2018年可锐考研数学模拟卷试题

本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列结论中正确的是（ ）（A ）若)(x f 在a x =点处连续，则)(x f 在a x =点处也必连续； （B ）若)(2x f 在a x =点处连续，则)(x f 在a x =点处也必连续； （C ）若)(1x f 在a x =点处连续，则)(x f 在a x =点处也必连续； （D ）若)(x f 在a x =点处连续，则)(1x f 在a x =点处也必连续． （2）设a 为常数，则级数21sin()[n na n n∞=∑（ ） （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与a 的取值有关 （3）设曲线积分[()]sin ()cos xLf x e ydx f x ydy --⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且(0)0,f =则()f x 等于（ ）（A ）1()2x x e e -- （B ）1()2x x e e -- （C ）1()12x x e e -+- （D ）11()2x x e e --+ （4）设()f x 为微分方程'()y xy g x -=满足(0)1y =的解，而20()sin()xg x x t dt =-⎰，则（A ）在点0x =处()f x 取极大值 （B ）在点0x =处()f x 取极小值 （C ）点(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点 （D ）0x =不是()f x 极值点，也不是拐点（5）假设A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中（ ） (A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关.版权所有 翻印必究(C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组.(D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出. （6）二次型T f x Ax =正定的充要条件是（ ）(A)||0A > (B)A 的负惯性指数为0(C)存在n 阶矩阵,TC A C C =使 (D)A 合同于E（7）设A B 、为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ） (A)()()P A B P A += (B)()()P AB P A =(C)(|)()P B A P B = (D)()()()P B A P B P A -=-（8）设随机变量X 和Y 相互独立且均服从正态分布()2,N μσ，若概率{}12P aX bY μ-<=，则（ ）（A ）11,22a b == （B ）11,22a b ==-（C ）11,22a b =-= （D ）11,22a b =-=-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）具有特解123,2,3x x xy e y xe y e --===的三阶常系数齐次线性微分方程是_______。

考研数学三模拟题2018年(41) (总分100, 做题时间90分钟) 解答题1.设f(x)在x0处n阶可导．且f (m) (x)=0(m=1，2，…，n-1)，f (n) (x)≠0(n≥2)．证明：(1)当n为偶数且f (n) (x0 )＜0时，f(x)在x处取得极大值；(2)当n为偶数且f (n) (x0 )＞0时，f(x)在x处取得极小值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】n为偶数，令n=2k，构造极限当f (2k) (x)＜0时，当f (2k) (x)＞0时，2.设f(x)在x0处n阶可导，且f (m) (x)=0(m=1，2，…，n-1)，f (n) (x0)≠0(n＞2)．证明：当n为奇数时，(x，f(x))为拐点．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】n为奇数，令n=2k+1，构造极限当f (2k+1) (x0 )＞0时，但x→x+时，f"(x)＞0；x→x-时，f"(x)＜0，故(x0，f(x))为拐点．3.求函数f(x)=nx(1-x) n在[0，1]上的最大值M(n)及SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】容易求得f"(x)=n[1-(n+1)x](1-x) (n-1)，f"(x)=n 2 [(n+1)x-2](1-x) n-2．令f"(x)=0，得驻点且有则为f(x)的极大值点，且极大值将它与边界点函数值f(0)=0，f(1)=0，比较得f(x)在[0，1]上的最大值且有4.设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b．试证：在[a，b]内存在ξ，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．故由介值定理可得ξ∈[a,b]，使得5.设f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f"(0)=0．证明：在[-1，1]内存在ξ，使得f"""(ξ)=3．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】取x=0，x=1代入，取x=0，x=-1代入，由①-②有因为f""(x)在[-1，1]上连续，则存在m和M，使得有m≤f""(x)≤M，③代入④式，有m≤3≤M，由介值定理，使得f""(ξ)=3．6.设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，由介值定理知，至少存在一点η∈[0，2]，使得于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η，3) (0，3)，使f"(ξ)=0．设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g""(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明：SSS_TEXT_QUSTI7.在(a，b)内，g(x)≠0；该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设c∈(a，b)，g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上两次运用罗尔定理可得g"(ξ1)=g"(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g"(x)在[ξ1，ξ2 ]上运用罗尔定理，可得f"(ξ3)=0．因已知g"(x)≠0，故g(c)≠0．SSS_TEXT_QUSTI8.在(a，b)内至少存在一点ξ，使该题您未回答:х该问题分值: 2【证】F(x)=f(x)g"(x)-f"(x)g(x)在[a，b]上运用罗尔定理，F(a)=0，F(b)=0，故9.在区间[0，a]上|f""(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：|f(0)|+|f"(a)|≤Ma．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设f"(c)=0．f"(x)在[0，c]与[c，a]之间分别使用拉格朗日中值定理，f"(c)-f"(0)=cf"(ξ1 )，ξ1∈(0，c)，f"(a)-f"(c)=(a-c)f"(ξ2 )，ξ2∈(c，a)，所以|f"(0)|+|f"(a)|=c|f“(ξ1 )|+(a-c)|f"(ξ2)|≤cM+(a-c)M=aM．10.设f(x)在闭区间[1，2]上可导，证明：使f(2)-2f(1)=ξf"(ξ)-f(ξ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】把所证等式ξ改为x，得xf"(x)-f(x)=f(2)-2f(1)，两边同除以x 2，令F(x)在[1，2]上连续，(1，2)内可导，且F(2)=F(1)=f(2)-f(1)．由罗尔定理，使F"(ξ)=0，即f(2)-2f(1)=ξf"(ξ)-f(ξ)．11.f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f"(x)≠0．证明：ξ，η∈(a，b)，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】因为两式相比，得12.设，且f""(x)＞0．证明：f(x)＞x．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】因得f(0)=0，f"(0)=1．因f(x)二阶可导，故f(x)在x=0处的一阶泰勒公式成立，因f"(x)＞0，故f(x)＞x，原命题得证．13.设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0．证明：ξ∈(a，b)，使f""(ξ)g(ξ)+2f"(ξ)g"(ξ)+f(ξ)g""(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令F(x)=f(x)g(x)，在x=a点展开泰勒公式．令x=b，代入①式，则因f(a)=f(b)=g(a)=0，则F(a)=F(b)=0，且F"(a)=0，代入②式，得F"(ξ)=0．即f"(ξ)g(ξ)+2f"(ξ)g"(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．14.设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(a)=f"(b)=0．证明：ξ∈(a，b)，使SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】将f(x)在x=a，x=b处展开泰勒公式．令②-①得得令|f"(ξ)|=max{|f"(ξ1 )|，|f"(ξ2)|}，则故原命题得证．15.设f(x)=arcsinx，ξ为f(x)在[0，t]上拉格朗日中值定理的中值点，0＜t＜1，求极限SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】因f(x)=arcsinx在[0，t]上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得由此解得并令μ=arcsint，有16.若x＞-1．证明：当0＜α＜1时，有(1+x) α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x) α＞1+αx．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令f(x)=(1+x) α，则有f"(x)=α(1+x) α-1，f"(x)=α(α-1)(1+x) α-2．由f(x)的泰勒展开式可知当x＞-1，0＜α＜1时，α(α-1)＜0，1+ξ＞0，故所以f(x)＜f(0)+f"(0)x，即(1+x) α＜1+αx．同理可证当x＞-1，α＜0或α＞1时，有(1+x) α＞1+αx．17.求证：当x＞0时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设则因为所以f(x)单调递减，且当0＜x＜+∞时，f(x)＞f(+∞)=0，即18.利用导数证明：当x＞1时，SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，有f(1)=2ln2＞0．由知，f(x)单调递增，且当x＞1时，f(x)＞f(1)=2ln2＞0，lnx＞0，从而得，其中x＞1．设x∈(0，1)，证明下面不等式：SSS_TEXT_QUSTI19.