i的运算法则

复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。

3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。

4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。

5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。

6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。

三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。

2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。

3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。

【复数的四则运算（C++）】------------------------------------------------------------------------------------------------------**复数x被定义为二元有序实数对(a,b)，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。

**在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。

当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；**当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

**复数的四则运算规定为：**加法法则：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；**减法法则：（a+bi）－（c+di）=（a－c）+（b－d）i；**乘法法则：（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i；**除法法则：（a+bi）÷（c+di）=[（ac+bd）-（c2+d2）]+[（bc-ad）-（c2+d2）]i.**当复数的实部和虚部都相等时，两个复数相等**只有当复数的虚部等于零的时候两个复数才可以比较大小------------------------------------------------------------------------------------------------------C++代码：-------------------------------------------头文件-----------------------------------------------------#?ifndef?__COMPLEX_H__?#?define?__COMPLEX_H__#?define?_CRT_SECURE_NO_WARNINGS?1#?include?iostream#?include?stdlib.husing?namespace?std;--声明复数类class?Complexpublic:voidComplex::Print();public:Complex(doublereal,doublep_w_picpath); Complex(constComplexZ);~Complex();boolComplex::operator(constComplexZ); boolComplex::operator(constComplexZ); boolComplex::operator==(constComplexZ); public:ComplexComplexAdd(constComplexZ); ComplexComplexSub(constComplexZ); ComplexComplexMul(constComplexZ); ComplexComplexDiv(constComplexZ);private:double_real;double_p_w_picpath;#?endif?--__COMPLEX_H__----------------------------------------------函数---------------------------------------------------- #?include?"Complex.h"--打印函数void?Complex::Print()if(!this-_p_w_picpath)if(!this-_real)cout0endl;coutthis-_realendl;elseif(!this-_real)coutthis-_p_w_picpath'i'endl;if(this-_p_w_picpath0)coutthis-_realthis-_p_w_picpath'i'endl;coutthis-_real'+'this-_p_w_picpath'i'endl;--构造函数Complex::Complex(double?real,?double?p_w_picpath)_real=real;_p_w_picpath=p_w_picpath;--拷贝构造函数Complex::Complex(const?Complex?Z)_real=Z._real;_p_w_picpath=Z._p_w_picpath;--析构函数Complex::~Complex()--这里的析构函数不需要做任何操作--操作符重载-*小于*-bool?Complex::operator?(const?Complex?Z)if(!this-_p_w_picpath!Z._p_w_picpath)if(this-_realZ._real)returntrue;returnfalse;-*大于*-bool?Complex::operator?(const?Complex?Z)if(!this-_p_w_picpath!Z._p_w_picpath)if(this-_realZ._real)returntrue;returnfalse;-*等于*-bool?Complex::operator==?(const?Complex?Z)if(!this-_p_w_picpath!Z._p_w_picpath)if(this-_real==Z._real)returntrue;elseif(this-_p_w_picpath==Z._p_w_picpath) if(this-_real==Z._real)returntrue;returnfalse;--四则运算-*加法*-Complex?Complex::ComplexAdd(const?Complex?Z) Complextmp(*this);tmp._real?+=?Z._real;tmp._p_w_picpath?+=?Z._p_w_picpath;return?tmp;-*减法*-Complex?Complex::ComplexSub(const?Complex?Z) Complextmp(*this);tmp._real-=Z._real;tmp._p_w_picpath-=Z._p_w_picpath; returntmp;-*乘法*-Complex?Complex::ComplexMul(const?Complex?Z)Complextmp(*this);tmp._real=(this-_real*Z._real)-(this-_p_w_picpath *Z._p_w_picpath);tmp._p_w_picpath=(this-_p_w_picpath*Z._real)+(thi s-_real?*?Z._p_w_picpath);returntmp;-*除法*-Complex?Complex::ComplexDiv(const?Complex?Z)Complextmp(*this);tmp._real=((this-_real*Z._real)+(this-_p_w_picpat h?*?Z._p_w_picpath))?-((Z._real*Z._real)+(Z._p_w_picpath*Z._p_w_picpa th));tmp._p_w_picpath=((this-_p_w_picpath*Z._real)-(th is-_real?*?Z._p_w_picpath))-((Z._real*Z._real)+(Z._p_w_picpath*Z._p_w_picpa th));returntmp;------------------------------------------ 测试用例-------------------------------------------------- #?include?"Complex.h"--测试四则运算-*测试加法*--*ComplexZ1(1,2);ComplexZ2(1,2);Complexret=plexAdd(Z2); ret.Print();*--*测试减法*--*ComplexZ1(-1,2);ComplexZ2(1,1);Complexret=plexSub(Z2); ret.Print();*--*测试乘法*--*ComplexZ1(1,-2);ComplexZ2(1,2);Complexret=pleMul(Z2); ret.Print();*--*测试除法*-ComplexZ1(1,2);ComplexZ2(1,1);Complexret=plexDiv(Z2); ret.Print();*---测试操作符重载boolRET;-*测试“”*---ComplexZ1(1,4); --ComplexZ2(1,4); --RET=Z1Z2;--coutRETendl;--ComplexZ3(1,0); --ComplexZ4(2,0); --RET=Z3Z4;--coutRETendl;-*测试“”*--*ComplexZ1(1,0); ComplexZ2(2,0); RET=Z1Z2; coutRETendl; ComplexZ3(3,0); ComplexZ4(2,0); RET=Z3Z4; coutRETendl;*--*测试“==”*- ComplexZ1(1,4);ComplexZ2(1,4); RET=Z1==Z2; coutRETendl; ComplexZ3(1,1); ComplexZ4(1,3); RET=Z3==Z4; coutRETendl; ComplexZ5(1,0); ComplexZ6(1,0); RET=Z5==Z6; coutRETendl;--测试拷贝构造函数void?Test2() ComplexZ1(1,3); Z1.Print(); ComplexZ2(Z1);Z2.Print();--测试构造函数void?Test1() ComplexZ1(1,3); Z1.Print();int?main()--Test1();--Test2();--Test3();Test4();system("pause");return0;----------------------------------------------------------------------------------------------------- ?C++中的空类，默认产生六个默认成员函数，分别是：构造函数，拷贝（赋值）构造函数，析构函数，赋值操作符重载，取地址操作符重载，const修饰的取地址操作符重载。

