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第二讲平方差公式

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平方差公式(PPT课件)

平方差公式(PPT课件)

①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16 x2 － 42
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2 12－(2a)2
③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2 m2 － (6n)2 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2 (5y)2 － z2
它们的结果有什么特点？
平方差公式
平方差公式
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
a2 相等吗？a2－25 平方差公式
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题 ①（x ＋ 4)( x－4） ②（1 ＋ 2a)( 1－2a） ③（m＋ 6n)( m－6n） ④（5y ＋ z)(5yng 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 1)( x－1） =x2－ ＋1·X －1·1 =x2 1－·x1
平方差公式
• 灰太狼开了租地公司,一天他把一边 长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一 边增加5米,另一边减少5米,再继续租给 你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一 听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就 把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听, 都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长 很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是 为什么吗?
平方差公式
小结 平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括号
平方差公式
医路顺风
平方差公式

《平方差公式》课件(共24张PPT)【推荐】

《平方差公式》课件(共24张PPT)【推荐】

例2 运用平方差公式计算.
（1）1998×2002； （2）20202-2017×2023. 分析 应用平方差公式可使运算简便. （1）中，1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）； （2）中，20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）. 解析（1）1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2） ＝20002-4＝4000000-4＝3999996. （2）20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）＝20202-（20202-9）＝9.
3 3 9 9 9
81
（2）（2x＋1）（4x2＋1）（2x-1）（16x4＋1）
＝（2x＋1）（2x-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（4x2-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（16x4-1）（16x4＋1）
＝256x8-1
解析 （1） . x 乘除
6 平方差公式
知识点一 平方差公式
平方差 公式
内容
字母表示
知识 详解
知识点一 平方差公式
内容
字母表示
平方差 两个数的和与这两个数的差的积，等于 （a＋b）（a-b）＝a2-
公式
它们的平方差
b2
知识 详解
（1）平方差公式的特点:（i）等号左边是两个二项式相乘，并且 这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. （ii）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.（2）对于形 如两数和与这两数差相乘的多项式乘法，都可以用平方差公式计 算. （3）公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式. （4）探究平方差公式的几何意义:如图①，边长为a的大正方形中 有一个边长为b的小正方形，阴影部分的面积为a2-b2； 如图②，将图①中的阴影部分剪拼成一个长方形，面积为（a＋b ）（a-b），所以有（a＋b）（a-b）＝a2-b2

平方差公式课件PPT

平方差公式课件PPT

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$

平方差公式精品课件

平方差公式精品课件

(3m＋2n)(3m－2n) 变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n) = (-3m)2-(2n)2 变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) 变式三 (－3m－2n)(3m＋2n)
复习引入
算一算：看谁做的又快又准确！
(1) x 1x 1 x2 12 x2 1
(2) m 2m 2 m2 22 m2 4
(3) (4)
2x 12x 1 2x2 12 4x2 1
x 5yx 5y x2 5y2 x2 特点？ ②等式右边的多项式有什么规律？ ③你能归纳出上述等式的规律吗？
=a4-16
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2.
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
应用平方差公式时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式. 对于不符合平方差公式标准形式者， 要利用加法交换律，变成公式标准形式后，再用公式.
首页
合作探究
平方差公式 现在要对大家提出的猜想进行证明，我
们将证明过程演示给大家.
证明：(a+b)(a-b) a2 ab ab b2 （多项式乘法法则） a2 b2 （合并同类项）
我们经历了由发现——猜测——证明的过程， 最后得出一个公式性的结论，我们将这个公式叫做 平方差公式.
符号语言： （a+b)(a-b) a2 b2
=4a2－b2.
(3) (-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2－(2y)2
= x2－4y2
随堂练习
1、计算： (1) (3a+2b)(3a-2b) (2) (-x+1)(-x-1) (3)(a+3b)(3b-a)

八年级数学平方差公式

八年级数学平方差公式

几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。

《平方差公式》数学教学PPT课件(5篇)