(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2；该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令φ(x)=x 2 -(1+x)ln 2 (1+x)，有φ(0)=0，且φ"(x)=2x-ln 2 (1+x)-2ln(1+x)，φ"(0)=0．当x∈(0，1)时，，知φ(x)单调递增，从而φ"(x)＞φ"(0)=0，知φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2．SSS_TEXT_QUSTI20.该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令，则有由上小题得，当x∈(0，1)时f"(x)＜0，知f(x)单调递减，从而又因为当x∈(0，1)时，f"(x)＜0，知f(x)单调递减，且，所以21.求证：当x＞0时，(x 2 -1)lnx≥(x-1) 2．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设f(x)=(x 2 -1)lnx-(x-1) 2，所以f(1)=0．又因为f"(1)=0，且所以当x≥1时，f"(x)＞0，知f"(x)单调递增，则f"(x)≥f"(1)=0，从而f(x)单调递增，故f(x)≥f(1)=0，原式成立．当0＜x＜1时，f""(x)＜0，知f"(x)单调递减，则f"(x)≥f"(1)=2＞0，从而f"(x)单调递增，故f"(x)＜f"(1)=0，所以f(x)单调递减，知f(x)＞f(1)=0．原式成立．22.证明：其中SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】由有令只需证明f(x)≤1．由f(0)=1，只需证设g(0)=0，且因此，当时，g(x)＜0，即f(x)＜0，f(x)＜1，得证．23.求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】已知不等式等价于即令则令g(x)=(1+x)ln 2 (1+x)-x 2，x∈[0，1]，则g(0)=0，且g"(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)-2x，g"(0)=0，故g"(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g"(x)＜g"(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)-x 2＜0，从而f"(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减．令则α≤f(x)≤β，有故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为最小的数β为24.设函数f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f""(x)在(-∞，+∞)内有界．证明：f"(x)在(-∞，+∞)内有界．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】存在正常数M0，M2，使得对恒有|f(x)|≤M0，|f"(x)|≤M2．由泰勒公式，有其中ξ介于x与x+1之间，整理得所以故函数f"(x)在(-∞，+∞)内有界．25.设n为自然数，试证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】右端不等式等价于证明即设则又故当x＞0时，有从而，当x＞0时，f"(x)单调增，且当x→+∞时，f"(x)趋于零，所以，当x＞0时，f"(x)＜0．进而知当x＞0时，f(x)单调减，且当x→+∞时，f(x)趋于零，于是，当x＞0时，f(x)＞0．所以，对一切自然数n，恒有f(n)＞0，故有从而右端不等式成立．类似地，引入辅助函数类似可证明：当x＞0时，g(x)＜0，从而对一切自然数n，左端不等式成立．已知f(x)二阶可导，且f(x)＞0，f(x)f""(x)-[f"(x)] 2≥0(x∈R)．SSS_TEXT_QUSTI26.证明：该题您未回答:х该问题分值: 3【证】记g(x)=lnf(x)，则故即SSS_TEXT_QUSTI27.若f(0)=1，证明：f(x)≥e f"(0)x(x∈R)．该题您未回答:х该问题分值: 3【证】即f(x)≥e f"(0)x．28.设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f"(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】方法一用拉格朗日中值定理．当a=0时，等号成立；当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，ξ1＜ξ1，使得[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]=af"(ξ2 )-af"(ξ1)．因为f"(x)在(0，c)内单调减少，所以f"(ξ2)≤f"(ξ1)，于是，[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．方法二用函数的单调性．将[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]中的b改写为x，构造辅助函数F(x)=f(a+x)-f(x)-f(a)，x∈[0，b]，显然F(0)=0，又因为f"(x)在(0，c)内单调减少，所以F"(x)=f"(a+x)-f"(x)≤0．于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)-f(b)-f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．29.证明：当x＞0时，有SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】方法一用拉格朗日中值定理．因为所以且函数f(t)=lnt在[x，1+x]上满足拉格朗日中值定理，故存在ξ∈(x，1+x)，使得因为x＜ξ＜1+x，所以于是有即方法二用函数的单调性．令因为所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又因此，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即30.证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令F(x)=xsinx+2cosx+πx，只需证明F(x)在(0，π)上单调递增．F"(x)=sinx+xcosx-2sinx+π=π+xcosx-sinx，由此式很难确定F"(x)在(0，π)上的符号，为此有F"(x)=-xsinx＜0，x∈(0，π)，即函数F"(x)在(0，π)上单调递减，又F"(π)=0，所以F"(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(b)＞F(a)，即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．31.设b＞a＞e，证明：a b＞b a．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设则其中lnx＞lne=1，所以，f"(x)＜0，即函数f(x)单调递减．因此，当b＞a＞e时，32.证明：当x＞0时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】构造辅助函数则f(0)=0，且由题设条件很难确定的符号，但是所以从而，当x＞0时，即33.证明：当时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】当时，而cosx＜0，所以不等式成立．当时，构造辅助函数则上式中，当时，但是，2xcosx-2sinx+x 3的符号无法直接确定，为此，令g(x)=2xcosx-2sinx+x 3，则g(0)=0，且g"(x)=x 2 +2x(x-sinx)＞0，所以，当x∈ 时，g(x)=2xcosx-2sinx+x 3＞0．从而，当时，又所以，当时，即34.已知某种商品的需求量x对价格p的弹性为η=-2p 2，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)．(1)确定需求函数；(2)若价格服从[1，2]上的均匀分布，计算期望收益值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】(1)由弹性公式：即两边积分有由x(0)=1得c=1，故x(p)=e -p2．(2)R=p·x(p)=p·e -p2，35.一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x(万元/单位)，x为销售量，成本函数为C=3x+1(万元)，其中x服从正态分布N(5p，1)，每销售一单位商品，政府要征税t万元，求该商家获得最大期望利润时的销售量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】收益为R=x·p，利润为L=R-C-T，其中税收T=tx．于是L=x·p-(3x+1)-t·x=x(7-0.2x)-(3x+1)-t·x=-0.2x 2 +(4-t)x-1，EL=-0.2Ex 2 +(4-t)Ex-1=-0.2[Dx+(Ex) 2 ]+(4-t)Ex-1=-0.2[1+(5p) 2 ]+(4-t)·5p-1=-5p 2 +5(4-t)p-1.2，令因此，当即时，期望的利润最大．36.设需求函数为p=a-bQ，总成本函数为其中a，b＞0为待定的常数，已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性时，总利润是最大的．求总利润最大时的产量．并确定a，b的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】总收益：R=Qp=aQ-bQ 2，于是有 L"(Q)=-Q 2 +2(7-b)Q+(a-100)．由题设a，b，Q应满足解①②③得：a=111，Q=3或a=111，b=2，Q=11．(1)若a=111，Q=3，此时L"(3)=0，L"(3)＜0，但L(3)＜0不符合题意；(2)若a=111，b=2，Q=11，此时L"(11)=0，L"(11)＜0，且L(11)＞0．因此a=111，b=2为所求常数，此时对应最大利润的产量为Q=11．37.某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为R元．如果收藏起来待来日出售，t年末总收入为R(t)=Re ξ(t)，其中ξ(t)为随机变量，服从正态分布，假定银行年利率为r，并且以连续复利计息．试求收藏多少年后，再出售可使得总收入的期望现值最大，并求r=0.06时，t的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】由连续复利公式，t年末售出总收入R的现值为：A(t)=R·e -rt．于是A(t)=R0 e ξ(t) e -rt =Re ξ(t)-rt，令且可见当时，期望的现值(取到极大值)最大．若r=0.06，1。

考研数学三模拟题2018年(13)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设且存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则a=______，b=______．SSS_FILL分值: 12 1[解析] 因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1．2.设η为非零向量，η为方程组AX=0的解，则a=______，方程组的通解为______．SSS_FILL分值: 13 k(-3，1，2) T [解析] AX=0有非零解，所以|A|=0，解得a=3，于是方程组AX=0的通解为k(-3，1，2) T．二、选择题1.设A是m×s矩阵，B为s×n矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=sB r(A)=mC r(B)=sD r(B)=n分值: 1答案:A[解析] 设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0。