中学数学认识复数与向量的运算法则数学是一门令人惊叹的学科，它涵盖了各种各样的概念和运算法则。

在中学数学中，复数与向量是两个重要的主题。

本文将介绍复数与向量的运算法则，并讨论它们在实际问题中的应用。

一、复数的运算法则复数是由实数和虚数组成的数，其中虚数是指具有形式为bi的数，其中b是实数而i是虚数单位。

复数可以表达为a+bi的形式，其中a是实部，bi是虚部。

下面是复数的运算法则：1. 复数的加法：对于两个复数a+bi和c+di，它们的和等于(a+c)+(b+d)i。

2. 复数的减法：对于两个复数a+bi和c+di，它们的差等于(a-c)+(b-d)i。

3. 复数的乘法：对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘积等于(ac-bd)+(ad+bc)i。

4. 复数的除法：对于两个复数a+bi和c+di，它们的商等于[(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。

5. 复数的共轭：一个复数a+bi的共轭等于a-bi。

这些运算法则为我们解决复数相关的问题提供了便利。

复数在电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用。

二、向量的运算法则向量是有大小和方向的量，它可以用有序数对(x, y)来表示。

向量的运算法则如下：1. 向量的加法：对于两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的和等于A+B=(x1+x2, y1+y2)。

2. 向量的减法：对于两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的差等于A-B=(x1-x2, y1-y2)。

3. 向量的数乘：对于一个向量A(x, y)和一个实数k，它们的数乘等于kA=(kx, ky)。

4. 向量的数量积：对于两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的数量积等于A·B=x1x2+y1y2。

5. 向量的夹角：对于两个非零向量A和B，它们的夹角θ的余弦等于cosθ=(A·B)/(|A||B|)，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模。

复数运算复数的幂与根复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。

在复数运算中，我们经常需要进行复数的幂和根的计算。

复数的幂运算可以使用幂运算法则进行计算。

如果要计算一个复数z的n次幂（n为正整数），可以按照以下步骤进行：1. 将复数z转换为极坐标形式：z = r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角。

2. 复数的n次幂可以表示为：z^n = r^n (cos nθ + isin nθ)。

3. 将结果转换回直角坐标形式：z^n = r^n cos nθ + i r^n sin nθ。

举例来说，如果要计算复数z = 2 + 3i的2次幂，可以按照以下步骤进行：1. 将复数z转换为极坐标形式：r = √(2^2 + 3^2) = √(13)，θ =arctan(3/2)。

