天津市武清区2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析

武清区2018-2019学年度第一学期质量调查高三数学（理科）1. 设全集为R ，集合A={x|x 2-2x-3<0},则C R A=（）A.{x|x ≥3或x ≤-1}B.{x|x>3或x<-1}C.{x|31≤≤-x }D.{x|-1<x<3}2. 函数f(x)=(x+1)e x 的图象在点（0，f （0））处的切线方程为（）A. x-y+1=0B.x-y-1=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=03. 已知a ∈R ，则“a1<1”是|a|>1的（） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x=-2，则输出y 的值为（）A.0B.1C.23D.47 5. 已知a=e 1log 1π，b=(e1log 1π)2,c=ln3，则a ，b ，c 的大小关系是（） A. c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c6. 等比数列{a n }的前n 项和S n =a+1-n b 2，（a ，b ∈R ），若a 4=41，则ba =（） A. 43 B.34 C.32 D.23 7. 已知a>0,b>0，且121=+b a ，则2a+a b 的最小值是（） A.8 B.6 C.4 D.28. 已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<+2,)2(20,20,23x x x x x x ,则方程f(x)+f(2-x)=3实数根的个数是（）A.4B.3C.2D.19. 某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生个。

10. 已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+--≥-≤-≤-02200102y x y x y x 则目标z=2x+y 的最大值是11. 两个函数y=21x 与y=x-2,它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为12. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(-∞,0]上单调递增，若实数a 满足f(a+1)>f(-2),则a 的取值范围是13. 如图，梯形ABCD 中，AB//DC,AB=BC=2,CD=1,∠ABC=3π，E 是BC 上一动点，则⋅的最小值为14. 已知函数f(x)=sin(wx+ϕ) (w>0,0<ϕ<2π),若f(x)的图象的一条对称轴是x=3π，且在区间)4,6(ππ-上单调递增，则w 的取值范围是 15. 在△ABC 中，cosA=55-，a=210，b=5.（1）求c 及sinC 的大小；（2）求cos （2C+B ）的值.16. 已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，S 5=25，a 13=7a 3，（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =n n a 2，求数列{b n }的前n 项和T n 17. 已知函数f(x)=43sin2x+sin 42x +cos 42x -43.(1)求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在区间[3,4ππ-]上的最大值和最小值。

2018-2019学年天津市实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∩B=（）A. B. C. D.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. ，B. ，C. D.3.函数的定义域是（）A. B. C. D.4.化简（其中a＞0，b＞0）的结果是（）A. B. C. D.5.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.6.函数f（x）=|x-2|-ln x在定义域内零点可能落在下列哪个区间内（）A. B. C. D.7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年8.已知函数是（1，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=-ln x2-|x|，则关于m的不等式f（）＜2（ln-1）的解集为（）A. B. C. D.10.定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x2-2x+2．则x∈[-4，-2]时，f（x）的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A B=A，则m=______．12.已知函数，则f（log28）的值为______13.计算的结果是______14.奇函数f（x）在（-∞，0）内单调递增，且f（2）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为______15.已知函数＜，若方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为______．16.已知函数，若f（x）有最大值或最小值，则实数a的取值范围是______三、解答题（本大题共5小题，共72.0分）17.已知集合A={x|x＜-2或x＞0}，B={x|x2-2x-3＞0}，C={x|2m＜x＜m+3}，（1）求A∩∁R B；（2）若C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．18.已知0≤x≤2，求函数f（x）=4x-3•2x+1+3的最大值和最小值，并求y取最值时的x的值．19.已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（3-x）．（a＞0，a≠1）（1）当a＞1时，若h（x）=f（x）+g（x）的最大值为2，求a的值；（2）求使f（x）-g（x）＞0的x取值范围．20.函数是定义在[-1，1]上的奇函数．（1）确定函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）的单调性；（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜021.已知函数g（x）=mx2-2mx+1+n，（n≥0）在[1，2]上有最大值1和最小值0．设f（x）=．（其中e为自然对数的底数）（1）求m，n的值；（2）若不等式f（log2x）-2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；（3）若方程f（|e x-1|）+-3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，∴∁U A={0，4}，则（∁U A）∩B={4}，故选：D．