因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选A．2.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是______．A．AX=b的通解为k1η1+k2η2B．η1+η2为AX=b的解C．方程组AX=0的通解为k(η1 -η2)D．AX=b的通解为SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A *≠O，所以r(A)=n-1，η2 -η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选C．3.设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是______．SSS_SINGLE_SELA (1)(2)B (1)(3)C (2)(4)D (3)(4)分值: 1答案:B[解析] 若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选B．4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则______．SSS_SINGLE_SELA 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解B 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解C 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解D 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解分值: 1答案:A[解析] AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选A．5.设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=mB r(A)=nC A为可逆矩阵D r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示分值: 1答案:D[解析] 方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选D．三、解答题1.设向量组α1，α2，…，αn-1为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β1，β2正交．证明：β1，β2线性相关．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以Aβ1 =0，Aβ2=0，即β1，β2为方程组AX=0的两个非零解，因为r(A)=n-1，所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关．2.设齐次线性方程组其中ab≠0，n≥2．讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠b，a≠(1-n)b时，方程组只有零解；(2)当a=b时，方程组的同解方程组为x1 +x2+…+xn=0，其通解为X=k1(-1，1，0，…，0) T +k2 (-1，0，1，…，0) T+…+kn-1(-1，0，…，0，1) T(k1，k2，…，kn-1为任意常数)；(3)令当a=(1-n)b时，r(A)=n-1，显然(1，1，…，1) T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1) T (k为任意常数)．3.设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又且AB=O，求方程组AX=0的通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由AB=O得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1．(1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=1，方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为(2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2，当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为当r(A)=1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0，由得通解为4.a，b取何值时，方程组有解?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)a≠1时，唯一解为(2)a=1，b≠-1时，r(A)≠ ，因此方程组无解；(3)a=1，b=-1时，通解为X=k1 (1，-2，1，0) T +k2(1，-2，0，1) T +(-1，1，0，0) T (k1，k2为任意常数)．5.A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 方程组的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为所以方程组有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．设(Ⅰ) α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中α1=SSS_TEXT_QUSTI 6.求方程组(Ⅰ)的基础解系；分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI7.求方程组(Ⅱ)BX=0的基础解系；分值: 2[解] 因为r(B)=2，所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量，为方程组(Ⅱ)的基础解系；SSS_TEXT_QUSTI8.(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的通解为方程组(Ⅱ)的通解为=k，则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(-1，令，则有取k21，1，1) T (其中k为任意常数)．设(Ⅰ)(Ⅱ)SSS_TEXT_QUSTI9.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；分值: 3[解] 的基础解系为的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI10.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．分值: 3[解] 方法一(Ⅰ)，(Ⅱ)公共解即为的解，(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为方法二(Ⅰ)的通解代入(Ⅱ) =2k2，故(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(-k，k，2k，k) T =k(-1，1，2，1) T (k为任意常数)．方法三(Ⅰ)的通解为(Ⅱ)的通解为令∴(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为11.问a，b，c取何值时，(Ⅰ)，(Ⅱ)为同解方程组?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 方法一的通解为把(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ)，得方法二因为(Ⅰ)，(Ⅱ)同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，(Ⅱ)的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关．α1可由β1，β2，β3唯一线性表出，α1=-2β1+β2+aβ2a=-1，α2可由β1，β2，β3唯一线性表出，α2=β1+β2-β3b=-2，α3可由β1，β2，β3唯一线性表出，α3=3β1+β2+β3c=4．12.证明线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅲ)是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令方程组(Ⅰ)可写为AX=b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为A TY=0及若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)=r( )，从而又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则从而r(A)=r( )，故方程组(Ⅰ)有解．13.设的一个基础解系为写出的通解并说明理由．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令则(Ⅰ)可写为AX=0，令其中则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，．α1T，α2T，…，αn T为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系．14.设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k，使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r +kη=0，若k=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+kη=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，所以k≠0，故η可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n-r(AB)≥n-r+1，r(AB)≤r-1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．SSS_TEXT_QUSTI15.证明分值: 3[证明] 因为n=r(CA+DB)=所以SSS_TEXT_QUSTI16.设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组Ax=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．分值: 3[证明] 因为所以方程组只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs线性无关．17.设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A * b=0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而|A|=0，于是A * b=A * AX=|A|X=0．反之，设A * b=0，因为b≠0，所以方程组A * X=0有非零解，从而r(A * )＜n，又A11≠0，所以r(A * )=1，且r(A)=n-1．因为r(A * )=1，所以方程组A * X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A * A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A * X=0的一组解向量．