《平方差公式》数学教学PPT课件(5篇)
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反数（项）为b
相同数（项）为a
平方差公式特点
相同数（项）的平方减去相反数（项）的平方
★结构特点：
数学表达式
1.左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数。
2.右边是乘式中两项的平方差，即（相同项）2 -（相反项）2。
a、b可以表示数，还可以表示单项式或多项式。
1.利用平方差公式计算：
探索提高
2．若m2﹣n2＝6，且m﹣n＝3，则m+n＝_____．
s2
s3
s4
∵S=s1+s2=(a+b)(a-b)而s2=s3=b(a-b)∴ S=s1+s3
s1
思考
- =？
- = - -ab+ab= -ab+ab-=a(a-b)+b(a-b)= (a+b)(a-b)
逆推导平方差公式
平方差公式的常见变化
1）位置变化 (a+b)(-b+a)＝_________；
= -
相加和为0
相加和为0
相加和为0
探索平方差公式
对于形如(a+b)的多项式和形如(a-b)的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
乘法的完全平方差公式：(a+b)(a-b) = -
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差.
平方差公式
你能根据下图中的图形面积说明平方差公式吗？
探索提高
感谢各位的仔细聆听
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平方差公式 (课件)

对于不符合平方差公式标准形式者， 或提取两“−”号中的“−”号，要利用加 法交换律，变成公式标准形式后，再用公 式．
Bye bye
（3）公式中的 a和b 可以是数，也可以是 代数式．
例2 运用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) =(3x)2－22 =9x2－4；
(2) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
某中学计划将边长m米的正方形花坛改造成 长为 （m+1）米，宽为（m-1）米的长方形花坛，你会 计算改造后的花坛面积么？花坛的面积有什么变化？
（m＋1)(m－1) 解原式： =m2−m+m-1
=m2-1
课堂小结
平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2．
两数和与这两数差的积，等于它们 的平方差．
平方差公式
[来源:学科网ZXXK]
(a+b)(a-b)=?
学习目标
1．理解平方差公式的意义； 2．掌握平方差公式的结构特征； 3．正确地运用平方差公式进行计算；
探索发现
1. (x+1)(x-1) =x2-x+x-1 =x2-1 =x22. (m+2)(m-2)=m2-2m+2m-4=m122-4 =m2-22 3. (2x+1)(2x-1)=4x2-2x+2x-1 =4x2-1 =(2x)2-12
图2 的阴影部分的面积是—(a— b—)(a—b)
b
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b b
互为相反数
(a+b)(a−b)=a2−b2

初高中数学衔接精讲精练(第二讲 因式分解)

2 2 2 2
答案： (－y+2)(y+6)
3、 15x ＋7xy－4y 答案： (3x－y)(5x＋4y) 4、 10(x ＋2) －29(x＋2) ＋10
答案 ：(2x－1)(5x＋8)
5、 x －(a＋1) x＋a 答案： (x－1)(xab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
两个数的立方和 ( 差 ) ，等于这两个数的和 (差 )乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x 3 (2) 0.125 27b 3 解 : (1) 8 x 3 23 x 3 ( 2 x )( 4 2 x x 2 ).
解 : (1)12 x 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1).
2
(2)5x 2 6 xy 8 y 2
3 4 1 5

2 1 2 4
( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
十字相乘法
作业：将下列各式分解因式 2 答案： (7x－6)(x－1) 1、 7x －13x＋6 2、 －y －4y＋12
三个数和的平方公式：
a b c 2ab 2bc 2ac (a b c)
2 2 2
2
立方和、立方差公式
a b (a b)(a ab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
一、公式法(立方和、立方差公式)
一、公式法(立方和、立方差公式)
维度A
平方差公式：a
2

平方差公式ppt课件


1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.








例3 计算：
【点拨】 （1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)

2.平方差公式PPT课件


（4）(5a+b)(5a-b)= 25a2-b2 （5）(n+3m)(n-3m)= n2-9m2
（6）(x+2y)(x-2y）= x2-4y2
计算下列各题
视察 & 发现
（1)（a+5）(a-5)= a2-25 视察以上算式及其运
算结果，你发现了什
（2）(m+3) (m-3)= m2-9 么规律？
（3）(3x+7)(3x-7)= 9x2-49
平方差公式
平方差公式的几何背景：
第一回忆我们曾经用 几何的意义即图形面积来解释整式乘法
运算法则，如：a(b+c)=ab+ac;
平方差公式
平方差公式的几何背景：
请同学们思考如何用几何图形的 面积来解释（a +b）(a-b)呢？ 1、当a>b>0时，我们可能看成是以长为(a+b) , 宽为(a-b)的长方形的面积。
平方差公式
回顾 & 思考☞
多项式乘法 法则是:
用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的 一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的 二项式的ห้องสมุดไป่ตู้积 .
如果 (x+a)(x+b)中的a、b再有某种特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习的内容．
计算下列各题
视察 & 发现
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第二讲：平方差公式
一、 知识总结
()()b a b a b a -+=-22
平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。