2. 计算复数的2次幂：z^2 = (√13)^2 (cos 2θ + isin 2θ) = 13(cos 2θ + i sin 2θ)。

3. 将结果转换回直角坐标形式：z^2 = 13 cos(2arctan(3/2)) + 13isin(2arctan(3/2))。

复数的根运算涉及到求解方程z^n = w，其中z为复数，n为正整数，w为已知复数。

根的定义为：如果z^n = w，则z被称为w的第n个根。

求解复数的根可以使用De Moivre公式进行计算。

根据De Moivre 公式，复数z的n个根可以表示为：z^(1/n) = √r(cos(θ/n + 2πk/n) + i sin(θ/n + 2πk/n))，其中k为从0到n-1的整数。

举例来说，如果要求解复数w = 1 + i的平方根，可以按照以下步骤进行：1. 将复数w转换为极坐标形式：r = √(1^2 + 1^2) = √2，θ =arctan(1/1) = π/4。

2. 计算复数的平方根：w^(1/2) = √√2(cos(π/8 + 2πk/2) + i sin(π/8 + 2πk/2))，其中k为0或1。

复数的共轭与绝对值的运算法则复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可表示为a + bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位（i^2 = -1）。

1. 复数的共轭复数的共轭指将复数中虚数部分的符号取反，即将a + bi变为a - bi。

共轭复数的实部和虚部相同，只是符号不同。

假设有复数z = a + bi，则其共轭复数为z* = a - bi。

共轭复数的性质：- 当两个复数进行加法或减法运算时，共轭复数间的虚部相互抵消，只有实部相加或相减。

- 复数的实部等于其本身与共轭复数之和的一半，即Re(z) = (z + z*) / 2。

- 复数的虚部等于其本身与共轭复数之差的一半，即Im(z) = (z - z*) / 2i。

2. 复数的绝对值复数的绝对值表示复数到原点的距离，用|z|表示。

对于复数z = a + bi，其绝对值表示为|z| = √(a^2 + b^2)。

绝对值的性质：- 绝对值永远是非负实数。

- 若一个复数的绝对值为0，则该复数为零复数（即a = 0，b = 0）。

- 若一个复数的虚数部分为0，则其绝对值等于实数部分的绝对值。

3. 复数的运算法则（1）复数加法与减法：若有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的和为z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i，差为z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。

（2）复数乘法：若有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的乘积为z1 *z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。

（3）复数除法：若有两个非零复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的商为z1 /z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)]i。