由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A* X=0的基础解系．因为A * b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)= =n-1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解．18.证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n-r(AB)≥n-r(B)，r(AB)≤r(B)；又因为r[(AB) T ]=r(AB)=r(B T A T)≤r(A T )=r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．19.证明：r(A)=r(A T A)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 只需证明AX=0与A T AX=0为同解方程组即可．若AX0 =0，则A T AX=0．反之，若A T AX0 =0，则XT A T AX=0 (AX) T (AX)=0 AX=0，所以AX=0与A T AX=0为同解方程组，从而r(A)=r(A T A)．20.设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足．证明：方程组AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r．设η为方程组AX=b的一个特解，令β0=η，β1=ξ1+η，β2=ξ2+η…，βn-r=ξn-r+η0，显然β，β1，β2，…，βn-r为方程组AX=b的一组解．令k0β+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即(k0 +k1+…+kn-r)η+k1β1+k2β2+…+kn-rβn-r=0，上式两边左乘A得(k0 +k1+…+kn-r)b=0，因为b为非零列向量，所以k0 +k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，故β0，ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设ξ1，ξ2，…，ξn-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ1=β2-β1，γ2=β3-β1，…，γn-r+1=βn-r+2-β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个．21.讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠-1，b≠-2时．因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a=-1，b≠-2时，当b≠-1时，方程组无解当b=-1时，方程组的通解为(3)当a≠-1，b=-2时，当a=1时，方程组的通解为当a≠1时，显然r(A)=2≠ =3，方程组元解．22.设问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解?有解时求出全部解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令X=(X1，X2，X3)，B=(β1，β2，β3)，方程组AX=B等价于则AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r( )，由r(A)=r( )得a=1，b=2，c=-2，此时AX1=β1的通解为AX2=β2的通解为AX 3 =β 3 的通解为 则 其中k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数． 1。

2018年可锐考研数学真题练习卷（二）一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==. (B) 1,4k c ==-. (C) 3,4k c ==. (D) 3,4k c ==-.2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n （ ）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是( ) (A) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛. (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛. (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.４．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（ ）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121P P -．6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A) 12()()f x f x ． (B) 212()()f x F x ．(C) 12()()f x F x ． (D) 1221()()()()f x F x f x F x +．8．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '=.10．设函数dt e x f x t ⎰--=11)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx． (11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为. 12．曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 对应于1=t 处的法线方程为．(13) 设二次型()123,,T fx xx x Ax =的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为．14．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A =．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分)求极限0limx →16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值．(17) (本题满分10分)求. (18) (本题满分10分)证明44arctan 03x x π-+=恰有2实根. (19) (本题满分10分)设函数()f x 在[]0,1有连续导数，(0)1f =，且()()ttD D f x y dxdy ft dxdy '+=⎰⎰⎰⎰, {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t D x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.20．（本题满分11） 设函数xx x f 1ln )(+= ⑴求)(x f 的最小值； ⑵设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求此极限．(21) (本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A ．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为且{}221P X Y ==．(Ｉ)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II)求Z XY =的概率分布； (III)求X 与Y 的相关系数XY ρ．23（本题满分11分）设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 答案：一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1)【答案】(C)． 【解析】因为03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x xcx→--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x x cx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx--→→-== 304lim1k x cx -→==．所以4,3c k ==，故答案选(C).2. 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．【详解】将0=x 代入方程得1)0(==f y ，在方程两边求导，得01')')(sin(=+-+-yy xy y xy ，代入1,0==y x ，知1)0(')0('==f y ．2)0('22)0()2(lim 212lim ==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ，故应该选（A ）． (3)【答案】(A).【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确. 方法2：排除法，举反例． 选项(B)取(1)nn u =-，这时21211()0n n n n uu ∞∞-==+=∑∑收敛，但11(1)n n n n u ∞∞===-∑∑发散，故选项(B)错误；选项(C)取1(1)n n u n --=，这时111(1)n n n n u n -∞∞==-=∑∑收敛，但212111()n n n n u u n ∞∞-==-=∑∑发散，故选项(C)错误；选项(D)取1n u =，这时21211()0n n n n uu ∞∞-==-=∑∑收敛，但111n n n u ∞∞===∑∑发散，故选项(D)错误．故正确答案为(A). 4.【详解】⎰⎰⎰∞++-∞++-=e e dx xx x dx dx x f 1111ln 1)1()(αα，其中⎰⎰---=-10111)1(e e tdt x dxαα当且仅当11<-α时才收敛； 而第二个反常积分x x dx xx x eαξαααln lim 11|ln 1ln 111+∞→∞+-∞++-=-=⎰，当且仅当0>a 才收敛． 从而仅当20<<α时，反常积分()dx x f ⎰∞+才收敛，故应选（Ｄ）． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP -=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．6. 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． (7)【答案】(D)．【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞-∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度.8. 【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa baa A E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9)【答案】()313xex +.【解析】因为()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅，所以，()()313'=+xf x e x .10. 【详解】由反函数的求导法则可知11011|1|--==-==e dxdy dy dx x y(11)【答案】2y x =-.