适合分解的多项式：（1）只有两项；（2）符号相反；（3）两项均能写成整体的平方。

口诀要领：系数能平方，指数要成双，减号在中央。

注意：公式中的a 、b 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解，能提取公因式的要先提取公因式，并且要进行到不能分解为止。

二、常见题型
例1、分解因式
（1）a 2-16 （2）64-b 2 （3）－y 2 +4x 2
变式1-1、 （1）a 2－91b 2 （2）2199
a -+= （3） x 2－16y 2
例2、把下列各式分解因式：（提高）
（1）22916b a - （2）22)(4)(9b a b a --+
（3）22)()(q x p x +-+ （4）)(6)(322n m n m m --+
变式2-1、（1）x x 663- （2）)1()(23---x x x
（3）22()()a b c a b c ++-+- （4）22(2)16(1)a a -++-
变式2-2、（1）416a - （2）2394xy x -
（3）()()x y n y x m 161622-+- （4）4m 2(2x –3y) 2–m 2(3x –2y) 2
例3、利用因式分解计算
22872131-）（ 49200722-）（
299-100003）（
433.1922.1422⨯-⨯）（
变式3-1、 （1）22200120031001- （2）222
216
28452152--。

变式3-2、（1）(1－221)(1－231)(1－241)…(1－2
91)(1－2101)
例4、（公式的应用）如图，求圆环形绿地的面积。

40244022201220111210658643422122
2222222+-+++-++-++- ）（
变式4-1、如图，在边长为6.8cm 正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm 的小正方形，求剩余部分的面积。

变式4-2、如图，在半径为R 的圆形钢板上，冲去半径为r 的四个小圆，利用因式分解计算当R=7.8cm ，r=1.1cm 时，剩余部分的面积。

（π取3.14，结果保留三位有效数字 ）
例5、求值问题
()()的值。

求已知22,22
25,7511y x y x y x --+==
()()的值。

求、已知变式2
232,1032,9041-5n m n m n m n m --+=-=+
()()的值。

求、已知变式2
22,1,22-5a c c b a c a b a ----=-=-
例6、找规律
观察下列算式回答问题：
10
8801-94
8481-73
8241-58
132222⨯==⨯==⨯===- 问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用自己的语言表达你所发现的结论吗？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？
变式6-1、观察下列各式：1–9 = - 8, 4-16= -12, 9-25=-16, 16-36= -20…… ,
（1）把以上各式所含的规律用含n(n 为正整数）的等式表示出来。

（2）按照（1）中的规律，请写出第 10个等式。

()()。

的自然数为大于、设变式)0(1212,,35,132-62
2222221n n n a a a n --+=-=-= （1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出 ,,,21n a a a 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，an 为完全平方数（不必说明理由）．
三、培优提升
例1、（整除问题）设m 、n 为自然数且满足关系式4522=-n m ，则实数对（m ，n ）= 。

变式1-1、()1-248能被60到70之间的两个整数整除，这两个整数是 和 变式1-2、对于任意正整数m 多项式()9542
-+m 都能被 整除。

作业：
一、填空
1、分解因式：（1）29a -= ；（2）3x x -=
（3）2249a b -= ；（4）2422516a y b -+=
（5）3375a a -= ；（6）39a b ab -=
2、分解因式：（1）44x y -= ；（2）2224m m n -=
3、分解因式：42(53)x x -+=
4、分解因式：225(21)n -+=
5、若1004,2a b a b +=-=，则代数式22a b -的值是
6、分解因式：4481x y -=
7、式子851-能被20~30之间的整数 整除.
8、已知x 2－y 2=－1 ， x+y=2
1，则x －y= . 二、把下列各式分解因式：
（1） 36－x 2 （2）x 2y 2－z 2
（3） (x+2)2－9 （4）(x+a)2－(y+b)2
（5） 25(a+b)2－4(a －b)2 （6） 0.25(x+y)2－0.81(x －y)2
（7）22()()a b c a b c ++-+- （8）22(2)16(1)a a -++-。