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】D【解析】解：A．f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；B．y=e lnx的定义域为（0，+∞），y=lne x的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；C.的定义域为[1，+∞），的定义域为（-∞，-1][1，+∞），定义域不同，不是同一函数；D．y=|x|的定义域为R，的定义域为R，解析式和定义域都相同，是同一函数．故选：D．通过求A，B，C选项的两函数定义域，会得出A，B，C三选项的两函数定义域不同，从而不是同一函数，即A，B，C错误，只能选D．考查函数的定义，如何判断两函数是否为同一函数：看定义域和解析式是否都相同．3.【答案】B【解析】解：要使f（x）有意义，则需；解得，且；∴f（x）的定义域为：．故选：B．可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足，解出x的范围，即可得出f（x）的定义域．考查函数定义域的概念及求法，以及对数函数的单调性．4.【答案】C【解析】解：==．故选：C．化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简．本题考查根式与分数指数幂的互化，考查有理指数幂的运算性质，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵＞20=1，0＜＜，＜，∴c＜b＜a．故选：B．利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=|x-2|-lnxf（1）=1＞0，f（2）=-ln2＜0f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4＞0f（5）=3-ln5＞0∴f（1）f（2）＜0，f（3）f（4）＜0∴函数的零点在（1，2），（3，4）上，故选：C．欲求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，从而得到结论．本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n-2017＞200，化为：（n-2017）lg1.12＞lg2-lg1.3，解可得：n-2017＞≈3.8；则n≥2021，故选：B．根据题意，设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n-2017＞200，变形分析可得n的取值范围，分析即可得答案．本题考查函数的应用，涉及等比数列的前n项和公式以及对数的计算，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵函数是（1，+∞）上的减函数，∴，解得：0＜a≤．∴实数a的取值范围是：（0，]．故选：C．由分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，由此能求出实数a的取值范围．本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．9.【答案】B【解析】解：f（-x）=-ln（-x）2-|-x|=f（x），故f（x）是（-∞，0）（0，+∞）上的偶函数；当x＞0时，f′（x）=-2lnx-x为减函数，而2（ln-1）=f（2），故f（）＜2（ln-1）=f（2），故||＞2，解得：-＜m＜且m≠0故m∈（-，0）（0，），故选：B．可判断f（x）是（-∞，0）（0，+∞）上的偶函数，再由函数的单调性解不等式．本题考查了分段函数的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用．10.【答案】C【解析】解：由f（x+2）=3f（x）得f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）设x∈[-4，-2]，则4+x∈[0，2]∴f（x+4）=（x+4）2-2（x+4）+2=x2+6x+16∴f（x）=x2+6x+16=（x+3）2+∴当x=-3时，f（x）取得最小值故选：C．由f（x+2）=3f（x）得到f（x+4）与f（x）的关系，再设x∈[-4，-2]，则有4+x∈[0，2]，求得f（x+4）=（x+4）2-2（x+4）+2=x2+6x+16，从而得到f（x）=x2+6x+16=（x+3）2+求解．本题主要考查用递推关系来求函数的解析式和求二次函数最值问题．11.【答案】0或3【解析】解：∵A B=A，∴B⊆A，∴m=3或m=，解得：m=0或3．故答案为：0或3由两集合的并集为A，得到B为A的子集，可得出m=3或m=，即可求出m的值．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型．12.【答案】2【解析】解：根据题意，log28=3，函数，则f（log28）=f（3）=f（1），又由f（1）=2e x-1=2，故f（log28）=2；故答案为：2．根据题意，由于log28=3，结合函数的解析式可得f（log28）=f（3）=f（1），结合函数的解析式计算可得答案．本题考查分段函数的解析式求值以及对数的计算，注意分段函数分段分析，属于基础题．13.【答案】【解析】解：原式=++3=--+3=．故答案为：．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】（-∞，-2）（2，+∞）【解析】解：根据题意，f（x）为奇函数，则f（2）=-f（-2）=0，又由f（x）在（-∞，0）内单调递增，在其在（0，+∞）上单调递增，函数f（x）的草图如图所示：xf（x）＞0⇔或，解可得：x＜-2或x＞2，故不等式xf（x）＞0的解集为（-∞，-2）（2，+∞），故答案为：（-∞，-2）（2，+∞）根据题意，结合函数的奇偶性与单调性，作出函数的草图，又由xf（x）＞0⇔或，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数f（x）的取值情况，属于基础题．15.【答案】0＜a＜1【解析】解：∵函数，∴作出函数f（x）的图象如右图所示，∵方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，则函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，根据图象可知，a的取值范围为0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1．