【解析】方程tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的两端对x 求导，有 ()2sec 14y x y y e y π⎛⎫''++⋅+= ⎪⎝⎭，将0,0x y ==代入上式，有()211cos4y y π''+=，解得()0,02y '=-，故切线方程为：2y x =-.12. 【详解】当1=t 时，2ln 21,4==y x π，1|111|'1221=++===t t t t ty ，所以法线方程为 )4(12ln 21π--=-x y ，也就是042ln 21=--+πx y ．图２(13)【答案】213y ．【解析】因为A 的各行元素之和为3，所以1113111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3为矩阵A 的特征值．由()1r A =知矩阵A 有两个特征值为零，从而1233,0===λλλ．由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为213y ．14. 【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r nA r n A r 可知，0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分)【解析】0x x →→=0x →=x →=0001.2x x x →→→===-=- 16. 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a a x ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ．(17) (本题满分10分)【解析】令t =2x t =,2dx tdt =，所以2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰ 2222arcsin 22ln 2tt t t t t dt t=⋅-+⋅-⋅⎰ 222arcsin 2ln 4t t t t t =⋅+⋅-22arcsin 2ln 4t t t t t C =⋅+⋅-+.x C =+(18) (本题满分10分)【解析】设4()4arctan 3f x x x π=-+则 224)()111x x f x x x '=-=++，令()0f x '=，解得驻点12x x ==所以，当x <()0f x '<，故()f x 单调递减；当x <<()0f x '>，故()f x 单调递增；当x >()0f x '<，故()f x 单调递减.又当(,(x ∈-∞ 时()0f x >，且(0f =，故(x ∈-∞时只有一个零点；又803f π=->，()4lim lim 4arctan 03x x f x x x π→+∞→+∞⎛=-+-=-∞< ⎝，由零点定理可知，存在)0x ∈+∞，使()00f x =；所以，方程44arctan 03x x π-+=恰有两实根. (19) (本题满分10分) 【解析】21()()2tD f t dxdy t f t =⎰⎰，000()()(()())()()ttt xD t tf x y dxdy dx f x y dyf t f x dx tf t f x dx-''+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰由题设有 21()()()2ttf t f x dx t f t -=⎰， 上式两端求导，整理得(2)()2()t f t f t '-=，为变量可分离微分方程，解得2()(2)Cf t t =-， 带入(0)1f =，得4C =. 所以，24(),01(2)f x x x =≤≤-.20. 【详解】 （1）22111)('xx x x x f -=-=， 令0)('=x f ，得唯驻点1=x ，当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，函数单调递减；当),1(∞∈x 时，0)('>x f ，函数单调递增． 所以函数在1=x 处取得最小值1)1(=f ． （2）证明：由于11ln 1<++n n x x ，但11ln ≥+n n x x ，所以nn x x 111<+，故数列{}n x 单调递增．又由于11ln ln 1<+≤+n n n x x x ，得到e x n <<0，数列{}n x 有界．由单调有界收敛定理可知极限n n x ∞→lim 存在．令a x n n =∞→lim ，则11ln 1ln lim 1≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→aa x x n n n ，由（1）的结论可知1lim ==∞→a x n n ．(21) (本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x -=⎧⎨+=⎩．解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==-====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， T A Q Q =Λ2210011001022⎛-⎛⎫⎪⎪-⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000000010001022⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．(22) (本题满分11分)【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=-==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==-=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====-==--===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==-==--==-=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====-===．即的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1-．{}{}111,13P Z P X Y=-===-=．{}{}111,13P Z P X Y =====． {}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=．Z XY =的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ-⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==-⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =-⋅+⋅+⋅=．所以()()()0-⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ．23. 【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f T T TTββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 TT ββαα+2．证明（2）设=A T T ββαα+2，由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T TT A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T T r r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +．。

考研数学一模拟题2018年(60)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 作积分变量代换u=x-t，而则原极限2.设f(x)在区间[0，1]上连续，且0≤f(x)≤1，又设，则级数______ SSS_SINGLE_SELA 发散．B 条件收敛．C 绝对收敛．D 敛散性与具体的f(x)有关．分值: 4答案:B[解析] 由于0≤f(x)≤1且f(x)连续，所以且所以发散，并且由莱布尼茨判别法知，交错级数收敛，所以条件收敛．3.设g(x)在(-∞，+∞)内存在二阶导数，且g"(x)＜0．令f(x)=g(x)+g(-x)，则当x≠0时______SSS_SINGLE_SELA f"(x)＞0．B f"(x)＜0．C f"(x)与x同号．D f"(x)与x反号．分值: 4答案:D[解析] 由f(x)=g(x)+g(-x)，有f"(x)=g"(x)-g"(-x)，f"(x)=g"(x)+g"(-x)＜0，f"(0)=0．再由拉格朗日中值定理有f"(x)=f"(0)+xf"(ξ)=xf"(ξ)，所以f"(x)与x反号，选D．4.设f(x)连续且f(x)≠0，，则F"(x)+F(x)=______SSS_SINGLE_SELA f(x)sinx．B f(x)cosx．C f(x)(sinx+cosx)．D f(x)．分值: 4答案:D[解析] 作积分变量变换x-t=u，再用三角公式，有所以F"(x)+F(x)=f(x)．5.设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是______ •**=0；A2x=0．•**=0；A3x=0．•**=0；A4x=0．**=0；A5x=0．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 法一显然，若A i x=0，两边左乘A，得A i+1 x=0，i=1，2，3，4．反之，若A i+1 x=0，是否有A i x=0呢?取则取ξ1=(0，0，0，1) T，有A 4 x=0，但A 3x≠0．C不成立．取ξ2=(0，0，1，0) T，有A 3 x=0，但A 2x≠0．B不成立．取ξ3=(0，1，0，0) T，有A 2 x=0，但Ax≠0．A不成立．由排除法，应选(D)．法二证明D成立．由法一易知，现证用反证法．设A 5 x=0，但A 4x≠0．因x，Ax，A 2 x，A 3 x，A 4 x，5个4维向量必线性相关，故存在不全为零的数k0，k1，k2，k3，k4，使得k0 x+k1Ax+k2A 2 x+k3A 3 x+k4A 4 x=0．(*)(*)式两边左乘A 4，得因A 4x≠0，则k0 =0．将k=0代入(*)式，得k1Ax+k2A 2 x+k3A 3x+k4A 4 x=0．(**)同理可证得k1 =0，k2=0，k3=0，k4=0．这和已知5个4维向量线性相关矛盾．故A 5 x=0 A 4 x=0．故D是同解方程组，应选D．6.设是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是______ SSS_SINGLE_SELA ad-bc＜0．B b，c同号．C b=c．D b，c异号．分值: 4答案:D[解析] 对C，当b=c时，A是实对称矩阵，故C是充分条件．由A的特征值，看什么条件下A相似于对角矩阵．对A，当ad-bc＜0时，由(*)式可知，(a+d) 2 -4(ad-bc)＞0．A有两个不同的特征值故A是充分条件．对B，当b，c同正或同负时，由(**)式可知，(a-d) 2 +4bc＞0．A有两个不同的特征值故B是充分条件．对D，当b，c异号时，由(**)式知，因bc＜0，当(a-d) 2 +4bc=0时，会有二重特征值．例：，异号，有λ1=λ2=0，但r(0E-A)=1，线性无关的特征向量只有一个，，故D不是充分条件，故应选D．7.设随机变量X与Y相互独立，且，若P{X＞Y}＜，则______ SSS_SINGLE_SELA μ1＜μ2．B μ1＞μ2．C σ1＜σ2．D σ1＞σ2．分值: 4答案:A[解析] 由于，故．于是可知，由于单调不减，则8.设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1，X2均服从N(0，1)，P{X3=-1}= ，则Y=X1 +X2X3的密度函数fY(y)为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 因为X1，X2相互独立，且均服从N(0，1)，则X1-X2，X1+X2均服从N(0，2)，故二、填空题1.