加-s：book→books, dog→dogs。

2. 以-s, -sh, -ch, -x结尾的名词，在末尾加-es：dish→dishes,box→boxes。

3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加-es：city→cities, baby→babies。

4. 以-f或-fe结尾的名词，将f或fe改为v，再加-es：wolf→wolves, knife→knives。

5. 一些特殊名词的复数形式需要单独记忆：child→children,man→men, woman→women。

二、不可数名词与可数名词1. 不可数名词是指不能用数目进行计数的名词，一般用单数形式。

常见的不可数名词有：water, milk, bread, information等。

2. 可数名词是指可以进行数目上的计数的名词，可以有复数形式。

常见的可数名词有：book, cat, dog, apple等。

3. 有些名词可以既作不可数名词，又作可数名词，表示不同的意思。

比如：glass可以表示"玻璃杯"，是可数名词；也可以表示"玻璃"，是不可数名词。

三、复数名词的用法1. 表示一般复数概念：They have three cats.2. 表示某些事物的一部分：I ate two slices of pizza.3. 表示一种人或一类东西：The Chinese are good at math.4. 表示许多或一定数量的人或物：Many students go to school by bus.5. 表示两种东西：I want both apples and oranges.四、不规则名词的复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要单独记忆。

下面列举一些常见的不规则名词的复数形式：1. child→children2. man→men3. woman→women4. tooth→teeth5. foot→feet6. goose→geese7. mouse→mice8. ox→oxen九、对不可数名词进行量化对不可数名词进行量化时，可以使用以下方法：1. 使用量词或数量短语来修饰：a bottle of water, a piece of cake。

高三数学知识点复数复数是数学中的一个重要概念，在高三数学学习中也占有重要地位。

它不仅在代数中有广泛的应用，还在很多实际问题中起着关键的作用。

本文将就高三数学中的复数知识点进行详细介绍，包括定义、运算、表示方法等内容。

一、复数的定义1. 复数的概念在数学中，复数是由实数和虚数的和组成的数。

其中实数部分可以为任意实数，虚数部分为实数乘以虚数单位 i。

i 的定义为 i^2 = -1，其中 i 即为虚数单位。

2. 复数的表示方法一般来说，复数可用 a+bi 表示，其中 a 为实部，b 为虚部。

二、复数的运算1. 加法运算复数加法满足交换律和结合律。

若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的和为 z = (a+c) + (b+d)i。

2. 减法运算复数减法可以看作加法的逆运算。

若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的差为 z = (a-c) + (b-d)i。

3. 乘法运算复数乘法也满足交换律和结合律。

若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的乘积可以通过展开得到：z = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i。

4. 除法运算复数除法是乘法的逆运算。

若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的商可以通过乘以共轭复数并进行化简得到：z = (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd) / (c^2+d^2) + (bc-ad)i / (c^2+d^2)。

三、复数的性质1. 共轭复数对于复数 z = a+bi，其共轭复数可以用 z* 表示，即 z* = a-bi。

共轭复数实际上是对复数的虚数部分取负。

2. 模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，可以用 |z| 表示。

模的计算公式为|z| = √(a^2+b^2)。

高考复数的知识点总结复数是英语语法中一个非常重要的概念，常常出现在高考的考试题目中。

在此，我将对高考所涉及的复数知识点进行总结，希望对同学们备考有所帮助。

一、复数的基本规则1. 名词一般通过在词尾加-s表示复数形式，如books、pens等。

2. 以s、x、ch、sh等结尾的词，复数形式在词尾加-es，如buses、boxes。

3. 以辅音字母+y结尾的词，将y变为i，再加-es，如ladies、stories。

4. 以-o结尾的词，一般在词尾加-es，如potatoes、tomatoes。

但也有例外，如photos、pianos。

二、不规则复数形式1. 有些名词的复数形式完全不规则，需记忆，如child—children、man—men、woman—women等。

2. 有些名词的复数形式与单数形式相同，需通过上下文来判断，如fish、sheep等。

三、复数形式与动词一致1. 当主语为复数形式时，谓语动词需用复数形式，如The students are studying.2. 当主语为两者或多者共同进行的动作时，谓语动词也可使用复数形式，如The dog and the cat are playing.四、复数名词的所有格1. 在复数名词的结尾加-apostrophe，如girls'、birds'。