根据分段函数f（x）的解析式，作出分段函数的图象，方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，即为函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数a的取值范围．本题考查了分段函数的应用，考查了分段函数图象的作法．解题的关键在于正确作出函数图象，能将方程f（x）-a=0有三个不同的实数根的问题转化为函数图象有三个不同的交点的问题．解题中综合运用了数形结合和转化化归的数学思想方法．属于中档题．16.【答案】（-2，0）（，+∞）【解析】解：设z=ax2+（a+2）x+a+2，函数，即为f（x）=log2z，由y=f（x）=log2z在（0，+∞）递增，若z=ax2+（a+2）x+a+2有正的最小值，可得y=f（x）取得最小值，即有a＞0且△=（a+2）2-4a（a+2）＜0，解得a＞；若z=ax2+（a+2）x+a+2有正的最大值，可得y=f（x）取得最大值，即有a＜0且△=（a+2）2-4a（a+2）＞0，解得-2＜a＜0．综上可得a的范围是（-2，0）（，+∞）．故答案为：（-2，0）（，+∞）．设z=ax2+（a+2）x+a+2，f（x）=log2z，运用对数函数的单调性和二次函数的图象和性质，可得a＞0且△＜0或a＜0且△＞0，解不等式即可得到所求范围．本题考查对数函数的单调性和二次函数的图象和性质，考查复合函数的单调性：同增异减，以及运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）B={x|x＜-1，或x＞3}；∴∁R B={x|-1≤x≤3}；∴A∩∁R B={x|0＜x≤3}；（2）A∩B={x|x＜-2，或x＞3}；∵C⊆（A∩B）；∴①C=∅时，2m≥m+3；∴m≥3；②C≠∅时，或；∴m≤-5，或＜；综上得，实数m的取值范围为，或．【解析】（1）可解出B={x|x＜-1，或x＞3}，然后进行交集和补集的运算即可；（2）先求出A∩B={x|x＜-2，或x＞3}，根据C⊆（A∩B），可讨论集合C是否为空集：C=∅时，2m≥m+3；C≠∅时，，解出m的范围即可．考查描述法的定义，交集和补集的运算，以及子集的概念，不要漏了C=∅的情况．18.【答案】解：函数f（x）=4x-3•2x+1+3，令t=2x，所以y=t2-6t+3，0≤x≤2，可得t∈[1，4]，y=t2-6t+3=（t-3）2-6，点t=3，即x=log23，y有最小值-6，当t=1即x=0时，y有最大值-2．【解析】利用换元法，通过二次函数闭区间上的最值求解即可．本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，考查计算能力．19.【答案】解（1）当a＞1时，h（x）=f（x）+g（x）=log a[（1+x）（3-x）]=log a（-x2+2x+3）的定义域为（-1，3）且在（-1，1）上递增，在（1，3）上递减，所以x=1时，h（x）取得最大值h（1）=log a （-1+2+3）=log a 4由题意得log a 4=2，解得a=2（2）∵f（x）-g（x）＞0⇔log a（1+x）-log a（3-x）＞0⇔log a（1+x）＞log a（3-x）当a＞1时，1+x＞3-x＞0，解得1＜x＜3；当0＜a＜1时，3-x＞1+x＞0，解得-1＜x＜1．【解析】（1）当a＞1时，可判断出h（x）在（-1，1）上递增，在（1，3）上递减，从而可求出最大值与已知最大值相等解得a=2；（2）讨论底数a得对数函数的单调性，利用单调性解不等式．本题考查了对数函数的值域与最值．属中档题．20.【答案】解：（1）根据题意，是定义在[-1，1]上的奇函数，则有f（0）==0，即a=0，即f（x）=，则有f（-x）=-f（x），即=-；分析可得：b=0，则（2）证明：设-1≤x1＜x2≤1，f（x1）-f（x2）=，又由-1≤x1＜x2≤1，则（x1-x2）＜0，（1-x1x2）＜0，则f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x）在[-1，1]单增；（3）f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）⇒f（t-1）＜f（-t），，则有＜解可得：0≤t＜，则不等式的解集为，．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）==0，可得a的值，又由f（-x）=-f（x），即=-，分析可得b的值，将a、b的值代入函数的解析式，分析可得答案；（2）根据题意，设-1≤x1＜x2≤1，由作差法分析可得结论；（3）根据题意，由函数的奇偶性与单调性，分析可得f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）⇒f（t-1）＜f（-t），则有，解可得t的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a、b的值，属于基础题．21.【答案】解：（1）配方可得g（x）=m（x-1）2+1+n-m，当m＞0时，g（x）在[1，2]上是增函数，由题意可得，即，解得；当m=0时，g（x）=1+n，无最大值和最小值，不合题意；当m＜0时，g（x）在[1，2]上是减函数，由题意可得，即，解得，∵n≥0，故应舍去综上可得m，n的值分别为1，0（2）由（1）知，∴f（log2x）-2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解等价于在x∈[2，4]上有解即在x∈[2，4]上有解．令则2k≤t2-2t+1，∵∈，∴∈，．记φ（t）=t2-2t+1，∵，∴，∴k的取值范围为 ，．（3）原方程可化为|e x-1|2-（3k+2）|e x-1|+（2k+1）=0令|e x-1|=t，则t∈（0，+∞），由题意知t2-（3k+2）t+2k+1=0有两个不同的实数解t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2-（3k+2）t+2k+1，则或＞＜＜＜解得k＞0，∴实数k的取值范围是（0，+∞）【解析】（1）配方可得g（x）=m（x-1）2+1+n-m，当m＞0和m＜0时，由函数的单调性可得m和n的方程组，解方程组可得，当m=0时，g（x）=1+n，无最大值和最小值，不合题意，综合可得；（2）由（1）知，问题等价于即在x∈[2，4]上有解，求二次函数区间的最值可得；（3）原方程可化为|e x-1|2-（3k+2）|e x-1|+（2k+1）=0，令|e x-1|=t，记h（t）=t2-（3k+2）t+2k+1，可得或，解不等式组可得．本题考查二次函数的性质，涉及分类讨论的思想，涉及恒成立问题和绝对值，属中档题．。