设是f(x)的以2π为周期的傅里叶级数，则a100=______．SSS_FILL分值: 40 [解析]所以a100=0．2.微分方程满足初始条件y|x=2=1的特解是______．SSS_FILL分值: 4x=y 2 +y [解析] 将x看成未知函数，写成，即此为x对y的一阶线性微分方程，又因y|x=2=1＞0，由公式得将x=2，y=1代入，得C=1．故得解x=y 2 +y．3.设，则______．SSS_FILL分值: 4[解析] 取对数化为n项之和．所以4.函数f(x，y)=3+9x-6y+4x 2 -5y 2 +2xy+x 3 +2xy 2 -y 3在点(1，-1)展开至n=2的泰勒公式为f(x，y)=______+R2，其中余项R2=______．SSS_FILL 分值: 4[解析] x0 =1，y=-1，则所以f(x，y)在点(1，-1)处的2阶泰勒公式为2阶泰勒公式的余项5.设A，B是3阶矩阵，满足AB=A-B，其中，则|A+E|=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由题设，AB=A-B，(A+E)B=A+E-E，(A+E)(E-B)=E，则6.设随机事件A，B满足，则P(AB|A∪B)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由，可得P(A)=P(B)．又由可得A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=[P(A)] 2 =[P(B)] 2．因此，得同理，故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.设D为曲线y=x 3与直线y=x围成的两块区域，求二重积分SSS_TEXT_QUSTI分值: 10解区域D如图所示，第一象限部分记为D1，第三象限部分记为D2，于是令x=-t，则第2个积分与第1个积分可合并，第3个积分与第6个积分相抵消，第4个积分与第5个积分相抵消．于是2.将函数展开成(x-2)的幂级数，并求出此展开式成立的范围．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10解展开成(x-2)的幂级数，所以令x-2=u，即x=u+2来考虑较方便．于是变换为将φ"(u)展开成u的幂级数两边从u=0到u=u作定积分，得于是得到φ(u)的展开式当u=-1时右边级数收敛，有于是将(*)式两边令u→-1 +取极限，得而左边所以成立，即(*)式成立范围可大到-1≤u设微分方程xy"+2y=2(e x -1)．SSS_TEXT_QUSTI3.(x))，以及求上述微分方程的通解，并求存在的那个解(将该解记为y极限值；分值: 5解当x≠0时，原方程化为由一阶线性微分方程的通解公式，得通解其中C为任意常数．由上述表达式可知，并不是对于任何常数C，都存在，存在的必要条件是，即C=2．当C=2时，对应的y(x)记为SSS_TEXT_QUSTI4.补充定义使y0 (x)在x=0处连续，求y"(x)，并请证明无论x≠0还是x=0，y"0 (x)均连续，并请写出y"(x)的表达式．分值: 5解令而当x≠0时，所以y"0 (x)在x=0处连续．又显然，y"(x)在x≠0处也连续，故无论x≠0还是x=0，均连续．5.设x＞0,证明：，且仅在x=1处等号成立．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10证先证明当0＜x＜1时，．令，有F(1)=0．记，有，所以当0＜x＜1时，φ"(x)＜0．从而知，当0＜x＜1时，φ(x)＜0，即有F"(x)＜0．因F"(1)=0，所以当0＜x＜1时，F"(x)＞0．又因F(1)=0，所以当0＜x＜1时，F(x)＜0，从而知当0＜x＜1时，上式中令，故知当1＜u＜+∞时，又当x=1时，，所以当0＜x＜+∞时，有，当且仅当x=1时等号才成立．6.设点M(ξ，η，ζ)是椭球面上第一卦限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ，η，ζ)使曲面积分为最小，并求此最小值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10解曲面上点M(ξ，η，ζ)处的法向量为，切平面方程是化简即得该切平面被三坐标面截得的三角形在xOy平面上的投影区域为从而所以求I的最小值等价于求ω=ξηζ，0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ζ＜c的最大值，约束条件是由拉格朗日乘数法得显然，当ξ=a或ξ=0时，ω最小，故当时，ω最大，I的最小值为7.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，已知Em+AB可逆．(Ⅰ)验证En +BA可逆，且(En+BA) -1 =En-B(Em+AB) -1 A；(Ⅱ)设，其中a1 b1+a2b2+a3b3=0．证明：W可逆，并求W -1．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11证在不存在歧义的情况下，简化记号，省略E的下标m，n．(Ⅰ)因(E+BA)[E-B(E+AB) -1 A]=E+BA-B(E+AB) -1 A-BAB(E+AB) -1 A=E+BA-B(E+AB)(E+AB) -1 A=E+BA-BA=E，故E+BA可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A．(Ⅱ)由(Ⅰ)知E+AB可逆，则E+BA可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A，反之若E+BA可逆，则E+AB可逆，且(E+AB) -1 =E-A(E+AB) -1 B．因为E+BA=E+(b1，b2，b3)(a1，a2，a3) T =E+a1b1+a2b2+a3b3]=E+0=E，故E+BA可逆，(E+BA) -1 =E．故W=E+AB可逆，且W -1 =E-A(E+BA) -1 B=E-(a1，a2，a3) T·E·(b1，b2，b3)SSS_TEXT_QUSTI8.设，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵；分值: 5.5解将f(x1，x2，x3)用配方法化为标准形，得令即得f的标准形为所作的可逆线性变换为X=Cy，其中A对应的二次型的规范形为，正惯性指数P=3=r(A)，故知A是正定矩阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明A是正定矩阵)．SSS_TEXT_QUSTI9.设，求可逆矩阵D，使A=D T D．分值: 5.5解由上一小题知，是f(x1，x2，x3)的对应矩阵，即f(x1，x2，x3)=x T Ax．令x=Cy，其中，得f=x T Ax=y T C T ACy=y T Ey，故C T AC=E，A=(C -1 ) T C -1 =D T D，其中D=C -1．由故设X和Y的联合密度函数为SSS_TEXT_QUSTI10.求Z=Y-X的密度函数；分值: 5.5解法一分布函数法．当z＜0时，f(x，y)的非零区域与{(x，y)|y-x≤z}的交集为图(a)中的阴影部分，当z≥0时，f(x，y)的非零区域与{(x，y)|y-x≤z}的交集为图(b)中的阴影部分，故法二密度函数法．，如图(c)所示，当z当z≥0时，故SSS_TEXT_QUSTI11.求数学期望E(X+Y)．分值: 5.5解设总体X的概率分布为X 0 1 2 3P θ 2 2θ(1-θ) θ 2 1-2θSSS_TEXT_QUSTI12.试利用总体X的简单随机样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值；分值: 5.5解令则θ的矩估计量为样本均值所以θ的矩估计值SSS_TEXT_QUSTI13.设X1，X2，…，Xn是来自X(其未知参数为上一小题中确定的)的简单随机样本，当n充分大时，取值为2的样本个数N满足，求a，b．分值: 5.5解由题设知，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得，所以1。

2018年考研数学二真题及答案解析2018全国研究生入学考试考研数学二试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若1)(lim 212=++→x bx ax e xx ，则（）（A ）1,21-==b a （B ）1,21--==b a （C ）1,21==b a （D ）1,21-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=3.设函数≥-=010,1)(x x x f ，＜，??≥--≤-=0,01,1-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，则（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1,3-==b a （D ）2,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且=10)(dx x f ，则（A ）0)(＜x f '时，0)21(＜f （B ）0)(＜x f ''时，0)21(＜f （C ）0)(＞x f '时，0)21(＜f （D ）0)(＞x f ''时，0)21(＜f 5.设dx x x M ?-++=22221)1(ππ，dx e xN x ?-+=221ππ，dx x K ?-+=22)cos 1(ππ，则（A ）KN M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）N M K ＞＞（D ）MN K ＞＞6.=-+-??----dy xy dx dy xy dx x xx x1201222)1()1(（A ）35（B ）65（C ）37（D ）677.下列矩阵中，与矩阵100110011相似的为（A ）1001101-11（B ）1001101-01（C ）1000101-11（D ）1000101-018.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{})(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)() (TTB A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++∞→=。

