精选-西南大学数学专业数学分析高等代数考研真题

2001高等代数一、判断题，正确的答“对”，错误的答“错”，并对错误的命题举出反例给予说明。

（每小题5分，共30分）1．数域F 上的某n 元线性方程组有解，则其全体解向量可构成F 上线性空间n F 的一个子空间。

2．对称矩阵的伴随矩阵也是对称矩阵。

3．数域F 上一元未定元多项式)(x f 不可约的充分必要条件是对][x F 中的多项式)(x g 和)(x h ，当)()(|)(x h x g x f 时，必有)(|)(x g x f 或)(|)(x h x f 。

4．在任意非零的有限维欧式空间中，对任意的正实数r 存在无穷多其之间的距离为r 的向量对。

5．设σ和τ为数域F 上的某n 维线性空间V 的两个线性变换，若σ和τ具有相同的特征多项式，则σ和τ具有相同的最小多项式。

6．n 元二次型AX X x x x f n '=),,,(21 负定的充分必要条件是A 的顺序主子式均小于0。

二、计算题（每小题10分，共40分）1、求所有λ使01600400040001≠λλλλ2、设4321,,,αααα及4321,,,ββββ是数域F 上的4维线性空间V 的两个基，且V 中向量α在基4321,,,αααα下的坐标为()4,3,2,1，V 中向量β在基4321,,,ββββ下的坐标为()1,2,3,4。

若基4321,,,αααα到基4321,,,ββββ的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111101111011110，试求向量βα+在基4321,,,ββββ下的坐标。

3、求-λ矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++=00221330010102602206341032)(λλλλλλλλλλλλλλλA 的标准形。

4、通过正交线性替换求二次曲面方程054423222=+-----yz xy z y x 的标准形，并在相应新的直角坐标系中画出草图。

三、证明题（每小题10分，共30分）（注：1—3题由数学教育方向考生完成，4—6题由基础数学专业其它各方向考生完成。

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而在的高等数学课程中，学生们通常都会遇到一些难题，需要进行深入的解析和答案讲解。

本文将针对一些典型的高数真题，进行解析和讲解，帮助同学们更好地理解这门课程，提高自己的数学水平。

一、求导题题目：求函数$f(x) = \frac{x^3-x^2}{x^2+1}$的导数。

解析：首先，我们应该明确求导的基本规则。

对于一个分式函数来说，通常需要使用除法法则。

根据除法法则，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$的商，其导数可以通过以下公式计算：$\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$。

根据这个公式，我们可以将函数$f(x) = \frac{x^3-x^2}{x^2+1}$的导数表示为：$f'(x) = \frac{(x^3-x^2)(2x)-(x^2+1)(3x^2-2x)}{(x^2+1)^2}$。

进一步化简这个表达式，我们得到：$f'(x) = \frac{-3x^4+6x^3-2x}{(x^2+1)^2}$。

所以，函数$f(x) = \frac{x^3-x^2}{x^2+1}$的导数为$f'(x) = \frac{-3x^4+6x^3-2x}{(x^2+1)^2}$。

通过这道题，我们了解到了求导的基本规则，特别是对于分式函数的导数的求解方法。

这对我们解决更加复杂的求导题目非常有帮助。

二、积分题题目：求函数$f(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^2}dt$的原函数。

解析：对于这个问题，我们需要明确积分的基本规则。

首先，我们知道函数的原函数是指在求导后得到该函数的函数。

首先，我们将函数$f(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^2}dt$按照积分的基本规则进行解析。