2018～2019学年度第一学期期中七校联考高一数学试卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，，则A. B. C. D.2.函数的定义域为A. B. C. ， D. ，3.已知函数，，则的零点所在的区间是A. B. C. D.4.已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.5.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则A. B. C. D.6.若（，则实数的取值范围为A. B. C. D.7.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围是A. B. C. D.8.已知函数在上有最小值－1，则a的值为A. －1或1B.C. 或－1D. 或1或－19.设函数的定义域为，若在上单调递减，且为偶函数，则下列结论正确的是A. B. C. D.10.已知函数，若方程有4个不同实根，则的取值范围是A. B. ， C. D.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.已知集合，且，则实数的值为_______.12.已知定义在上的函数满足，则＝________.13.已知函数，且在区间上单调递减，则的取值范围是_________.14.已知函数则函数（，是自然对数的底数）的所有零点之和为______.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（a＞0且a≠1）．（1）若，求函数的零点；（2）若在上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．16.设集合，集合，若，求实数的取值范围．17.已知函数是奇函数，且，其中.（1）求和的值；（2）判断在上的单调性，并加以证明.18.已知是定义在上的减函数，且，满足对任意，都有.（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明；（3）解不等式.19.已知二次函数，（1）若，且对，函数的值域为，求的表达式；（2）在(1)的条件下，函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）设，，且为偶函数，证明解析卷2018～2019学年度第一学期期中七校联考高一数学试卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求得集合B，然后进行集合的混合运算即可.【详解】求解指数不等式可得，则，则.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.函数的定义域为A. B. C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于x的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域.【详解】函数有意义，则，解得。

天津市武清区等五区县2016-2017学年高一数学上学期期中试题（扫描版）武清区2016～2017学年度第一学期期中质量调查高一年级数学试卷参考答案一.选择题1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．B 8．D 9．A 10．C二．填空题11．[)2,1 12．()1,0 13．②④ 14．625 15．4三.解答题16．（本小题满分12分）（1）()x f 12111222+-=+-=x x xe e e ……………………2分∴()=2ln f 1211214ln 2ln 2+-=+-e e ……………………4分 531421=+-=……………………6分（2）∵函数()x f 的定义域为R ，任取R x ∈，……………………8分∵()-=+-=---x x xx e e e e x f x x x x e e e e --+-……………………9分()x x xx e e e e x f --+-=……………………10分∴()()x f x f -=-……………………11分∴ 函数()x f 是奇函数．…………………12分17．（本小题满分12分）（1）图象…………………3分 单调递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛∞-21,，单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21，()∞+,1 …………………6分（2）当1≤a 时，∵2)(=a f ，∴22=-a a …………………8分解得2=a 或1-=a ∵1≤a ∴1-=a …………………9分当1>a 时，∵2)(=a f ，∴23=-a解得5=a ，满足1>a …………………11分综上，所求实数a 的值为1-和5．…………………12分18．（本小题满分12分）（1）集合A 的所有真子集是{}{}{}{}{}{}3,2,3,1,2,1,3,2,1,φ …………………7分（2）∵{}3=B A ，∴B ∈3，A ∉2,1…………………8分∴16312-<<+≤a a …………………9分即⎪⎩⎪⎨⎧>-<+≥+3163121a a a …………………12分解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><≥3221a a a ，即所求a 的取值范围是21<≤a …………………12分19．（本小题满分12分）解：设这个学生每天的进货量为x 件，利润为y 元，每天的市场价格为t 元． 依题意：t =20+x k（k 是比例常数） ……………………………………………2分由于进100件产品时利润为100元，则当天价格为31002100100=⨯+元。

天津高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.对于任意实数，下列结论中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．①B．②C．③D．④2.已知等比数列的前项和为，若，则公比为（）A．B．C．D．3.在中，若，则角为（）A．B．C．或D．或4.在中，若，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．5.若，两个等差数列与的公差分别为，则等于（）A．B．C．D．6.在中，若，则的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形7.在数列中，，，则（）A．B．C．D．8.等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（）A．B．C．D．9.给出集合序列设为第个集合中元素之和，则（）A．B．C．D．10.已知数列为等差数列，且，设，当数列的前项和最小时，则的值为（）A．B．C．或D．或二、填空题1.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.2.关于的一元二次不等式的解集是，则______.3.在中，角所对的边分别为，若，且，则角的大小为_______.4.不等式的解集为______.5.在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值是_______.6.