考研数学二模拟题2018年(23)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知当x→0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与cx k是等价无穷小，则SSS_SINGLE_SELA k=1，c=4.B k=1，c=-4.C k=3，c=4.D k=3，c=-4.该问题分值: 4答案:C[解析一] 用泰勒公式由题意即所以k=3，c=4.因此应选C．[解析二] 欲使由洛必达法则可得，只需和差化积得亦是所以k=3，c=4.因此应选C．2.设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny-x=1确定，则=SSS_SINGLE_SELA 2.B 1.C -1.D -2.该问题分值: 4答案:A[解析] 在方程cos(xy)+lny-x=1中，令x=0，得y=1，等式两端对x求导得将x=0，y=1代入上式，得y"(0)=1.于是选A.本题利用隐函数求导方法与导数定义，属基本题型．3.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则SSS_SINGLE_SELA 函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B 函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C 函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D 函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．该问题分值: 4答案:B[解析] 从图可看出，函数f(x)有3个驻点及1个不可导点，前两个驻点两侧f"(x)符号相反，而后一个驻点及不可导点两侧f"(x)符号相同，故函数f(x)有2个极值点．函数f(x)有两个二阶导数等于零的点及一个二阶导数不存在的点，在这些的点两侧曲线y=f"(x)的单调性相反，因而曲线y=f(x)有3个拐点．应选B．4.设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是A．B．C．-8ln2+3.D．8ln2+3.SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:A[解析] 先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标．当x=3时，有t 2 +2t=3，得t=1，t=-3(舍去，此时y 无意义)，于是可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：y-ln2=-8(x-3)，令y=0，得其与x轴交点的横坐标为：故应A．注意本题法线的斜率应为-8.此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错．5.设f(x，y)为连续函数，则等于A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:C[解析] 本题考查将极坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可．由题设可知积分区域D如图所示，显然是Y型域，则故选C．本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形．6.设函数f(u，v)满足则依次是A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D[解析一] 先求出f(u，v)，直接求偏导数即可．令则故所以选D．[解析二] 令时，方程两边分别对x，y求偏导数得把代入上两式解方程组有应选D．7.n阶矩阵A具有，n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分而非必要条件．C 必要而非充分条件．D 既非充分也非必要条件．该问题分值: 4答案:B[解析] A～Λ A有n个线性无关的特征向量．当λ1≠λ2时，λ1与λ2的特征向量必线性无关．因此，若A有n个不同的特征值，则矩阵A必有n个线性无关的特征向量．那么矩阵A必可相似对角化．由于矩阵A的特征值有重根时，矩阵A仍有可能相似对角化，所以特征值不同是A能相似对角化的充分条件，并不必要．故应选B．8.设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩则线性方程组A．Ax=α必有无穷多解．B．Ax=α必有惟一解．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D[解析] 因A是n阶矩阵，是n+1阶矩阵，有所以必有非零解．二、填空题1.曲线的斜渐近线方程为______．该问题分值: 4[解析] 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可．因为于是所求斜渐近线方程为如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握．这里应注意两点：1.当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2.若当x→∞时，极限不存在，则应进一步讨论x→+∞或x→-∞的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x＞0，所以只考虑x→+∞的情形。

2018考研数学冲刺模拟卷（数学二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)14ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-=-=且''()0f x <，则（ ）(A)11()0f x dx ->⎰（B ）11()0f x dx -<⎰（C ）11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ （D ）11()()f x dx f x dx -<⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则（ ）（A ）当lim tan 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= （B）当lim(0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=（C ）当2lim()0n n n x x →∞-=时，lim 0n n x →∞= （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程244(1sin 2)xy y y e x '''-+=+的特解可设为*y =（ ）（A ）22(cos 2sin 2)xx Aee B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）222(cos 2sin 2)xx Ax ee B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂<>∂∂，则（ ）（A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙超过上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >（7）设A 为m n ´阶矩阵，且()r A m n =<，则下列结论正确的是（ ） （A ）A 的任意m 阶子式都不等于零 （B ）A 的任意m 个列向量线性无关（C ）方程组AX b =一定有无穷多解 （D ）矩阵A 经过初等行变换可化为()m E O （8）设()111,0,2,T c a =，()220,2,1,T c a =，()331,2,3,Tc a =，()41,0,1,0Ta =，其中()1,2,3i c i =为任意实数，则（ ）（A ）1234,,,a a a a 必线性相关 （B ）1234,,,a a a a 必线性无关 （C ）123,,a a a 必线性相关 （D ）234,,a a a 必线性无关二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 曲线21ln(1)x y x e x=++的斜渐近线方程为_______ (10) 设函数()y y x =由参数方程()0sin ttux t e y u e du ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，则220t d y dx ==______ (11)21ln xdx x+∞=⎰_______ (12) 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且,(1)y y f fye x y e x y∂∂==+∂∂，(0,0)0f =， 则(,)_______f x y =.（13）已知1tan ()x tf x dt t=⎰，则10()______f x dx =⎰.（14）设,a b 为四维非零的正交向量，且TA ab =，则A 的所有特征值为 .三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限0limx t x dt du+→⎰⎰设函数()f u 在()0,+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22222212z z z z x y z x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂ +=++ ⎪ ∂∂+∂∂⎝⎭⎝，若()()00,01,f f '==求函数()f u 的表达式.（17）求()()21ln ln limnn k k n k n n →∞=+-∑（18）（本题满分10分）设函数()f x 连续，且()2013arccot 2xtf x t dt x -=⎰.已知()21f =，求()32f x dx ⎰的值.（19）（本题满分10分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数，()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-试证明在(0,1)内，1()()0x xf x f t dt -=⎰存在唯一实根.（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,|2,D x y xy x =+≤计算二重积分()21Dy dxdy +⎰⎰。

考研数学三模拟题2018年(1)(总分100, 做题时间90分钟)填空题1.设3阶方阵A，B满足关系式A -1 BA=6A+BA，且则B=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2diag(3，2，1) [解析] 由A -1 BA=6A+BA得B=6A(E-A) -1 =diag(3，2，1)，其中，λ1，λ2，…，λn全不为零．2.设α=[-1，2，3]，A=α Tβ，则An=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 23 n-1 A [解析]A n=(α Tβ) n=(α Tβ)(α Tβ)…(α Tβ)=α T(βα) T(βα) T…(βα T)β=3 n-1 A．3.设n≥2为正整数，则A n -2A n-1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2O[解析]4.设则A -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] 方法一用初等变换求．方法二5.已知A 2 -2A+E=O，则(A+E) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] A 2 -2A+E=O，(A+E)(A-3E)=-4E，6.设A是n阶矩阵，|A|=5，则|(2A) * |=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 22 n2-n·5 n-1 [解析] (2A)(2A) * =|2A|E，(2A) * =|2A|(2A) -1，7.设则(A * ) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析]8.设B=(E+A) -1 (E-A)，则(E+B) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] E+B=E+(E+A) -1 (E-A)=(E+A) -1 (E+A+E-A)=(E+A) -1 2E，故9.，将B 已知A，B均是3阶矩阵，将A中第3行的-2倍加到第2行得矩阵A1中第1列和第2列对换得到B，又则AB=______．1SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析]10.设则B -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2 [解析]故11.设A，B为3阶相似矩阵，且|2E+A|=0，λ1 =1，λ2=-1为B的两个特征值，则行列式|A+2AB|=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.518 [解析] 由|2E+A|=|A-(-2E)|=0知λ=-2为A的一个特征值．由A～B知A和B有相同特征值，因此λ1 =1，λ2=-1也是A的特征值．故A，B的特征值均为λ1 =1，λ2=-1．λ3=-2．则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(-1)=-1，1+2×(-2)=-3，从而|E+2B|=3×(1)×(-3)=9，|A|=λ1λ2λ3=2．故|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=2×9=18．12.设A=E+αβ T，其中α，β均为n维列向量，α Tβ=3，则|A+2E|=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.52·3 n [解析] 由于α Tβ=3，可知tr(αβ T )=3．αβ T的秩为1，故0至少为αβ T的n-1重特征值。