2. 若复数名词已以-s结尾，则只需要在词尾加-apostrophe，如students'、teachers'。

五、部分复数形式1. 一些名词既有单数形式，又有复数形式，含义不同，如news、means。

2. 一些名词无单数形式，只有复数形式，如scissors、trousers。

六、可数名词与不可数名词的复数形式1. 不可数名词没有复数形式，如water、milk。

2. 可数名词和不可数名词均可以表示复数概念，如two coffees、three books。

七、高考常见考点1. 单复数一致：在句子中主语与谓语动词需要保持单复数一致。

复数总结知识点高考数学一、复数的概念复数是指形如a+bi的数，其中a和b分别是实数部分和虚数部分，i是虚数单位，满足i^2=-1。

可以看出，实数可以看作是复数中虚数部分为0的特殊情况。

二、复数的加减在复数形式下，两个复数相加或相减，只需要按照实部和虚部分别相加或相减即可。

例如：(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i三、复数的乘法复数的乘法需要用到虚数单位i的乘法规则i^2=-1。

将两个复数相乘，按照分开实数和虚数部分相乘，然后利用i^2=-1简化计算。

例如：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i四、复数的除法复数的除法，通常需要将除数和被除数都用复数的共轭表示式分子/分母，然后利用复数的乘法进行计算，最后将结果化简为标准形式。

例如：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c^2+d^2) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i五、复数的模复数的模指的是复数到原点的距离，用|z|表示。

对于复数a+bi，它的模为√(a^2+b^2)，即z的模等于它的实部a与虚部b的平方和的平方根。

复数模的性质：1) |z1z2| = |z1||z2|2) |z1/z2| = |z1|/|z2|六、复数的幂复数的幂运算可以直接套用实数的幂运算，但需要注意虚数单位i的幂次满足周期性规律。

具体计算时，先将底数化为极坐标形式，然后根据幂运算的规律进行计算。

例如：(a+bi)^n = (r(cosθ+isinθ))^n = r^n(cosnθ+isinnθ)七、复数的共轭复数的共轭是将实数部分不变，而虚数部分取负号得到的复数。