i的i次方的计算步骤
一。

说起 i 的 i 次方，这可真是个有趣又有点烧脑的数学问题。

咱先得搞清楚啥是i 。

i 就是那个虚数单位，定义是 i 的平方等于 -1 。

这就好比给数学世界开了一扇神奇的门。

1.1 那 i 的 i 次方咋算呢？咱得用上一些数学的小技巧。

把 i 写成指数形式，
i 就等于 e 的 iπ/2 次方。

1.2 然后，i 的 i 次方就变成了（e 的 iπ/2 次方）的 i 次方。

这一变形，就好像给难题换了件新衣裳。

二。

2.1 接下来，咱再根据指数的运算法则，把它变成 e 的 i²π/2 次方。

2.2 因为 i²等于 -1 ，所以就成了 e 的 -π/2 次方。

2.3 这时候，答案就呼之欲出啦，e 的 -π/2 次方是一个实实在在的正数。

三。

3.1 算到这，是不是觉得数学挺神奇的？就这么一步步推，居然能算出个结果来。

3.2 这也告诉咱，遇到难题别害怕，只要方法对，啥都能解决。

就像俗话说的，“只要功夫深，铁杵磨成针”。

数学的世界里，到处都是这样的奇妙和惊喜，就等着咱去探索发现呢！。

第八讲 复数知识、方法、技能I ．复数的四种表示形式 代数形式：∈+=b a bi a z ,(R ）几何形式：复平面上的点Z （b a ,）或由原点出发的向量. 三角形式：∈≥+=0,0),sin (cos r i r z θθR . 指数形式：θi re z =.复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实. II ．复数的运算法则 加、减法：;)()()()(i d b c a di c bi a ±+±=+±+ 乘法：;)()())((i ad bc bd ac di c bi a ++-=++ )];sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r除法：).0(2222≠++-+++=++di c i d c adbc d c bd ac bi c bi a)].s i n ()[c o s ()s i n (c o s )s i n (c o s 212121222111θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 乘方：∈+=+n n i n r i r nn)(sin (cos )]sin (cos [θθθθN ）；开方：复数n i r 的)sin (cos θθ+次方根是).1,,1,0)(2sin 2(cos -=+++n k nk i nk r n πθπθIII ．复数的模与共轭复数 复数的模的性质①|;)Im(|||,)Re(|||z z z z ≥≥ ②|;|||||||2121n n z z z z z z ⋅=⋅ ③);0(||||||22121≠=z z z z z ④12121|,|||||||z z z z z 与复数+≤-、2z 对应的向量1OZ 、2OZ 反向时取等号；⑤||||||||2121n n z z z z z z +++≤+++ ，与复数n z z z ,,,21 对应的向量n OZ OZ OZ ,,21 同时取等号.共轭复数的性质 ①22||||z z ==⋅；②)Im(2),Re(2z z z z z z =-=+； ③z z =④2121z z z z ±=±； ⑤1121z z z z ⋅=⋅； ⑥);0()(22121≠=z z z z z⑦z 是实数的充要条件是z z z ,=是纯虚的充要条件是).0(≠-=z z zⅣ．复数解题的常用方法与思想（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主 值相等（辐角相差2π的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径. （2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.赛 题 精 讲 例1：设m 、n 为非零实数，i 为虚单位，∈z C ，则方程n mi z ni z =-++||||①与m mi z ni z -=--+||||②如图I —1—8—1，在同一复平面内的图形（F 1、F 2是焦点）是（ ）图I —1—8—1【思路分析】可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据m 、n 的取值讨论进行求解. 【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得方程①在复平面上表示以点mi ni ,-为焦点的椭圆，0,0<->n n 故.这表明，至少有一焦点在下半虚轴上，可见（A ）不真. 又由方程①，椭圆的长轴之长为n ， ∴|F 1F 2|<n ，而图（C ）中有|OF 1|=n ，可见（C ）不真.又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即.||||m n >故在图（B ）与（D ）中，均有F 1 : －ni ，F 2 : mi ，且0<m . 由方程②，双曲线上的点应满足，到F 2点的距离小于该点到F 1点的距离. 答案：（B ） 【别解】仿上得n >0.（1）若.0,0>>m n 这时，在坐标平面上，F 1（0，－n ），F 2（0，m ），只可能为图象（C ），但与|F 1F 2|<长轴n ，而|OF 1|=n 矛盾.（2）若),0(),,0(,.0,021m F n F m n -<>这时均在y 轴的下半轴下，故只能为图象（B ）与（D ）. 又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即|n |>|m |. 故在（B ）与（D ）中，均有F 1 : －ni ；F 2 : mi ，且m <0. 由方程②，双曲线上的点应满足到F 2点的距离小于该点到F 1点的距离. 答案：（B ） 【评述】（1）本题涉及的知识点：复数的几何意义，复平面上的曲线与方程，椭圆，双曲线，共焦点的椭圆与双曲线，讨论法.（2）本题属于读图题型. 两种解法均为基本方法：解法中前者为定义法；后者为分类讨论法.例2：若z z z C z 则,3)4arg(,65)4arg(,22ππ=+=-∈的值是 . 【思路分析】本题可由已知条件入手求出复数z 的模，继而求出复数；也可由几何意义入手来求复数z. 【略解】令),65sin 65(cos412ππρi z +=- ① ),3sin 3(cos422ππρi z +=+ ②)0,0(21>>ρρ①—②得 ),2123()2321(81212ρρρρ-++=i⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-∴,82321,021231212ρρρρ 解得,34,412==ρρ代入后， ①+②得 ),31(422i z +-=).31()3sin 3(cos2i i z +±=+±=∴ππ【别解】如图I —1—8—2，2z =.