数列满足，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为_______.三、解答题1.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.2.已知是正项数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.3.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为.①求；②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.天津高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.对于任意实数，下列结论中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】结论①中，当时，错误；结论②中，当时，错误；结论③正确；结论④中，当时，错误.故正确答案选C.【考点】不等式性质的应用.2.已知等比数列的前项和为，若，则公比为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由等比数列的前和公式，得，两式相比得，解得.故正确答案为A.【考点】等比数列前和公式、公比.3.在中，若，则角为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由正弦定理，且，得，又，则或.故正确答案为D.【考点】正弦定理的应用.4.在中，若，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理及题意得，解得，可知角最大，则.故正确答案选C.【考点】余弦定理的应用.5.若，两个等差数列与的公差分别为，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差数列通项公式及题意，得，则.故正确答案选C.【考点】等差数列通项公式的应用.6.在中，若，则的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】试题分析:由正弦定理得,整理得,又,则有或.故正确答案为B.【考点】1、正弦定理；2、倍角公式；3、三角形形状的判定.7.在数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，即（常数），则可知数列是各项均为常数列，所以，即.故正确答案为A.【考点】数列通项公式.8.等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，所以，而，则有，而.故正确答案为B.【考点】等差数列通项性质、前项和公式.9.给出集合序列设为第个集合中元素之和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设第个集合的第个数字为，则由题意知，，则有，将各式两边相加得，则，又因为各集合中的元素是以公差为的等差数列，所以.故正确答案为B.【考点】等差数列通项公式、前项和公式的应用.【思路点晴】此题考查等差数列通项公式及前项和公式的应用，属于中高档题，通过观察题目给出的集合序列的第个数字：、、、、……，可以发现，由迭加法可得，且每个集合的元素是以公差为的等差数列，项数与第个数字相等，再由等差数列前项和公式即求得.10.已知数列为等差数列，且，设，当数列的前项和最小时，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由等差数列通项公式性质知，又，所以，则数列为递增数列，同理有，又，而，所以当的的前项和取最小值时，的值为或.故正确答案为C.【考点】等差数列通项、前项和的性质.【思路点睛】此题主要考查等差数列的通项公式、前项和公式的性质在解决问题中的应用，属于中高档题.根据题目所给的条件且，由等差通项公式的性质可以发现，，从而可知，同理有，，所以，，（这个结论是本题的关键环节），从而问题可得解.二、填空题1.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】由已知得，当时，有，当时，有，不满足，故数列的通项公式为.【考点】数列通项公式及前项和公式的关系.2.关于的一元二次不等式的解集是，则______.【答案】【解析】由题意知，且关于方程的两个根分别为，则根与系数关系得，解得，所以.【考点】二次不等式的解.3.在中，角所对的边分别为，若，且，则角的大小为_______.【答案】【解析】由正弦定理且，得，由，得，由余弦定理得，又,所以角的大小为.【考点】正弦定理、余弦定理的应用.4.不等式的解集为______.【答案】【解析】不等式或，即或，所以原不等式的解集为.【考点】二次不等式、分式的解.5.在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值是_______.【答案】【解析】由余弦定理且，得，即，由正弦定理得，，所以.【考点】正弦定理、余弦定理的应用.【易错点晴】此题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，以及三角函数中切化弦的转化应用，属于中档题.通过审题首先利用余弦定理的推论将条件，转化为，接着将问题中所需求值的式子中的正切转化为含正弦、余弦的式子，再结合正弦定理和余弦定理转化成相对应边的关系式再进行求解，在计算过程中注意将正弦定理和余弦定理进行有效变形，为我所用，从而更好地为求值计算服务.6.数列满足，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为_______.【答案】【解析】由，得，可知数列是以首项为，公差为的等差数列，所以，则，，考查，又，即，则可知数列是一个递减数列，所以数列的最大项为，又对任意恒成立，所以，即，所以的最小值是.【考点】1、数列的通项公式、前项和公式；2、数列与不等式恒成立问题.【思路点睛】此题考查数列的通项公式、前前项和公式及数列与不等式恒成立问题的求解，属于中高档题.根据所给条件先构造新数列、，并求出数列的通项公式，接着对数列的单调性进行判断，利用函数单调性求出数列的最大项，再根据不等式恒成立问题，从而求得的最小值.三、解答题1.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知，根据正弦定理将等式中的边相应地替换为对应角的正弦，再由两角和的正弦公式及诱导公式进行整理，即可求出的值；（2）由（1）的结果可知，又，且，可根据余弦定理可求得，，再由公式即可求出三角形的面积.试题解析：（1）由正弦定理得，所以，即有，即有，即，所以.（2）由（1）知：，即，又因为，由余弦定理得：，即，解得，所以，又因为，所以，故的面积为.【考点】1、正弦、余弦定理；2、三角形面积公式.【思路点睛】此题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及倍角公式的应用，属于中档题.