例如：复数a+bi的共轭为a-bi总结：复数是高考数学中的基础知识点，掌握复数的加减乘除、模和幂等运算规则对于解题至关重要。

高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。

理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。

下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。

一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。

当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。

二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。

3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。

4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。

四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。

复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。

五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。

共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。

高考复数知识点总结大全一、引言高考是每位学子都会遭遇的一场考试，而对于数理化等科目的学生而言，复数是一个必不可少的知识点。

复数作为数学中的重要概念，不仅在高考中占有一定的比重，而且在实际问题中也有广泛的应用。

本文将对高考中常见的复数知识点进行总结和归纳，以帮助学生更好地掌握复数的相关知识。

二、基础概念与表示方式1. 复数的定义：复数是由实数与虚数相加凑成的数。

2. 虚数的定义：虚数单位i是一个特殊的数，它满足i²=-1。

3. 复数的表示：一般情况下，复数可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部。

三、复数的运算1. 复数的加法：将两个复数的实部和虚部分别相加即可。

2. 复数的减法：将两个复数的实部和虚部分别相减即可。

3. 复数的乘法：根据FOIL法则展开，然后将实部与虚部相加。

4. 复数的除法：将分子和分母同乘以分母的共轭复数，然后进行化简。

5. 复数的共轭：将复数的虚部变号，实部保持不变。

四、复数的性质1. 复数的模：复数的模是指复平面上从原点到复数所对应点的距离，可以用公式|z|= √(a²+b²) 来计算。

2. 复数的辐角：复数的辐角是指与复平面上正实轴之间的夹角，可以用公式 arg(z)=arctan(b/a) 来计算。

3. 复数的指数表示：复数可以用指数形式表示，即z=re^(iθ)，其中r为模，θ为辐角。

4. 复数的根的性质：复数的根一般有n个解，可以通过将复数转化为指数形式来求解。

五、复数的应用1. 微分方程中的应用：复数可以用来解决某些微分方程的问题。

2. 电路中的应用：复数可以用来描述电路中的电压和电流之间的关系。

3. 振动问题中的应用：复数可以用来描述振动问题的解决方法。

六、注意事项与解题技巧1. 注意虚数单位i的运算规则：i²=-1。

2. 在乘法和除法中，注意复数的模和辐角的运算。

3. 注意化简复数的运算过程，尽量将结果写成 a+bi 的形式。

复 数1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

高考复数必备知识点复数（Plural）是英语中名词变化的一种形式，表示一个或多个个体、事物或概念的数量多于一个。

在高考英语考试中，掌握复数形式的规则是至关重要的。

下面，我们将介绍一些高考复数形式的必备知识点。

一、普通名词的复数形式：1. 一般在名词词尾直接加-s。

例如：book -> books，pen -> pens，student -> students。

2. 以-s, -x, -sh, -ch, -o结尾的名词，复数形式直接加-es。

例如：bus -> buses，box -> boxes，match -> matches，potato -> potatoes。

3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加-es。

例如：baby -> babies，city -> cities。

4. 以-o结尾的名词，有些加-es，有些加-s。

例如：tomato -> tomatoes，photo -> photos。

5. 以-f或-fe结尾的名词，将-f或-fe改为-ves。

例如：wolf -> wolves，knife -> knives。

6. 一些特殊名词的复数形式需要记忆。

例如：man -> men，woman -> women，child -> children，tooth -> teeth。

二、不规则名词的复数形式：1. 单复数同形的名词。

例如：sheep -> sheep，deer -> deer。

2. 以-s结尾的名词，复数形式不加任何变化。

例如：glasses -> glasses，jeans -> jeans。

3. 以-ff或-fe结尾的名词，复数形式变为-ves。

例如：staff -> staffs，leaf -> leaves。

4. 以-us结尾的名词，复数形式变为-i。

复数知识点总结高考复数是英语中的重要语法知识点，也是高考中经常涉及到的内容。

在高考英语考试中，对于复数的掌握程度直接影响到学生的语法得分。

为了帮助同学们更好地掌握复数知识，以下是复数的一些重要知识点总结。

一、名词复数的构成规则1. 一般在名词后面直接加-s。

例如：apples, books, tables。

2.以字母o结尾的名词，加-es。

例如：potatoes, tomatoes。

3.以辅音字母+y结尾的名词，变y为i加-es。

例如：bodies （body）, parties（party）。

4.以s，sh，ch，x结尾的名词，加-es。

例如：watches（watch）, dresses（dress）。

5.以辅音字母+o结尾的名词，加-es。

例如：mangos（mango）, pianos（piano）。

6.以辅音字母+o+e结尾的名词，只加s。

例如：heroes（hero）。

7.以f或fe结尾的名词，变f或fe为v，再加-es。

例如：leaves （leaf）, knives（knife）。

二、不规则复数形式1. 有些名词复数形式与单数形式完全不同。

例如：men（man）, women（woman）, children（child）。

2. 有些名词复数形式通过改变内部元音来构成。

例如：teeth （tooth）, mice（mouse）, geese（goose）。

3. 有些名词复数形式没有变化。

例如：sheep（sheep）, deer （deer）, fish（fish）。

三、复数形式的用法1. 表示数量的复数形式：two books（两本书）、three pens（三支笔）。

2. 表示家庭成员关系的复数形式：my parents（我的父母）、our grandparents（我们的祖父母）。

3. 表示某一类人或物的复数形式：birds can fly（鸟可以飞）。

4. 表示多个地点或物体的复数形式：two parks（两个公园）、three cars（三辆车）。

1.复数的概念: (1 )虚数单位i ;(2) 复数的代数形式z=a+bi , (a, b € R)； (3) 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数 2 .复数集3 .复数a+bi(a, b € R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时，a+bi 就是实数，当b 工0时，a+bi 是虚数，其中 a=0且b 工0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则a+bi=0是实数。

4. 复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， (1) 加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；(2) 减法:z1 - z2=(a1 - a2)+(b1 - b2)i ； (3) 乘法:z1 z 2=(a1a2 - b1b2)+(a1b2+a2b1)i;z-i (a-i a 2 t 1b 2) (a 2t 1 a-|b 2)i— 2~Z~2(4)除法：z 2a 2b 2;(5) 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况 (6) 特殊复数的运算：n2①i (n 为整数)的周期性运算； ②(1 ± i) = ±2i ;丄 3③若 3 =- 2 + 2 i ，则 3 3=1 ， 1+ 3 + 3 2=0.5. 共轭复数与复数的模实数(b 复数 a bi (a, b R) 0)无理数(无限不循环小数)虚数(b纯虚数(a 0) 非纯虚数(a 0)(1 )若z=a+bi，则z a bi，z z 为实数,(2)复数z=a+bi 的模|Z|= b ,且z zz z为纯虚数(b工0).2|z| =a2+b2.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

4 •复数a+bi 的共轭复数是a - bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称 若b=0，贝U 实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。

复数知识点小结1、复数的概念复数 (,)z a bi a b R =+∈Re Im a z b z ⎧⎨⎩——实部————虚部——，其中21i =-，i 叫做虚数单位. 2、复数的分类 (0) (,)(0) (0b z a bi a b R b a =⎧=+∈⎨≠=⎩实数复数虚数特别地，时为纯虚数)3、两个复数相等定义：如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.4、复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。

