高中数学人教A版选修4-5课件：本讲整合4
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高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a 2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
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引言
最新人教版高三数学选修4－5(全 套)精品课件Biblioteka 第一讲 不等式和绝对值不等 式
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一 不等式
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1.不等式的基本性质
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最新人教版高三数学选修4－5(全 套)精品课件目录
0002页 0092页 0130页 0209页 0266页 0326页 1168页 1201页 1230页 1301页 1399页
引言 一 不等式 2.基本不等式 二 绝对值不等式 2.绝对值不等式的解法 一 比较法 三 反证法与放缩法 一 二维形式柯西不等式 三 排序不等式 一 数学归纳法 学习总结报告
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质
探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
人教版高中数学选修4-5-不等式选讲(绝对值不等式)ppt课件
x 3、 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜ ＋1. 2
x 解 ①当 x＜－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜10， 2 ∴x＜－3. 1 x 2 ②当－3≤x＜ 时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜－ ， 2 2 5 2 ∴－3≤x＜－ . 5 1 x ③当 x≥ 时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜ ＋1，解得 x＞2，∴x＞2. 2 2 2 综上可知，原不等式的解集为xx＜－5，或x＞2 .
第三节
绝对值不等式
[最新考纲] 1．理解绝对值的几何意义；理解绝对值三角不等式的代数 证明和几何意义，并了解其等号成立的条件；能利用绝对 值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式 的解法．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b| ，当且仅当 时，等号成立； ab≥0 (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ ， |a－b|＋|b－c| 当且仅当 时，等号成立． (a－ b)(b－c)≥0 (3)性质： ________≤| a±b|≤________；
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
法三：(数形结合法)将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
－2x－6，x≤－2， 令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1.
作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
|a|－|b| |a|＋|b|
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引言
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第一讲 不等式和绝对值不等 式
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一 不等式
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1.不等式的基本性质
最新人教版高三数学选修4－5全 册课件【完整版】目录
0002页 0056页 0116页 0143页 0209页 0248页 0292页 0325页 0337页 0408页 0506页
引言 一 不等式 2.基本不等式 二 绝对值不等式 2.绝对值不等式的解法 一 比较法 三 反证法与放缩法 一 二维形式柯西不等式 三 排序不等式 一 数学归纳法 学习总结报告
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2.基本不等式
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3.三个正数的算术-几何平均不 等式
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高中数学 本讲归纳整合4课件 新人教A版选修4-5
专题二
归纳猜想数学归纳法证明
应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时， 应分析p(k)与p(k＋1)的差异及联系，利用拆、添、并、放等 手段，从p(k＋1)中分离出p(k)，再进行局部调整，也可考虑
寻求二者的结合点，以便顺利过渡，利用归纳假设，经过适
当放缩、恒等变形，得到结论需要的形式“凑结论”．
2．放缩法 涉及关于正整数n的不等式，从“k”过渡到“k＋1”，有 时也考虑用放缩法．
1 1 1 n 【例 2】 求证：1＋ ＋ ＋…＋ n－1＞ (n∈N＋)． 2 3 2 2
1 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝ . 2 左边＞右边，∴不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立， 1 1 1 k 即 1＋ ＋ ＋…＋ k－1＞ . 2 3 2 2
1 1 1 【例 1】 求证： ＋ ＋…＋ ＜ n，n∈N＋. 1×2 2×3 nn＋1 1 1 证明 (1)当 n＝1 时，因为 ＝ (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，原不等式成立，即有 1 1 1 ＋ ＋…＋ ＜ k， 1×2 2×3 kk＋1 当 n＝k＋1 时， 1 ＋ 1×2 1 ＋…＋ 2×3 1 ＋ kk＋1
2．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问 题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠 基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成 立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归 纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命
题成立．
3．运用数学归纳法时易犯的错误 (1) 对项数估算的错误，特别是寻找 n＝ k 与 n＝ k ＋1 的关 系时，项数发生什么变化被弄错．
当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1＋2＋3＋…＋ k－1＋ 2 k＋1 k k－1 1 ＞2＋2 · 2k＝ 2 . ∴n＝k＋1 时，不等式成立． 1 1 1 n 由(1)、(2)可知，1＋2＋3＋…＋ n－1＞2(n∈N＋)． 2
高中数学理配套PPT课件选修4—5
bi=0(i=1,2,„,n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,„,n)时,等号成立.
(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α· β|,当且 仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
选修4
知识梳理 双基自测
选修4—5
不等式选讲
知识梳理 核心考点
关闭
由柯西不等式可知(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2, 即 5(m2+n2)≥25,当且仅当 an=bm 时,等号成立,故 ������2 + ������2 ≥ 5 关闭
5
解析 答案
选修4
知识梳理 双基自测
选修4—5
不等式选讲
知识梳理 核心考点
-11-
1
2
3
4
5
5.已知x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围 为 .
2ab
,当且仅当 a=b 时,等号成
������������,当且仅当 a=b 时,等号成立. ≥
3
������������������,当且仅当 a=b=c 时,等
������1 +������2 +„+������������ ������
定理 4:若 a1,a2,„,an 为 n 个正数,则 当且仅当 a1=a2=„=an 时,等号成立.