在定理的应用中，通过认真审题，可以根据题目所给条件和问题的需要，可以考虑将条件中所给式子的两边中的边（或角）根据正弦定理（，为的外接圆半径），同时（齐次）换成相对应的角（或边），再进行运算整理，当然还需要注意倍角公式、两角各和差等恒等变换公式的应用.2.已知是正项数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据数列通项公式与前项和公式的关系，并进行化简整理即可，注意对首项的值进行验证，是否满足的表达式，若不满足则分段表达（如上式）；（2）根据数列的特点（各项由等差数列与等比数列的乘积组成），可利用错位相减法求数列的前项和.试题解析：（1）令得又，所以，①，②，由①②得，∴，∵，∴，∴是等差数列，且.（2），设的前项和为，则①，②，由①-②得，，∴，即.【考点】1、等差数列通项公式；2、数列前项和（错位相减法）.【方法点晴】此题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式在解决问题中的应用，属于中档题.注意事项，利用前项和求通项公式时，要对首项的值进行验证，是否满足的表达式，若不满足则采用分段表示，错位相减法是求数列前项和公式的常用方法，当该数列各项是由等差数列与等比数列的乘积组成时，此法适用.3.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为.①求；②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）根据数列通项公式与前项和公式关系进行求解，由整理后，根据式子的特点，采用累积法进行求解（累积法也是求数列通项中常用的方法）；（2）①由（1）可求得数列的解析式，根据的特点可采用裂项求和法进行求解；②由“恒成立”等价“恒成立”，可对的单调性进行判断，并求出其最小值为，再由二次不等式恒成立求出实数的范围.试题解析：（1）在中，令，得，∵，∴当时，，两式相减，得，∴，即.∴，故.（2）①，，所以.②∵，单调递增，故，∵，∴对于任意的恒成立，∴对于任意的恒成立，∴，又也成立，∴实数的取值范围是.【考点】1、数列通项公式（累积法）；2、数列前和（裂项求和法）；3、数列与不等式恒成立问题.【方法点晴】此题主要考查数列的通项公式和前项和公式的求解、以及数列与不等式恒成立问题，注意累积法（累积法：根据所给数列的递推公式将式子整理为比式，然后将式子两边相乘消去中间，从而求得数列的通项公式.）、裂项求和法（可将数列通项公式分裂成两项之差，然后将式子两边相加，消去中间项，从而求出数列前和.）的应用，属于中高档题，在数列与不等式恒成立问题中，常会利用到数列的单调性求出其最值，再根据不等式的性质及恒成立问题进行求解或证明.。

高一级第一学期期中调研考试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题．．．．区域书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。

3．本卷命题范围：新人教版必修第一册第一章～第四章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{123}A =，，，{}223B x x x =->，则A B =A ．{12}，B ．∅C ．{23}，D ．{1}2．命题“R x ∃∈，||0x ”的否定是A ．R x ∀∈，||0x ≥B ．R x ∃∈，||0x <C ．R x ∀∈，||0x <D ．R x ∃∉，||0x <3．若a b >，则下列不等式中成立的是 A ．11<a bB ．33a b >C ．22a b >D ．a b >4．函数y =的定义域为 A ．(12)-，B ．(02)，C ．[12)-，D ．(12]-，5．某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为2()410C x x x =++（万元）。

一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为 A ．139万元B ．149万元C ．159万元D ．169万元6．已知集合2{Z |Z}1A x x =∈∈-，则集合A 的真子集的个数为 A ．13B ．14C ．15D ．167．若0.33a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<8．若函数()f x 是奇函数，且在定义域R 上是减函数，(2)3f -=，则满足3(3)3f x -<-<的实数x 的取值范围是 A ．(15)，B ．(24)，C ．(36)，D ．(25)，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018-2019学年天津市武清区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）设全集为R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁R A=（）A．{x|x≥3或x≤﹣1}B．{x|x＞3或x＜﹣1}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|﹣1＜x＜3}2．（5分）函数f（x）=（x+1）e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．x﹣y+1=0B．x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+1=0D．2x﹣y﹣1=0 3．（5分）已知a∈R，则“＜1”是|a|＞1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x=﹣2，则输出y的值为（）A．0B．1C．D．5．（5分）已知a=，b=（）2，c=ln3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c6．（5分）等比数列{a n}的前n项和S n=a+1﹣，（a，b∈R），若a4=，则=（）A．B．C．D．7．（5分）已知a＞0，b＞0，且，则2a+的最小值是（）A．8B．6C．4D．28．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（x）+f（2﹣x）=3实数根的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题9．（5分）某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生个．10．（5分）已知实数x，y满足约束条件则目标z=2x+y的最大值是11．（5分）两个函数y=与y=x﹣2，它们的图象及y轴围成的封闭图形的面积为12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（a+1）＞f（﹣2），则a的取值范围是13．（5分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB=BC=2，CD=1，∠ABC=，E是BC上一动点，则的最小值为14．