复平面中，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。

5、复数的向量表示OZ Z 向量复平面上点复数↔↔+=),(b a bi a z6、复数的模复数模（绝对值）的定义，几何意义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离。

|z|=|a+bi|=022≥+b a .[说明] ||||z z a ==为实数时，，所以实数绝对值是复数模的特殊情形。

当且仅当a=b=0时，|z|=07、复数的四则运算性质：R d c b a ∈,,,1）、加法：i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++2）、减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+3）、乘法：i bc ad bd ac di c bi a )()())((++-=++4）、除法：i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++ （目的：分母实数化） [要点说明]①计算结果一律写成),(R b a bi a ∈+的代数形式；②复数的加法满足交换律、结合律；③复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律；交换律：1221z z z z ⋅=⋅结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅分配律：3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅④实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即n n n mn n m n m n m z z z z z z z z z N n m C z z z 2121*321)(,)(,,,,,=⋅==∈∈+时：8、i 的整数指数幂的周期性特征：414243441, 1, , 1k k k k k i i i i i i ++++==-=-=若为非负实数，则（）；024*******=+++++++k k k k i i i i ）（9、||21z z -的几何意义：设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈ 则2221)()(|)()(||)()(|||d b c a i d b c a di c bi a z z -+-=-+-=+-+=-几何意义：对应复平面上点12(,), (,)Z a b Z c d 两点间距离22)()(d b c a d -+-=10、共轭复数1）定义： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数，记为bi a z -=问题：当R z ∈时，是否有共轭复数？两者关系如何？z z R z =⇔∈2）运算性质：结论可推广到n 个2121)1(z z z z ±=± 2121)2(z z z z ⋅=⋅ )0()()()3(22121≠=z z z z z 3）模的运算性质：① 121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；② 1212z z z z ⋅=⋅，可推广至有限多个，特别地n n z z= ③ 2121z z z z = ④ 22z z z z ==，特别地，当1=z 时，1=z z 即 1z z=. 11、复数的平方根：在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2)(， 则称bi a +是di c +的一个平方根.从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根有两个，且互为相反数.12、复数的立方根 设i 2321+-=ω，则： 322331322(1) 1; (2) 10 ; (3) ;(4) 1,{}3.n n n nT ωωωωωωωωωωω++=++======即是的等比数列 13、实系数一元二次方程根的情况1）20(0)ax bx c a ++=≠实系数一元二次方程在复数集内根的情况：① 0 ,∆>当时有两个不相等的实根；② 0 ∆=当时，有两个相等的实根； ③ 0 ∆<当时，有两个共轭虚根.2）0∆<当时，2212112122Re ,||||b c x x x x x x x a a+==-⋅=== 3）120||x x a∆≥-=当时，；120||||22||b i b i x x a a a --∆<-=-=当时，12||x x -=综上：。

高中复数的知识点一、复数的定义1、形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\），＼（i\）为虚数单位，＼（i^2 ＝－1\））的数叫做复数。

＼（a\）叫做复数的实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）叫做复数的虚部，记作\（Im(z)＼）。

当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为实数；当\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为纯虚数。

二、复数的表示1、代数形式：＼（z ＝ a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））2、几何形式复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，＼（x\）轴叫做实轴，＼（y\）轴叫做虚轴。

复数的坐标表示：复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的点\（Z(a,b)＼）。

复数的模：复数\（z ＝ a ＋ bi\）的模\（＼vert z\vert ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。

三、复数的运算1、复数的加法法则：＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）几何意义：复数的加法对应复平面内向量的加法。

2、复数的减法法则：＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）几何意义：复数的减法对应复平面内向量的减法。

3、复数的乘法法则：＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、复数的除法法则：＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i\）（＼（c ＋ di ＼neq 0\））四、共轭复数1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。

复数\（z ＝ a ＋ bi\）的共轭复数记为\（＼overline{z} ＝ a bi\）。

高考复数知识点精华总结1.复数的概念：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

2.复数集：复数集包括整数、有理数、实数（当b=0时）、分数、小数、无理数、纯虚数和虚数。

3.复数a+bi的实部为a，虚部为b，i是虚数单位。

当b=0时，a+bi是实数，当b≠0时，a+bi是虚数。

若a=0且b≠0，则a+bi是纯虚数。

4.复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法都可以用实数单位和虚数单位进行运算。

特殊复数的运算包括周期性运算和(1±i)2=±2i等。

5.共轭复数与复数的模：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为|z|=√(a^2+b^2)。