考研数学一模拟题2018年(49)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列各题给出的四个选项中。

只有一个选项符合试题要求．1.设函数f(x)为连续函数，并设x→0时F(x)～Ax k，则(A，k)为______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析]∴又取k=3，，选C．本题亦可用特例法．取f(x)=2x，∴ k=3．2.若两直线：x+1-y=1=z相交，则k等于______SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 4．分值: 4答案:B[解析] 两条直线相交，则两条直线共面．s2 ={1，1，1}，M1=(1，-1，1)，M2=(-1，1，0)，故三个向量s1，s2，共面，于是得k=2．选B．3.设又设f(x)展开的正弦级数为则S(7)=______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 由狄利克雷收敛定理，s(x)是周期为4的奇函数，选B．4.设Ω={(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2≤1，z≥0}，Ω1={(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2≤1，x≥0，y≥0，z≥0}．下列诸式其中正确的是SSS_SINGLE_SELA ①和②．B ②和③．C ③和④．D ④和①．分值: 4答案:B[解析] 由于Ω关于x=0(yOz平面)对称，三重积分对x的函数，偶倍奇零．故故①错．由于Ω关于x=0对称，又关于y=0对称，∴再由轮换对称性，故②正确，③正确，选B．至于④，区域Ω1没有对称性，再由轮换对称性，只能得出得不出事实上，经计算排除④．5.设其中a，b，c，d为互异的实数，则下述结论必成立的是______•**=0只有零解．•**=0有非零解．•**=0有非零解．**=0有非零解．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析] ∵A中的3阶子式为范德蒙行列式≠0，R(A)=3，还要注意到R(A)=R(A T )=R(AA T )=R(A T A)=3，即可得出本题结论．Ax=0的解空间中含有一个线性无关的解向量，排除A．A T x=0仅有零解，排除B．AA T x=0仅有零解．排除D．A T Ax=0的解空间中有一个线性无关的解向量，选C．6.实二次型正定的充分必要条件为______A．a＜1．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 二次型的矩阵得A的特征值：λ1=λ2=…=λn-1=1-α，λn=1+(n-1)a．由二次型正定的充要条件，λ1=λ2=…=λn-1=1-a＞0，λn=1+(n-1)a＞0，从而选D．7.已知，则下列正确的是______A．B．C．D．P(A∪B)=1．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析]于是A与独立，从而A与B独立，与B独立，与独立．排除A；排除B；选C；排除D．8.设X1，X2，X3，X4是来自总体N(0，1)的简单随机样本．已知服从χ 2 (n)分布，则n+a=______SSS_SINGLE_SELA 2．B 3．C 4．D 5．分值: 4答案:B[解析]∴n+a=3，选B．二、填空题1.设x≠0，微分方程xy"-2y"=1的通解是______．SSS_FILL分值: 4[解析] 方法1 xy"-2y"=1(缺y)，为可降阶的微分方程．令y"=p，原方程化为(一阶线性微分方程)方法2 方程xy"-2y"=1，即为x 2 y"-2xy"=x(欧拉方程)．解得，即2.函数u=xy 2 z 3在点(1，2，-1)处沿曲面x 2 +y 2 =5的外法线方向的方向导数为______．SSS_FILL分值: 4[解析] 已知F=x 2 +y 2 -5，则=2{1，2，0}，n=2{x，y，0}，n|(1，2，-1)故曲面在点(1，2，-1)的外法线方向的方向余弦为又3.设且区域D为-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，则SSS_FILL分值: 4[解析]故在区域D1={(x，y)|-y≤x≤1-y，0≤y≤1}上f(y)=y，f(x+y)=x+y，在D1的外部f(y)=0，f(x+y)=0．于是如下图4.设曲面∑为球面x 2 +y 2 +z 2 =1在第一卦限部分的下侧，SSS_FILL分值: 4[解析]5.设n(n＞1)阶行列式D=|aij |n=2，且D中各列元素之和均为2，记aij的代数余子式为Aij，则SSS_FILL分值: 4 n． [解析] 由题设得∴A11 +A12+…+A1n=1．请注意，上述的A11，A12，…，A1n就是行列式D中的A11，A12，…，A1n．重复上述做法，把D中各行加至第2行，然后按第2行展开，即有∴A21 +A22+…+A2n=1．类似地，可推出Ak1 +Ak2+…+Akn=1，(k=3，4，…，n)，故6.设两个相互独立的随机变量X和Y均服从正态分布则E(|X-Y|)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] X和Y相互独立，且均服从正态分布，则Z=X-Y～N(0，1)．三、解答题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.设f(x)连续，且当x＞-1时有求f(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] 令则φ(0)=1，φ"(x)=f(x)，于是两边积分得，由φ(0)=1，得C=0，两边求导，得2.设f(x)在[a，b]上连续，证明存在ξ∈[a，b]，使得若f(x)＞0，则上述ξ是唯一的．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[证]欲证即证若即有F(a)=F(b)=0，取ξ=a或ξ=b均可．若则F(a)F(b)＜0，由零点定理，存在ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0．总之，存在ξ∈[a，b]，使得若f(x)＞0，则F"(x)=f(x)+f(x)＞0，F(x)↑，故F(x)的零点至多有一个，于是上述ξ唯一．3.设f(x)在[1，+∞)上二阶可导，f(1)=0，f"(1)=1，函数z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足，求f(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] z=uf(u)，由z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )中x与y的对称性，得①+②，得③为欧拉方程．令u=e t，则代入③，得(此为二阶常系数齐次线性微分方程)解得，由于f(1)=0，f"(1)=1，得C1 =0，C2=1，于是设f(x)连续可导，f(1)=1，G为不包含原点的单连通区域，任取M，N∈G，在G内曲线积分与路径无关．SSS_TEXT_QUSTI4.求f(x)；分值: 5[解] 记因为在G内曲线积分与路径无关，所以(x，y)∈G，总有即由此推得yf"(y)=2f(y)，解此可分离变量的微分方程，得f(y)=Cy 2，又f(1)=1，所以f(y)=y 2，于是f(x)=x 2．SSS_TEXT_QUSTI5.求取正向．分值: 5由于曲线Γ与被积表达式中的P，Q不配套，曲线积分很难计算，于是想到另找与P，Q配套的曲线．如下图，取小椭圆Γε=2x 2 +y 2=ε 2，取正向，ε为充分小的正数，使得Γε在Γ的内部．设Γ与Γε所保围的区域为D．在D上，P和Q的一阶偏导数连续，且6.求幂级数的收敛域与和函数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] 先求收敛域．再求和函数．已知三维列向量α1，α2线性无关，β1，β2线性无关．SSS_TEXT_QUSTI 7.证明存在非零向量ξ既可由α1，α2线性表示，也可以由β1，β2线性表示；分值: 5.5[解] (Ⅰ)因4个3维向量必线相关，故存在一组不全为零的数k1，k2，k3，k4，使得k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0，其中k1，k2不全为零，反证即可．事实上，若k1=k2=0，则有k3β1+k4β2=0，而β1，β2线性无关，从而k3=k4=0，与题设k1，k2，k3，k4不全为零矛盾，于是k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2=ξ．由于k1，k2不全为零，同理k3，k4不全为零，又α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，于是k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2=ξ≠0．SSS_TEXT_QUSTI8.设α1 =(-1，2，3) T，α2=(1，-2，-4) T，β1=(-2，a，7) T，β2=(-1，2，5) T，求(Ⅰ)中的ξ．分值: 5.5解齐次线性方程组k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0，即①的通解为c为任意非零常数．①的通解为 c1，c2为不同时为零的任意常数．已知二次型，若矩阵A的特征值有重根．SSS_TEXT_QUSTI9.求a的值；分值: 3.XX667[解] 二次型矩阵由∴A的特征值为：1-a，a-1，a+2．由于A的特征值有重根，所以，或a=1，由于a＞0，所以a=1．SSS_TEXT_QUSTI10.用正交变换x=Py化二次型为标准形，并写出所用的正交变换；分值: 3.XX667A的特征值为0，0，3．当λ=0时，由(A-0·E)x=0，得特征向量为当λ=3时，由(A-3E)x=0，得特征向量为把α1，α2正交化．取β1=α1，把单位化，得取令x=Py，SSS_TEXT_QUSTI 11.f(x1，x2，x3)=x T Ax=1表示什么曲面．分值: 3.XX667当f(x1，x2，x3)=x T Ax=1，即表示两个平行的平面．设X与Y的联合概率密度函数为SSS_TEXT_QUSTI12.试求Z=X-Y的密度函数；分值: 5.5方法1 分布函数法．①z≤0，F(z)=0，(如图2)②z≥1，F(z)=1，(如图3)③0＜z＜1，(如图4)方法2 密度函数法．上式中，0＜x＜1，0＜y=x-z＜x，即有区域：0＜x＜1，0＜z＜x，在此区域内：f(x，x-z)=3x．图1图2图3图4图5图6图7SSS_TEXT_QUSTI13.求Z的数学期望E(Z)．分值: 5.5设总体X的密度函数为其中θ＞0是未知参数，X1，X2，…，Xn是X的简单随机样本．SSS_TEXT_QUSTI 14.求θ的最大似然估计量；分值: 5.5[解] (Ⅰ)由似然函数SSS_TEXT_QUSTI 15.证明是θ的无偏估计量．分值: 5.5∴ 是θ的无偏估计．1。