（5分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜），若f（x）的图象的一条对称轴是x=，且在区间上单调递增，则w的取值范围是三、解答题15．（13分）在△ABC中，cosA=，a=2，b=5．（1）求c及sinC的大小；（2）求cos（2C+B）的值．16．（13分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，S5=25，a13=7a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）已知函数f（x）=sin2x+sin4+cos4﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．18．（13分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的极值；（2）求证：对任意a∈（﹣2，﹣1），关于x的方程f（x）=ax﹣2lnx恰有一解．19．（14分）已知数列{a n}满足（n∈N*），a1=1．（1）令（n∈N*），求证：数列{b n}为等比数列；（2）求证：．20．（14分）已知函数f（x）=（2a﹣1）xsinx﹣（0＜），且[0，]上的最大值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断f（x）在（0，π）内的零点的个数，并加以证明．2018-2019学年天津市武清区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）设全集为R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁R A=（）A．{x|x≥3或x≤﹣1}B．{x|x＞3或x＜﹣1}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|﹣1＜x＜3}【解答】解：全集为R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，则∁R A={x|x≤﹣1或x≥3}．故选：A．2．（5分）函数f（x）=（x+1）e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．x﹣y+1=0B．x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+1=0D．2x﹣y﹣1=0【解答】解：由f（x）=（x+1）e x得f′（x）=（x+1）e x+e x=e x（x+2），∴f′（0）=2，又f（0）=1，∴函数f（x）=（x+1）e x图象在点（0，f（0））处的切线方程是y﹣1=2（x﹣0），即y=2x+1．故选：C．3．（5分）已知a∈R，则“＜1”是|a|＞1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a∈R，由|a|＞1⇔a＞1，或a＜﹣1．∴“＜1”，反之不成立．例如取a=﹣．∴“＜1”是|a|＞1的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x=﹣2，则输出y的值为（）A．0B．1C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得：x=﹣2，y=0，不满足判断框内的条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=0，y=1不满足判断框内的条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=1，y=满足判断框内的条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为．故选：C．5．（5分）已知a=，b=（）2，c=ln3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：a==logπe，∴0＜a＜1．b=（）2=（logπe）2∴b＜a．c=ln3＞lne=1，即e＞1．∴b＜a＜c．故选：D．6．（5分）等比数列{a n}的前n项和S n=a+1﹣，（a，b∈R），若a4=，则=（）A．B．C．D．【解答】解：n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a+1﹣﹣（a+1﹣）=，∵a4=，∴=，解得b=4．a1=a+1﹣=，解得a=3．则=．故选：A．7．（5分）已知a＞0，b＞0，且，则2a+的最小值是（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：∵a＞0，b＞0，且，∴b=＞0，∴a＞1，则2a+=2a+=2[（a﹣1）+]+2≥6，当且仅当a﹣1=即a=2时取等号，∴2a+的最小值最小值6．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（x）+f（2﹣x）=3实数根的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：函数f（x）=，当2﹣x＜0，此时x＞2，方程f（x）+f（2﹣x）=3化为：2+2﹣x+（x﹣2）3=3，即（x﹣2）3=x﹣1，函数y=（x﹣2）3，y=x﹣1，x＞2时图象如图：图象有1个交点，方程有1个解；当0≤2﹣x≤2，此时0≤x≤2，方程f（x）+f（2﹣x）=3化为：2﹣x+2﹣（2﹣x）=3，无解；当2﹣x＞2，此时x＜0，方程f（x）+f（2﹣x）=3化为：2+x+（2﹣x﹣2）3=3，即x﹣1=x3，函数y=x3，y=x﹣1，x＜0时图象如图：有一个交点，方程有一个解．则方程f（x）+f（2﹣x）=3实数根的个数是2个．故选：C．二、填空题9．（5分）某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生24个．【解答】解：设应在高一年级抽取学生数为n，∵某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，用分层抽样的方法抽取一个样本，在高二、高三共抽取了48个学生，∴，解得n=24，∴应在高一年级抽取学生为24个．故答案为：24．10．（5分）已知实数x，y满足约束条件则目标z=2x+y的最大值是5【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．即A（2，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5．即目标函数z=2x+y的最大值为5．故答案为：5．11．