共轭复数关于实轴对称，若b=0，则实数a与其共轭复数相等。

6.两个复数相等的定义为a+bi=c+di，其中a、b、c、d都是实数。

复数不能进行大小比较，只能由定义判断它们相等或不相等。

在运算中需要将虚数单位i的平方i^2=-1结合到实际运算过程中去。

6.复数的除法可以通过将分母实化得到，即满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi被称为复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此可以得到以下公式：a+bi / (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)i/(c^2+d^2)7.复数a+bi的模表示复数a+bi的点到原点的距离。

1.例1：对于复数z=m+1+(m－1)i，当m=1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；当m=-1时，z是纯虚数；当m<-1时，z对应的点Z在第三象限。

例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x。

y∈R，求x。

y。

解得x=2.y=4.2.例4：对于复数z＝m25+(m2+3m－10)i，当虚部m2+3m－10=0时，z为实数，解得m=2；当虚部m2+3m－10≠0且分母不为零时，z为虚数，解得m≠2且m≠±5；当虚部为0且分母不为零时，z为纯虚数，解得m=-2.3.计算i＋i2＋i3+……+i2005，可以将i的周期性用以下公式表示：i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i。

《复数》知识点总结一、复数的构成1. 在英语中，一般情况下，名词的复数形式是在单数名词后面加上 -s，例如：cat - cats, dog - dogs。

2. 以 s, x, ch, sh 结尾的名词，复数形式加 -es，例如：box - boxes, church - churches。

3. 以辅音字母+y 结尾的名词，复数形式将 y 变为 i, 再加 -es，例如：baby - babies, city - cities。

4. 以 o 结尾的名词，一般情况下加 -s，例如：photo - photos。

但也有一些名词是加 -es，例如：potato - potatoes。

5. 不规则复数形式：有一些名词的复数形式是不规则的，需要特殊记忆，例如：man - men, woman - women, child - children。

二、复数的用法1. 可数名词的复数形式: 可数名词的复数形式用于表示数量多于一个的人、事物或概念。

例如：There are many books on the shelf.2. 一般情况下，名词具有复数形式时，前面的冠词、限定词、指示代词等一般也是采用复数形式，例如：These are my friends. The cats are playing in the garden.3. 在叙述一般的规律、真理时，一般采用复数形式，例如：Cats are carnivorous animals.三、复数的注意点1. 不论是不可数名词还是可数名词，其复数形式一般是有规律可循的，但也有一些不规则的地方需要特别注意。

例如：man - men, woman - women。

2. 在修饰名词时，形容词、代词等转变为复数形式。

例如：These red apples are delicious.I want to buy those pink dresses.四、不规则复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要特殊记忆，例如：man - men, woman - women, child - children，在学习和使用中需要特别注意。

高考复数必考知识点一、名词的复数形式名词的复数形式是高考中必考的知识点之一。

一般来说，名词的复数形式有以下几种情况：1. 一般在名词后面加-s或-es。

例如：- car → cars（车→ 车）- box → boxes（盒子→ 盒子们）- glass → glasses（玻璃杯→ 玻璃杯们）2. 以-o结尾的名词，加-es。

例如：- potato → potatoes（土豆→ 土豆们）- tomato → tomatoes（番茄→ 番茄们）3. 以辅音字母+y结尾的名词，去掉y，变成-i+es。

例如：- party → parties（派对→ 派对们）- city → cities（城市→ 城市们）4. 以-f或-fe结尾的名词，变-f或-fe为-ves。

例如：- knife → knives（刀→ 刀们）- leaf → leaves（叶子→ 叶子们）5. 一些特殊名词的复数形式需要记忆。

例如：- child → children（孩子→ 孩子们）- mouse → mice（老鼠→ 老鼠们）- tooth → teeth（牙齿→ 牙齿们）二、动词的复数形式除了名词的复数形式，动词的复数形式也是高考复数必考的知识点。

一般来说，动词的复数形式有以下几种情况：1. 第三人称单数形式加-s。

例如：- He walks to school.（他走路上学。

）- She teaches English.（她教英语。

）2. 动词的基本形式就是它的复数形式。

例如：- They work in a company.（他们在一家公司工作。

）- We live in the same neighborhood.（我们住在同一个社区。

）3. 一些特殊动词需要记忆它们的复数形式。

例如：- am/is/are → are（是→ 是）- has/have → have（有→ 有）三、形容词的复数形式形容词的复数形式也是高考复数必考的知识点之一。