过D 作与实轴平行的直线AB ，取AD=BD=4，)31()3sin 3(cos 2),32sin 32(cos4,322,4||||||,.2.3,65.4,4222i i z i z xOB BOD xOB xOD OD DB AD AOB Rt BOA xOB xOA z z +±=+±=∴+=∴=∠=∠+∠=∠===∆=∠=∠=∠+=-=ππππππππ中在从而则 【评述】本题的两种解法中，前者应用了复数的三角形式；后者应用了复数的几何意义，数形结合，形象直观. 例3：x 的二次方程1212,0z m z x z x 中=+++、2z 、m 均是复数，且i z z 20164221+=-.设这个方程的两个根为α、β，且满足72||=-βα. 求|m |的最大值和最小值. 【解法1】根据韦达定理有⎩⎨⎧+=-=+.,21m z z αββα,444)()(22122m z z --=-+=-αββαβα图I —1—8—3.7|)54(|,7|)4(41|.28|)4(4|||2212212=+-=--∴=--=-∴i m z z m z z m 即βα这表明复数m 在以A （4，5）为圆心，以7为半径的圆周上如图I —1—8—3所示.,74154||22<=+=OA 故原点O 在⊙A 之内. 连接OA ，延长交⊙A 于两点B 与C ，则|OB|=|OA|+|AB|=||741m 为+最大值.|OC|=|CA|－|AO|=7－||41m 为最小值. ∴|m |的最大值是||,741m +的最小值是7－41.【解法2】同解法1，得 ,7|)54(|=+-i m ∈+=y x yi x m ,(令R ）.⎩⎨⎧+=+=.5sin 7,4cos 7ααy x 则 ααsin 70cos 5690||222++=+=∴y x m),sin(411490)sin 415cos 414(411490ϕααα++=++=其中.414sin =ϕ ∴ |m |的最大值=,417411490+=+|m |的最小值=.417411490-=+【解法3】根据韦达定理，有⎩⎨⎧+=-=+.21m z z αββαm z z 444)()(22122--=-+=-αββαβα，∴ .28|)2016(4||)4(4|||2212=+-=--=-i m z z m βα|54||)54(||)54()54(|||.7|)54(|i i m i i m m i m +++-≤+++-=∴=+-即.417+=等号成立的充要条件是)54()54(i i m ++-与的辐角主值相差π，即||,)415414)(417(),415414(7)54(m i m i i m 时所以当++-=+-=+-取最小值.417-【评述】三种解法，各有千秋. 解法1运用数形结合法，揭示复数m 的几何意义，直观清晰；解法2则活用三角知识，把ααsin 70cos 56+化为角“ϕα+”的正弦；解法3运用不等式中等号成立的条件获得答案；三种解法从不同侧面刻面了本题的内在结构特征. 例4：若∈+++==t tt i t t z z M ,11|{R ，2|{},0,1==≠-≠z z N t t ∈+t t i t )],cos(arccos )n [cos(arcsi R ，N M t 则},1||≤中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4解法同本章一的练习第4题.例5：设复数则满足,33||,3||||,2121121=-=+=z z z z z z z=+|)()(|log 2000212000212z z z z .【思路分析】应先设法求出20002120001)()(z z z z +的值. 【评述】由题设知).(||||||29,||||||92121222122121212221221z z z z z z z z z z z z z z z z +-+=-=+++=+=因为.9||||,9,3||,3||2121212121=+-=+==z z z z z z z z z z 并且故).sin (cos 9),sin (cos 92121θθθθi z z i z z -=+=则设.232199.21cos ,cos 189221212121i z z z z z z z z +-===-==+=-ωωωθθ这里或者于是得由.4000|)()(|log ,9)()(,92000212000212200020002120002121=+-=+=z z z z z z z z z z 故可得时当ω当时2219ω=z z ，可得同样结果，故答案4000.【评述】此题属填空题中的难题，故解题时应仔细.例6：设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为,,,,2021z z z 则复数1995201995219951,,,z z z 所对应的不同的点的个数是（ ）A ．4B ．5C ．10D ．20【思路分析】如题设可知，应设120=k z .故解题中应注意分解因式.【解法1】因为我们只关心不同的点的个数，所以不失一般性可设120=k z .由160=k z ，有.,,1,1),)()(1)(1(10151515151515151560i z i z z z i z i z z z z kk k k k k k k k -==-==∴+-+-=-=【答案】A.【解法2】由),)()(1)(1(10,155552020i z i z z z z z k k k k k k +-+-=-==则可知5k z 只有4个取值，而15k z =（5k z ）3的取值不会增加，则B 、C 、D 均应排除，故应选A.【评述】上述两个解法均为基本方法.思维的起点是不失一般性设120=k z ，于是可用直接法（解法1）和排除法（解法2）.针对性训练题1．设x 是模为1的复数，则函数31)(22++=xx x f 的最小值为 （ ）A ．5B ．1C ．2D ．32．若复数z 满足关系z i z z 则,12|4||2|22=-++对应的复平面的点Z 的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线3．已知复数z 满足关系式3|2|≤-z ，则复数z 的辐角主值的范围是 （ ）A ．]3,0[πB ．]2,35[ππC ．]2,35[]3,0[πππD ．]2,35[]3,0[πππ4．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为,,,,2021z z z 则复数 1995201995219951,,,z z z 所对应的不同的点的个数是（ ）A ．4B ．5C ．10D ．205．设n=2001，则=++-+-)33331(212000100063422n n n n n C C C C . 6．若虚数z 满足22,8233+++=z z z z 那么的值是 .7．若关于x 的方程04222=-+-a a ax x 至少有一个模为3的根，则实数a 的值是 .8．给正方体的8个顶点染上k 个红点，k -8个蓝点（81<≤k ）.凡两端为红色的棱记上数字,231i +-凡两端为蓝色的棱记上数字,231i--凡两端异色的棱记上数字1，这12个数字之积的所有可取值为 .。