（5分）两个函数y=与y=x﹣2，它们的图象及y轴围成的封闭图形的面积为【解答】解：联立直线与曲线的方程：解得，对于y=x﹣2，令x=0，则y=﹣2，结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为（y+2）dy﹣y2dy=（y2+2y）|﹣（y3）|=8﹣=，故答案为：，12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（a+1）＞f（﹣2），则a的取值范围是﹣3＜a＜1【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（﹣∞，0]上单调递增由f（a+1）＞f（﹣2），可得|a+1|＜|﹣2|即（a+1）2＜4解得：﹣3＜a＜1．故答案为：﹣3＜a＜1．13．（5分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB=BC=2，CD=1，∠ABC=，E是BC上一动点，则的最小值为【解答】解：过C作CF⊥AB，垂足为F，∵AB=BC=2，CD=1，∠ABC=，∴BF=1，CF=，AF=1，∵AE∥CD，即四边形AECD为矩形，以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，∵AB=BC=2，∠ABC=60°，∴A（0，0），C（1，），B（2，0），D（0，1），设E（x，y），∴=（x﹣1，y﹣），=（1，﹣），∵，∴y﹣+=0∴y=﹣，∵=（x，y），=（x，y﹣），===4x2﹣9x+6（1≤x≤2）当x=时，有最小值故答案为：14．（5分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜），若f（x）的图象的一条对称轴是x=，且在区间上单调递增，则w的取值范围是【解答】解：函数f（x）=sin（wx+φ），（w＞0，0＜φ＜），且f（x）的图象的一条对称轴是x=，∴w+φ=，∴w=﹣＜；又f（x）在区间上单调递增，∴﹣w+φ＜wx+φ＜w+φ，∴，w≤2；综上，w的取值范围是0＜w＜．故答案为：0＜w＜．三、解答题15．（13分）在△ABC中，cosA=，a=2，b=5．（1）求c及sinC的大小；（2）求cos（2C+B）的值．【解答】解：（1）cosA=，a=2，b=5，代入a2=b2+c2﹣2bccosA，得，即，解得（舍去）．∵，∴角A为钝角，∴，∵，∴；（2）由（1）知，且易知角C是锐角，∴，∴，．∵，∴，由题意知角B是锐角，∴．∴cos（2C+B）==．16．（13分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，S5=25，a13=7a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（1）设数列{a n}的公差为d，∵S5=25，a13=7a3，∴，解得………………（2分）∵a n=a1+（n﹣1）d，∴所求通项公式为a n=3n﹣4………………（4分）（2）∵，∴………………（5分）∵T n=b1+b2+b3+…+b n﹣1+b n∴………………（6分）………………（7分）上式减下式得：………………（8分）=………………（10分）=………………（12分）∴………………（13分）17．（13分）已知函数f（x）=sin2x+sin4+cos4﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）=………………（1分）=………………（2分）=………………（3分）=………………（4分）==………………（5分）∴，∴f（x）的最小正周期为………………（7分）（2）函数f（x）在区间上单调递增；在区间上单调递减………………（9分），，………………（12分）∴f（x）在区间上的最大值为，最小值为．………………（13分）18．（13分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的极值；（2）求证：对任意a∈（﹣2，﹣1），关于x的方程f（x）=ax﹣2lnx恰有一解．【解答】解：（1）=………………（1分）令f'（x）=0，得x=1或x=2………………（2分）∵x＞0，∴当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：………………（4分）∴当x=1时，f（x）的极大值为；………………（5分）当x=2时，f（x）的极小值为f（2）=2ln2﹣4．………………（6分）（2）证明：方程f（x）=ax﹣2lnx即………………（7分）令g（x）=，则………………（8分）∵x＞0，∴g'（x）≥4﹣（a+3）=1﹣a………………（9分）∵a∈（﹣2，﹣1），∴1﹣a＞0，∴g'（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增…………（10分）∵g（1）=，，∴函数g（x）在区间（1，e）上至少有一个零点，………………（12分）考虑到函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，即方程f（x）=ax﹣2lnx恰有一个解．…………（13分）19．（14分）已知数列{a n}满足（n∈N*），a1=1．（1）令（n∈N*），求证：数列{b n}为等比数列；（2）求证：．【解答】证明：（1）∵，∴………………（2分）∴=，………………（4分）∵a1=1，∴………………（5分）∴数列{b n}是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列．………………（6分）（2）由（1）知，，………………（7分）∵，∴，即………………（9分）∵=………………（11分）∴………………（12分）=．………………（14分）20．（14分）已知函数f（x）=（2a﹣1）xsinx﹣（0＜），且[0，]上的最大值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断f（x）在（0，π）内的零点的个数，并加以证明．【解答】解：（1）∵，所以，，∴2a﹣1＞0………………（1分）由题意，在上恒成立，且能取到等号……………（2分）即在上恒成立，且能取到等号，即………（3分）令g（x）=xsinx，则g'（x）=sinx+xcosx＞0∴函数g（x）在上单调递增…………（4分）∴，解得a=1………………（5分）∴………………（6分）（2）∵∴f'（x）=sinx+xcosx①当x∈时，∵f'（x）≥0，∴函数f（x）在上单调递增………………（7分）∵，∴函数f（x）在上有唯一零点………………（8分）②当x∈时，令h（x）=sinx+xcosx∵h'（x）=2cosx﹣xsinx＜0，∴函数h（x）即f'（x）当x∈时单调递减……………（9分）又∵，∴存在唯一使f'（x0）=0………………（10分）∴当时，f'（x）＞0；当x0＜x≤π时，f'（x）＜0∴f（x）在上单调递增，在（x0，π）上单调递减………………（11分）注意到，f（π）＜0，∴f（x0）＞0………………（12分）∴函数f（x）在上没有零点，在[x0，π]上有唯一零点………………（13分）由①②得函数f（x）在（0，π）内恰有两个零点．………………（14分）。