选修4
知识梳理 双基自测
选修4—5
不等式选讲
知识梳理 核心考点
-3-
1
2
3
4
5
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法 ①|x|<a⇔-a<x<a; ②|x|>a⇔x>a或x<-a. (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c ; ②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c . (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程及数 形结合的思想.
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1 1 1 1 1 则当 n=k+1 时, + + +⋯+ + 1×2 2×3 3×4 ������(������+1) (������+1)(������+2) ������ 1 ������+1 + = ������+2. ������+1 (������+1)(������+2)
=
由(1)(2)可知,对于任意的 n∈N+,所证等式都成立.
2 3
4(������ + 1)] =
(������+1)(������+2) 2 2
������(������+1) 2 2
+ (������ + 1)3 =
������+1 2 [������2 + 2
= [1 + 2 + ⋯+k+(k+1)]2,
即当n=k+1时,原等式也成立. 综合(1)(2)可知,对任何n∈N+,原等式都成立.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,所以原等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立, 即13+23+…+k3=(1+2+…+k)2. 则当n=k+1时,13+23+…+k3+(k+1)3
=(1+2+…+k) +(k+1) =
知识建构
综合应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ真题放送
专题一
专题二
应用 用数学归纳法证明,对于 n∈N+,
1 ������(������+1)
= ������+1.
������
1 1 1 + + + ⋯+ 1×2 2×3 3×4
1 1 1 证明： (1)当 n=1 时,左边 = = , 右边 = ,所以等式成立. 1×2 2 2 1 1 1 1 (2)假设当 n=k 时等式成立,即1×2 + 2×3 + 3×4 + ⋯ + ������(������+1) = ������ , ������+1
+
1 的值都是质数. 但是在 18 世纪另一位卓越的数学家欧拉指出������ = 5 时, 22 + 1 = 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417.
这是个合数,费尔玛的猜想错了. 这就充分说明我们不能把不完全归纳法当成证明,用数学归纳法 证明时第二步不可缺少.
知识建构
综合应用
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题二 数学归纳法证题的几种技巧 在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步验证比较简明,而第 二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分 重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设 “P(k)”是问题的条件,而命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此, 合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分 析一些常用技巧.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
例:证明(n+1)2+(n+2)2一定是偶数(n∈N+). 证明：假设当n=k时命题成立,即(k+1)2+(k+2)2是偶数.当n=k+1 时, [(k+1)+1]2+[(k+1)+2]2=(k+2)2+(k+1)2+4(k+1)+4=(k+1)2+(k+2)2 +4(k+2). 由假设(k+1)2+(k+2)2是偶数,又4(k+2)也是偶数,所以上式是偶数, 这就是说当n=k+1时命题也成立. 由此,对于任意的正整数n,(n+1)2+(n+2)2一定是偶数. 这个结论显然是错误的,原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤, 实际上,当n=1时,(1+1)2+(1+2)2=4+9=13不是偶数,这说明使用数 学归纳法时不可缺少第一步.
真题放送
专题一
专题二
(2)缺少数学归纳法的第一步. 也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用,而且k又可以任 意取值,这样就够了,有没有第一步P(1)无关紧要.这种认识也是错 误的,它忽视了第一步的奠基作用,因为如果没有P(1)成立,归纳假 设P(k)成立就没有了依据,因此递推性也就成了无源之水,无本之木, 下面我们看一个这样的例子.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
17 世纪法国卓越的数学家费尔玛考查了形如2 因此费尔玛就猜想: 对于任意的自然数������, 式子2
5
2������
+ 1 的数, ������ =
0,1,2,3,4 时, 它的值分别为 3,5,17,257,65 537. 这 5 个数都是质数.
2������
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
应用 2 设 a,b
������������ +������ 为正数,n∈N+,求证: 2
������
≥
������+������ ������ . 2
提示：这是一个不等式证明问题,它涉及全体正整数n,用数学归 纳法证明.
证明： (1)当
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
1.分析综合法 用数学归纳法的假设证明关于正整数n的命题,从“P(k)”到 “P(k+1)”,常常可用分析综合法. 应用1求证:对任意正整数n,有13+23+33+…+n3=(1+2+…+n)2成 立.
提示：这是一个等式证明问题,它涉及全体正整数,用数学归纳 法证明.用数学归纳法证明恒等式,关键是第二步要用上假设,证明 n=k+1时,原等式成立.
本讲整合
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知识建构
综合应用
真题放送
数学归纳法的原理 整除问题 数学归纳法 几何问题 数学归纳法的应用 等式问题 证明：不等式 贝努利不等式 其他不等式
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专题二
专题一 正确使用数学归纳法 同学们在刚开始学习数学归纳法时,常常会遇到两个困难,一是 数学归纳法的思想实质不容易理解,二是归纳步骤的证明有时感到 难以入手.本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理,以帮助学 生进一步理解数学归纳法的原理,弄清它的实质,从而明确如何正 确地使用数学归纳法. (1)缺少数学归纳法的第二步. 有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立,那么由 P(k)成立导出P(k+1)成立是必然的,因此第二步归纳步骤是流于形 式,证与不证似乎一样,显然这是不正确的.产生这种错误想法的原 因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用,如果没有递推性,那 么一个命题可能对于开头的许多自然数都成立,但是对于一般的自 然数并不成立,我们举几个例子来看看.